2025年高中数学必修二立体几何核心考点讲义

第1讲空间几何体

一、空间几何体

1、空间几何体

在我们周围存在着多种各样的物体，它们都占据着空间的一部分。假如我们只考虑这些物体的形状和大小，而

不考虑其他原因，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。

2、多面体和旋转体

多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个

面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

旋转体：由一种平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转几何体。这条定

直线叫做旋转体的轴。

圆台圆柱-圆锥

圆柱+圆锥圆台+大圆锥-小圆锥

二、柱、锥、台、球的构造特性

1.棱柱

定义图形表达分类性质

有两个面互相平行，用平行的两底面多棱柱的分类一(底(1)上下底面

E,D,

其他各面都是四边5C边形的字母表达棱面)：棱柱的底面平行,且是全

\

形，并且每相邻两个柱，如：棱柱可以是三角形、四等的多边形。

\

四边形的公共边都互ABCDEF-边形、五边⑵侧棱相等

店面

侧面-----/

相平行，由这些面所AIBICIDIEIFIo形、……我们把且互相平行。

侧校1cn/

围成的几何体叫做棱ED/这样的棱柱分别侧面是平

p\IHH:2c(3)

柱。・顶点叫做三棱柱、四棱行四边形。

AB

两个互相平行的柱、五棱柱、……

平面叫做棱柱的底

面，其他各面叫做棱棱柱的分类二(根

柱的侧面。据侧棱与底面的

关系)：

斜棱柱：侧棱不垂

直于底面的棱柱.

直棱柱：侧棱垂直

于底面的棱柱叫

做直棱柱

正棱柱：底面是正

多边形的直棱柱

叫做正棱柱

2.棱锥

定义图形表达性质分类

有一种面是多边形，顶点用顶点及底面各顶点侧面是三角形，底面按底面多边形的边数

其他各面是有一种公字母表达棱锥，如：棱是多边形。分类可分为三棱锥、

共顶点的三角形，由锥S—ABC四棱锥、五棱锥等等，

这些面所围成的几何A其中三棱锥又叫四面

体叫做棱锥。体。

底AJK

特殊的棱锥一正棱锥

定义：假如一种棱锥

的底面是正多边形，

并且顶点在底面的射

影是底面中心

左边那个是正四面体.右边那个不是正四面体.

两个都是正三棱锥

正四面体是四个面都是正三角形，

正三棱锥只要底面是正三角形,其他面是等腰三角形

2.棱台

定义图形表达分类性质

用一种平行棱台用表达上、由三棱锥、四棱上下底面平行，

心、

于棱锥底面下底面各顶点锥、五棱锥…截其他各面是梯

的平面去截的字母来表达，得的棱台，分别形，且侧棱延长

棱锥，底面如下图，棱台叫做三棱台，四后交于一点。

和截面之间上底ABCD-AiBiCi棱台，五棱台…

的部分叫做Di

棱台。特殊的棱锥一

下底面

由正棱锥截得

的棱台叫正棱

台

三棱台四棱台正棱台

3.棱柱

定义图形表达性质

定义：以矩形的一边用表达它的轴的字母

所在直线为旋转轴，A，C表达，如圆柱001。

其他三边旋转形成的

曲面所围成的几何体11

叫做圆柱。；_:______轴

A

6.圆台

7.球的构造特性

1,球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球。

(1)半圆的半径叫做球的半径。

(2)半圆的圆心叫做球心。

(3)半圆的直径叫做球的直径。

2、球的表达：用表达球心的字母表达，如球0

3、球的性质

(1)用一种平面去截球，截面是圆面；用一种平面去截球面，截线是圆。

大圆一截面过圆心，半径等于球半径；小圆一截面不过圆心。

(2)球心和截面的圆心的连线垂直于截面。

=dR，-屋

(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r,有下面的关系:

解题措施：将立体中有关问题转化为平面几何问题

棱锥内由某些线段构成的直角三角形，在计算有关问题时很重要，它是将立体中有关问题转化为平面几何问题

的根据，如图2-7中的△AOE,AAOC,ZSACE及△OCE.这四个直角三角形中，若懂得AE、AC、AO、OE、0C及CE

这六条线段中的若干条时，则可以通过这些直角三角形间的关系求出其他线段.

图2-7

总结

柱、锥、台、

三、空间几何体的三视图和直观图

1、中心投影与平行投影

图1-1-2中心投寄a1-1-3平行投影

2、三视图

提醒：简单几何体的三视图可概4.技巧：本题中根据正视图和侧

正视图一一从正面看到的图

括如下：视图知，三棱锥一条侧棱与底面

侧视图一一从左面看到的图(1)棱柱：两矩形和一多边形；垂直，结合其直观图判断三视图

(2)棱锥：两三角形和一多边形；的数据在直观图中对应的几何量.

俯视图一一从上面看到的图

(3)棱台：两梯形和两多边形(多解法阐释二：将三视图还原成直

边形相似且顶点相连)；观图是解决该类问题的关键，其

(4)圆柱：两矩形和一圆；解题技巧是熟练掌握一些简单几

画物体的三视图时，要符合如下原则:

(5)圆锥：两三角形和一个带有圆何体的三视图，想象该几何体的

位置：正视图侧视图心的圆；构成，或将三个方向获得的信息

(6)圆台：两梯形和两同心圆；综合,绘制几何图形，然后检验其

俯视图

(7)球：三个大小相等的圆.三视图是否与已知相符合，确保

大小：长对正，高平齐，宽相等.1.技巧：根据几何体的三视图想无误后再进行计算.

象其直观图时，可以从熟知的某提醒：以三视图为载体考查几何

一视图出发，想象出直观图，再验体的表面积、体积，关键是能够对

给出的三视图进行恰当的分析，

证其他视图是否正确.

从三视图中发现几何体中,各元素

2.技巧：根据几何体的直观图想

间的位置关系及数量关系.

象其三视图时，若几何体是某一

熟悉的几何图形通过分割形成

的，可以将几何体还原后求解.

3.技巧：同一几何体的三视图，由

于几何体放置位置不同，几何体

的三视图也不一致.

3、直观图---斜二测画法

重点：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，环节如下：

(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点0.画直观图时，把它们画对应的X'轴与y'轴，两

轴交于点O',且使/x©y=45°(或135°),它们确定的平面表达水平面.

⑵已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于M轴或y，轴的线段；

⑶己知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为本来的二分之

例1用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.

画法；(1)在六边形ABC0EF中，取AQ所在的直线(2)以。为中心，在x'上取在y'轴上取

为渤，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于

以点N为中心,画8匕'平行于9轴,并且等于BC；再以M为中

点。画相应的V轴和y轴，两轴相交于点

心,画？r平行于V轴,并且等于EF.

使Nx'Oy'=45°.

(3)连接CD',E'F',F'A',并擦去辅助线£轴和y，轴,

便获得正六边形A8COEF水平放置的直观图

阐明：1.保持平行关系不变.

2.水平长度保持不变；纵向长度取其二分之一.

例3用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-AECD的直观图.

⑴画轴.画x轴,y轴，z轴,三轴交于点0,使Nx0y=45。,(2)画底面.以0为中心，在x轴上取线段MN,使MN=_£_cm在

Z.xOz=90°.轴上取线段PQ,使PQ=1.5cm分别过点M和N作y轴的平行

线，过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为AB,

CD，四边形ABCD就是长方形的底面ABCD

说明：先在地面上用斜二测画法

做出长方体的一个底面

(3)画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线(4)成图.顺次连接A',B；C；D',并加以整理

上分别截取2cm长的线段AA1BB；CC,DD'.(去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线),

就可得到长方体的直观图.

7

说明：平行于z轴的长度和平行的性

质都保持不变

四、空间几何体的表面积与体积

（-）空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和

2圆柱的表面积$2m+271r2

3圆锥的表面积S=7irl+711T

4圆台的表面积S—7Tvl+71丫〜+7TRI+

5球的表面积S=4%R2

。n7iR21,

6扇形的面积公式S扇形=年=2”（其中‘表达弧长’「表达半径）

（二）空间几何体的体积

1柱体的体积V=S&xh

2锥体的体积V=

3台体的体积'上S下+S下）x/z

43

4球体的体积火

第二讲点、直线、平面之间的位置关系

空间点、直线、平面之间的位置关系

一、平面

1、平面及其表达

P

AbA\Z&

2、平面的基本性质

①公理1：

Ael

Bel

>/ua/Z,/

Aea

Bea

②公理2：不共线的三点确定一种平面

Z^7£

③公理3：

Py=>1门/?=/…则P£/

Pe/?J

6

二、点与面、直线位置关系

•6

Aea

1、点与平面有2种位置关系L八

2、Bia

1>Ae/

2、点与直线有2种位置关系2、B.I

三、空间中直线与直线之间的位置关系

相交

共面〈十,-

<［平行

、异面

3、公理4和定理

公理4

定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

4、求异面直线所成角的环节：

①作：作平行线得到相交直线；

②证：证明作出的角即为所求的异面直线所成的角；

③构造三角形求出该角。

提醒：1、作平行线常见措施有：直接平移，中位线，平行四边形。

2、异面直线所的角的范围是（0°,90°］。

四、空间中直线与平面之间的位置关系

位置关系直线a在平面内直线a与平面。相交直线a与平面（Z平行

公共点有无数个公共点有且只有一种公共点没有公共点

符号表达a(^aa\a=Aaa

--------一4

图形表达4/

五、空间中平面与平面之间的位置关系

位置关系两个平面平行两个平面相交

公共点没有公共点有一条公共直线

符号表达a0a/3=a

&7^77

图形表达

AZZZ7

直线、平面平行的鉴定及其性质

一、线面平行

一b

1＞鉴定：

bHa

〃uabnb|a

ba

（线线平行，则线面平行）

2、性质：

aa

au（3a\b

ac（3=b

（线面平行，则线线平行）

二、面面平行

1＞鉴定:

au0

buB

ar\b=/3a

aa

ba

（线面平行，则面面平行）

2、性质1