2025年高考数学一轮复习讲义：空间直线、平面的平行（原卷版）

专题38空间直线、平面的平行（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................5

【考点1】直线与平面平行的判定与性质........................................5

【考点2］平面与平面平行的判定与性质........................................7

【考点3］平行关系的综合应用................................................10

【分层检测】...............................................................12

【基础篇】.................................................................12

【能力篇】.................................................................15

【培优篇】.................................................................17

考试要求：

从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、

平面与平面的平行关系，并加以证明.

・知识梳理

1.直线与平面平行

(1)直线与平面平行的定义

直线/与平面a没有公共点，则称直线/与平面a平行.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果平面外一条直线

与此平面内的一条直a____aGa,bua,a//b=>a

判定定理

线平行，那么该直线与//a

此平面平行

一条直线和一个平面

平行，如果过该直线的a//a,£,。n£

性质定理7

平面与此平面相交，那Jeb=b=>a//b

么该直线与交线平行

2.平面与平面平行

(1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果一个平面内的

au£,buB,aC\b

两条相交直线与另%如/

判定定理=P,a//a,b//an

一个平面平行，那4__/

aIIB

么这两个平面平行

两个平面平行，则

其中一个平面内的/a/a//0,aua0ali

性质

直线平行于另一个/_____/£

平面

两个平面平行，如

a〃£,a(~yy=a,

性质定理果另一个平面与这

二劣必J3r\y=b=>a//b

两个平面相交,那

2

么两条交线平行

I常用结论

1.平行关系中的三个重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a邛,则a〃及

(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若a〃6，p//y,则a〃/

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若b±a,则。〃。

2.三种平行关系的转化

性质定理

▼判定定理判定定理I

线线平行一:笃、线面平行.一、面面平行

性质定理性质

,真题自测

一、解答题

1.（2024•全国,高考真题）如图，AB//CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=y/l0,

=为cr＞的中点.

(1)证明：EM//平面

(2)求点M到ADE的距离.

2.(2023•全国•高考真题)如图，在三棱锥P—ABC中，AB1BC,AB=2,BC=2®，PB=PC=&,

3P,AP,3c的中点分别为，及O,点尸在AC上，BF1AO.

A

3

（1）求证：跖〃平面A£）O；

⑵若/PO尸=120。，求三棱锥P-ABC的体积.

3.（2023•天津•高考真题）如图，在三棱台ABC-A耳G中，4人，平面

ABC,AB±AC,AB=AC=A4,=2,4Q=1,Af为BC中点.，N为AB的中点,

（2）求平面AMG与平面ACGA所成夹角的余弦值；

⑶求点C到平面AMG的距离.

4.（2022・全国•高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面

ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，一E4B,AEBC,_GCD,一印）A均为正三角形，且它们所在的平面都

与平面ABCD垂直.

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

5.（2022•北京•高考真题）如图，在三棱柱ABC-人耳。中，侧面BCC蜴为正方形，平面BCC4，平面4880,

AB=BC^2,M,N分别为凡与，AC的中点.

4

⑴求证：MN〃平面3CC4；

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线A8与平面8MN所成角的正弦值.

条件①：AB1MN；

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

■考点突破

【考点11直线与平面平行的判定与性质

一、单选题

1.（2024•江西景德镇•三模）已知b是空间内两条不同的直线，a,13,/是空间内三个不同的平面,

则下列说法正确的是（）

A.若&_1/?,aua,则。_L£

B.若a，B,则aPo;

C.若ac尸=。，aLy,/?!/,则。_L/

D.若a_L6，ac0=a,b±a,则匕或6,6

2.（2024•内蒙古•三模）设a,4是两个不同的平面，加，/是两条不同的直线，且戊/?=/则"加///"是""〃尸

且血/a”的（）

A.充分不必要条件B.充分必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

二、多选题

3.（2024・湖北黄冈•模拟预测）如图，正方体A8CD-AgCQ的棱长为3,&E、F,G分别在棱RA，D©,

D.ED.F1

4A上，满足六=端k=£，，记平面班与平面4片。的交线为/,则（）

£v|/I.LJ,Cz13AG=XAAG

5

A.V2e（O,l）,AC〃平面E/G

B.平面印G截正方体所得截面图形为六边形的充分不必要条件是4e（0,1）

C.4=（时，三棱锥A-EFG的外接球表面积为24兀

D.彳=:时，直线/与平面ABCD所成角的正弦值为逅

36

4.（2023•辽宁沈阳•二模）在正方体ABCD-ABGA中，钻=1,点P在正方体的面CCQZ）内（含边界）

移动，则下列结论正确的是（）

7T

A.当直线用P//平面4跳）时，则直线男尸与直线CA成角可能为:

4

B.当直线4尸//平面时，尸点轨迹被以A为球心，。为半径的球截得的长度为:

42

7TJT

C.若直线男尸与平面CG2。所成角为:，则点P的轨迹长度为g

42

D.当直线用PLA8时，经过点2,P,2的平面被正方体所截，截面面积的取值范围为］手，&

三、解答题

5.（2024•内蒙古呼和浩特•二模）如图，已知平面8CE,CD//AB,8CE是等腰直角三角形，其中

NEBC=—,且钙=BC=2CD=4.

2

⑴设线段BE中点为尸，证明：C尸〃平面ADE；

（2）在线段A3上是否存在点知,使得点8到平面CEM的距离等于巫，如果存在，求MB的长.

2

6.（2024•北京顺义•三模）如图在几何体A8CDFE中，底面ABC。为菱形，ZABC=^）°,AE//DF,AEYAD,

6

AB=AE=2£＞尸=4.

⑴判断A。是否平行于平面CEE并证明；

⑵若面以8_1_面ABCD；求：

但）平面ABCD与平面CEB所成角的大小;

（回）求点A到平面CEF的距离.

反思提升：

（1）判断或证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的定义（无公共点）.

②利用线面平行的判定定理（aCa,bua,a//b^>a//a）.

③利用面面平行的性质（a〃夕，aua=a〃£）.

④利用面面平行的性质（a〃AaO£,a//ana〃£）.

⑵应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确

定交线.

【考点2】平面与平面平行的判定与性质

一、单选题

1.（2024・安徽安庆・三模）在正方体ABCD-AgGR中，点瓦尸分别为棱AB,AD的中点，过点E/，G三点

作该正方体的截面，则（）

A.该截面多边形是四边形

B.该截面多边形与棱B片的交点是棱B片的一个三等分点

C.AC_L平面C］所

D.平面ABQJ/平面GEP

2.（2024•福建南平・二模）在正四面体ABCO中，P为棱AD的中点，过点A的平面a与平面P3C平行，平

面a平面=平面a平面ACr>=”，则加，”所成角的余弦值为（）

A五R1,2D也

3333

二、多选题

3.（23-24高一下•河南•阶段练习）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，

规定：多面体顶点的曲率等于2兀与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面

7

jr

角，角度用弧度制.例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为故其各个顶点的曲率均为

2K-3X-^=".如图，在直三棱柱ABC-A4G中，点C的曲率为三,〃，区尸分别为

AC,AB，AG的中点，则（）

A.直线3尸〃平面A。石

5兀

B.在三棱柱ABC-A中，点A的曲率为一

C.在四面体A1AOE中，点E的曲率小于兀

D.二面角A-DE-A的大小为:

4.（2024•河北保定•二模）如图1,在等腰梯形ABCD中，AB//CD,EFLAB,CF=EF=2DF=2,AE=3,

EB=4,将四边形AEFD沿EF进行折叠，使AD到达AD位置，且平面A7XRE_L平面以ZE,连接

A.BEVADB.平面AEB〃平面ZXFC

C.多面体AEBCD犷为三棱台D.直线AD与平面W所成的角为:

三、解答题

5.（2024・陕西安康•模拟预测）如图,在圆锥P。中，P为圆锥的顶点，0是圆锥底面的圆心，四边形A3CD

是底面的内接正方形，瓦尸分别为的中点，过点及EO的平面为a.

8

（1）证明：平面a「平面PBC；

（2）若圆锥的底面圆半径为2,高为6，设点M在线段所上运动，求三棱锥P-MBC的体积.

6.（2024•山东潍坊•三模）如图，在直三棱柱ABC-A4G中，AB±AC,AB^AC=2AAl,E是棱BC的中

点.

B

⑴求证：AC〃平面明£；

⑵求二面角A-BJE-A的大小.

反思提升：

1.判定面面平行的主栗方法

（1）利用面面平行的判定定理.

（2）线面垂直的性质（垂直于同一直线的两平面平行）.

2.面面平行条件的应用

（1）两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行.

（2）两平面平行，其中一■个平面内的任意一■条直线与另一■个平面平行.

【考点3】平行关系的综合应用

一、单选题

1.（2022•北京朝阳•一模）在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，K4,VB,VC两两垂直，

VA=VB=VC=1（W：dm）,小明同学计划通过侧面以C内任意一点尸将木块锯开，使截面平行于直线VB

和AC,则该截面面积（单位：dm2）的最大值是（）

2.（2021•新疆•二模）已知。，b,c为三条不同的直线，a,B,7为三个不同的平面，则下列说法正确

的是（）

A.若。〃6,bua,则a//a

B.若ac0=a,（3y=b,ac\y=c,a!lb,则b〃c

9

C.若bu，,cuB,a_Lb，a±c,贝

D.若aua,bu/3,a!lb,贝！Ja〃/?

二、多选题

3.（2024,湖南益阳•三模）如图，点尸是棱长为2的正方体A3CD-A耳GR的表面上的一个动点，则下列

A.当点尸在平面上运动时，四棱锥尸-44QQ的体积不变

jr7T

B.当点尸在线段AC上运动时，2尸与AC所成角的取值范围为y,-

C.使直线AP与平面ABC。所成角为45的动点尸的轨迹长度为兀+4虚

D.若尸是4耳的中点，当点P在底面A8C£＞上运动，且满足尸尸〃平面BC2时，PF长度的最小值为指

4.（2024・湖北•二模）如图，棱长为2的正方体ABCD-A与GR中，E为棱的中点，p为正方形

内一个动点（包括边界），且用尸//平面ABE,则下列说法正确的有（）

A.动点/轨迹的长度为双

B.三棱锥片-2EB体积的最小值为:

C.男厂与AB不可能垂直

当三棱锥瓦-。尸的体积最大时，其外接球的表面积为空兀

D.2

三、解答题

10

5.（2024・陕西安康•模拟预测）如图，在直三棱柱A2C-4内£中，£>,瓦尸分别为棱BC,BB|,CG的中点.

（1）证明：4尸国平面ADE;

2冗

⑵若AB=BC=CC,=4,ZABC=—,求点8到平面ADE的距离.

6.（2024•贵州•模拟预测）在三棱锥ABCD中，AC，平面BCD,P是AB上一点，且3AB=4鳍，连接CP

与DP,。为。尸中点.

⑴过。点的平面平行于平面且与2C交于点求黑;

⑵若平面PCD,平面A3C,且AC=2BC=2CE>=4,求点P到平面2C。的距离.

反思提升：

三种平行关系的转化

性质定理

▼判定定理判定定理।

线线平Fsr线面平行面面平行

分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2024・广东深圳•模拟预测）已知两条直线相，〃和三个平面%0,为下列命题正确的是（）

A.若根a,m/3,则a〃4

B.若a_L^,aLy,则/〃/

C.若a_L7,0,a/3=m,则m_L/

D.若〃u/,n//a,n(3,aI(3=m,则机〃7

11

2.（2024・贵州贵阳•二模）设/为直线，a为平面，则〃/a的一个充要条件是（）

A.a内存在一条直线与/平行B./平行a内无数条直线

C.垂直于。的直线都垂直于/D.存在一个与a平行的平面经过/

3.（2024,全国•三模）已知a,尸是两个不同的平面，m,/是两条不同的直线，若根ua,a6=/，则

是“加〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2024•全国•模拟预测）己知正方体ABC。-4gGR中，点E是线段B片上靠近鸟的三等分点，点/是

线段，。上靠近2的三等分点，则平面AE尸截正方体A3。-A4G2形成的截面图形为（）

A.三角形B.四边形C,五边形D.六边形

二、多选题

5.（2024・吉林・二模）已知m,”为两条不同的直线，a,£两个不同的平面，且根_La,nll13,则（）

A.若则B.若根〃夕，则加

C.若m_L/?,则D.若根〃“，则加〃£

6.（2023•河北衡水•模拟预测）如图，已知圆锥的顶点为S,底面ACBD的两条对角线恰好为圆。的两条直

径，E,尸分别为SA,SC的中点，且&4=AC=AD,则下列说法中正确的有（）

A.S£>〃平面O£F

B.平面OEF〃平面S3。

C.OE1SA

D.直线EF与SD所成的角为45。

7.（2020・山东泰安■—■模）a,夕是两个平面，W是两条直线，有下列四个命题其中正确的命题有（）

A.如果〃尸，那么。_!_/?

B.如果相那么〃z_L〃

C.如呆al甲jnua,那么他〃〃

D.如果血/“,口〃£,那么小与a所成的角和〃与尸所成的角相等

12

三、填空题

8.（2023・四川凉山•三模）在棱长为2的正方体A88-AAGA中，若E为棱8瓦的中点，则平面AEQ截

正方体A8CD-A吕GQ的截面面积为.

9.（2022•广西贵港•三模）正方体ABCO-ABIC。的棱长为2,E,F,G分别为BC,CC,,8瓦的中点,

给出下列四

①上底边C,D,的中点在平面AEF内

②直线4G与平面AEF不平行

③平面3截正方体所得的截面面积为1

④点C与点G到平面AEF的距离相等.

错误的命题是.

10.（2022•内蒙古呼和浩特•一模）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A与CQ］中，点及GG分别为棱耳6、

CG、的中点，P是底面48CO上的一点，若〃平面GER则下面的4个判断

①点尸的轨迹是一段长度为五的线段;

②线段4尸的最小值为日；

③A-AC；

④4尸与BC一定异面.

13

其中正确判断的序号为.

四、解答题

11.（2024•广西•模拟预测）在正四棱柱ABCD-ABG。中，4人=2,AB=1,E为B片中点，直线用G与

平面AjE交于点足

（1）证明：尸为4a的中点；

（2）求直线AC与平面ARE所成角的余弦值.

12.（23-24高三上北京东城•期末）如图，在直三棱柱ABC-A,BG中，ZABC=90,AB=BC=BBX=2,E,F

分别为A8,4G的中点.

⑴求证：平面ACC/］；

（2）若点P是棱8片上一点，且直线AP与平面期所成角的正弦值为g,求线段欧的长.

【能力篇】

一、单选题

1.（2024•四川攀枝花•三模）在一个圆锥中，。为圆锥的顶点，。为圆锥底面圆的圆心，P为线段。。的中

点，AE为底面圆的直径，ABC是底面圆的内接正三角形，AB=AD=y/3

①BE//平面PAC；

②B1_L平面P3C；

③圆锥的侧面积为扃；

④三棱锥P-ABC的内切球表面积为（2-6）兀.

其中正确的结论个数为（）

14

A.1B.2C.3D.4

二、多选题

2.（2024・湖北黄冈•二模）如图，在棱长为2的正方体ABC。-中，P为棱B片的中点，点。满足

C[Q=2CE+〃GC,则下列说法中正确的是（）

B.若AQ平面4尸。，则动点。的轨迹是一条线段

c.若彳+〃=[,则四面体。尸QA的体积为定值

D.若/为正方形AORA的中心，则三棱锥"-小犯外接球的体积为乎兀

三、填空题

3.（2023•贵州黔东南•三模）如图，已知正方体A8CD-AAGA的棱长为2,点E是ABC内（包括边界）

的动点，则下列结论中正确的序号是—.（填所有正确结论的序号）

①若AE=/L4C"e（O,l）,则「平面A