2025年高考数学专项突破：几何体的内接球与外接球阿氏球等17类题型（新高考专用）

专题8-1几何体的外接球与内接球，阿氏球等17类题型

模块一、热点题型解读（目录）

【题型1］球的截面问题

【题型2】可以补成长方体的外接球模型

【题型3】直棱柱和圆柱外接球模型

【题型4】正四面体的内切球和外接球结论

【题型5】直棱锥外接球模型（一条侧棱垂直底面）

【题型6】球心在高上（圆锥形）

【题型7】圆台，棱台外接球模型

【题型8】棱锥外接球之切瓜模型（一个面垂直外接圆直径）

【题型9】两个外心+中垂线确定球心

【题型10】外接球之共斜边拼接模型

【题型11］外接球之二面角模型

【题型12］内切球之棱锥，圆锥模型

【题型13］内切球之圆台，棱台模型

【题型14］多球相切问题

【题型15］棱切球问题

【题型16］构造球解决空间中动点构成的直角问题

【题型17］阿氏球问题

模块二核心题型•举一反三

【题型1］球的截面问题

基础知识

球体的相关计算关键是找出球心到相关平面的距离，再结合勾股定理计算求值

形成方式半圆绕其直径所在直线旋转一周，如图记作：球o

大圆：经过球心的截面圆

-----

球相关概念小圆：不经过球心的截面圆半径大圆

小圆

结构性质两点间的球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长

球的小圆的圆心与球心连线垂直小圆面

【例1】（2020.全国2卷TU）已知及43。是面积为毡的等边三角形，且其顶点都在球

4

O的球面上.若球O的表面积为16心则O到平面ABC的距离为（）

A.6B.1C.1D.等

【例2】（24-25高二上•贵州遵义•阶段练习）已知A,B,C,。四点都在球。的球面上，且A,3,

C三点所在平面经过球心，AB=SZACB=^,则点。到平面ABC的距离的最大值为,

球。的表面积为.

【例3】（23-24高三下.广东江门.阶段练习）已知正四面体A-3CD的内切球的表面积为36兀，过该

四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A-BCD,则所得截面的面积为.

【巩固练习1］已知VABC是面积为当8的等边三角形，且其顶点都在球。的球面上，若球。的表

4

面积为28兀，则点。到平面ABC的距离为.

【巩固练习2】已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且

AB=BC=l,AC=e，则球的表面积是.

【巩固练习3】（2024.辽宁丹东•一模）已知球。的直径为AB,C,£＞为球面上的两点，点M在AB

上，且AM=3Ae,AB,平面MCD,若是边长为后的等边三角形，则球心。到平面3CD的

距离为.

【题型2】可以补成长方体的外接球模型

基础知识1

一、长方体外接球：长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

二、补成长方体

(1)若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如下图所示.

图1-3图1-4

(2)若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

图2-1

注：《九章算术》中的三棱锥均可补为长方体

【例1】我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥

称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，由，平面ABCD,B4=5,AB=3,BC=4,则该

“阳马”外接球的表面积为（

.125缶500万

A.----------B.50%C.100万

33

【例2】在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖腌是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，

在直角VABC中，AD为斜边BC上的高，AB=3,AC=4,现将△ABD沿AD翻折成VAB'D,使得

四面体AB，8为一个鳖膈，则该鳖腌外接球的表面积为

【例3】如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,尸分别是AB,8C的中点，将ABEF,

△DCF分别沿DE,EF,O尸折起，使得4瓦。三点重合于点A,若三棱锥A-EFD的所有顶点均

在球。的球面上，则球。的体积为（）

【例4】在四面体ABCD中，若AB=CD=6,AC=BD=2,AD=BC=5则四面体ABCD的

外接球的表面积为（）

A.2万B.4〃C.6〃D.8万

【巩固练习1】（24-25高三上•江苏泰州•期中）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖席是指四个

面都是直角三角形的四面体.在直角VABC中，AD为斜边2C上的高，AB=l,AC=G，现将△ABD

沿AD翻折成VAB'D,使得四面体AB'CD为一个鳖麝，则该鳖席外接球的表面积为（）

A5兀cL-C13兀

A.—B.57rC.3兀D.

24

【巩固练习2］将边长为2石的正方形纸片折成一个三棱锥，使三棱锥的四个面刚好可以组成该正

方形纸片，若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

【巩固练习3X2024.广东揭阳•高二校联考期中）在三棱锥S-ABC中，SA=BC=5,SB=AC=44i，

sc=AB=5,则该三棱锥的外接球表面积是（）

A.50TIB.10071C.15071D.20071

【题型3】直棱柱和圆柱外接球模型

■aifiiliM_________________________________________________

汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）

如图1,图2,图3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三

角形）

J—J

图1图2图3

第一步：确定球心。的位置，。|是AABC的外心，则OQ_L平面ABC;

第二步：算出小圆0]的半径AQ=r,0^=1^=1/z（招=//也是圆柱的高）；

22222222

第三步：勾股定理：OA=OtA+O,OR^（-）+r^R=r+（-）,解出R

【例1】已知正三棱柱ABC-44G所有棱长都为6,则此三棱柱外接球的表面积为（）

A.48兀B.60兀C.64兀D.84兀

【例2】设直三棱柱ABC-A4G的所有顶点都在一个表面积是40%的球面上，且

AB=AC=AAl,^BAC=nO\则此直三棱柱的表面积是（）

A.16+86B.8+1273C.8+166D.16+12^

【巩固练习1]（24-25高三上•安徽亳州•开学考试）已知圆柱的底面直径为2,它的两个底面的圆周

都在同一个体积为日眉的球面上，该圆柱的侧面积为（）

A.8兀B.6兀C.57iD.47r

【巩固练习2】在三棱锥尸-ABC中，PAJL面ABC,AABC为等边三角形，且PA=A3=G,

则三棱锥尸-ABC的外接球的表面积为.

【巩固练习3】已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球O,球。的表面积为阮，则该

圆柱的体积为（）

A.TlB.y[27TC.2兀D.2-J^TT

【题型4】正四面体的内切球和外接球结论

基础知识

在棱长为a的正四面体中

A

设正四面体ABCD的的棱长为“，则有

1、正四面体的高为用=逅〃

3

2、正四面体外接球半径为尺=、2〃

4

3、正四面体内切球半径为厂=—a

12

4、正四面体体积V=—

12

【例1】（2024・湖北宜昌•宜昌市夷陵中学校考模拟预测）已知正四面体ABCD的表面积为2石，且A,

B,C,。四点都在球。的球面上，则球。的体积为

[例2]（24-25高三上•广东•开学考试）外接球半径为"的正四面体的体积为（）

16A/2

B.24C.32D.48人

3

【例3】正四面体的外接球与内切球的半径比为（）

A.1:1B.2:1C.3:1D.4:1

【巩固练习1】已知正三棱锥A-3CD,各棱长均为6,则其外接球的体积为（）

9^/381V29A/29石

A.-------71B.--------兀C.D.-------71

8816

【巩固练习2】正四面体P-A3C中，其侧面积与底面积之差为2百，则该正四面体外接球的体积

为一

【巩固练习3】一个正四面体的棱长为2,则它的外接球与内切球体积之比为（）

A.3:1B.73:1C.9:1D.27:1

【题型5】直棱锥外接球模型（一条侧棱垂直底面）

基础知识1

题设：如图，平面ABC,求外接球半径.（一条侧棱垂直底面）

解题步骤：

第一步：将AA5c画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径A。，连接PD,

则P。必过球心0；

第二步：。|为AA5c的外心，所以平面ABC,算出小圆。1的半径。Q=厂（三角

形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得‘一=上=~^=2厂），OO^-PA；

sinAsinBsine2

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①（2尺尸=出2+（2「『O

2T?=7PA2+（2r）2;

②氏2=尸+。。；=9=J产+（JO；.

___JT

【例1】已知三棱锥尸-ABC的底面ABC为直角三角形，且=].若平面ABC,且AB=3,

V

PA=4,三棱锥P-ABC的所有顶点均在球。的球面上，记球。的体积和表面积分别为V,S,则《=

【巩固练习1】已知S,A,8,C是球。表面上的不同点，SAL平面ABC,AB工BC,AB=1,BC=6,

若球。的表面积为4兀，则&4=（）

A.也B.1C.0D.V3

2

【巩固练习2]2023年高考全国乙卷数学（文）T16

已知点S,A,良C均在半径为2的球面上，AABC是边长为3的等边三角形，SAL平面A3C,则

SA=.

【巩固练习3】已知三棱锥S-ABC所在顶点都在球。的球面上，且SCL平面ABC,若

SC=AB=AC=2,ABAC=120°,则球。的体积为（）

.20A□32兀20兀n32^571

A.---------B.-----\-j*--------------------

333

【题型6】球心在高上（圆锥形）

基础知识

如图5-1至5-8这七个图形，P的射影是AABC的外心O三棱锥P-ABC的

三条侧棱相等O三棱锥P-ABC的底面AA5c在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶

点.

pp

解题步骤：

第一步：确定球心。的位置，取的外心。1，则尸,0,0三点共线；

第二步：先算出小圆。］的半径AQ=〃，再算出棱锥的高尸O］=/z（也是圆锥的高）;

第三步：勾股定理：OA2=O,A2+O,O2R2^（h-R）2+r2,解出R=

2h

方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.

【注意】：若是已知外接球半径R和小圆半径r求圆锥的高，则有2个解

【例1】（2024.浙江台州•高二校联考期末）已知圆锥的底面半径为1,母线长为2,则该圆锥的外接

球的体积为.

【例2】已知三棱锥尸-ABC的各侧棱长均为2vL且A3=3,BC=g,AC=20,则三棱锥尸-ABC

的外接球的表面积为.

【巩固练习1］已知球。的体积为36兀，圆锥SO1的顶点S及底面圆。上所有点都在球面上，且底面

圆。半径为20，则该圆锥侧面的面积为（）

A.60兀B.4A/6TT或60n

C.8后或4折D.8扃

【巩固练习2】在三棱锥尸一ABC中，PA=PB=PC=3,AB=AC=2,BC=20,则三棱锥

P-ABC的外接球的半径为.

【巩固练习3】已知三棱锥S-ABC中，顶点S在底面的射影恰好是“1BC内切圆的圆心，底面AABC

的最短边长为6.若三个侧面面积分别为3月，4729,5区,则顶点S到底面ABC的距离

为;三棱锥S-ABC的外接球的表面积为.

【题型7】圆台，棱台外接球模型

基础知识

圆台，棱台外界球

基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主

尺2=22+（^——,其中分别为圆台的上底面、下底面、高.

注：若球心位置不确定，也可以直接设0Q=%，若解出来尤为负数则说明球心在02另一侧

【例1】（2024.云南.高三校联考开学考试）已知圆台的上下底面圆的半径分别为3,4,母线长为5vL

若该圆台的上下底面圆的圆周均在球0的球面上，则球。的体积为（）

250500100-125

A.-----71B.-------71C.----71D.----71

3333

[例2]2022年新高考II卷T7——台体外接球

已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3百和4石，其顶点都在同一球面上，则该球的表

面积为（）

A.100兀B.128TIC.144兀D.192兀

【例3】在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”.已知棱台48C。-AB'C'D'是一个侧

棱相等、高为1的“刍童”，其中AB=2AE=2,BC=2B'C=26,则该“刍童”外接球的表面积为

（）

A.2071B.yirC.兀D.5扃

【巩固练习1]（2024.辽宁•高三校联考期末）正四棱台高为2,上下底边长分别为2和4,所有顶点

在同一球面上，则球的表面积为（）

A.32兀B.33兀C.34TID.35兀

【巩固练习2】已知圆台的上下底面圆的半径分别为3,4,母线长为5vL若该圆台的上

下底面圆的圆周均在球。的球面上，则球。的体积为（）

250500100125

A.---兀B.------71C.------71D.

3333

【巩固练习3】我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如

图的刍童ABCD-£FG〃有外接球，^AB=473,AD=4,EH=4^,EF=4^,点E到平面

ABC。距离为4,则该刍童外接球的表面积为.

【题型8】棱锥外接球之切瓜模型（一个面垂直外接圆直径）

基础知识

如图4-1,平面PACL平面ABC,JLAfi±BC（即AC为小圆的直径），且P的射影是

AABC的外心O三棱锥P-ABC的三条侧棱相等O三棱P-ABC的底面AABC在圆锥

的底上，顶点P点也是圆锥的顶点.

解题步骤：

第一步：确定球心。的位置，取AA5C的外心。，则P,。,。]三点共线；

第二步：先算出小圆。的半径A。=r,再算出棱锥的高PO]=/z（也是圆锥的高）；

第三步：勾股定理：OA2=OjA2+OjO2^R-（A-Rf+r~,解出R;

事实上，AACP的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R.

2.如图4-2,平面PACL平面ABC,JLABXBC（即AC为小圆的直径），且

利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：@(27?)2=PA2+(2r)2O2R=^P^+(2r)2;

@R2=r2+00,oR=J产+oo；

3.如图4-3,平面尸AC,平面ABC,JLAB±BC（即AC为小圆的直径）

0C2=0(2+002=R2=r2+。。2=AC=2'R2-002

4.题设：如图4-4,平面PAC,平面ABC,JLAB±BC（即AC为小圆的直径）

第一步：易知球心。必是APAC的外心，即AR4c的外接圆是大圆，先求出小圆的直径

AC^2r；

abC

第二步：在AR4c中，可根据正弦定理二一=--=--=2R,求出R.

sinAsinBsinC

【例1】（2024・广东・惠州一中校联考）已知三棱锥P-ABC,AABC是以AC为斜边的直角三角形,

△B4C为边长是2的等边三角形，且平面ABC,平面PAC,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为

（）

人16「21=21「

A.—7iB.—7iC.—兀D.87t

332

【巩固练习1】（2024•黑龙江哈尔滨・哈尔滨三中校考模拟预测）已知某圆锥的轴截面为正三角形，

侧面积为8万，该圆锥内接于球。，则球。的表面积为.

【巩固练习2]（2024・安徽安庆•校联考模拟预测）三棱锥P-ABC中，PA=P8=PC=2后,

7T

AB=2AC=6,ZBAC=-,则该三棱锥外接球的表面积为.

【巩固练习3】在三棱锥尸-ABC中，平面ASC人平面PA3,AC，8C,点。是AB的中点,

PD±PB,PB=PD=2,则三棱锥尸-ABC的外接球的表面积为.

【题型9】两个外心+中垂线确定球心

基础知识1

垂面模型

如图1所示为四面体P-ABC,已知平面A43_L平面ABC,其外接球问题的步骤如下:

⑴找出APAB和AABC的外接圆圆心，分别记为。1和02.

(2)分别过。1和。2作平面R43和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为0.

(3)过。i作钻的垂线，垂足记为D,连接。2。，则

(4)在四棱锥A-。。］。。？中，垂直于平面O。。。?，如图2所示，底面四边形DOOR的四个

顶点共圆且0D为该圆的直径.

【例1】如图,三棱锥A-BCD中，平面ACD±平面BCD,AACD是边长为2的等边三角形，BD=CD,

/fiDC=120。.若A,B,C,。四点在某个球面上，则该球体的表面积为.

【例2】（2024.四川乐山.高二期末）已知正“1BC边长为1,将AABC绕BC旋转至ADBC,使得平

面ABC」平面BCD,则三棱锥。-ABC的外接球表面积为.

【例3】（2024•全国•高三校联考开学考试）在三棱锥尸-ABC中，平面平面ABC,底面AABC

是边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为15兀，则该三棱锥体积的最大值为.

7T

【巩固练习1】在四棱锥P-ABCD中，平面平面A3CD,且ABCO为矩形，必=5,AD=26,

AB=2,PA=PD,则四棱锥P-ABCD的外接球的体积为（）

P

333............

【巩固练习2】在三棱锥P-ABC中，平面上钻，平面ABC,PA±PB,SLPA=PB=3^,^ABC

是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为.

【巩固练习3］已知正方体ABC。-$与GR的棱长为1,尸为棱40的中点，则四棱锥尸一A8CD的

外接球表面积为（）

A.叵B.3万C.业D.坦

21664

【巩固练习4】（2024・湖北十堰•高一统考期末）如图，在平面四边形ABCQ中，

44。3=443。=5，即=5。=4,沿对角线比）将4至。折起,使平面4汨，平面比心，连接4。,

得到三棱锥A-5CD,则三棱锥A-5CD外接球表面积的最小值为.

D

C

【题型10］外接球之共斜边拼接模型

基础知识

两直角三角形拼接在一起（斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型

题设：如图，ZAPB=ZACB=9Q°,求三棱锥P-ABC外接球半径（分析：取公共的斜

边的中点。，连接OR。。，则。4=OB=OC=OP=gA3,，。为三棱锥P—A3C外接

球球心，然后在OCP中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成

的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.

【例1】在矩形ABCD中，AB=4,3C=3,沿AC将矩形A38折成一个直二面角3—AC―。，

则四面体A3CD的外接球的体积为（）

.125125「125八125

A.-----nBD.-----7iC.-----7iD.-----n

12963

【巩固练习1】（河北唐山•三模）把边长为72的正方形ABCO沿对角线AC折成直二面角D-AC-B,

则三棱锥ABC的外接球的球心到平面BCO的距离为（）

A.立B.走C.逅D.1

3232

【巩固练习2］已知三棱锥S-A3C的所有顶点都在球。的球面上，SC是球。的直径.若平面SC4L

Q

平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为§,则球。的体积为（）

-20万3271

A.4〃B.-----C.67rD.------

33

【巩固练习3】在平行四边形中，ABYBD,2AB2+5=i,将此平行四边形沿对角

线血折叠，使平面丽，平面CBD,则三棱锥A-3CD外接球的体积是

【题型11】外接球之二面角模型

基础知识

题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图6）

第一步：先画出如图6所示的图形，湍1AseD画在小圆上，找出ABCD和AA'BD的外心

区和“2；

第二步：过区和吗分别作平面38和平面的垂线，两垂线的交点即为球心。,

连接。及。。；

第三步：解AOEH］,算出OH】，在&AOCH］中，勾股定理：OH^+CH1=OC2

注：易知。〃1，石,82四点共面且四点共圆，证略.

【例1】在四面体PA3C中，PA，网，AABC是边长为2的等边三角形，若二面角尸-AB-C

的大小为120。，则四面体R4BC的外接球的表面积为（）

设13K八26兀_52兀-104K

A.—B.—C.—D.——

9999

【例2】（2024・四川南充・二模）已知菱形ABC。中，对角线BD=2,将△ABD沿着8。折叠，使得二

面角A-3。-C为120。，AC=3,则三棱锥A-3co的外接球的表面积为.

［例3］长沙市雅礼中学2024届高三月考（二）T16

已知菱形ABCD中，对角线2。=2百，将△ABD沿着8。折叠，使得二面角A-C为120°,

AC=3万，则三棱锥A-3CD的外接球的表面积为.

【巩固练习1】在四面体ABCD中，AABC与△BCD都是边长为6的等边三角形，且二面角A-

的大小为60°,则四面体ABC。外接球的表面积是（）

A.52兀B.54兀C.56兀D.60兀

【巩固练习2】（2024•广东•校联考模拟预测）已知四棱锥S—A5a）,SAJ_平面

ABCD,AD1DC,SA=3指,BC=4,二面角S-8C-A的大小为g.若点S,A,B,C,D均在球。的表面

上，则该球。的表面积为（）

【巩固练习3】（23-24高三下•重庆沙坪坝•阶段练习）如图，在三棱锥尸-ABC中，PA=PB=5

CAYAB,AB=AC=2,二面角尸-AS-C的大小为120。，则三棱锥尸-ABC的外接球表面积

B

【巩固练习4】（2024•湖南岳阳•统考三模）己知三棱锥。-ABC的所有顶点都在球。的球面上，

AD±BD,AC±BC,^DAB=ZCBA=300,二面角。一AB—C的大小为60。，若球。的表面积等于

36兀，则三棱锥。-ABC的体积等于（）

B27g

A.73

-8

D,也

C.不

3

【题型12］内切球之棱锥，圆锥模型

基础知识

锥体的内切球问题

1.题设：如图，三棱锥P-ABC上正三棱锥，求其内切球的半径.

第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心；

第二步：求DH=工8,PO=PH-r,P£）是侧面AA8P的高；

3

0EPO

第三步：由APOE相似于建立等式：——=—,解出r

DHPD

2.题设：如图8-2,四棱锥P-A3C是正四棱锥，求其内切球的半径

第一步：先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；

第二步：求=PO=PH-r,PF是侧面APCD的高;

2

第三步：由APOG相似于APW,建立等式：一=—,解出

HFPF

3.题设：三棱锥P-ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法）

方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等

第一■步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；

第二步：设内切球的半径为广，建立等式：Vp-ABC=%-ABC+%-PAB++%-PBC=

r

^P-ABC=gS1sABC.'+§SpAB.'+gS/>AC.'+'JPBC''=§^AABC+^&PAB+PAC+^APBc)'

第三步:解出，一+s一有一

0O-ABC丁^O-PAB丁0O-PAC丁0O-PBC

【例1】（2024•天津・统考二模）已知一个圆锥的高为4,底面直径为6,其内有一球与该圆锥的侧面

和底面都相切，则此球的体积为（）

C.如

A.12万B.97rD.3万

【例2】圆锥S。（其中S为顶点，D为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1,则圆锥

S。与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为

A.9:32B.8:27C.9:22D.9:28

【巩固练习1】已知圆锥的底面半径为2,高为4形，则该圆锥的内切球表面积为（

A.4万B.40兀C.8后万D.8%

【巩固练习2】（2020.全国.统考高考真题）已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该

圆锥内半径最大的球的体积为.

【巩固练习3］已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4,圆心角为|■的扇形，将该圆锥加工打磨成一

个球状零件，则该零件表面积的最大值为（）

【题型13］内切球之圆台，棱台模型

基础知识

首先需要明确，并不是所有的圆台都有内切球，如果一个圆台又矮又胖，最多只能找到一个与上下

底面相切的球，无法做到与所有母线相切，圆台内切球指的是与圆台上下底面和每条母线均相切的

球。如下图所示：

此时圆台的上下底面圆的半径与圆台的高必须满足一定关系，下面进行详细分析，为了分析方便,

采用平面辅助法，上图的轴截面如下：

假设上底面圆半径为2下底面圆半径为九，内切球半径为R,圆台的高为瓦母线长为上图轴

截面是等腰梯形的内切圆，点E,F,G为切点，可得如下全等关系：

OG=OEOG=OF

<二>RtAOAG=Rt^OAE;\=4>Rt^ODG=RtAODE

OA=OAOD=OD

由射影定理可得：AG-DG=0G~R2=

【例1】（2024•广东深圳•统考一模）已知某圆台的上、下底面半径分别为大。且4=2小若半径为

2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（）

【例2】若圆台的上、下底面圆半径分别为1、2,。1、。2分别为圆台上下底面圆心.若该圆台

存在内切球，则该圆台的体积为.

【巩固练习1]（2024・湖北咸宁•统考期末）已知球。内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及

侧面均相切），且圆台的上、下底面半径々：2=2:3,则圆台的体积与球的体积之比为（）

【巩固练习2】（汕头一模）如图，在正四棱台ABCD-ABCQ中，AB=4,4月=2,若

半径为厂的球。与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积$=.

【巩固练习3]一个封闭的圆台容器（容器壁厚度忽略不计）的上底面半径为2,下底面半径为12,

母线与底面所成的角为60。.在圆台容器内放置一个可以任意转动的正方体，则此正方体棱长的最大

值是（）

A.4A/3B.8C.5A/3D.10

【题型14]多球相切问题

基础知识

处理多个球的切接问题时一般①通过连球心构造“球心截面”降维解题②通过连球心构造“球心几

何体”将抽象问题具体化.

【例1】已知正四面体的棱长为12,先在正四面体内放入一个内切球。「然后再放入一个球。2,使

得球Q与球。1及正四面体的三个侧面都相切，则球。2的体积为（）

A."兀B.2y/3nC.2也itD.6n

【例2】（2024•浙江温州•乐清市知临中学校考二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路,

遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾

构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内

切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知

正四面体ASCD棱长为2而，则模型中九个球的表面积和为（）

c31兀

A.6兀B.9兀C.—D.21兀

4

【巩固练习1】如图，在一个底面边长为2,侧棱长为质的正四棱锥P-A8CD中，大球。1内切于

该四棱锥，小球。2与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球。2的表面积为

【巩固练习2］棱长为2后的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个

小球，则这样一个小球的表面积最大为（）

A.-B.兀C.>/2TID.A/3TI

【巩固练习3］如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三

个面均相切，若AB=12,则该模型中一个小球的体积为（）

A

口•甯

C.V6TI

【巩固练习4】南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中记载了“三角垛”.如图，某三角垛

最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，每个球的半径相等，且相邻的球都外切，记

由球心A,B,C,。构成的四面体的体积为匕，记能将该三角垛完全放入的四面体A-qGR的体

V.

积为匕，则才的最大值为_________.

V2

【题型15］棱切球问题

基础知识

方法：找切点，找球心，构造直角三角形

【例1】已知正三棱柱ABC-A耳G的体积为18,若存在球。与三棱柱ABC-的各棱均相切,

则球。的表面积为（）

A.8%B.12%C.16万D.18〃

【例2】已知球。与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球。2,则球。।与球。2的表面积

之比为（）

A.2：3B.3：2C.72:73D.括:&

【例3】已知某棱长为20的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之

比为（）

3B.：C.?

«-----

2

【巩固练习1】正四面体的棱长为4,若球。与正四面体的每一条棱都相切，则球。的表面

积为（）

A.27rB.8兀C.迪万

D.1271

3

【巩固练习2】已知正三棱柱ABC-ABC（底面为正三角形且侧棱与底面垂直），它的底面边长为2,

若存在一个球与此正三棱柱的所有棱都相切，则此正三棱柱的侧棱长为