2025年高考数学一轮复习讲义：椭圆（原卷版）

专题47椭圆（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................4

【考点1］椭圆的定义及应用..................................................4

【考点2】椭圆的标准方程....................................................5

【考点3】椭圆的简单几何性质................................................7

【分层检测】................................................................8

【基础篇】..................................................................8

【能力篇】.................................................................11

【培优篇】.................................................................12

考试要求：

1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

.知识梳理

1.椭圆的定义

平面内与两个定点Fi,仍的距离的和等于常数(大于尸1仍|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫

做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的鲤I，焦距的一半称为半焦距.

其数学表达式：集合P={MI"Bl+|MR2|=2a},=其中a>0,c>0,且a,c为常数：

(1)若心，则集合P为椭圆；

⑵若小口则集合P为线段；

(3)若我,则集合尸为空集.

2.椭圆的标准方程和几何性质

1+[=1(»>0)5+胃=1(。泌>0)

标准方程

y1.

B2

图形烈一

£^A2X

一aWxWa—bWxWb

范围

—bWyWb—aWyWa

对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

Ai(~a,0),人2(。，0),Ai(0,~a),A2(0,a),

顶点

性~b),B2(0,b)0),Bz(b,0)

质轴长轴A\Ai的长为2^；短轴B1B2的长为2b

焦距|FIF2|=2C

离心率e=，(0,1)

a,b,c的关系c2=cfi—b2

|常用结论

1.若点尸在椭圆上，R为椭圆的一个焦点，则

(l)6W|0P|Wa；

(2)a—cW|PF|Wa+a

2.焦点三角形：椭圆上的点P(xo,泗)与两焦点构成的△PR1R2叫作焦点三角形，n=\PF\\,n

2

=\PF2\,ZFIPF2=0,△PR的的面积为S,则在椭圆,+g=1(。>。>0)中：

(1)当r1=厂2时，即点P的位置为短轴端点时，。最大；

(2)S=〃tan?=c|yo|,当|yo|=6时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为。c.

2h2

3.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长/min=二-.

?2

4.A3为椭圆a+，=1(。>。>0)的弦，A(xi,yi),3(x2,yi),弦中点M(xo,yo),则直线A3的斜

.真题自测

一、单选题

1.(2024•全国•高考真题)已知曲线C：x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P为

垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为()

A.—+^=1(j>0)B.—+^=1(y>0)

164168

2222

c.W1(y>0)D.^+―=1(y>0)

164168

2__.

2.(2023・全国•高考真题)设居，&为椭圆C:弥r+/=1的两个焦点，点尸在C上，若所朋二0,贝|

M-\PF2\=()

A.1B.2C.4D.5

22

3.(2023•全国•高考真题)设。为坐标原点，月，耳为椭圆C:二+乙=1的两个焦点，点尸在C上，

96

3

cos/6尸贝！J|OP|二()

,12R而「匕nV35

A•D.L.L).

252

22

4.(2023•全国•高考真题)设椭圆G：=+V=l(a>DC:土+y2=1的离心率分别为4,e?.若&=国,

a4

则<7=()

A,巫B.

y/^2,C.y/3D.-\/6

3

r2v21

5.(2022•全国•高考真题)已知椭圆C：=+、=I(Q>Z?>O)的离心率为彳，A，4分别为。的左、右顶点，

ab3

8为C的上顶点.若朗・砥=-1,则C的方程为()

3

B.二1D.—+/=1

982

22

6.（2022・全国•高考真题）椭圆C:之+与=l（a＞6＞0）的左顶点为A,点P,。均在C上，且关于y轴对称.若

a'b'

直线AP,AQ的斜率之积为J,则C的离心率为（）

4

A右B&r1D1

A.D.C.—L）.—

2223

二、填空题

22

7.（2022•全国•高考真题）已知椭圆C:=+2=1（。＞人＞0）,C的上顶点为A,两个焦点为弓，K,离心

ab

率为过K且垂直于A工的直线与C交于。，E两点，1。£|=6,则的周长是_____________.

2

考点突破

【考点1】椭圆的定义及应用

一、单选题

22

1.（23-24高二上•湖南长沙•阶段练习）已知耳，F,是椭圆工+匕=1的两个焦点，P是椭圆上一点，则

2516

|尸闻忖国的最大值是（）

A.—B.9C.16D.25

4

22

2.（2024•陕西西安・三模）已知定点尸（2,0）与椭圆=1上的两个动点M,N,若,则两.而？

的最小值为（）

823J3

A.-B.13C.-D.—

332

二、多选题

22

3.（2024•广东广州•模拟预测）已知椭圆E：=+3=1（4＞。＞。）的左、右焦点为K，F2,过尸2的直线

ab

7

与E交于M,N两点.若cosN隼明=g,|M^=|肛|.则（）

皿」

A.△々MN的周长为4a

.|N闻2

D.椭圆E的离心率为也

C.MN的斜率为土退

3

4.（23-24高三下•黑龙江•阶段练习）已知A（2,0）、3（4,1）,点M（x,y）为曲线C上动点，则下列结论正确

的是（）

A.若C为抛物线y2=8x,贝”（|舷4|+四同％=2+如

4

22

B.若C为椭圆言+右=1,贝！］（|^4|+|腔|）而"=10—质

2___

C.若c为双曲线=则（|肱4|+|MB|）1nhi=a一2

D.若C为圆月+y=1,贝+=岸

V.4zmin乙

三、填空题

22

5.（23-24高三下•湖北武汉•阶段练习）设椭圆土+匕=1的左右焦点为片，工，椭圆上点尸满足

2512

|尸耳|:|尸阊=2:3,则△尸/笆的面积为.

22

6.（23-24高二上•山东青岛・期末）如图所示，已知椭圆C:=+与=l（。>0,6>0）的左右焦点分别为月,£,

ab

点A在C上，点8在y轴上，耳4_LG3,|%|=4|A图，则C的离心率为.

反思提升：

椭圆定义的应用技巧

（1）椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和

离心率等.

（2）通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.

【考点2】椭圆的标准方程

一、单选题

22

1.（2024・辽宁•二模）已知方程占+占=1表示的曲线是椭圆，则实数上的取值范围是（）

k—48—k

A.（4,6）B.（6,8）C.（4,8）D.（4,6）u（6,8）

2.（2024•广西桂林•三模）已知椭圆C：工+上=1的右焦点为尸，过尸的直线与C交于A、8两点，其中

43

点A在无轴上方且荏=2丽，则8点的横坐标为（）

1377

A.-B.-C.----D.一

2244

二、多选题

22

3.（2021•全国,模拟预测）已知加为3与5的等差中项，”为4与16的等比中项，则下列对曲线C:二+乙=1

mn

5

描述正确的是（）

A.曲线c可表示为焦点在y轴的椭圆

B.曲线C可表示为焦距是4的双曲线

C.曲线C可表示为离心率是正的椭圆

2

D.曲线C可表示为渐近线方程是〉=±0天的双曲线

22

4.（2023•全国•模拟预测）已知耳,耳分别为椭圆C:=+多=l（a>6>0）的左、右焦点，直线/:y=g（x-l）过

a'b

C的一个焦点和一个顶点，且与C交于两点，则（）

A.△邛WN的周长为8

B.△£加的面积为％8

8

C.该椭圆的离心率为:

2

D.若点P为C上一点，设尸到直线x=4的距离为d,则四=工

d2

三、填空题

22

5.（2023・广东•二模）已知耳，F?分别是椭圆C：二+m=1（。>匕>0）的左、右焦点，M是C上一点且M鸟

ab

与X轴垂直，直线加月与C的另一个交点为N.若直线MN在y轴上的截距为3,且丽=4而，则椭圆C

的标准方程为.

6.（2024・上海•三模）舒腾尺是荷兰数学家舒腾（1615-1660）设计的一种作图工具，如图，。是滑槽A3的

中点，短杆ON可绕。转动，长杆MN通过N处的较链与ON连接，MN上的栓子。可沿滑槽A3滑动，当

点。在滑槽AB内作往复移动时，带动点N绕。转动，点M也随之而运动，记点N的运动轨迹为C一点M

的运动轨迹为若ON=0N=1,MN=3,且AB24,过Q上的点p向G作切线，则切线长的最大值为_

反思提升：

（1）利用定义法求椭圆标准方程，要注意条件2a>|八乃|;利用待定系数法要先定形（焦点位置）,

再定量，也可把椭圆方程设为加^十“产=1（机>0,n>Q,mW”）的形式.

（2）椭圆的标准方程的两个应用

6

①方程5+为=1与5+3=刈>0）有相同的离心率.

C4-UCU

7272

②与椭圆a十%=1（。>6>0）共焦点的椭圆系方程为消仄+g裒=l（a>6>0,k+b2>0）,恰

当运用椭圆系方程，可使运算简便.

【考点3】椭圆的简单几何性质

一、单选题

22

1.（2024・山西太原•一模）设双曲线「一斗=1（a、b均为正值）的渐近线的倾斜角为。，且该双曲线与

ab

椭圆工+二=1的离心率之积为1，且有相同的焦距，贝Usina=（）

43

AS'R甘rV3nV2

713213

22

2.（2024•广东惠州•模拟预测）已知椭圆的方程为工+匕=1,过椭圆中心的直线交椭圆于A、8两点，F,是

94

椭圆的右焦点，则8的周长的最小值为（）

A.8B.6+2石C.10D.8+2y/3

二、多选题

3.（2024•江西南昌・三模）将椭圆G：5+/l（a>6>。）上所有的点绕原点旋转40<。<口角，得到椭圆

G的方程：V+y2一冲=6,则下列说法中正确的是（）

A.a=2y/3B.椭圆C2的离心率为必

3

JT

C.（2,2）是椭圆G的一个焦点D.

4

4.（2024•黑龙江齐齐哈尔•三模）在平面直角坐标系尤Oy中，长、短轴所在直线不与坐标轴重合的椭圆称为

“斜椭圆"，将焦点在坐标轴上的椭圆绕着对称中心顺时针旋转45°,即得“斜椭圆"C:V+y2+冲=],设

「（七，%）在C上，则（）

A."斜椭圆”的焦点所在直线的方程为y=xB.C的离心率为亚

3

/y2

C.旋转前的椭圆标准方程为了+了=1D.一型V%4型

三、填空题

22

5.（2025•黑龙江大庆•一模）已知产是椭圆C:三+仁=1（。>6>0）的左焦点，直线y=自化片0）交椭圆C于

ab

MN两点.若|尸=33=千，则椭圆C的离心率为.

6.（2023・广西•一模）如图，一个光学装置由有公共焦点片,月的椭圆C与双曲线C'构成，一光线从左焦点

发出，依次经过C'与C的反射，又回到点外.，历时机秒；若将装置中的C'去掉，则该光线从点匕发出，

7

经过C两次反射后又回到点我|历时"秒，若C'的离心率为C的离心率的4倍，则竺=.

反思提升：

1.求椭圆离心率或其范围的方法

解题的关键是借助图形建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用

方法如下：

(1)直接求出a,c,利用离心率公式e=：求解.

(2)由a与人的关系求离心率，利用变形公式e=yj1一摄求解.

⑶构造a,c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值，而是得出a与c的关系，

从而求得e.

2.利用椭圆几何性质求值域或范围的思路

⑴将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系.

⑵将所求范围用a,b,c表示，利用a,b,c自身的范围、关系求范围.

聚分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.(2024•江西九江三模)已知椭圆C尤:2\+v22=l(a>b>0)的左右焦点分别为耳过月且倾斜角为71g的直

ab6

线交c于第一象限内一点A.若线段A片的中点在y轴上,△△月月的面积为26,则C的方程为()

X221X2J2

A.——+y=1B.——+—=1

332

2222

Yvry

9396

2.(2024•安徽合肥•模拟预测)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为左，焦距为20，则该椭圆的方程为

()

A.—+/=1B.^+>2=i

39•

8

D.JJ

C_i

973628

3.（2024•福建泉州•二模）若椭圆£+[=1（"0）的离心率为冷，则该椭圆的焦距为（）

A.^/3B.\/6C.2y[^或6D.2^/^或

4.（2024•河南商丘•模拟预测）若动直线侬:+殴=2帆+川（“〃£R）始终与椭圆。：5+2=1（。>0且〃工有）

a3

有公共点，则。的离心率的取值范围是（）

D.

二、多选题

22

5.（2024•河南开封三模）椭圆C:—二+当=l（m>0）的焦点为月，F2,上顶点为A,直线A耳与C的另

m+1m

TT

一个交点为8,若N£A为=§,贝I」（）

A.C的焦距为2B.C的短轴长为2道

C.C的离心率为且D.AAB月的周长为8

2

22

6.（2024•山东潍坊•二模）已知椭圆C：±+匕=1的焦点分别为大，居，尸为C上一点，贝U（）

94

A.C的焦距为2岔B.C的离心率为延

3

C.4月尸乙的周长为3+拓D.面积的最大值为

7.（20-21高三上•江苏南通•期末）嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号"探月工程"

首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟"探月工程"，如图，飞行器在环月椭圆轨

道近月点制动（俗称"踩刹车"）后，以vkm/s的速度进入距离月球表面〃km的环月圆形轨道（月球的球心

为椭圆的一个焦点），环绕周期为人，已知远月点到月球表面的最近距离为mkm,则（）

*

远月点♦

A.圆形轨道的周长为（2mY）km

9

B.月球半径为km

C.近月点与远月点的距离为（加-〃+?卜m

D.椭圆轨道的离心率为巴上

m+n

三、填空题

22

8.（2022•广东佛山•三模）已知椭圆C:土+匕=1,K、尸2为C的左、右焦点，P是椭圆上的动点，贝8

2516

内切圆半径的最大值为.

9.（2024•广东江门•二模）已知圆4：5+1）2+必=1内切于圆尸，圆尸内切于圆2：（x-lp+产=49,则动圆尸

的圆心的轨迹方程为.

10.（2023・贵州毕节•一模）勒洛三角形是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，边长为半径，在另两个顶

22

点间作圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形（如图），已知椭圆L+3=i（0<b<2）的焦点和顶点能作出一个

4b

勒洛三角形，则该勒洛三角形的周长为.

22

11.（2024•陕西榆林,模拟预测）已知椭圆C：2+方=1（4>6>0）的左，右焦点分别为耳（-c,0）,耳（c,0）,

过F2的直线与椭圆C交于M,N两点，且△MNP；的周长为8,△西耳的最大面积为石.

⑴求椭圆C的方程;

（2）设匕>1,是否存在x轴上的定点尸，使得APMN的内心在x轴上，若存在，求出点尸的坐标，若不存在,

请说明理由.

221C3、

12.（2024•广东梅州•二模）已知椭圆C：=+与=1（。>/,>0）的离心率为「且经过点71,彳.

a2b-2I2）

⑴求椭圆C的方程：

⑵求椭圆c上的点到直线/：y=2x的距离的最大值.

【能力篇】

一、单选题

22

1.（2024•湖北武汉•模拟预测）设椭圆距》+%=1（4>"0）的左右焦点为右顶点为A,已知点尸

在椭圆E上，若/与尸鸟=90。,/尸48=45。，则椭圆E的离心率为（）

10

A.|B.4C.2-V2D.73-1

二、多选题

3

2.（2024•江西•模拟预测）已知人（-2,0）,5（2,0）,C（l,0）,动点M满足叱与A©的斜率之积为动点

M的轨迹记为：T,过点C的直线交「于尸，。两点，且尸，。的中点为R,贝U（）

A.M的轨迹方程为三+$