2025年高考数学一轮复习讲义：同角三角函数的基本关系及诱导公式（原卷版）

专题21同角三角函数的基本关系及诱导公式（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................2

【考点突破】................................................................3

【考点1】同角三角函数基本关系式的应用......................................3

【考点2】诱导公式的应用....................................................4

【考点3】同角关系式和诱导公式的综合应用....................................6

【分层检测】................................................................7

【基础篇】..................................................................7

【能力篇】..................................................................8

【培优篇】..................................................................9

考试要求：

1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=l,殁1壬=tanx.

cosX

2.能利用单位圆中的对称性推导出邪a,兀土a的正弦、余弦、正切的诱导公式.

；知识梳理

1.同角三角函数的基本关系

⑴平方关系：siR+cos2a=1.

(2)商数关系：然3=tana(a若+E,左©Z).

cosa\j

2.三角函数的诱导公式

公式—*二三四五六

2E+兀

角兀+a~a兀-a^+ct

a（左£Z）

正弦sina—sina一sinasinacosacosa

余弦cosa—cosacosa—cosasina一sina

正切tanatana-tan_a一tana

口诀奇变偶不变，符号看象限

|常用结论

1.同角三角函数关系式的常用变形

(sina±cosa)2=l±2sinacosa；sina=tanct-cosa.

2.诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指胃的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称

的变化.

3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.

彳真题自测

一、单选题

1.（2023•全国,高考真题）设甲：sin2a+sin2^=l,乙：sina+cos/?=0,则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

(jr\COSa

2.(2021•全国•高考真题)若are[0,彳tan2a=~：—,则tantz=()

2J2-sum

.V15口&「逐nV15

15533

2

3.（2021•全国，高考真题）若tan6=-2,则吧纱士吧也=（）

sin0+cos0

6226

A.——B.----C.D.-

5575

4.（2021•全国•高考真题）cos2^-cos21^=（

）

D.B

A.；B.BC.叵

2322

二、填空题

5.（2023•全国•高考真题）若/（x）=（x-l『+ax+sin[x+；J为偶函数，贝l]a=

三、解答题

6.（2023•全国•高考真题）在AASC中，已知N3AC=120。，AB=2,AC=1.

⑴求sinZABC；

⑵若。为BC上一点，且NBA。=90。，求△ADC的面积.

考点突破

【考点1】同角三角函数基本关系式的应用

一、单选题

1.（2024•四川眉山三模）已知ae（0,3，cos]tz+|J=-A，则sina=（）

人12+5gD12-5g012A/3+5n12^-5

26262626

2.（2024•河南三门峡•模拟预测）若tan&=2,则丁12a,的值为（）

cos2a—sma

4244

A.——B.-C.-D.—

7397

二、多选题

3.（2024•全国•模拟预测）已知角a的终边过点P（l,-2）,则（）

sina-cosa

A.--------------=-1B.sin2a—3sinacosa=2

2sma+cosa

c3

C.cos2a=一D.tana+—\=——

5I4J3

4.（2024・全国•模拟预测）美国数学史家、穆伦堡学院名誉数学教授威廉•邓纳姆在1994年出版的The

MathematicalUniverse一书中写道："相比之下，数学家达到的终极优雅是所谓的‘无言的证明'，在这样的证

明中一个极好的令人信服的图示就传达了证明，甚至不需要任何解释.很难比它更优雅了.”如图所示正是

数学家所达到的"终极优雅"，该图（ABCD为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，则可推

导出的正确选项为（）

3

SADf2

A.AD=sin2xB.AB-sin2xC.DE=cos2xD.-cosx

'AAEF

三、填空题

5.（2024・陕西商洛•模拟预测）若0<a<|",cos]a+t卜;，则8$[-曰=..

6.（2024•广东广州•二模）已知复数z=2cos：；;m。e€昨的实部为0,贝心3n2，=.

反思提升：

cinn

1.（1）利用sin2a+cos2a=1可以实现角a的正弦、余弦的互化，利用2=tana可以实现角a

cosex.

的弦切互化.

/jcinv—k/?COSX

（2）形如一:--7~3-----,6zsin2x+Z?sinxcosx+ccos2x等类型可进行弦化切.

csmx+acosx

2.注意公式的逆用及变形应用：1=sin2a+cos2a,sin2a=1—cos2a,cos2a=1—sin2a.

3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sina+cosa,sinacosa,sina—cosa这三个式子，

利用（sin。土cosa）2=l±2sinotcosa,可以知一求二.

【考点2】诱导公式的应用

一、单选题

1.（23-24高三上•江苏南通期末）已知％£0,—,sinx+cosx=^^-,则tan1%-孚]=（）

4J5V4J

A.3B.-3C.-y/5D.2

2.（16-17高三上•广西梧州•阶段练习）若cos贝ijcos（7i—2a）=（

4立

~9~

二、多选题

3.（23-24高一上•陕西咸阳•期末）下列选项中,

A.2sinl50cosl5°B.cos18°cos42°-sin18°sin42°

tan22.5°

C.2COS2150-1

1-tan222.5°

4.（2024・海南海口•二模）已知函数/（%）=Asin（〃四+0）（其中A>0,^>0,|^|<|）的部分图象如图所

示，则（）

4

A.①=2

B.7（"的图象关于点［詈,o）中心对称

C./（x）=2cos12%一弓］

57r7T-r

D.”尤）在一■―,--上的值域为

三、填空题

5.（2024•河北邯郸•二模）正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所

示的五角星中，以AdC,D,E为顶点的多边形为正边边形，设则

cosa+cos2c+cos3a+cos4a=,costzcos2ctcos3«cos4cz=.

6.（2024•湖南长沙•一模）已知0为坐标原点,过A（l,0）作x轴的垂线交直线>=6于点8,C满足幅=2比，

过8作x轴的平行线交E：y=x于点P（P在2的右侧），若NOPC=3NOBA,则sinNCOP=.

反思提升：

（1）诱导公式的两个应用

①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.

②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.

（2）含2兀整数倍的诱导公式的应用

由终边相同的角的关系可知，在计算含有2兀的整数倍的三角函数式中可直接将271的整数倍去

掉后再进行运算.如COS（5TI—a）=cos（7t—a）=_cosa.

【考点3】同角关系式和诱导公式的综合应用

一、单选题

5

已知tan]a+E)=51,贝i]cos(2a2兀

1.（2024•福建南平•二模）)

23

3344

A.--B.C.——D.-

5455

・c3贝

2.（2024・福建厦门・三模）已知a,sin2aI]sin[a+]J=()

A..4

B.c.正D.-

2555

二、多选题

3.（23-24高一上•河南三门峡•期末）下列等式正确的有（

叵

A.cosl35°=B.sinl5°cosl5°=—

~14

5715兀

tan——+tan——

C.cos74°sin140-sin74°cos14°=—D.4,鱼=-6

2l-tan」

12

4.（2023•黑龙江•模拟预测）关于函数/（x）=；cos?7T-2x]的图象和性质，下列说法正确的是（）

S7T

A.X=?是函数”元）的一条对称轴

o

（二，。]是函数〃X）的一个对称中心

B.

147r

C.将曲线y=：sin2尤向左平移9个单位可得到曲线y=〃力

28

函数”X）在（-|，0的值域为-比1

D.75

三、填空题

5.（2024・福建厦门•一模）若sin[a+：J=—,贝！Jcos]a-171

4

1e.七K71)

6.（2023•河南郑州•模拟预测）已知cos[x+2=-+sinx,贝卜11114%一7J=

6

反思提升：

1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活

使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.

2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见

的互余关系有三一a与煮+a,三+a与煮一a,g+a与市一a等，常见的互补关系有5一8与

汁8与牛一。，£+6与竽一6等.

分层检测

【基础篇】

6

一、单选题

1.（2024•陕西商洛•模拟预测）已知正方体ABC。-431GA的外接球的球心为。，则sinNAOC=（）

1D,也

B.一C

3-T3

（2024•内蒙古呼和浩特•二模）已知tan卜-：）=-g,则2sin20+sin2^_

2.)

l+sin26

11

A.——B.0c・ID.-

23

什.15兀贝!Jcos12a-q71

3.（2024・浙江绍兴•二模）右sin[五+a)

6

A,也2V277

B.C.一D.——

9-9~99

已知a篝-1-贝i]c°s[a+：卜

4.（2024・山东聊城•三模）,且sin21=-)

8

399

A.aB.C.—D.-----

441616

二、多选题

5.（2022・重庆涪陵•模拟预测）已知向量m=（85夕,110）,〃=（85尸,51114）3，尸£[0,2]）,。＞力），且

m+n=（0,1）,则下列说法正确的是（）

产rl

A•m+n=1B.cos(a-77)=-1C.\m-n\的值为2D.sin(a+0=O

6.（23-24高三上•山西吕梁•阶段练习）计算下列各式的值，其结果为2的有（）

A.tanl5°+tan60°B，2(cos80°

C.(l+tanl8°)(l+tan270)D.4sinl8°sin54°

/人\2sinacosa_2

7-（2。2。・全国•模拟预测）已知+）=2c°sa+l0<c^<^,则下列说法正确的是（）

A./（a）的最小值为-0B./（0）的最小值为-1

c.y（a）的最大值为g■一1D.的最大值为1-0

三、填空题

2

8.（2024•北京顺义・二模）在AABC中,c=3,a+b=7,cosC=1,则△ABC的面积为一

（•河北承德•二模）已知；则sinxsinx

9.2024tanx=,----------------1---------------

cos3xcos2xcos2xcosx

10.（2024・安徽池州•模拟预测）筒车亦称为〃水转筒车〃，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于

隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史•如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时

针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心。距离水面3C的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水

7

筒尸的初始位置为点。（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，/分钟时，该盛水筒距水面距离为

)则“2023)=

“==Asin(G/+0)+。A>0.>0

图2

四、解答题

37r110

11.（21-22高二下・吉林,阶段练习）已知力…，tana-\-------=-----

tana3

(1)求tana的值;

,sina+cosa,,小

(2)求^----------的值;

sma-cosa

(3)^<2sin2a-sinacosa-3cos2a的值.

cos—+asin

12.（22-23高一上•安徽黄山•阶段练习）（1）已知角。终边上一点尸（T3）,求(2J的值;

tan(-K4

i

化简求值：))64

(2)(log43+log83-(log32+log92+27J

【能力篇】

一、单选题

1e•71

1.（2024・湖南常德•一模）已知cos则sma)+sin[2a()

A10_46

A.—B.cD.-

9-9-t5

二、多选题

2.（2024•浙江温州•二模）已知角a的顶点为坐标原点，始边与1轴的非负半轴重合，尸（-3,4）为其终边上

一点,若角夕的终边与角2a的终边关于直线丁二一元对称，则（）

cos(…)=|

A.