2025年高考数学一轮复习专练：三角函数与解三角形综合测试卷（新高考专用）

第四章三角函数与解三角形综合测试卷

（新高考专用）

（考试时间：120分钟;满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（2024•陕西安康•模拟预测）若sin（a—20。）=」^当行，则sin（2a+5（T）=（）

tan20—V3

A.-B.--C.--D.-

8888

【解题思路】根据三角函数恒等变换化简已知可得sin（a-20。）=-5,再利用诱导公式和二倍角公式求值.

【解答过程】根据题意，sin（a-20。）=*泮方=.等。

tan20—73sin20—V3cos20

sin20°cos20°_sin20°cos20°_sin20°cos20°_尹n4°_1

-2Qsin20。手os20）-2sin（-40°）--2sin40°--2sin40°-7，

而sin（2a+50°）=sin（2cr—40°+90°）=cos2（a—20°）

=1-2sin2（a-20°）=1-2x（

故选：D.

2.（5分）（2024•江西宜春•模拟预测）已知•，tan（；+a）=；tan《一a）,则；=（）

A.6+4V2B.6-4V2C.17+12V2D.17-12夜

【解题思路】由已知先利用和差角的正切公式进行化简可求tana,然后结合二倍角公式及同角基本关系对

所求式子进行化简，即可求解.

【解答过程】因为atang+a）=|tang-a）,

r-ri1+tana11—tana,_.

所以H-----=-x-----，tana<-1,

1—tana21+tana

解得tana=-3—2四或tana=—3+2V2(舍)，

则^^=，后+皿2°广山小。=iaan2a_2tana+1)

4cos4a4cos'a4

=-[(tana1—I)2=-(—3—2V2-1)2=6+4V2.

故选：A.

3.(5分)(2024・四川自贡•三模)函数/(%)=Zsin(3%+0)(,&)>0,\(p\<的部分图象如图所示，f(x)

的图象与y轴交于河点，与％轴交于。点，点N在/(%)图象上，点M、N关于点C对称，下列说法错误的

是()

A.函数/(%)的最小正周期是1T

B.函数/(%)的图象关于点传,0)对称

C.函数f(久)在(冶，-J单调递增

D.函数/(久)的图象向右平移后，得到函数或久)的图象，则或久)为奇函数

【解题思路】A选项，根据“、N关于点C对称得到C点横坐标，从而得到最小正周期T=it；B选项，根

据-x)的图象关于点(-2。)对称和最小正周期得到B正确；C选项，求出3=^=2,将隽,4)代入解析

式求出0=泰A>0,从而利用整体法判断出外x)在—习不单调；D选项，求出g(x)=4sin2x,得到

其奇偶性.

0+红

【解答过程】A选项，点M、N关于点C对称，故税=年=]

设f(x)的最小正周期为7,则防=弓一(一9=9故7A正确；

Z3\o/Z

B选项，可以看出函数f(x)的图象关于点(-20)对称，

又/(%)的最小正周期T=n,

故函数/(x)的图象关于点(自,0)对称，B正确；

C选项，又3＞0,故3=午=2,

盘舁=A,故将倨⑷代入解析式得Asin（2Xs）=4

解得W+0=]+2MI,kE.7if

又|0|＜会故当且仅当k=0时，满足要求，故9=全

又当％=0时，/(%)=Zsin]>0,故Z>0,

则/(%)=Asin(2x+§,

当“e(一尹己)时，2X+江(一早0),

由于y=sinz在ze(一0)上不单调，

故/(久)=Asin(2x+§在x€(—],—§上不单调，C错误；

D选项，g(x)=Asin卜尤+]-§=Zsin2x,定义域为R,

又g(-x)=Xsin(—2%)=—Xsin2x=—g(x),g(x)为奇函数，D正确.

故选：C.

4.（5分）（2024・陕西安康•模拟预测）已知函数/（久）=1—25也2（3%+£）（3〉0）在（0吟）上有且仅有两

个零点，则3的取值范围是（）

AB,《用C.£引D.[^]

【解题思路】利用降幕公式降幕，结合余弦函数的图象特征，可得关于3的不等式，即可求得实数3得取值

范围.

【解答过程】函数f(x)-1-2sin2(a)x+2)=cos(2a)x+(3>0),

由xe(0弓)，得23x+]C+g),

要使函数f(x)=1-2sin2(3%+§(3>0)在((J,])上有且仅有两个零点,

所以23X+T=M与，贝氏3+江得，争，得：＜34薮,

3NZDLL。。

即3的取值范围是（[？].

OO

故选：B.

5.（5分）（2024•天津北辰•三模）已知函数/（久）=V^sin2%cos2%+cos22%,则下列结论不正确的是（）

A./（%）的最小正周期为］

B.f（x）的图象关于点管,号对称

C.若/（x+t）是偶函数，则力=巳+争fcez

D./⑺在区间［。用上的值域为［0,1］

【解题思路】A项，化简函数求出3,即可得出周期；B项，计算出函数为0时自变量的取值范围，即可得

出函数的对称点，即可得出结论；C项，利用偶函数即可求出t的取值范围；D项，计算出xe［05］时4x+］

的范围，即可得出值域.

【解答过程】由题意，

在/（%）=V3sin2xcos2x+cos22》中，

/（%）=y-sin4x+|cos4x+1=sin（4%+：）+［，

A项，（i）=4,T=—=7，A正确；

32

B项，令4%+£=Mi,得％=?一三）

6424

当k=1时,x=

所以汽x）的图象关于点（胃，5对称，故B正确；

C项，/'（%+t）=sin1工+生+习+：是偶函数，

**•4t4—=—Ffcn,fcGZ,

62'

解得：t=^+=,kcZ,故C正确；

124

D项，当xe［o,；］时,4x+V/,朗,

所以sin（4%+］）E［-pl］,

所以/（%）在区间［0用上的值域为［0,4,故D错误.

故选：D.

6.（5分）（2024•江西上饶•模拟预测）在44BC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,已知A=y,sinB=等"=5,

则△ABC的面积为()

A.—B.—C.—D.15V3

422

【解题思路】根据题意，利用正弦定理，求得a=7,再由sinC=sin(X+B)=sin^cosB+cos^sinB,求得

sinC,结合三角形的面积公式，即可求解.

【解答过程】在aABC中，因为4=3，sinB=^,6=5,

314

可得sinA=cosA=—且cosB=廿，

(-.2n

由正弦定理得a=驾=一箸=7，

smB5V3

14

又因为4+8+C=n,

可得sinC=sin(4+B)=sinAcosB+cosXsinB=—x——,

k721421414

所以△ABC的面积为S=-absinC=ix7x5x—=—.

22144

故选：A.

7.(5分)(2024•青海海南•二模)已知函数“久)=cos(wc-,3>0,久eR,且f(a)=-1"的)=0.若|a-

的最小值为力则“久）的单调递增区间为（）

【解题思路】先求出函数的周期，再求出3,求出函数八吗的解析式，再结合余弦函数的性质，即可求

解.

【解答过程】函数/(x)=cos(3x-1),3>0,xeR,且f(a)=—1,"?)=0,|a—0］的最小值为:,

则/=所以T=TT,故g=TT,所以3=2,所以/(X)=cos卜X—

令2/m—K<2x--<2kjt,kEZ得—-+/CTI<X<-+kn,kEZ,

336

故f（x）的单调递增区间为卜l+k^+kT^,k&Z.

故选：A.

8.（5分）（2024•全国•模拟预测）已知是锐角三角形，内角4,B,。所对应的边分别为q,6,c.若

a2-b2=be,则-"的取值范围是（）

A.(y,y)B.(2-V3,1)C.(2-V3,V2-1)D.(V2+l,V3+2)

【解题思路】由余弦定理和正弦定理，结合正弦和角公式得到sinB=sin(4-B),结合△ABC为锐角三角

形，得到4=23,故再利用正弦定理得到==4.求出取值范围即可.

64a+c4cos2cos8—1

【解答过程】因为小—b2=be,得4=fa2+be.

22

由余弦定理得层=b+c—2bccosAf

所以乂+he=h2+c2-2bccosA,即8=c—2bcosA.

由正弦定理得sinB=sinC-2sinBcos4,

因为C=TT—(X+B),则sinC=sin(4+B)=sinZeosB+cos/sinB,

所以sinB=sinXeosB-cos^sinB,即sinB=sin(X—B).

因为△4BC是锐角三角形，所以0<4<最0<B<=所以冶<4—B<].

又丫=5位在(—记)上单调递增，所以B=4—B,则a=28.

因为△4BC是锐角三角形，所以0<A=2B<^,0<C=ir-3F<p

所以汴B/

由正弦定理得-匕=加8=——陋——=—陋_

a+csinZ+sinCsin2B+sm(n-3B)sin2B+sin3B

sinB1

sin2B+sin2BcosB+cos2BsinB2cosB+2cos2J5+2cos25—1

_____________1__________

4cos2B+2cosS-19

令cosB=3因为：VBV^,所以CW住，与.

y=4t2+2t-l=4(t+)-证te停电上单调递增，

当七=净寸，y=1+V2,当1=争寸，y=2+V3,

故高=6岛，&)=(2-V3(V2-1)

故选：C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.(6分)(2024・河南周口•模拟预测)设a€(0万)，£€(0(),则下列计算正确的是()

A.cos(cr+/?)<cos(a—0)

B.若sin(a+E)cos(a+9)=—3,则tana=2

C.若tana+tan£=,贝!]—a=

cosa2

D.若上"+二一=0,则a+£=到

1+sin2atan'4

【解题思路】由两角和差的余弦公式判断A,利用二倍角公式及同角三角函数关系判断B,化弦为切，结合

两角和差的正余弦公式求解判断C,利用二倍角公式及三角恒等变换化简求解判断D.

【解答过程】对于A,因为aE(0《),B£(0^),则cos(a+/?)=cosacos^—sinasin6,cos(a—0)=

cosacosjff+sincrsin/?,故cos(a—S)—cos(a+/?)=2sinasin?>0,

所以cos(a+S)Vcos(a—/?),正确；

对于B,因为sin(a+3)cos(a+；)=|sin(2a+])=1cos2a=—所以cos2a=--1,

而cos2a=1—2sin2q,所以sin2a=|,又a€(0*),所以sina=乎,cosa=-y,

所以tana=&\错误；

对于C,由tana+tan^=-^—得，+=所以sinacos/?+cosasin£=cos£,

cosacosacospcosa

即sin(a+S)=sin俱一S),因为a£(0q)，/?£(0弓)，所以n+/?E(0,冗)《—一€(0片),

则a+/?=]-或a+S+=m即a+20=]或a=](不合题意，舍去)，错误;

cos2a1cos2a—sin2acoscos2a—sin2a+coscosa—sinacos

对于D,---------1-----+。。。

1+sin2atan£l+2sinacosasin。(sina+cosa)2sin/?sina+cosasin。'

cos2a所以cosa—sina+cos/?

因为+=0.=0,

1+sin2aisina+cosasinQ

即cosasin)?—sinasin/?+sinacos^?+cosacos/?=0,即sin(a+/?)+cos(a+/?)=0,

所以V^sin(a+£+；)=0,即sin(a+£+：)=0,

因为a+£€(0,TI),所以a+/?+[€

所以a+S+：=Tt,所以a+S=弓，正确.

故选：AD.

10.(6分)(2024•山东荷泽•模拟预测)已知函数g(%)=sin(3%+@)(0<3<4,0<9Vn)为偶函数，将

g(x)图象上的所有点向左平移1个单位长度，再把图象上所有点的横坐标变为原来的号得到函数/0)的图象,

若f(x)的图象过点(0,会，则()

A.函数/(%)的最小正周期为1

B.函数人%)图象的一条对称轴为“总

C.函数/(%)在(1,［)上单调递减

D.函数在(0,2上恰有5个零点

【解题思路】由g(x)为偶函数得0=］再由图象变换结合已知求出3,即得/•(%),然后借助余弦函数的图

象性质逐项判断即得.

【解答过程】由函数9(乃为偶函数，得wE+kTT,kCZ,而O<0<m则9=今

因此/'(%)=sin(2wx+-+-)=cos(2a>x+-),/(0)=cos-=—,

62662

由0V3V4,得OV^vj于是m=3解得3=11,则/(%)=sin(2n%+m),

63666

对于A,函数/(x)的最小正周期为7=工=1,A正确；

对于B,f信)=cosg=g于±1,函数f(x)图象关于x=］不对称,B错误；

对于C,当l<x<%寸，等<2m+汴等，而余弦函数y=cosx在(等，察)上单调递减，

因此函数/(X)在(琦)上单调递减，C正确；

对于D,由/'(%)=0,得2TTX+工=kirCZ,解得x=」+keZ,

6226

由0<5+：<7T,/ceZ,解得k€{0,1,234,5},因此函数f(x)在(0,n)上恰有6个零点，D错误.

LO

故选：AC.

11.(6分)(2024•山东烟台•三模)在锐角△NBC中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且c=2asinB,

则()

A.AB边上的高为•!

B.高+高为定值

C.sinC的最小值为2

cosAcosB

D.若tanC=3,则小+解二”/协

【解题思路】对A,根据4B边上的高为asinB求解即可；对B,由正弦定理结合三角恒等变换化简即可；对

1

C,由正弦定理结合三角恒等变换化简，结合B中++=2,再根据基本不等式求解即可；对D,根据

tan4

三角形内角关系，结合两角和差的正切公式与正弦定理判断即可.

【解答过程】对A,48边上的高为asinB,由题意asinB=],故A正确;

对B,由正弦定理c=2asinB即sinC=sin(4+B)=2sin4sinB,

故sinXcosB+cos/sinB=2sinXsinB,

又锐角△4BC,故^^+安^=2,即二二"I——=2,故B正确;

smBsin/tanAtanB

sinCsin(A+B')sinAcosB+cosAsinB,.,,门

对C,—_-=---------=-------------------=tanA+tanB,

cosAcosBcosAcosBcoSi4cosF

又看+熹=2,故tanA+tanB="tanA+tanB)(高+熹)

1tanFtanAtanBtanA

2+—+—>-[2+2------X-------=2,当且仅当黑=鬻

2ttanA4tannBF./2\tanAtanB

即tan/=tanB=l时取等号，此时4=BC=p与锐角△ZBC矛盾，故C错误;

对D,tanf=tan[n—(4+B)]=—tanQ4+B)=3,

tanA+tanB-1i

即・=—3,又----1------=2,即tanZ+tanB=2tan4tanB,

1—tan/ltanBtan4tanB

2tanXtanF

故-=-3,解得tan/tanB=3,故tanA+tanB=6.

l-tarii4tanF

则tan/(6—tan/)=3,即taMz—6tan4+3=0,解得tanA=3±V6.

故tanA=3+V6,tanB=3—V6,或tanA=3—V6,tanB=3+V6.

不妨设tan/=3+V6,tanB=3—V6,

3+V63-V6

则sinA=,sinB=

J(3+V6)2+lJ(3-V6)2+l

故的24=黑，sin2B=9UsinAsinB-3+6*3-巫_3VIU

27―20

(3+V6)+l(3-V6)+1

故siMyl+sin2^=生裂sinZsinB,由正弦定理次+抉=生詈血，故D正确.

故选：ABD.

第n卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）（2024•陕西铜川•模拟预测）已知a-tana-tan/?=3遮，则cos（a+0）的值为_-1_

【解题思路】对tana-tan/?=3遍利用同角三角函数的关系化为正余弦的关系,化简整理可得cosacos6=

6

再结合cos(a-0)=［可求出sinasin/?,然后利用两角和的余弦公式可求得结果.

【解答过程】由于tana-tanS=3g，且a-0=全

V3

则sinasin/?_sinacos/?—cosasin^_sin(a一4)_工_31\/^

cosacospcosacospcosacosj?cosacosp

整理得cosacosp=则cos(a-/?)=cosacos^+sinasin/?=

整理得sinasinp=||

所以cos(cr+S)=cosacos/3—sinasin/3=---=—

636

故答案为：-之

6

13.(5分)(2024•安徽合肥•三模)已知函数/(%)=V3sina)xcosa)x+cos2a)x+|(a>>0)在区间上只

有一个零点和两个最大值点，则3的取值范围是一

【解题思路】先将f(x)化简为sin(23X+9+1，再根据f(x)在区间［0中)上只有一个零点和两个最大值点，

结合正弦型三角函数的处理办法求出3的取值范围.

【解答过程】/(x)=VSsincoxcoscox+cos2tox+|

=­sin2a)x+-cos2a)x+1=sin(2s+g+1,

22

由％E[0,n)，3>0,得2sx+-62TRO+,

6L66/

/(%)=0时，sin卜3%+/=-1,/(%)最大时，sin(2a>%+§也最大,

若f(%)在区间［0,IT)上只有一个零点和两个最大值点，

则只需苧<2冗3+/Wg解得(<^0<

故答案为：(U1.

o5

14.(5分)(2024•上海金山•二模)某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段8C、CD

是救生栈道的一部分，其中BC=300zn,CD=800m,B在4的北偏东30。方向，C在4的正北方向，。在4

的北偏西80。方向，且NB=90。.若救生艇在A处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道B-C-D,则最短距

离为475m.(结果精确到1m)

c

，B

D

A

【解题思路】先在△ZBC中求出ZC,再利用正弦定理，在△ZOC中求出sin。，进而转化到△ZCE中求解即

可.

【解答过程】解：作4E1CD交于瓦由题意可得如图:

B

乙B=90°,/.CAB=30°,=300m,

所以力B=/^=^=300Km,

3

Rf

“=嬴廿6。。%

在△4DC中，由正弦定理可得:

CDAC.「3sin80°

--------==sinD=

sinz.ACDsinD------------------------4

所以cosz.EAD=«0.735,

4

所以sinNE/。右0.68,

cosZ-CAE=cos(80°—Z.EAD)«0.17x0.735+0.98x0.680.79135,

在直角△力CE中，AE=AC-cos^CAE=>4E=600x0.79135«475,

故答案为：475.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)(2023•河南•模拟预测)已知函数/(%)=2cos%(sin%+V^cos%)一次.

⑴若f(a+£)=当,求/(2a—自的值;

(2)设g(x)=/(%+£)+/(久V)_#1+£)/(久求函数g(%)的最小值.

【解题思路】(1)先把函数化成/(%)=Zsin(3%+0)的形式，在结合诱导公式和两角和与差的三角函数公

式求值;

(2)先化简g(%)得表达式，用换元法把问题转化成二次函数在给定区间上的值域问题求解.

【解答过程】(1)因为/(%)=2sin%cos%+B(2cos2%-1)=sin2x+V3cos2x=2sin(2%+§.

f(a+»=石=2sm(2。+/以=石=>cos(2a+-)=-.

f(2a-^)=2sin[2(2a-77)+^]=2sin(4a+,)=2sin[2(2a+§-]=_2cos[2(2a+§]=-

2[2cos2(2a+=)-1]=-2[2x信丫-1]=|||.

(2)因为：f(x+=2sin(2x+^+=2cos2x,f(x—])=2sin(2x—]+f=2sin2x.

所以：g(x)=2sin2x+2cos2x—2sin2x-cos2x.

设sin2久+cos2x=t,则t=&sin(2x+§e[―鱼,,且2sin2久vosZ%=d—1,

所以：y=-t2+2t+1=-(t-I)2+2,

当t=-时，ymjn-2V2-1.

所以g(x)的最小值为-2夜-1.

16.(15分)(2023•安徽•模拟预测)已知函数/'(X)=Asin(a)比+0)(力>0,3>0,0<0<])的部分图象

如图所示.

(1)求函数fO)的解析式;

(2)将函数/(x)的图象向右平移;个单位，再横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1

个单位，得到函数g(x)的图象，求函数仪久)在区间(0,n)上的值域.

【解题思路】(1)根据图象，依次求得4Q3的值，从而求得ax)的解析式.

(2)根据三角函数图象变换求得g(x),根据三角函数值域的求法求得函数g(x)在区间(0用)上的值域.

【解答过程】(1)根据图象可知：4=2,函数f(x)过点(0,1),

2sin,=1=>sing且0<w<£=>a=g

226

又•・•函数/(%)过点(*,0),

由图象可知=^3+£=2TI,得3=2,

126

f(x)=2sin(2x+

(2)根据题意可得：

函数/)图象向右平移泞单位得到y=sin[2(x-；)+=]-2sin卜x—§的图象，

再横坐标伸长为原来的2倍得到y=2sin(%-§的图象，

最后向上平移1个单位得到函数g(x)=2sin(x-§+l的图象，

xe(O,TT),x-=G(-py),sin(x-=)6

・•・函数g(x)在区间(0用)上的值域为(-V3+1,3].

17.(15分)(2024•广西来宾•模拟预测)△4BC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,力。为NBHC平分

线，btanA=(2c—b)tanB

⑴求4

(2)若c:4=百:2:2再，4。上存在点M,使得乙48M=二，求也迪.

12SMCD

【解题思路】(1)利用正弦定理将边转化为角的正弦，结合三角恒等变换求解即可；

(2)令c=bk,k>0,在△BAD中，利用余弦定理可求BD=k,在中，利用正弦定理可求力M=

型生垩，再由-ABM=%,SA驾=肛=竺_,即可求解.

2^^ABD4。S^ACDCDAC

【解答过程】(1)由btanZ=(2c—b)tanB,结合正弦定理得，sin^|^=(2sinC—sinB)1^|,

因为sinB>0,所以sinXcosB+sinBcosZ=2sinCcos4

即sin(4+B)=2sinCcos4

又sin(A+B)=sin(it—C)=sinC,所以sinC=2sinCcos4

因为sinC>0,所以cosA=

又。<a<n,所以A=去

(2)由(1)知：ABAD=

6

令c=Bk,k>0,贝必D=2k,b=2相k,

在aB力。中，BD2=3k2+4k2-2-V3k-2k-cos-=k2,

6

所以BD=k,则BD?+阳=小，

故得：4ABe=gZC=p

26

BC=y/AC2-AB2=3k,DC=2k,

因为乙4BM="，

27T

SA4BM中，Z.AMB=it-/.BAM-Z.ABM=—,

4

因为吁匕则冷于

SA4BM_4M_3-取

切'SMBD_布一

SAABD_BD_AB_y/3k

S&ACDCDAC2A/3/C

SAABM_3_6

S^ACD8

18.(17分)(2024・吉林长春•模拟预测)已知函数/(%)=2V^sin%cos%-2cos2%+1.

⑴若％^卜限,詈求/(%)的值域；

(2)若关于X的方程/(%)-a=。有三个连续的实数根%1，%2，%3，且汽1<%2<%3，％3+2第1=3%2，求〃的

值.

【解题思路】(1)将2%-]看成整体角Z,由％E[-"，用求得一孩，判断y=sinz的单调性，求得

函数y=sinz的值域，继而得了(第)的值域；

(2)结合函数f(%)=2sin(2汽一的图象，得%3=/+n和皂产=弓+5kSZ,求得％1=弓+1々CZ,

由方程a=2sin(ku+J即可求得a值.

【解答过程】(1)/(%)=2V3sinxcosx—2cos2%+1=V3sin2x—cos2x=2sin(2x—J

因当，令z=2x-$则一gWzW?,

L1Z5JoDo

因y=sinz在[一上单调递增，在邑=]上单调递减，

3226

而sin(-g)=_gsin?=_故一停-sin(2x-^\<1.

3zoZZ\o/

则一遍工/(久)工2,・・./(%)的值域为[一遍,2].

(2)如图，因/(%)=2sin。％-力的最小正周期为n,

当@=±2