2025年高考数学一轮复习讲义：平面向量的数量积及其应用（解析版）

专题30平面向量的数量积及其应用（新高考专用）

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................9

【考点1】数量积的计算......................................................9

【考点2】数量积的应用......................................................12

【考点3】平面向量的综合应用................................................17

【分层检测】...............................................................24

【基础篇】.................................................................24

【能力篇】.................................................................30

【培优篇】.................................................................33

考试要求：

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

2.了解平面向量的数量积与投影向量的长度的关系.

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.

6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

L平面向量数量积的有关概念

(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和"。是平面上的任意一点，作为=a,OB=b,则N

AO3=e(0WeW7i)叫做向量a与力的夹角.

(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与"它们的夹角为仇我们把数量lalOlcos。叫做向

量a与的数量积(或内积)，记作a也即a0=|。|由|cos_规定：零向量与任一向量的数量积

为0,即0«=0.

(3)投影向量

如图，在平面内任取一点。，作曲=°,ON=b,过点〃作直线ON的垂线，垂足为Mi,则由

就是向量a在向量〃上的投影向量.

设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为0,则曲i与e,a,6之间的关系为曲i=|a|cos

0e.

2.平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a=(xi,yi),b=(x2,yi),。为向量a,〃的夹角.

⑴数量积：a-Z>=|fl||/>|cos0=xixi+yiyi.

⑵模：\a\=\[a^a=y/jd+yi.

,jabxiX2+yiy2

⑶夹角：cos6=丽=：.+济1

(4)两非零向量a_LZ>的充要条件：a0=0=xix2+yiy2=0.

(5)|a仍|W|a||Z)|(当且仅当a//b时等号成立)Q|xix2+yi〉2|W4x?+资、/人+货.

3.平面向量数量积的运算律

(l)a0=»a(交换律).

(2)丸(访=23万)=".(肪)(结合律).

(3)(a+b>c=a・c+"c(分配律).

4.平面几何中的向量方法

三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；

⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系；

2

⑶把运算结果“翻译”成几何关系.

常用结论

1.两个向量。，〃的夹角为锐角=。乃＞0且。，力不共线；两个向量〃的夹角为钝角=a•方＜0

且。，方不共线.

2.平面向量数量积运算的常用公式

(1)(°+〃)・(0一办)=屋一办2；

(2')(a+by=a2+2a-b+b2.

(3)(°-8)2=〃2—2。办+办2.

3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，。乃=a,c(aW0),不能得出〃=c,两边不能约去同一

个向量.

一、单选题

1.(2023•全国•高考真题)已知向量益，瓦1满足同=W=L同=3,且。+5+^=。，则COS〈M-",B-2〉=()

4224

A.——B.——C.-D.-

5555

2.(2023•全国•高考真题)已知。。的半径为1,直线B4与。。相切于点A,直线尸3与交于3,C两点,

。为8C的中点，若|PO|=Q,则西.丽的最大值为()

△1+V2R1+2近

22

C.1+72D.2+0

3.(2023•全国•高考真题)已知向量£=(1,1)3=(1,-1),若R++闻，则()

A.2+4=1B.X+"=—1

C.D.澳=一1

4.(2022•全国•高考真题)已知向量£=(3,4)出=(1,0)£=£+/,若<£,">=<瓦£>,则/=()

A.-6B.-5C.5D.6

5.(2022•全国•高考真题)已知向量满足|£|=1,出|=右,|£-2回=3,则£而=()

A.-2B.-1C.1D.2

二、填空题

6.(2023•全国•高考真题)已知向量3满足口一行卜君，归+5卜恒_曰,则忖=

3

7.（2022•全国•高考真题）设向量入石的夹角的余弦值为:，且同=1,忖=3,则（2—+B）Z=

8.（2021•全国・高考真题）已知向量〃+B+c=6,忖=1,W=k|=2,a-b+b-c+c-a=.

9.（2021•全国•高考真题）已知向量a=（l,3）,B=（3,4）,若贝！JX=.

10.（2021•全国•高考真题）已知向量a=（3,l）,B=（l,0）,c=a+左若£_1工，则左=.

参考答案：

1.D

【分析】作出图形,根据几何意义求解.

【详解】因为商+B+1=所以5+。=-5,

即日2+庐+2万石=/,即1+1+2:二=2,所以必3=0.

:

^^/&OA=a,OB=b,OC=cf

由题知,04=OB=1,0。=①,AOAB是等腰直角三角形，

AB边上的高0。=也,AD=变，

22

所以8=(%>+。£>=应+^?=还，

22

tanNACD=­=-,cosZACD=

CD3阿

cos〈M-c,b-c)=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1

故选:D.

2.A

【分析岫题意作出示意图,然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得/两十冬BY

4

或标丽小号加后结合三角函数的性质即可确定瓦方的最大直

【详解】如图所示，|Q4|=L|OP|=0，则由题意可知:ZAPO=(,

由勾股定理可得|PA|=VOP2-OA2=i

jr

当点A,D位于直线尸。异侧时或PB为直径时，设ZOPC=a,O<a<~,

4

则：PA.pD=\PA\\PD\cos^a+^

=1x^2cosacosa+-

I4

=y[2cosa

=cos2a—sinacosa

1+cos2a1.八

-----------------sin2a

22

22

c7171dTC71

0<a<一,贝I]----<la-------<—

4444

71

则：西・丽=1丽II而|cosa~~

5

71

=1x72cosacosa----

4

Bcos«+^sin«

=A/2COSa

22

=cos2cr+si•ncrcoscr

1+cos1..

--------------b—sm2a

22

=」+也sin（2a+&],

22I4j

a<

°-i贝字2a+?d

.•.当2a+?=£时，耳.而有最大值上手.

综上可得，中.而的最大值为匕巫.

故选：A.

【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查

了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.

3.D

【分析】根据向量的坐标运算求出Z+萩，a+pb,再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【详解】因为a=（U）,6=,所以a+46=（1+4,1-「）,a+〃b=（l+〃,l—〃）,

由+几@_L（a+可得，（a+/lB＞（a+〃石）=0,

即++〃）+（1_九）（1_〃）=0,整理得：=—1.

故选：D.

4.C

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

/、,、,、9+3,+163+1

【详解】解：忑=（3+r,4）,cos仅©=cos。©,即一乖|—=解得1=5,

故选：C

5.C

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

6

【详解】解：0|a-2/j|2=|<7|2-Aa-b+4|&|,

又回方|=1,防|=6,监一251=3,

国9=1一4d•3+4x3=13—4万

回苕％=1

故选：C.

6.超

【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令二=5,结合数量积的运算律

运算求解.

【详解】法一：因为1+.=忸一年即R+B『=(2"5『，

贝Ia+2a-b+b=^a-^a-b+b'整理得二-2a-b=0>

又因为卜-»=若，即"盯=3,

则工2荽+r』2=3,所以M=A

rrrrrrrrr

法二：设c=。-0，IjJlJ|c|=y/3,ct+b=c+2b,2a—b=2c+b,

由题意可得：(c+26)=(2c+b),贝心2+4鼻+4抹=4：+4；•力+；

整理得：废=?，即利=卜卜退.

故答案为：右.

7.11

【分析】设£与区的夹角为。，依题意可得；,再根据数量积的定义求出

cosd=7,最后根据数量积的运

算律计算可得.

【详解】解：设Z与B的夹角为凡因为Z与B的夹角的余弦值为:，即cose=g,

又忖=1,1|=3,所以°石=卜|第8$。=1><3*!=1,

所以+=2〃=2〃.5+|4=2x1+32=11.

故答案为：11.

7

【分析】由已知可得,+1+。2=0,展开化简后可得结果.

【详解】由已知可得（Z+B+"）=/+石2+（72+2（〃.方+~0+0〃）=9+2（〃.5+5.0+0〃）=0,

因止匕，a-b+b-c+c-a=

2

Q

故答案为：--.

3

9.-

5

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.

【详解】因为2-0=（1,3）—4（3,4）=。—343—4X）,所以由可得,

3（1-32）+4（3-42）=0,解得力=：

3

故答案为：—.

【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设£=（石,％）3=（%,%），

=芯w+M%=。，注意与平面向量平行的坐标表示区分.

10

10.——.

3

【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量E的坐标，利用向量的数量积为零求得上的值

【详解】•.2=（3,1）,5=。,0）,「1=互+防=（3+匕1）,

,.,少,不,「.无1=3（3+左）+1乂1=0,解得左二一岑，

故答案为：-g.

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量

力=a,%）4=（%,为）垂直的充分必要条件是其数量积xixi+%%=。.

【考点1】数量积的计算

一、单选题

1.（2024•江苏扬州•模拟预测）已知向量入5满足同=1,M,且行与石的夹角为费，则忸-=（）

A.gB.拒C.1D.13

8

2.(2024・湖北•模拟预测)直线，=履与圆(x-l)2+(y-l)2=l交于M、N两点，O为坐标原点，贝I•.砒=

()

1k2

A.——B.——-C.1D.2

l+k2T1+k2

二、多选题

3.(2024•广东广州•二模)在梯形ABCD中，AB//CD,AB=1,CZ)=3,cosZDAC=—,cosZACD=上，则()

44

A.­=Bcos/BAD=C.BA-AD=—D.ACBD

244

4.(2024•全国•模拟预测)已知4高是两个单位向量，若丽=4+运，〃=1,2,3,贝！］()

A.匕鸟,月三点共线B.|阿＜|网＜|呵

C.AP^-ex<AP2-ex<AP3-exD.APX-e2<AP2-e2<APi-e2

三、填空题

一114

5.(2024・河南•模拟预测)已知向量a=^=(1,2),若7B=1，则7+7的取值范围为

6.(2024高三・全国•专题练习)已知向量M+B+1=0,⑷=1,⑸=©=2,a-b+b-c+c-a=_

参考答案：

1.B

【分析】根据忸一*J(2万叫2,结合数量积运算求解.

【详解】根据题意，=|耶卜。sg=lx®x『当卜一|,

贝”2小卜”21一=yj4a-4a-b+b2=J4+6+3=V13.

故选：B

2.C

【分析】先联立方程，结合韦达定理可求出占/，%%，根据向量数量积可求答案.

y=kx/、

【详解】联立/-2(〜/得1+公%2―2亿+1)%+1=0,

(x-1)—=1'/

贝即4优+1)2—4俨+1)>0,所以％>0,

]女

设Af(3,y),N(%2,%)，贝I：=]+左2，M%=A?%%=]+2严，

OM.ON=%9+%%=(1+%?),J]=1,

故选：C

9

3.ABD

【分析】在AACD中由正弦定理求解4)判断A；利用两角和差公式求解cos/ADC判断B；利用向量数量积

计算丽•砺判断C；利用数量积计算而•丽=0判断D.

【详解】在△ACD中，cos^DAC=,cos^ACD=—

44

贝I」sin/ZMC=巫,sin/ACD=—,

44

CD

由正弦定理知

sin/ACDsin^DAC

3xU

CDsinZACD30

即AD=___4_故A正确;

sinZDAC~2~

4

cosZADC=cos(7T-ADAC-ZACD)

D

=-cos(ZZMC+ZACD)

=sinZDACsmZACD—cosADACcosZACD

V14A/7A/23V2

=------x---------------x—=------，

44444

・・•AB//CD,二ABAD=7t-ZADC,

cosZBAD=cos(it-ZADC)=-cosZADC=-^-,故B正确；

丽.而=|丽H囤cos(兀-N8A0

=|BA|-|AO|COSZADC=1X^IX^=|,故C错误；

AC-BD=(AD+DCy(BA+AD^

=ADBA+DCBA+AD2+DCAD

故/，而，即AC13。，故D正确.

故选：ABD

4.ABD

【分析】利用平面向量共线的性质判断A,利用向量模的性质判断B,用定义计算向量积判断C,D即可.

【详解】对于选项A：=AP2-APX=e1+2e2-^e1+e2'j=e2,6A=A月一=q+3e?—卜+e?)=2e2,所

10

以蔗=2匾，

于是匕鸟,《三点共线，故A正确.

选项B：设乌,62的夹角为凡则=1+1+2cos6=2+2cos6,|A/^|=1+4+4COS6=5+4cos6,

|A^|2=1+9+6cos0=10+6cos6,|M|2一|正(=5+4cos6>-(2+2cos0)=3+2cos6>>0,所以|愆狗'

故国卜|理，同理|福碉2=10+6cose-(5+4cose)=5+2cos6>0,

所以|碉2>|正卜故|阳<|阳，因此网卜|阳<|间，故B正确.

选项C：易知qq=cos。,所以A片.q=(q+02)・q=1+cosd,钻.q=(勿+2马)-q=l+2cos/,

AP3.q=(q+3%).G=1+3cosd,

因为cos。的值不确定，所以无法比较大小，故C不正确.

选项D：AF[-e2=(el+e2\-e2=l+cos0,AP2-e2=(e1+2e2]-e2=2+cos0,AP3-e2=+3e2\e2=3+cos0,

显然-e2cA-e2,故D正确.

故选:ABD

5.19+4忘,+(»)

14

【分析】根据数量积的坐标表示得到根+2〃=1,再利用乘“甘法及基本不等式求出上+2的最小值，即可求

mn

出其范围.

【详解】因为a=(〃2,〃)(〃z,〃>0),5=(1,2),0.5=1，所以无5=相+2〃=1,

14

所以上+色=•(m+2n)=9+—+—>9+2=9+4夜,

mnmn

当且仅当&=坦，即〃?=述二1,〃=山1时取等号,

mn77

故答案为：［9+4夜,+8)

9

6.

2

【分析】根据平面向量数量积的运算及数量积的性质即可得结论.

【详解】因为向量M+B+乙=0，|a|=l，|B|=|C|=2,

11

/—►—►—­►2.—»2.—*Z/—»—►—»—»—►—»\/­►—►—►—►—►—»\

所以（a+Z?+c）=a+b+c+2（a・Z?+b.c+c.Q）=9+2（a./?+b.c+LQ）=0,

因止匕，a-b+b-c+c-a=~~.

2

o

故答案为：-万.

反思提升：

平面向量数量积的两种运算方法

（1）基底法：当已知向量的模和夹角。时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量

积的有关计算问题；

（2）坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.

【考点2】数量积的应用

一、单选题

1.（2024・四川眉山・三模）已知向量汗石忑满足同=网=1,同=右，且分+不=0,贝UcosR-*By）=（）

13363月13

A.—B.C.D.——

14141414

2.（2024.辽宁葫芦岛.一模）已知向量海的夹角为会且同=2忖=2,若（焉—力小心+力），贝隈=（）

2123

A.—B.-C.-D.一

5234

二、多选题

3.（2022•全国•模拟预测）在边长为2正六边形ABCDEF中，G是线段上一点，AG=AAB,则下列说法

正确的有（）

1—.1—.—.

A.若几=5，贝！JEG=-5AB-2AF

B.若向量丽在向量径上的投影向量是〃AS,则〃=；

C.若尸为正六边形ABCD瓦内一点（包含端点），则Q.通的取值范围是[-2,6]

D.若国.国=1，则九的值为:

4.（2023河北唐山■二模）已知向量Z=（cose,cos⑶，5=（sintz,sin/?）,"=（1,1）,下列命题成立的是（）

A.若蕨,则。=£+E（LeZ）

B.若a.B=l，贝!]a+4=2^+5（%eZ）

C.若（4+B）_L（a—9），贝!|tz+£=bt+g（左eZ）

D.设7"=相，b-c=n＞当病+”2取得最大值时，。=6+2E（7eZ）

三、填空题

12

5.（2023•全国•模拟预测）己知平面向量获满足同=2止6,卜+冈=3屿力石=9,则实数上的值为

6.（2024・四川•模拟预测）平面向量商，石满足方=（一3,2）,a-b=（i,k）,且力，则上的值为

参考答案：

1.A

【分析】根据数量积的运算律求出胪6、a-c,b-c-即可求出他-沙色-"、\a-c\.\b-c\,再根据夹

角公式计算可得.

【详解】由题意得5+力=」，则0+疗=片有「+2无方+F=（百产，解得小5=；,

3

又由4+3=—则0+0)2=52有F+2Mg+(百＞=12,解得^1二一,，

一3

同理可得bN=-3,

2

\a-c\=yla2-2a-c+c2=A/7,

-c|=yjb2-2b'C+c2=币,

13

伍一）倒

所以cos仿-"513

忸一斗,_《14

故选：A

2.A

【分析】利用平面向量的数量积运算公式结合已知直接计算即可.

【详解】因为（左a-Z?）_L（a+Z?）,

所以（左：一%）・（「+2）=0,BPka2+（k-l）a-b-b2=0,

因为同=2网=2,向量2,B的夹角为

所以同=2,忖=1,万=2xlx^=1,

2

所以4k+左一1一1=0,BP.

故选：A.

3.AC

【分析】由向量线性运算可利用福,衣表示出院，知A正确；由投影向量定义可求得向量①在羽上的

13

投影向量为-g通，知B错误；以A为坐标原点建立平面直角坐标系，设P（m,"）（-14机43）,利用向量数

量积的坐标运算可知C正确；设G&O）（OVK2）,根据历•丽=1可求得/的值，进而得到而=?通，知

6

D错误.

【详解】对于A,若％=则G为A3中点，

1—.—.~

EG=EF+FA+AG=EB+BF-AF+-AB=2FA+AF-AB-AF+-AB=AB-2AF,A正确;

222

对于B,由正六边形的性质知向量前与通的夹角为胃,

...〃=一（，错误;

则向量前在荏上的投影向量为B

对于C,以A为坐标原点，荏，衣正方向为x，y轴，可建立如图所示平面直角坐标系,

则A（0,0）,B（2,0）,设尸（仅孔）（一14机＜3）,:.AP=（m,n）,AB=（2,0）,

.*.AP-AB=2me[-2,6],C正确；

对于D,由题意知：£（0,2V3）,C（3,6）,AB=（2,0）,

14

二

设G（f,0）（04/W2）,;.互=（一3,道），箕=，-3,-』），

.-.CG-CE=-3（r-3）-3=l,解得：f=],，AG=[§,Oj,AB=（2,0）,

AG=-AB,即4=巳，D错误.

66

故选：AC.

4.AD

【分析】若；〃力，则cosasin分-sinacos/=0,结合两角差的正弦公式即可判断A；若7B=1，贝I

cosasiim+cos乃sin£=l,再结合二倍角的正弦公式及正弦函数的值域即可判断B；若伍+可乂£询，则

伍+斗仅闷=0,再结合二倍角的余弦公式即可判断C；求出牡〃再结合两角差的余弦公式即可判断D.

【详解】对于A,若；〃），贝ijcosasin，—sinacos；?=0,

即sin（a—0=O,所以a—#=E,即a=77+E（左£Z）,故A正确；

对于B若75=1，则cosasina+cos尸sin£=l,

即gsin2a+gsin2£=l,即sin2a+sin2/3=2,

因为sin2cr<l,sin2分4l,所以sin2cr=sin2/7=1,

JIJI

所以2a=2k[it+于20=2k2兀+5,勺4eZ,

所以2a+2尸=2勺兀+2k27i+兀=2kn+K,,Z:GZ,

jr

所以a+/=E+,（左EZ）,故B错误；

对于C,a+b=（cosa+sina,cos/3+sin/3^,a-b=（cosa-sina,cos/3-sin4）,

由（Q+B）_L（〃_B）,得（〃+石）.（a_石）=0,

即（cosa-sina）（cosa+sina）+（cos/3-sinj3）（cosP+sin/?）=0,

即cos2a+cos2/3=0,贝Ijcos2a=—cos2/3,

15

贝ij2a=24+兀+2kit或2a=兀一2/+2fai,keZ,

7Tjr

所以a—/=E+耳或二+/=后1+耳（左EZ）,故C错误；

对于D,a-c=m=cosa+cos/3,B1=〃=sina+sin/,

则m2+n2=cos2a+cos2万+2c+sacos/?+sin26Z+sin2/7+2sinasin0

=2+2cos（cr-/?）,

当小+》取得最大值时，cos（a-0=1,

止匕时。一/?=2E,所以。=/7+2E（左EZ）,故D正确.

故选：AD.

5.1或-3

【分析】结合平面向量的相关知识，将K+石|=36两边平方，计算即可.

【详解】将B+闽=36两边平方，得，+2初0+琲『=63,

得36+18左+9^=63，即左？+2左一3=0,解得左=1或一3.

故答案为：1或-3.

6.8

【分析】首先求出行的坐标，依题意。出=0,根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.

【详解】因为商=（-3,2）,a-b=（l,k）,

所以石=（一3,2）-（"）=（工2-后），

又万人B，所以万京=-3><（7）+2（2—左）=0,解得％=8.

故答案为：8

反思提升：

（1）根据平面向量数量积的性质：若a,为非零向量，则cos。=言言（夹角公式），a.Lb<^ab=

0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.

（2）计算向量的模：①当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；②利用|旬=也5及

（a±b）2=\a\2±2a-b+\b\2,把向量的模的运算转化为数量积运算；③几何法，利用向量的几何意

义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.

【考点3】平面向量的综合应用

一、单选题

1.（2024•湖北武汉•模拟预测）已知AASC是边长为4—的正三角形，点P是所在平面内的一点，且

16

满足|Q+旃+万卜3,则的最小值是（）

8

A.1B.2C.3D.-

3

2.（2024・广东广州•模拟预测）在中，角A、B、。的对边分别为。、b、c,若c=3,b=2,ZBAC

的平分线AO的长为生也，则BC边上的中线的长等于（）

5

.V17R4五,再N4A/3

2343

二、多选题

2

3.（2024•广东广州•二模）已知双曲线C:/-匕=1的左右焦点分别为月，耳，左顶点为4,点P是C的右

3一

支上一点，则（）

A.|P与「-|尸乙『的最小值为&

B.若直线P乙与C交于另一点。，则|PQ帕勺最小值为6

C.|尸耳卜|「耳|一|。尸『为定值

D.若/为△小功的内心，则|匹卜|/阊为定值

4.（2024•山西•三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平

整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂

蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口AB8EP,它的边长为1,点P是SDE尸内部（包括边界）的动点，则

C.若P为EP的中点，则。在成上的投影向量为-6反

D.陛+司的最大值为不

三、填空题

5.（2024•全国•模拟预测）已知等边AASC的外接圆。的面积为36万，动点”在圆。上，若

17

MAMB+MBMC<A^则实数％的取值范围为.

22

6.（2024•河北秦皇岛•二模）己知双曲线C：》-方=1（。>0*>0）的左焦点为尸，过坐标原点。的直线与

C交于A,8两点，且|网=2|F3|,FA.FB=3a2,则C的离心率为.

参考答案：

1.C

【分析】可由重心的性质结合向量运算得到点尸的轨迹，再结合圆上的点到圆外定点的距离最小值为圆心到

定点减半径得到；亦可建立适当平面直角坐标系，借助向量的坐标运算结合圆的性质得解.

【详解】法一：设AABC的重心为G,贝UQ+而+可=和+^+方+3丽=3声，

|丽+丽+所卜3,|西=1,.•.点尸的轨迹是以G为圆心，工为半径的圆，

又R同=|x2x4如=4,，|而|的最小值是卜@一1=3.

B

法二：以AC所在直线为X轴，以AC中垂线为y轴建立直角坐标系，

则A（-2A/3,0）,B（0,6）,C（2A/3,0）,

设尸（无,y）,|/+丽+丽1=3,即-0-2A/3）2+（3y-6）2=3，

化简得4+（y-2>=1,点P的轨迹方程为f+⑶-方=1,

设圆心为G,G（0,2）,由圆的性质可知当AP过圆心时口可最小，

又|A;G|=j+Q⑹2=4,故|存|得最小值为一1=4-1=3.

AO\Cx

故选：c.

2.A

【分析】由设NB4Z）=NC4Z>=e,S4ABe=S-ABD+S“c»可得cos。的值，进而可求得cos2（z,sin2a的值，结

18

合余弦定理可得“，由而2=:（荏+前］可求得加2,即可求得结果.

【详解】由题意知，^ZBAD=ZCAD=a,则/BAC=20,如图所示,

整理得3sin2a=2#sina,即sinc(3cosa-6)=0,

又因为sine*0,所以cosa=近^,

3

所以cos2a=2cos~a—1=；,所以sin2a=Jl—cos*2a=2y,

33

在AABC中，由余弦定理得标=32+22—2x3x2cos2a=13—4=9，所以a=3,

由AH是8C边上的中线，得加=g（而+记）

=^AB+AC2+2通.呵=；(/+0z+2bccos2a)=Ub2+c2+^bc

^22+32+2X2X3X1^=

所以，中线长人”=姮.

2

故选：A

3.ACD

【分析】根据双曲线的定义判断A；取直线/：y=0可判断B；由向量的数量积公式和运算律进行化简判断C；

根据双曲线的定义判断D.

2_

【详解】对A,=1得H3c=2,所以|尸耳日尸闾=2a=2,忸笈|=2c=4,

所以附阳巡「=（附卜尸项（|呐+|阳）=2（附|+附|"2闺阊=8,

当P为双曲线右支与x轴交点时，取等号,

即「的最小值为g,故人正确;

对B,若直线/经过后，当直线/的斜率为0时，直线/的方程为，=0,

与双曲线C的两个交点为Q（T0）,P（l,0）,此时|「。|=2,故B错误;

19

对C,因为2Pd=两+呵，包=函一质,

所以=尸耳尸耳尸巴，

4Po+PF2+2PFXPF1,FE=PF}+PF2-2

两式相加得，4而,+16=2(西+电］=2(|尸£|一「用)2+4?用|尸用=8+4?用|尸用,

所以归引尸词-|P0『=2,故C正确；

对D,设I(x,y)A-l,0),鸟(2,0),尸优,%),•”为APAB的内心，

二忸周.阖+|巳41|•毫+|A"卜炉=。，

=>(2x0-1)(-1-x,-y)+J(x0+1)+y：(2-x,-y)+3(x()-x,%-y)=0,

2x0+2+^(x0+1)+y；

在双曲线/一：=1上，|闽-|名|=2,为定值，D正确,

故选：ACD.

4.AD

【分析】对于A：根据正六边形的性质结合向量的线性运算求解；对于C：根据CELEF结合投影向量的定

义分析判断；对于BD：建系，根据向量的坐标运算求解.

uumuunuumuuniuun

【详解】对于选项A：因为。£=0后-0£>=4尸-54。，故A正确；

对于选项C：由题意可知：CE±EF,

若尸为E尸的中点，所以而在配上的投影向量为一浅，故C错误；

对于选项BD：如图，建立平面直角坐标系，

20

设尸(x,y),可知-14x4JeVyw],

则屋,FP=(x+l,y),可得度+而=，+卜+

则阿+丽|=

>+2厂

可知当x=g,y=^,即点P与点O重合时，|丽+丽|的最大值为近，故D正确;

故选：AD.

5.[72,+8）

【分析】根据正三角形的几何性质可得外接圆半径，再由正弦定理得边长AB,取线段AC的中点N,取线

段3N的中点P,根据向量的线性运算及数量积的运算性可得初入砺+砺.碇=2痂•丽，且后方丽=

MP-\BN\再由三角形三边关系列不等式得结论.

【详解】依题意，设"RC的外接圆的半径为R,则兀店=36兀，故R=6,

4R

在等边AABC中由正弦定理得二—=12,则AB=6A/L

sin60

取线段AC的中点N,连接BN,则BN=3AB=9,

2

所以内.旃+旃.碇=荻•（加+近）=2砺.丽；

1Q3

取线段BN的中点尸，连接6P,则。在线段BN上，5.ON=-BN=3,所以OP=NP—ON=-3=万，

21

c

M

225

~T

—•—•//)(\I

故MB-MNM-----------=36,则X272.

故答案为：［72,+8).

V26

~r

【分析】记c的右焦点为4,连接做，BF1,由双曲线的定义结合题意可得|即=4%|做|=2匹再由数

量积的定义和余弦定理可得26〃=船2,即可求出答案.

【详解】记C的右焦点为耳，连接然，BK，如图所示.

Fxx

过坐标原点。的直线与。交于A,3两点，

所以四边形Aq与为平行四边形，所以|FB|=|A£|,

因为|网—|M|=2a,\F^=2\FB\=2\AFt\,

所以|E4|=4a,|故|=2a.

因为西.丽=|丽口丽卜osZAFB=3q2,所以cos/AEB=^=。

11118/8

在△AM中,由余弦定理可得4c2=164+44—2x4Qx2acosZFAF,,

,3

因为35/£4耳=—8544五5=-—,所以26/=4/,

8

即《=叵，即C的离心率为

22

故答案为：遒.

2

反思提升：

向量数量积综合应用的方法和思想

(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关