2025年湖南省长沙市高考数学模拟试卷（附答案解析）

2025年湖南省长沙市高考数学模拟试卷

一、单选题

1.（5分）已知集合「=3*>-2}4={*反2+5*-2名0},贝UQn（CrP）=（）

A.{x|-8x<-3}B.{x|-3<x<-2}C.{x|-3<x<-2}D.{x|-8<x<-2}

2.（盼）平面向量犯满足|旧上1则曲）方向上的投影向量为（）

1-1TT

A.B.-bC.-hD.b

）2

3.（5分）若（l+ai）（a-i）>0,aER,贝（I（）

A.a=lB.a=±lC.aW-1或a》lD.a》l

4.（5分）1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开

展大生产运动，最终走出了困境.如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段AB与CD所在直

线异面垂直，E、F分别为AB、CD的中点，且EF，AB,EF，CD,线拐子使用时将丝线从点A出发，

依次经过D、B、C又回到点A,这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”.图中AB

=EF=CD=30cm,则丝线缠一圈长度为（）

A.9042cmB.9073cmC.60^6cmD.8043cm

5.（5分）定义在R上的函数f（x）周期为4,且f（2x+l）为奇函数，则（）

A.f（x）为偶函数B.f（x+1）为偶函数

C.f（x+2）为奇函数D.f（x+3）为奇函数

6.（5分）现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人，要求

每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为（）

A.216B.432C.864D.1080

7.（5分）函数f（x）=cos3x-4sin2x在区间［-2024n,2024n］内所有零点的和为（）

A.OB.-2024TIC.101271D.-1012兀

&（5分）过抛物线Cy=4x焦点F且斜率为J3的直线与C交于A、B两点，若PF为aPAB的内角平

分线，则4PAB面积最大值为（）

二、多选题

侈选）9.（盼）要得到函数I；）的图象，可将函数尸inx的图象（）

A.向左平移多巳个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍

6

B.向左平移当三个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的弓

C.纵坐标不变，横坐标变为原来的勺工再将所得图象上所有点向左平移?三个单位长度

2A

D.纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将所得图象上所有点向左平移个单位长度

（多选）10.（6分）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有2,5,7,70四个数字，抛掷一次并记录

与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件A,“数字是5的倍数”为事件B,“数字是

7的倍数”为事件C,则下列选项不正确的是（）

A.事件A、B、C两两互斥

B.事件AUB与事件BNC对立

C.P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

D.事件A、B、C两两独立

（多选）11.（6分）已知数列{an},{bn},满足“+[=即+2=h+上（M£/V*〉al=bi=l,当n>2

QnOn

时，ai#bn,则（）

A.a32>8

11

B・a+i+T—>Un^h~Z

nDn+1Dn+2

C.an+1+bn<bn+1+an

D.（an+an+l）（bn+bn+1）>4

三、填空题

12.（5分）（产+l）（2x—64的展开式中常数项为

13.（5分）若;a=彘b=tanc=Zn||则a,b,C的大小关系为（用“〈"号连

接）.

14.（5分）数学家GeminadDandelin用一平面截圆锥后,在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别

与圆锥侧面、截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德林双球模型）.若

圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成60°角的平面截圆锥所得椭圆的离心率

为________________________

15.(13分)已知函数f(x)=ex-ex-b在x=0处的切线为x轴.

(1)求a,b的值；

(2)求f(x)的单调区间.

16.(15分)如图所示，五面体ABCDE中，ABXBC,四边形ABDE为平行四边形，点E在面ABC内的

投影恰为线段AC的中点，AE=AC=2AB=2.

(1)求五面体ABCDE体积；

(2)求平面AEC与平面DBC夹角的余弦值.

17.(15分)过双曲线E:号一y2=11的右焦点F作斜率相反的两条直线h、2,L与E的右支交与A、B

两点，12与E的右支交C、D两点，若AC、BD相交于点P.

(1)求证：点P为定点；

(2)设AC的中点为M,BD的中点为N,当四边形ACBD的面积等于|MM?时，求四边形ACBD的周

长.

18.(17分)2024年初，多地文旅部门用各种形式展现祖国大美河山，掀起了一波旅游热潮.某地游乐园

一迷宫票价为8元，游客从A处进入，沿图中实线游玩且只能向北或向东走，当路口走向不确定时，

用抛硬币的方法选择，硬币正面朝上向北走，否则向东走(每次抛掷硬币等可能出现正反两个结果)直

到从X(X=1,2,3,4,5,6,7)号出口走出，且从X号出口走出，返现金X元.

(1)随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表：

男性女性总计

喜欢走迷宫121830

不喜欢走迷宫13720

总计252550

判断能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关?

附.K2=a+b)(C(ad-bo2(b+a

P（K2》ko）0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

⑵走迷宫''路过路口B”记为事件B,从走号走出”记为事件Ax,求P(A5⑻和P(B|A4)的值;

⑶设每天走迷宫的游客为500人，则迷宫项目每天收入约为多少？

4

JIIIIIh7

19.(17分)已知平面内定点A(0,1),P是以OA为直径的圆C上一动点(0为坐标原点).直线0P与

点A处C的切线交于点B,过点B作x轴的垂线BN,垂足为N,过点P作x轴的垂线PQ,垂足为Q,

过点P作BN的垂线PM,垂足为M.

(1)求点M的轨迹方程1;

(2)求矩形PMNQ面积的最大值；

(3)设M的轨迹r,直线x=-n,x=n(n©N*)与x轴围成面积为人，甲同学认为随n的增大，人也

会达到无穷大，乙同学认为随n的增大人不会超过4,你同意哪个观点，说明理由.

2025年湖南省长沙市高考数学模拟试卷

参考答案与髓解析

一、单选题

1.(5分)已知集合P"；{x|x》22],Q={x|x2「+5x-24W0},则Qn(CrP)-()

A.{x|-8x<-3}B.{x|-3<x<-2}C.{x|-3<x<-2}D.{x|-8<x<-2}

【解答】解：解不等式x2+5x-244),得-8WxW3,则Q={x|-8<x<3},

由「=/乂>-2},得CrP={xlx<-2},

所以Qn(CrP)={x|-8Wx《-2}.

雌：D.

2.(盼)平面向量破满足|bfE,则而)方向上的投影向量为()

[T]T

A.—,力B.-C.-bD.b

【解答】解：依题意，a在昉向上的投影向量为也％=b.

Ibl2

Wfe：D.

3.(5分)若(l+ai)(a-i)>0,a6R,则()

A.a=lB.a=±lC.aW-1或a》lD.a》l

【解答】解：(l+ai)(a-i)=2a+(a2-l)i,依题意，2a+(a2-l)i是正实数，因此匕(2a>0,

(n2—1=0

所以a=1.

A

4.(5分)1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开

展大生产运动，最终走出了困境.如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段AB与CD所在直

线异面垂直，E、F分别为AB、CD的中点，且EF，AB,EF，CD,线拐子使用时将丝线从点A出发，

依次经过D、B、C又回到点A,这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”.图中AB

=EF=CD=30cm,则丝线缠一圈长度为()

D

BD

简图

A.9042cmB.9043cmC.6076cmD.8043cm

【解答】解：依题意EBJ_EF,FD±EF,EB±FD,

所以EB,EF=O,FD,EF=O,EB・FD=O,

又BD=BE+EF+FD,

所如D2=(BE+EF+FD)2=BE2+EF2+M+2BE-EF+2BE-FD+2EF•FD

=152+302+152=152X6,

所以|H)|=L5J6,同理可得|AD|二|%|=|BC|=L5V6,

所以丝线缠一圈长度为4X15V6=60V6(cm).

故选：C.

5.(5分)定义在R上的函数f(x)周期为4,且f(2x+l)为奇函数，贝!]()

A.f(x)为偶函数B.f(x+1)为偶函数

C.f(x+2)为奇函数D.f(x+3)为奇函数

【解答】解：因为f(2x+l)为奇函数，所以f(-2x+l)=-f(2x+l),

所以f(-x+l)=-f(x+l),所以f(x+l)为奇函数，故B错误；

因为定义在R上的函数f(x)周期为4,所以f(x+4尸f(x),

由B选项可知，所以货-x+2)=-f(x),则f(-x+2)=-f(x+4),

所以f(-x+3)=-f(x+3),则f(x+3)为奇函数，故D正确；

由f(-x+l)=-f(x+l),所以f(-x+l)+f(x+l)=O,则f(x)关于(1,0)对称，

令f(x)=sin(nx),则f(x+4)=sinn(x+4)=sinnx=f(x),满足函数f(x)周期为4,

且f(2x+l尸sin(27ix+n:尸-sin(2兀x)满足f(2x+l)为奇函数，

但是f(x)=sin(兀x)为奇函数，故A错误；

令=COS^x),则]/1(%+4)=cosg(x+4)]=cosf^x)=/(x),满足函数f(x)周期为4,

又/(2x+1)=cosg(2*+1)]=cos(nx+£)=满足/(2x+l)为奇函数，

但是/(x+2)=cosg(x+2)]=cos(^x+Jr)=-cosgx)为偶函数，故C错误.

雌D.

6.（5分）现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人，要求

每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为（）

A.216B.432C.864D.1080

【解答】解：求不同的安排种数需要分成3步，把3名心理教师分配到三所学校，有A3种方法,

再把4名语文教师按2:1:(1分)成3组，并分配到三所学校，有C2A3种方法，

最后把2名数学教师分配到只有1名语文教师的两所学校，有A2种方法，

由分步乘法计数原理得不同的安排种数为A3-C2A3-A2=432.

蝇：B.

7.(5分)函数f(x)=cos3x-4sin2x在区间「2024n,2024n］内所有零点的和为()

A.OB.-2024兀C.10127ID.-1012TI

【解答】解：依题意，f(x)=cos(2x+x)-4sin2x=cos2xcosx-sin2xsinx-8sinxcosx

=(l-2sin2x)cosx-2sin2xcosx-8sinxcosx=cosx(l-4sin2x-8sinx),

由f(x)=0,

得cosx=0可戈sinx=与4^sinx=二纪(不符合题意，舍去)，

又函数y=cosx是偶函数，

则在［-2024Ji,2024口］上的所有零点关于数0对称，它们的和为0,

正弦函数尸sinx的周期为2Ji,

方程sinx=a(0<a<l)在［0,2冗］的两根和为口，在［-2冗，0］上的两根和为-3口，

因此sinx=^0在［2km,2(k+1)Ji］,-1012<k^l011,keZ上的两根和构成首项为-4047无，末项

为4045n的等差数列，共有2024项，

所有根的和为-2024n.

Wfi：B.

8.(5分)过抛物线C:产4x焦点F且斜率为J3的直线与C交于A、B两点，若PF为APAB的内角平

分线，则4PAB面积最大值为()

A.勺日/C.乎D.16

Ra

【解答】解：抛物线cy=4x焦点F(l,0),直线AB的方程为y=J3(x-1),

由卜=6(x_l),解得.

(y；ZU不妨令竭一皑AS。)，

(y2=4x

皿"DI16四3+1-由PF为△PAB的内角平分线

则网=/1+3+1=多嗣=柒…

|尸川^PA\-\PF\sin^APFSi1,,2占.、

得上----=1---------------------------=----------=-------=3iR点P(x,y),

\PB\i|PB|-|PF|sinzBPFS&BPF旧户|

于是J(x_3)2+(y_2>/I)2=3J(x_+&+竽)2,

整理得x2+(y+d3)2=4,显然点P在以点(o,-J3)为圆心，2为半径的圆上,

因此点P到直线AB距离的最大值为2,

,11616

所以4PAB面积最大值为刁X2X—=

故选：B.

二、多选题

（多选）9.（6分）要得到函数y=sE（2x+叙的图象，可将函数尸inx的图象（）

A.向左平移多二TT个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍

£

B.向左平移多为个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的勺：

C.纵坐标不变，横坐标变为原来的向三再将所得图象上所有点向左平移3卫彳个单位长度

7A

D.纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将所得图象上所有点向左平移多卫个单位长度

3

【解答】解：对于A,所得解析式为y=s加&x+§,A错误；

对于B,所得解析式为y=sinQx+以B正确；

对于C,所得解析式为y=s叫2（x+^）］=sin（2x+4）,C正确；

对于D,所得解析式为y=$»遍（*+切=sin（；x+，D错误，

故选：BC.

（多选）10.（6分）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有2,5,7,70四个数字，抛掷一次并记录

与地面接触面上的数字，记事件”数字为2的倍数”为事件A,“数字是5的倍数”为事件B,“数字是

7的倍数”为事件C,则下列选项不正确的是()

A.事件A、B、C两两互斥

B.事件AUB与事件BNC对立

C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

D.事件A、B、C两两独立

【解答】解：质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有2,5,7,70四个数字，抛掷一次并记录与地

面接触面上的数字，

记事件“数字为2的倍数”为事件A,“数字是5的倍数”为事件B,“数字是7的倍数”为事件C,

依题意抛掷一次可能出现的结果有2、5、7、70,

事件A包含的基本事件有2、70,则P(A)=,=]

事件B包含的基本事件有5、70,则出=：=；

事件C包含的基本事件有7、70,则jp(c)；

显然事件A与事件B,事件A与事件C,事件C与事件B均可以同时发生，

故事件A与事件B,事件A与事件C,事件C与事件B均不互斥，故A错误；

事件AUB包含的基本事件有2、5、70,

事件BNC包含的基本事件有70,

当出现70时事件AUB与事件BNC均发生，故事件AUB与事件BNC不互斥，

显然不对立，故B错误；

又事件ABC包含的基本事件有70,所以p(/BC)=J

所以P(ABC》P(A)P(B)P(C),故C错误；

因为事件BC包含的基本事件有70,所以P(BC)=：=P(B)P(C：，所以B与C相互独立；

因为事件AB包含的基本事件有70,所以P(AB)=1=P(B)P(A：所以B与A相互独立；

因为事件AC包含的基本事件有70,所以PQ4C)=；=P(4)P(C)，所以A与C相互独立；

即事件A、B、C两两独立，故D正确.

故选：ABC.

(多选)11.(6分)已知数列{an},{bn},满足册十]=4+工=b+；(n€N*>al=b=l,当应2

anDn

时，an^n,则()

A.a32>8

B.%+】+£>%+£

C.an+1+bn<bn+l+an

D.(an+an+1)(bn+bn+1)之4

s=

【解答】解：由册+ia九+~hn+(nGN*)»〃i=bi=l,

所以a2=at+—=2»又Qn+i=On+-显然an>0,所以%+1-a=—>0,

ujUnUnn

所以｛an｝单调递增，贝必_：单调递减，

即an+l-an>an+2-an+1,所以2an+1〉an+2+an①，

由+自如+2=%+去=">0)

即an、bn为关于x的方程x2-kx+l=0的两根，所以anbn=l,

即册=2匕+】=磊b=l,贝帆+1=占代入①得&+i+含/故B正确;

11

当n>2时，an+1=an+—,所以成+i=欣+2+熊

所以碎+i—Q：=2+2>2,

所以a2-a2T〉2,an_l_an_2>2,,,,,a2-a2=3,

所以a2-a2〉2nT,则a2〉2n,

所以a32〉2X32=64,所以a32〉8,故A正确；

因为｛an｝单调递增，所以an+l>an,又因为函数f(x)=x-［在(0,+一)上单调递增，

11

所以册+i--—>a-―,

nan

所以cm+1-bn+1>cm-bn

所以an+l+bn〉an+bn+l,故C错误；

因为(an+an+1)(bn+bn+l)=anbn+an+lbn+anbn+l+an+lbn+l

=2+an+1bn+anbn+l>2+2^/an+1bnanbn+1=4,

当且仅当an+lbn=anbn+l时取等号，故D正确.

故选:ABD.

三、填空题

12.(5分)(/+i)(2x一3’的展开式中常数项为16一*

【解答】解：依题意，(2x-J，展开式的常数项为ycf(2x)2(-1)2=24

含/2的项为c：(2x)i.(-1)3=_]

所以(#z+l)(2x—9)4的展开式中常数项为11X24+/(一今=16

故答案为：16.

13.(5分)若7a=，，b=tanc=/n||则a,b,c的大小关系为c<a<b(用号连接).

【解答】解：令函数f(x)%nx-x,xE(0,1),求导得/㈤=加力。霓尸叫T=3TX

即函数f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)>f(o)=o,贝叫/(焉)〉C，即|1b=tan强〉卷>金=a

1

令函数g(x)=In(x+l)-x,x£(0,1),求导得切'(X)=8万一1<C

即函数g(x)在(0,1)上单调递减，g(x)<g(0)=0,则g层)vo，即c=ln尝〈去V+=a

所以a,b,c的大小关系为c<a<b.

故答案为：c〈a〈b.

14.(5分)数学家GeminadDandelin用一平面截圆锥后,在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别

与圆锥侧面、截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆(如图称为丹德林双球模型).若

圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成60°角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为立

【解答】解：令两个球6,02分别与截面相切于点E,F,在截口曲线上任取一点H,过点H作圆锥

的母线，

分别与两个球相切于Q,P,HQ,HF均为球01的切线，则HQ=HF,同理HE=HP,

因此HE+HF=HP*HQ=PQ>EF,由切点P,Q的产生方式知,PQ长为定值,

于是截口曲线上任意点H到定点E,F的距离和为定值，该曲线是以点E,F为焦点的椭圆，

作出几何体的轴截面，如图，设SA=2,依题意，ZS=60°,ZSAB=30°,

贝|J/SBA=9O°,SB=1,AB=J3,椭圆的长轴长2a=AB=V3,半焦距为c,

则a—c=BF—S"=%1,因此©—1所以离心率e=£=*

'"Sy22，a3

故答案为：—.

a

15.(13分)已知函数f(x)=eax-ex-b在x=0处的切线为x轴。

(1)求a,b的值；

(2)求f(x)的单调区间.

【解答】解：(1)因为f(x)=e4x-ex-b,所以f(x)=aeax-e,

依题意知，出0)=0且f(0)=0,

所以仪解得｛、；•

(2)由(1)可得f(x)=eex-ex-l函数的定义域为R,

又f(x)=ex+l-e=e(eexT),

令g(x)=f(x)=eex+l-e,则g'(x^exy>。，所以g(x)在定义域R上单调递增，即f(x)

在定义域R上单调递增，

又f(0)=0,所以当x〈0时f(x)〈0,当x〉0时f(x)>0,

所以f(x)的单调递减区间为(-0,0),单调递增区间为(0,+0).

16.(15分)如图所示,五面体ABCDE中,AB±BC,四边形ABDE为平行四边形，点E在面ABC内的

投影恰为线段AC的中点，AE=AC=2AB=2.

(1)求五面体ABCDE体积;

(2)求平面AEC与平面DBC夹角的余弦值.

【解答】解：(1)因为点E在面ABC内的投影恰为线段AC的中点，作EO,AC垂足为0,则E0,平

面ABC,

因为AE=AC=2AB=2,所以4EAC为等边三角形，所以E0=722-12=V3,

又AB_LBC,所以BC=VAC2-AB2=V3,

过点E作AC的平行线EF,过点D作BC的平行线交EF于点F,

又四边形ABDE为平行四边形，所以ABC-EDF为三棱柱，

则以BC-DFE=S^ABC'E°=2XV3X1XV3=2

又三棱锥C-DEF的体积是三棱柱ABC-EDF的体积的匚、

所以五面体ABCDE的体积是三棱柱ABC-EDF的体积的勺二，

所以五面体ABCDE的体积y==]

(2)由(1)知E0_L平面ABC,在平面ABC内过点0作0M_LAC交BC于点M,

如图建立空间直角坐标系，

则A(O,-1,O),C(O,1,O),B亭T，0),E(0,0,d3),

XAB=ED,所以聘,1八)，

所以CB=(9，—0),CD=(学，-J3),

又平面AEC的法向量可以为『1,0,0),

设平面DBC的法向量为HF(x,y,z),则inLCB,m±CD,

3

732X-y=o

m-CB=2

则T-V32X1

-

m-CD=2

设平面AEC与平面DBC夹角为6，则cos。=|mn|_3_3/13

ImMnllx/1313

2

17.(15分)过双曲线E:4r•一y2=i的右焦点F作斜率相反的两条直线11、1,L与E的右支交与A、B

两点，12与E的右支交C、D两点，若AC、BD相交于点P.

(1)求证：点P为定点；

⑵设AC的中点为M,BD的中点为N,当四边形ACBD的面积等于［MN?时，求四边形ACBD的周

长.

2

【解答】解：(1)证明：易知双曲线E:=1的右焦点F(2,0),

由I与E的右支交与A、B两点，b与E的右支交C、D两点，

设直线I的斜率为k(kNO),则直线li:y=k(x-2),

y=k(x—2)

由1、2得(1-3k2)x2+12k2x-12k2-3=0,

(T-y2=1

设A(xl,yi),B(x2,y2),不妨设xi>x2,

4-3k2云o

A=144k4-4(1-3k2)(-12fc2-3)>0

则“x,+x2=—X)>解得k<"—卓或k>坐,

3kz-l"'

又1■，与I2斜率相反，即U与L关于x轴对称，又AC、BD相交于点P,

则A点与D点对称，B点与C点对称，则AC与BD也关于x轴对称，

根据对称性可知P点一定在x轴上，设P(m,0),又C(x2,-y2),

Vl-Vo

所以=——,所以2xlx2+4m=(2+m)(xi+x2),

x1-mx7-m

所以直线AC、BD相交于点pQ,0).

(2)依题意四边形ACBD为等腰梯形，MN为梯形的中位线，

设BC、AD与x轴的交点分别为G、H,则MNXGH,且MN与GH互相平分,

所以S/ICBO=(M。什啜“砌=|MN|-\GH\=|MN|2,

所以|MM=|GH,则四边形MGNH为正方形，

所以MG〃AB且斜率为1,

则］=x—_2.得2xJ12x+15=0,解得％1=绮&4七=与四

所以直线li:y=x-2,2

%—y=i

则yi=Xx-2=

所以4(竽，喑B峥,空：

则也学，与&c(竽，弩6

所以|AC|=J(竽-竽/+(苧一专》=V10

|BC|=2(--y^)=y[6—2中|4D|=2(空步)=V6+2

所以四边形ACBD的周长为2V6+2V10.

18.(17分)2024年初，多地文旅部门用各种形式展现祖国大美河山，掀起了一波旅游热潮.某地游乐园

一迷宫票价为8元，游客从A处进入，沿图中实线游玩且只能向北或向东走，当路口走向不确定时，

用抛硬币的方法选择，硬币正面朝上向北走，否则向东走(每次抛掷硬币等可能出现正反两个结果)直

至U从X(X=1,2,3,4,5,6,7)号出口走出，且从X号出口走出，返现金X元.

(1)随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表：

男性女性总计

喜欢走迷宫121830

不喜欢走迷宫13720

总计252550

判断能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关？

附：K2=a+b)C+d-ao0o+

P(K22o)0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

⑵走迷宫“路过路口B”记为事件B,从“X号走出”记为事件Ax,求P(As|B)和P(B|A4)的值;

(3)设每天走迷宫的游客为500人，则迷宫项目每天收入约为多少？

2

【解答】解：(1)根据列联表中的数据可得就2=当看聿蹙=3<3,84百

所以不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关;

(2)依题意当路口走向不确定时，用抛硬币的方法选择,

1

所以向北与向东走的概率均为

由A到路口B需向北走2个，向东走3个路口，则不同路线有C｝条，

所以P(B)=废x(；)5=W，

事件AsB表示从A出发经过路口B最后从5号路口走出，

则P(&B)=集Xx盘X(1)3=磊，

所以pg|B)=舞9=罩=/

P(B|A4)表示从A出发最后从4号路口走出的条件下经过路口B的概率，

"(4)=4X(1)8=焉P(4B)=C1X(J)5XCjx(妒=卷

所以P(B|4)==嬖=决

'4"ITS

(3)依题意从X(X=1,2,3,4,5,6,7)号出口走出，返现金X元，

所以每名游客游玩一次游乐园收入可能取值为Y=8-X,

所以p(y=7)=Gx6)8+&)7=^

p(y=6)=c"(扔埸

p(y=5)=cix(*^p(y=4)=cfx(；)8=*

P(y=3)=Cfx(；)8=^p(y=2)=可、&)8=怒

P(Y=l)=Gx©8+©7=急

所以每名游客游玩一次游乐园收入的期望为：7><与+6乂思+5乂悬+4乂乌+3乂思+2,

zhnzhnzSnZbnzhn

28,9,

两+41X双=4

每天走迷宫的游客为500人，则迷宫项目每天收入约为500X4=2000元.

19.(17分)已知平面内定点A(0,1),P是以0A为直径的圆C上一动点(0为坐标原点).直线OP与

点A处C的切线交于点B,过点B作x轴的垂线BN,垂足为N,过点P作x轴的垂线PQ,垂足为Q,

过点P作BN的垂线PM,垂足为M.

(1)求点M的轨迹方程1;

(2)求矩形PMNQ面积的最大值;

⑶设M的轨迹「，直线x=-n,x=n(nEN*)与x轴围成面积为人，甲同学认为随n的增大，人也

会达到无穷大，乙同学认为随n的增大人不会超过4,你同意哪个观点，说明理由.

【解答】解：⑴设点M(x,y),依题意，直线AB的方程为y=l,B(x,l),显然点P与0不重合,

当点P与点A不重合时，连接AP,由P是以0A为直径的圆C上一点，贝ljAP_LOP,

由AB//x轴，得△AOBsapOAsQPO,则四1=幽幽=幽