2025年高考数学一轮复习讲义：函数模型及其应用（原卷版）

专题14函数模型及其应用（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................4

【考点1】利用函数图象刻画实际问题的变化过程................................4

【考点2】已知函数模型解决实际问题..........................................7

【考点3】构造函数模型解决实际问题..........................................9

【分层检测】...............................................................11

【基础篇】.................................................................11

【能力篇】.................................................................14

【培优篇】.................................................................16

考试要求：

1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直

线上升”等术语的含义.

2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题

的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.

.知识梳理

L指数、对数'幕函数模型性质比较

函数y=axy=logaXy=xn

性（Q>1）（Q>1）（H>0）

在(0,+8)

单调递增单调递增单调递增

上的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随〃值

图象随X的增大逐渐表随X的增大逐渐表

变化而

的变化现为与y轴平行现为与X轴平行

各有不同

值的比较存在一个无0,当X>X0时，有

2.几种常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型j{x}=ax+b（a,人为常数，aWO）

二次函数模型/（x）=^x2+Z?x+c（tz,b,c为常数，〃W0）

与指数函数相关的模型fix）=bax+c（a,b,c为常数，a>0且aWl,bWO）

与对数函数相关的模型fix）—Mogax+c（a,b,c为常数，〃>0且aWLb丰0）

与募函数相关的模型f（x）—axn+b（a,b,〃为常数，oWO）

|常用结论

1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，

常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.

2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.

3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际

问题的合理性.

.真题自测

一、单选题

2

1.（2020・全国•高考真题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单

的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市

某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50

份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

2.（2020•山东・高考真题）基本再生数R。与世代间隔7■是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个

感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指

数模型：/⑺=e”描述累计感染病例数/⑴随时间t（单位:天）的变化规律，指数增长率r与Ro,7■近似满足Ro

=l+r7".有学者基于已有数据估计出Ro=3.28,7=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍

需要的时间约为（ln2=0.69）（）

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

二、多选题

3.（2023•全国,高考真题）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

C.p3=100p0D.Pi<100/?2

4.（2019•北京•高考真题）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、

桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次

购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

3

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则尤的最大值为.

四、解答题

5.（2019・江苏•高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为。的圆，湖的一侧有一条直线型公路/,湖上有桥

AB（A8是圆。的直径）.规划在公路/上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路尸8、QA.规划要求:线段

PB、QA上的所有点到点0的距离均不小于同O的半径.己知点A、B到直线I的距离分别为AC和BDC

。为垂足），测得AB=10,AC=6,BD=12（单位:百米）.

DQ1

（1）若道路与桥垂直，求道路PB的长；

（2）在规划要求下，P和。中能否有一个点选在。处？并说明理由；

（3）对规划要求下，若道路尸8和QA的长度均为1（单位：百米）.求当［最小时，P、。两点间的距离.

考点突破

【考点1］利用函数图象刻画实际问题的变化过程

一、单选题

1.（2024•内蒙古赤峰•一模）在下列四个图形中，点尸从点。出发，按逆时针方向沿周长为/的图形运动一

周，。、P两点连线的距离y与点尸走过的路程尤的函数关系如图，那么点尸所走的图形是（)

2.（2022•甘肃酒泉•模拟预测）如图，在矩形A3CD中，AB=2,BC=1,。是A8的中点，点尸沿着边8C、

4

8与ZM运动，记=将ABR的面积表示为关于x的函数〃x),则〃x)=()

人23几

B.当xl*,彳、时'/(x)=-tanx

C.当xe'时，/(x)=-tanx

一3乃、

D.当无e—，^I0t,/(x)=tanx

二、多选题

3.(2021•福建厦门•一模)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药

物，注射后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间f(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进

一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则()

B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时

C.注射该药物5小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克

O

31

D.注射一次治疗该病的有效时间长度为5瓦时

4.(22-23高一上•新疆乌鲁木齐•期末)设/(x)=_r2,g(x)=2*，Mx)=log2尤，当xe(4,+oo)时,对这三个函

数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是()

A.的增长速度最快,h{x}的增长速度最慢

B.身(无)的增长速度最快,〃(力的增长速度最慢

C.g(x)的增长速度最快,的增长速度最慢

5

D.外”的增长速度最快，g（x）的增长速度最慢

三、填空题

5.（21-22高二下,江苏南通,期中）根据疫情防控要求，学校教室内每日需要进行喷洒药物消毒.若从喷洒

'0.1f,O10

药物开始，教室内空气中的药物浓度y（毫克/立方米）与时间f（分钟）的关系为：y=旧/1丫」1，小,。八，

根据相关部门规定该药物浓度达到不超过0.25毫克/立方米时，学生可以进入教室，则从开始消毒至少—分

钟后，学生可进教室正常学习；研究表明当空气中该药物浓度超过0.5毫克/立方米持续8分钟以上时，才能

起到消毒效果，则本次消毒效果（填：有或没有）.

6.（2020•江西南昌•三模）如图，有一块半径为R的半圆形广场，M为AB的中点.现要在该广场内以为

中轴线划出一块扇形区域OPQ,并在扇形区域内建两个圆形花圃（圆N和圆S）,使得圆N内切于扇形OPQ,

圆S与扇形。PQ的两条半径相切，且与圆N外切.记=则圆S的半径）可表示成6的

函数式为,圆S的半径y的最大值为.

反思提升：

判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

⑴构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.

⑵验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，

从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况.

【考点2］已知函数模型解决实际问题

一、单选题

L（2024•北京通州•二模）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S（单位：平方米）与时间/（单位:

月）的关系式为5=储.（。＞0,且。片1）,图象如图所示.则下列结论正确的个数为（）

①浮萍每个月增长的面积都相等；

②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；

③浮萍面积每个月的增长率均为50%；

④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是4,t2,t3,贝篙+4=丁

6

B.1C.2D.3

2.（2022•黑龙江哈尔滨•三模）如图为某小区七人足球场的平面示意图，为球门，在某次小区居民友谊

比赛中，队员甲在中线上距离边线5米的P点处接球，此时tanZAP8=5,假设甲沿着平行边线的方向向

前带球，并准备在点。处射门，为获得最佳的射门角度（即最大），则射门时甲离上方端线的距离为

c.10V2D.10A/3

二、多选题

3.（2023•河南•模拟预测）若物体原来的温度为为（单位:0C）,环境温度为4（单位:（）,物体的温度冷却

到e（e>a，单位:"C）与需用时间”单位:分钟）满足t=/S）=Jin%，,上为正常数.现有一杯开水（100©

KCz

放在室温为20°C的房间里，根据函数关系研究这杯开水冷却的情况（e。2.7,In2ao.7）,则（）

A.当％=g时，经过10分钟，这杯水的温度大约为40°C

B.当左=看时，这杯开水冷却到60℃大约需要14分钟

C.若『（60）=10,则/（40）=20

D.这杯水从lOCfC冷却到80°C所需时间比从80°C冷却到60°C所需时间短

4.（2024・重庆•模拟预测）放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量

7

随时间/的衰变公式N（t）=Noe二，N°表示物质的初始数量，「是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质

常用到半衰期，半衰期T指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知ln2=0.7,右表

给出了铀的三种同位素T的取值：若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为?；，心，心，则（）

物质T的量纲单位T的值

铀234万年35.58

铀235亿年10.2

铀238亿年64.75

A.T=rlnO.5B.T与T成正比例关系

C.工>工D.T3>100007；

三、填空题

5.（2023•上海长宁•一模）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值》（单位：dB）定义为

y=101g；其中/为声场中某点的声强度，其单位为亚而,/。=1072亚/1112为基准值.若/=10亚/1112,则其相

应的声强级为dB.

6.（2007・湖北・高考真题）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室

内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间f（小时）成正比；药物释放完毕后，y与f的函数关系式为

为常数）.根据图所提供的信息，回答下列问题:

（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间f（小时）之间的函数关系式为

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始,

至少需要经过小时后，学生才能回到教室.

反思提升：

1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.

⑴认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；

（2）根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.

8

2.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.

【考点3】构造函数模型解决实际问题

一、单选题

2

L（202牛北京朝阳•二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力/满足公式f=^PCSv,其中。是

空气密度，S是该飞行器的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数（其大小取决

于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率P=当O，S不变，v比原来提高

10%时，下列说法正确的是（）

A.若C不变，则P比原来提高不超过30%

B.若C不变，则P比原来提高超过40%

C.为使P不变，则C比原来降低不超过30%

D.为使尸不变，则C比原来降低超过40%

2.（23-24高三上•江苏南通・期末）某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品.要求将一个边

长分别为10cm和20cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值

为（）

A.200cmB.30V5cmC.40A/5cmD.605/2cm

二、多选题

3.（2024・全国•模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态,

经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm,继续排气4分钟后又测得浓

度为32Ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度》（单位：ppm）与排气时间，（单位：分钟）之间满足函

数关系》=然&（。,尺为常数，e是自然对数的底数）.若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm,人就可以安全

进入车库了，则下列说法正确的是（）

A.a—128

B.RJn2

4

C.排气12分钟后浓度为16Ppm

D.排气32分钟后，人可以安全进入车库

4.（2023•全国•模拟预测）第31届世界大学生夏季运动会在四川成都举行，大运会吉祥物"蓉宝"备受人们欢

迎.某大型超市举行抽奖活动,推出"单次消费满1000元可参加抽奖”的活动，奖品为若干个大运会吉祥物"蓉

宝".抽奖结果分为五个等级，等级X与获得“蓉宝"的个数的关系式为〃x）=p+*+：已知三等奖比

四等奖获得的"蓉宝”多2个，比五等奖获得的"蓉宝”多3个，且三等奖获得的"蓉宝”数是五等奖的2倍，则

（）

A.k=-ln2B.b=51n2

9

C.P=3D.二等奖获得的"蓉宝”数为10

三、填空题

5.（2024•河南洛阳•模拟预测）在高度为3.6m的竖直墙壁面上有一电子眼A,已知A到天花板的距离为2.1m,

电子眼A的最大可视半径为0.5m.某人从电子眼正上方的天花板处贴墙面自由释放一个长度为0.2m的木棒

（木棒竖直下落且保持与地面垂直），则电子眼A记录到木棒通过的时间为S.（注意：位移与时间的函

数关系为s=gg/，重力加速度g取10m/s?）

6.（2024・上海长宁•二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表:

甲乙丙

接单量f（单）783182258338

油费S（元）107150110264110376

平均每单里程％（公里）151515

平均每公里油费。（元）0.70.70.7

出租车空驶率,出嘉二:篙KIT『程；依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型

u=f{s,t,k,a）,并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%、2L68%、x%,贝口=（精确到0.01）

反思提升：

（1）在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：

①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型.

②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应

的函数模型.

③解模：求解函数模型，得出数学结论.

④还原：将数学结论还原为实际意义的问题.

（2）通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识和方法构建函数模型解

决问题，提升数学建模核心素养.

分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2023•云南•二模）下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格:

一次购买件数5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上

10

每件价格37元32元30元27元25元

张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（）

A.116件B.110件C.107件D.106件

2.（2024高三下•全国・专题练习）小微企业是推进创业富民、恢复市场活力、引领科技创新的主力军，一直

以来，融资难、融资贵制约着小微企业的发展活力.某银行根据调查的数据，建立了小微企业实际还款比例产

-0.968+Ax

与小微企业的年收入X（单位：万元）的关系为八相曲^（丘R）.己知小微企业的年收入为80万元时，

其实际还款比例为50%,若银行希望实际还款比例为40%,则小微企业的年收入约为（参考数据：

In3®1.0986,In2«0.6931）（）

A.46.49万元B.53.56万元C.64.43万元D.71.12万元

3.（2024•北京昌平•二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种

绿茶用90团的水泡制，再等到茶水温度降至60回时饮用，可以产生极佳口感；在20团室温下，茶水温度从90国

开始，经过tmin后的温度为可选择函数y=60x09+20（/20）来近似地刻画茶水温度随时间变化的规

律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（）

（参考数据：lg2x0.30,lg3x0.48）

A.2.5minB.4.5minC.6minD.8min

4.（22-23高三下•云南•阶段练习）近年来，天然气表观消费量从2006年的不到600xl08m3激增到2021年

的3726xl（）8m3,从2000年开始统计，记上表示从2000年开始的第几年，OVA,keN.经计算机拟合后发

现，天然气表观消费量随时间的变化情况符合匕=%（1+弓）3其中匕是从2000年后第左年天然气消费量，

%是2000年的天然气消费量，匕是过去20年的年复合增长率.已知2009年的天然气消费量为900xl（/m3,

2018年的天然气消费量为2880xH）8m3,根据拟合的模型，可以预测2024年的天然气消费量约为（）

222

（参考数据：2.88仁2.02，3.2?«2.17,45~2.52

A.5817.6x10sm3B.6249.6xl08m3

C.6928.2xl08m3D.7257.6xl08m3

二、多选题

5.（23-24高三上•广东湛江•阶段练习）已知大气压强p（Pa）随高度/z（m）的变化满足关系式1叩。-1叩=kh,p0

是海平面大气压强，左=10。我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：

平均海拔/m

第一级阶梯>4000

11

第二级阶梯1000〜2000

第三级阶梯200〜1000

若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为P”P2，P3,

贝I（）

A.Pi^-^7B.p0<p3

e

0M

C.P24P3D.p3<ep2

6.（22-23高一上•河南新乡•期末）压缩袋（真空压缩袋）也叫PE拉链复合袋.在我们的日常生活中，各类

大小的压缩袋不但能把衣柜解放出来，而且可以达到防潮、防虫咬、清洁保存的效果.其中抽气式压缩袋

是通过外接抽气用具如抽气泵或吸尘器，来进行排气的.现选用某种抽气泵对装有棉被的压缩袋进行排气，

已知该型号的抽气泵每次可以抽出压缩袋内气体的40%,则（）（参考数据：取坨2=0.301,lg3=0.477）

A.要使压缩袋内剩余的气体少于原来的10%,至少要抽5次

B.要使压缩袋内剩余的气体少于原来的10%,至少要抽9次

C.抽气泵第4次抽出了最初压缩袋内气体的8.64%

D.抽3次可以使压缩袋内剩余的气体少于原来的25%

7.（2022・江苏盐城•模拟预测）泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数.如某一服

务设施在一定时间内到达的人数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等.其概率函数为马（X=A）=.eT,

k\

参数2是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生次数.现采用某种紫外线照射大肠杆菌，大肠杆菌

的基因组平均产生3个喀咤二体.设大肠杆菌的基因组产生的嚏咤二体个数为匕尸（F=心表示经该种紫外

线照射后产生上个嚏咤二体的概率.已知y服从泊松分布，记为y〜尸。双为，当产生的嚓咤二体个数不小

于1时，大肠杆菌就会死亡，下列说法正确的有（）（参考数据：e-3=0.049--,恒等式e'=£!）

A.大肠杆菌。经该种紫外线照射后，存活的概率约为5%

B.设/（/=/&=1）,^0FN,f（k+1）-f（k）>O,（keN）

C.如果X〜0。双团，那么E（X!）=/tx,X的标准差b=2

D.大肠杆菌。经该种紫外线照射后，其基因组产生的嚏咤二体个数的数学期望为3

三、填空题

8.（2023・全国•模拟预测）对某种药剂进行稀释，初始时药剂有60g,浓度为100%,加入40g水后，药剂浓

度被稀释为60%,若每次稀释都向上一次所得稀释液中加入40g水，则要使稀释液中药剂浓度低于初始浓度

的10%,则要加水次.

12

9.（22-23高二上•广东深圳•期末）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条

长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段

分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去.若经过〃次这样的操作后，去掉的

所有线段的长度总和大于荒，贝沙的最小值为.（参考数据：lg2。0.301,Ig3。0.477）

第1次操作

————第2次操作

——----—第3次操作

•・・•••・•・・・•

10.（2024•全国•模拟预测）药物的半衰期指的是血液中药物浓度降低到一半所需时间.在特定剂量范围内，

f（单位，h）内药物在血液中浓度由Pi（单位，〃g/mL）降低到P2（单位,〃g/mL）,则药物的半衰期

T0.6931

7=1叩7叩.已知某时刻测得药物甲、乙在血液中浓度分别为36〃g/mL和54〃g/mL,经过一段时间后

再次测得两种药物在血液中浓度都为24〃g/mL,设药物甲、乙的半衰期分别为?；，T2,则今=.

四、解答题

11.（2024•全国•模拟预测）某种汉堡是某西餐店火爆的快餐品种之一，该店该种汉堡的成本为每个10元,

售价为每个15元，若当天没有售出，则全部销毁.

⑴若该西餐店某天制作该种汉堡优（meN*）个，求该西餐店当天该种汉堡的利润》（单位：元）关于当

天需求量无（单位：个，xeN）的函数解析式；

（2）该西餐店某月（按30天算）每天制作该种汉堡90个，并对该月该种汉堡的日需求量（单位：个）进行

统计，对统计数据进行分析制成条形图如图所示，求该西餐店该月这种汉堡的平均日利润.

12.（2000・广东•高考真题）某蔬菜基地种黄瓜，从历年市场行情可知，从二月一日起的300天内，黄瓜市场

售价尸（单位：元/千克）与上市时间（第f天）的关系可用如图所示的一条折线表示，黄瓜的种植成本。（单

位：元/千克）与上市时间的关系可用如图所示的抛物线表示.

13

⑴写出图表示的市场售价与上市时间的函数关系式尸=/(/)及图表示的种植成本与上市时间的函数关系式

Q=g(t)；

(2)若认定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市能使黄瓜纯收益最大?

【能力篇】

一、单选题

1.(23-24高三上•福建泉州•期末)函数/(X)的数据如下表，则该函数的解析式可能形如()

X-2-101235

“X)2.31.10.71.12.35.949.1

A./(x)=^a^+b

B.f^x)=kx^-\-b

C./(x)=^|x|+Z?

D./(x)=^(x-l)2+Z?

二、多选题

2.(2024・辽宁•二模)半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用了⑺表示

从=0开始，晶体管数量随时间/变化的函数，若/(0)=1000,则下面选项中，符合摩尔定律公式的是()

贝厅⑺=1。。。+博0/

A.若，是以月为单位,

B.若t是以年为单位，贝4/⑺=1000x(点)'

C.若f是以月为单位，则1g/⑺=3+娶f

24

D.若/是以年为单位，则|〃、QIg/'+l]

ig/a)=3+^^-乙

三、填空题

3.(2022•河南安阳•二模)某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两种优惠方

14

案供选择：方案一：若人数不低于10,则票价打9折；若人数不低于50,则票价打8折；若人数不低于100,

则票价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5000元减1000元.已知一个旅游团有47名游

客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为________元.

四、解答题

4.（2024・四川南充・二模）已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为团级和团级，两种

品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示:

频率

若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K,按规定须将该指标大于K的产品应用于A型手机，小

于或等于K的产品应用于B型手机.若将团级品中该指标小于或等于临界值K的芯片错误应用于A型手机会

导致芯片生产商每部手机损失800元；若将团级品中该指标大于临界值K的芯片错误应用于B型手机会导致

芯片生产商每部手机损失400元；假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

⑴设临界值K=70时，将2个不作该指标检测的团级品芯片直接应用于A型手机，求芯片生产商的损失4（单

位：元）的分布列及期望;

⑵设K=x且xe[50,55],现有足够多的芯片团级品、团级品，分别应用于A