2025年高考数学一轮复习讲义：随机事件、频率与概率（原卷版）

专题61随机事件、频率与概率（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................4

【考点1】随机事件的关系....................................................4

【考点2】随机事件的频率与概率..............................................5

【考点3］互斥事件与对立事件的概率..........................................7

【分层检测】................................................................8

【基础篇】..................................................................8

【能力篇】.................................................................10

考试要求：

1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.

2.T解两个互斥事件的概率加法公式.

.知识梳理

1.概率与频率

一般地，随着试验次数〃的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率加A）会

逐渐稳定于事件A发生的概率P（A）.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用

频率加4）估计概率P（A）.

2.事件的运算

定义表示法图示

事件A与事件B至少有一个发生，

并事件称这个事件为事件A与事件B的AU/或A+5)

并事件（或和事件）

事件A与事件8同时发生，称这

交事件样一个事件为事件A与事件B的AA3(或AB)

交事件（或积事件）

3.事件的关系

定义表示法图示

若事件A发生，事件3一定发

包含关系生，称事件3包含事件4或事324或A^B)（O

件A包含于事件3）

如果事件A与事件3不能同时

若AnB=0,则A

互斥事件发生,称事件A与事件5互斥

与B互斥

（或互不相容）

如果事件A和事件B在任何一

若AAB=0,且

次试验中有且仅有一个发生,

对立事件AUB=Q,则A

称事件A与事件3互为对立，

与3对立

事件A的对立事件记为A

|常用结论

1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件

⑴几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.

⑵事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补

2

集.

2.概率加法公式的推广

当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即

P（AiUA2U•••UA„）=P（Ai）+P（A2）H-----PP（A„）.

■真题自测

一、单选题

1.（2024・上海•高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三

种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，事件C：

所选盒中有笔袋，则（）

A.事件A与事件8互斥B.事件A与事件8相互独立

C.事件A与事件BuC互斥D.事件A与事件3cC相互独立

2.（2022•全国•高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手

与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为P”P2，P3,且记该棋手连胜两盘的概率为p,则（）

A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

二、解答题

3.（2024・上海•高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中

抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：

时间范围学业成绩[0,0.5)[0,5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

优秀5444231

不优秀1341471374027

⑴该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？

⑵估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）

⑶是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关?

（附：/2=7TV；K----、/八，、，其中九=a+b+c+d,>3,841）^0.05.）

［a+b）［c+d）［a+c）［b+d）v'

4.（2022•北京•高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以

上（含9.50m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛

成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：

3

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.

⑴估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

（2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；

⑶在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

.考点突破

【考点11随机事件的关系

一、单选题

1.（2024•宁夏银川,二模）2024年的高考数学将在6月7日下午进行，其中数学有12道单项选择题，如果

每道选择题的答案是从A,B,C,。四个选项中随机生成，那么请你运用概率统计的知识，推断分析下列

哪个选项最有可能成为2024年高考数学选择题的答案分布（）

A.AA4A4AWL4A4B.ABCDABCDABCD

C.CDABACADCBDBD.DBCCCDCDBDBD

2.（23-24高一上•广东梅州•开学考试）两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频

率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验是（）

A.抛一枚硬币，正面朝上的概率；

B.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率；

C.转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率；

D.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率.

二、多选题

3.（2024•浙江•三模）已知A,B,C是一个随机试验中的三个事件，且0<P（A）<l,0<P（B）<l,下列

说法正确的是（）

A.若A与8互斥，则可与后不相互独立

B.若A与8相互独立，则A与3不互斥

4

C.若P（A⑻-P（网A）=P（AB）,且尸（AB）wO,则A与B相互独立

D.若P（ABC）=P（A）.尸（3）P（C）,则A,B,C两两独立

4.（2024•江西宜春•三模）同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件4甲骰子点数为奇数，事件8：

乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同.下列说法正确的有（）

A.事件A与事件8对立B.事件A与事件8相互独立

C.事件A与事件C相互独立D.P（C）=P（AB）

三、填空题

5.（23-24高三下•云南昆明,阶段练习）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件A表示“向上的点数是偶数”，

事件8表示"向上的点数不超过4",则P（AUB）=.

6.（2024・重庆•模拟预测）为研究吸烟是否与患肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法调

查了10000人，已知非吸烟者占比75%,吸烟者中患肺癌的有63人，根据统计结果表明，吸烟者患肺癌的

概率是未吸烟者患肺癌的概率的4.2倍，则估计本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数是.

反思提升：

1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：（1）互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时

不发生；（2）对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅

有一个发生.

2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事

件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.

【考点2】随机事件的频率与概率

一、单选题

1.（22-23高一下•福建莆田•期末）某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示：

射击次数501002004001000

射中8环以上的次数4478158320800

根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为（）

A.0.78B.0.79C.0.80D.0.82

2.（2024•四川绵阳•模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每

天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了

下列结论，其中正确的是（）

5

频率/组距

「、

。1：532：5g3%：4%g完嬴乍业时间/小时

A.估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天

B.估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3

C.估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时

D.估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时

二、多选题

3.（2024•全国•模拟预测）某校高三年级有（1）,（2）,（3）三个班，一次期末考试，统计得到每班学生的

数学成绩的优秀率（数学成绩在120分以上的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示:

班级(1)(2)(3)

优秀率80%85%75%

则下列说法一定正确的是（）

A.（2）班学生的数学成绩的优秀率最高

B.（3）班的学生人数不一定最少

C.该年级全体学生数学成绩的优秀率为80%

D.若把（1）班和（2）班的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为83%,则（1）班人数多于（2）班

人数

4.（2024•江苏苏州•模拟预测）为了保证掷骰子游戏的公正性，可以用正〃面体的骰子来进行游戏.下列数

字可以作为〃的取值的是（）

可能用到的公式：多面体的顶点数、棱数、面数分别为匕及尸，则V-E+尸=2.

A.4B.12C.16D.20

三、填空题

5.（2024•广东广州•三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1,2,3,4的四个外观相同的空箱子中随机选择

一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱

子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便

增加中奖概率.现在已知甲选择了1号箱，用A,表示i号箱有奖品（，=1,2,3,4）,用片表示主持人打开i号箱

6

子（i=2,3,4）,则P（国A）=，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为.

反思提升：

1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用

概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.

2.利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于

某一个常数，这个常数就是概率.

【考点3】互斥事件与对立事件的概率

一、单选题

1.（2024・上海•三模）在一个有限样本空间中，假设尸（A）=尸（B）=P（C）=g,且A与2相互独立，A与C

互斥，以下说法中，正确的个数是（）

①P（AUb）=：②尸©A）=2尸（A©③若P（C|8）+P（C同二，则B与C互斥

JZ

A.0B.1C.2D.3

2.（2024•山东烟台•三模）一袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球，从中不

放回的每次取出1个小球，连续取两次，则取出的这两个小球颜色不同的概率为（）

二、多选题

3.（2024・云南大理•模拟预测）假设42是两个事件，且P（A）=；,P（B|A）=P（B）,则（

171

A.P（AB）=-B.尸（A8）=dC.P（A+B）=|D.P（A|B）=|

4.（2024•河南新乡•模拟预测）随机投掷一枚质地均匀的骰子3次，记3次掷出的点数之积为X,掷出的点

数之和为丫，则（）

A.事件"X=2"和"y=4"相等B.事件"X=4"和"丫=6"互斥

153

C.X为奇数的概率为gD.Y<17的概率为三

854

三、填空题

5.（22-23高二下•天津•期末）天津相声文化是天津具有代表性的地域文化符号，天津话妙趣横生，天津相

声精彩纷呈，是最具特色的旅游亮点之一.某位北京游客经常来天津听相声，每次从北京出发来天津乘坐高

铁和大巴的概率分别为0.6和0.4,高铁和大巴准点到达的概率分别为0.9和0.8,则他准点到达天津的概率

是（分数作答）.若他已准点抵达天津，则此次来天津乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率

高（分数作答）.

6.（2024•天津和平•二模）为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动.在

最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响.已

7

知甲回答正确的概率为g,甲、丙两人都回答正确的概率是:，乙、丙两人都回答正确的概率是3.若规定

三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为;若规定三名同学

抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为:，!，!，则这个问题回答正确的概率为-

263

反思提升：

1.求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来.

2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些

彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对

立事件的概率，再用公式尸（A）=l—P（A）求出所求概率，特别是“至多”“至少”型题目，用

间接求法比较简便.

分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2024•江苏盐城•一模）已知随机事件A,B相互独立，且P（A）=尸（2）=；,则尸（AU0=（）

,2514

A.-B.—C.-D.一

3939

2.（2024・广东•三模）。为样本空间，随机事件A、B满足P（A）=尸（2）=：,尸（4。8）=1,则有（）

A.AUB=QB.F（AUB）=1C.AB=0D.尸（A|B）=1

3.（2024•山东荷泽•模拟预测）现有甲、乙、丙、丁四名同学同时到A3,C三个不同的社区参加公益活动，

每个社区至少分配一名同学•设事件4="恰有两人在同一个社区"，事件3="甲同学和乙同学在同一个社区”,

事件C="丙同学和丁同学在同一个社区“，则下面说法正确的是（）

A.事件A与B相互独立B.事件A与8是互斥事件

C.事件3与C相互独立D.事件8与C是对立事件

4.（2024・山西太原•一模）甲，乙两名同学要从A、B、C。四个科目中每人选取三科进行学习，则两人选

取的科目不完全相同的概率为（）

3353

A.—B.-C.—D.一

16884

二、多选题

5.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出

2个球.事件A="两次取到的球颜色相同"；事件2="第二次取到红球"；事件C="第一次取到红球下列

说法正确的是（）

8

A.AcBB.事件B与事件C是互斥事件

C.P（A2）=WD.P（5+C）=|

6.（2024•山东•模拟预测）袋子中有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中随机取出两个球,

设事件A="取出的球的数字之积为奇数"，事件3="取出的球的数字之积为偶数"，事件C="取出的球的数

字之和为偶数"，则（）

A.尸（A）=：B.P（B|C）=|

C.事件A与8是互斥事件D.事件8与C相互独立

7.（2024•江苏镇江•三模）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记"甲正面向上”为事件A,“乙正面向上"

为事件8,“甲、乙至少一枚正面向上”为事件C,则下列判断正确的是（）

A.A与3相互对立B.A与B相互独立

12

C.P（C）=5D.P（B|C）=-

三、填空题

3

8.（2024・广东广州•模拟预测）选手甲和乙进行乒乓球比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为X，乙获胜的概

2

率为：，采用五局三胜制，则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了三局的概率为.

9.（2024・吉林•模拟预测）中国成功搭建了国际首个通信与智能融合的6G外场试验网，并形成贯通理论、

技术、标准和应用的全产业链创新环境.某科研院在研发6G项目时遇到了一项技术难题，由甲、乙两个团队

分别独立攻关.已知甲、乙团队攻克该项技术难题的概率分别为0.8和0.7,则该科研院攻克这项技术难题的

概率为.

四、解答题

10.（2024・四川成都•模拟预测）《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康，保障未成年人

合法权益.我校拟选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校选拔出甲、

乙两人进行比赛，比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手若答对问题，则自己得1分，该选手继

续作答；若答错问题，则对方得1分，换另外选手作答.比赛结束时分数多的一方获胜，甲、乙能确定胜负时

比赛就结束，或5个问题回答完比赛也结束.已知甲、乙答对每个问题的概率都是上竞赛前抽签，甲获得第

2

一个问题的答题权.

⑴求前三个问题回答结束后乙获胜的概率；

⑵求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率.

【能力篇】

一、单选题

1.（2024•江苏•模拟预测）一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8,将其随机抛掷两次，

9

记与地面接触面上的数字依次为X”马，事件A：%=3,事件B：X2