2025年高考数学一轮复习讲义：二项式定理（解析版）

专题60二项式定理（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................6

【考点1】展开式中的通项问题.................................................6

【考点2】二项式系数的和与各项系数的和问题..................................9

【考点3］二项式系数的最值问题..............................................13

【分层检测】...............................................................16

【基础篇】.................................................................16

【能力篇】.................................................................22

考试要求：

能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简

单问题.

:知识梳理

1.二项式定理

(1)二项式定理：(a+b)n=C%"+C%'「%H-----h-------bC防"5eN*)；

(2)通项公式：Tk+i=C¥a"F眇,它表示第1+1项;

⑶二项式系数：二项展开式中各项的系数C2,CL…，CL

2.二项式系数的性质

性质性质描述

对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即C—CQ

Yl~\~1

当左＜〃时，是递增的

二项式系2(©N*)

增减性

数an+1

当左＞2(〃©N*)时，是递减的

n

('

二项式当〃为偶数时，中间的一项1“取得最大值

系数最大值n-1»+1

当〃为奇数时，中间的两项，〃'与，"相等且取得最大值

3.各二项式系数和

(1)3+。)〃展开式的各二项式系数和：C2+CRC^——HC—名

⑵奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即cHcHcH-=cHcHc5

---=2"-1.

|常用结论

(a+0)”的展开式形式上的特点

(1)项数为n+1.

⑵各项的次数都等于二项式的募指数n,即。与6的指数的和为n.

⑶字母。按降嘉排列，从第一项开始，次数由〃逐项减1直到零；字母6按升嘉排列，从第

一项起，次数由零逐项增1直到机

⑷二项式系数从c2,ct一直到cL,a.

.真题自测

一、单选题

2

1.（2024•北京•高考真题）在k-石了的展开式中，V的系数为（）

A.6B.-6C.12D.-12

2.（2022•北京,高考真题）若（2彳-1）4+%/+%尤2+aF+a＜），则%+的+%=（）

A.40B.41C.-40D.-41

二、填空题

3.（2024•全国•高考真题）+的展开式中，各项系数中的最大值为.

4.（2024・天津•高考真题）在+；]的展开式中，常数项为.

5.（2024・上海,高考真题）在（x+1）”的二项展开式中，若各项系数和为32,则/项的系数为.

6.（2023・天津•高考真题）在12尤3一:]的展开式中，/的系数为.

7.（2022•全国•高考真题）的展开式中x?/的系数为（用数字作答）.

8.（2022・浙江,[WJ考真题）已知多项式（％+2）（x-1）4=。0+〃]%+2/+，则。2=

%+%+%+〃4+〃5=

参考答案:

题号12

答案AB

1.A

【分析】写出二项展开式，令4-]=3,解出厂然后回代入二项展开式系数即可得解.

【详解】的二项展开式为（+]=C%"[_4）'=c；（T’尤W,（r=0』,2,3,4），

令4一;=3,解得厂=2,

故所求即为C；（_仔=6.

故选：A.

2.B

【分析】利用赋值法可求4+出+。4的值.

[详解]令X=1,则知++。2+4+。0=1'

x=_11贝！]%一%+%—q+/2Q=（_3）’=81,

3

M1+810

故〃4+%+%=2=41，

故选：B.

3.5

【分析】先设展开式中第r+1项系数最大,进而求出厂即可求

解.

【详解】由题展开式通项公式为0<r<10_areZ,

设展开式中第〃+1项系数最大,

、29

F2—

42933

=<即一夕(又〃£Z,故r=8,

/3344

r<——

4

所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为=5.

故答案为：5.

4.20

【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.

【详解】因为埒的展开式的通项为加=屋£][埒=36-2rq/(r-3),r=0,1,--,6.

令6(—3)=0,可得，=3,

所以常数项为3°C：=20.

故答案为：20.

5.10

【分析】令x=l,解出〃=5,再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.

【详解】令尤=1,(1+1)"=32,即2"=32,解得〃=5,

4

所以(x+l)5的展开式通项公式为4+1=G-5-r,令57=2,贝什=3,

.-.7；=C,x2=10x2.

故答案为：10.

6.60

【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式加1=(-1)726-*><><产…，令18-4左=2确定上的值,

然后计算r项的系数即可.

【详解】展开式的通项公式a=晨(2尤3>[_口=(_琰X取xC：X尤X,

令18—4左=2可得，k=4,

则州项的系数为(-1)4x26-4xC^=4x15=60.

故答案为：60.

7.-28

【分析】0-£|(x+y)8可化为(x+yy-?x+y)8,结合二项式展开式的通项公式求解.

【详解】因为(l-J|(x+yY=(x+y)s-上任+旷丫，

VxJx

所以(尤+»的展开式中含Vy6的项为C；fy6-2：《尤3y5=-28fy6,

l-[J(x+的展开式中x2y6的系数为-28

故答案为：-28

8.8-2

【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令x=0求出％,再令尤=1即可得出答案.

【详解】含/的项为：x.C：-(-1)3+2.C^.%2.(-1)2=-4x2+12x2=8x2,故的=8；

令x=0,即2=%,

令X=1f艮[J0=%+%+%+/+&+。5，

团%+%+%+。4+〃5=—2,

故答案为：8；—2.

5

■考点突破

【考点1】展开式中的通项问题

一、单选题

1.（2022•全国•模拟预测）已知（“+尤）［1+9的展开式中1的系数为10,则实数a的值为（）

11

A.一B.一C.-2

22

2.（2022・广东•模拟预测）若。是一组数据0,2,0,2的方差,则的展开式的常数项为（

A.-210B.3360C.210

二、多选题

3.（2022•江苏扬州•模拟预测）已知/（力=（尤2+工］,则下列说法中正确的有（）

A.的展开式中的常数项为84

B.“X）的展开式中不含，的项

C.f（x）的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等

D./（X）的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项

4.（2022•江苏泰州•模拟预测）若（1+%）+（1+%）2+―+（1+兀）2。22=/+4%+—+〃2022兄2022,则（）

A.〃O=2O22B.=GO23

20222022

c.D.£（一1）'%4=1

1=1i=i

三、填空题

5.（2022・上海•模拟预测）在（1+3«）“1-也甘的展开式中，尤的系数为

6.（21-22高三下,山东德州・阶段练习）在的展开式中，二项式系数之和与各项系数之和比为1:64,

则展开式的常数项为

参考答案:

题号1234

答案BBACABD

1.B

6

55

【分析】因为（a+x）[l+£[1++xfi+-i,结合二项展开的通项公式运算求解.

4IX

【详解】卜+工）的展开式的通项公式为7；M=Gxl5-，xRj=C：Cj,r=0,l,2,3,4,5,

回")("()=++1)

HaCs+Cj=10a+5=10,解得a=g,

故选：B.

2.B

【分析】根据数据信息，求解出方差。的值，代入二项式中，求解二项式展开式的通项公式，求解常数项即

可.

【详解】解：数据0,2,0,2的平均值为1,故方差（"If+（2一4+（。-1）2+-=[,

故二项式为1五,其展开式的通项公式为（+1=（2；。仅占r30-5「

=(-1广1.23.厂

令牛=。，解得r=6,

故常数项为T1=(-1)6xX24=3360.

故选：B.

3.AC

（分析]根据二项展开式的通项公式以及二项式系数的性质即可解出.

【详解】因为卜+£|9展开式的通项公式加=71广H=c/-3，，所以

当r=6Z=C；=84,A正确；

当r=7时，4=C；犷3=q,B错误；

了（无）的展开式中各项系数和为23二项式系数之和为23C正确；

根据二项式系数的性质可知，C；=C；最大，所以，〃x）的展开式中二项式系数最大的项是第五项和第六项,

D错误.

故选：AC.

4.ABD

7

【分析】令x=0,可求得％=2022,判断A；写出出的求解式子，结合组合数的性质化简，即可判断B；

2022

令％=-1,即可求得Z(—1)4的值，判断(1+X)+(1+X)2+...+(1+X)2022=%+%¥+…+%。??/02?两边求

Z=1

2022

导数，令x=T,即可求得判断D.

Z=1

【详解】当x=0时，2022=a0,故A对；

+C；+C：+…+C；o22=C；+C；+C：+…+C|=，B

a2=Cl022C短3对；

令X=-1,则0=4_q+2-%+%--a2021+42022，

2022

0E(T)&=一%=-2022,故c错；

Z=1

220222022

对等式(l+x)+(l+x)H--F(l+x)=a0+a{xH--Fa2O22x两边求导，

20212021

即1+2(1+x)+3(1+ip+…+2022(1+x)=%+2a2x+-••+2022a2022x

令"x=-1,贝(J1=%—2出+3。3—4%+•••+2021。2()21—2022%022，

2022

团£(一1尸以=1,故D对，

1=1

故选：ABD.

5.17

【分析】利用二项式定理写出两个二项式的展开式，再分析计算作答.

【详解】因(1+34)3=1+94+27X+27X«,(1-也『=1-5</7+10疗-10》+5苫a-无必，

则在(1+3«兴1-哄了的展开式中，含x的项为：27尤+(-10x)=17x,

所以所求x的系数为17.

故答案为：17

6.1215

【分析】根据二项式定理可知各项系数和为4*，二项式系数和为2"，可求出〃=6,然后在判断展开式的常

数项.

【详解】解：由题意得：

令x=l,则1+j=1=4",所以、+京)的展开式中，各项系数和为4"

又二项式系数和为2",所以5=2"=64,解得”=6.

二项展开式的通项=C；3rx^r,令6-|厂=0,得厂=4

8

所以展开式的常数项为C：3,=1215.

故答案为：1215.

反思提升：

（1）求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求（求常数项时，

指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出项数Z+1,代回通项公式即可.

（2）对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合

思想求解，但栗注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解.

（3）对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.

【考点2】二项式系数的和与各项系数的和问题

一、单选题

1.（2021•江西•模拟预测）在［x+三）的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0,

则含/的项系数为（）

A.45B.-45C.120D.-120

2.（2022•山东德州•二模）己知。＞0,二项式上+右）的展开式中所有项的系数和为64,则展开式中的常

数项为（）

A.36B.30C.15D.10

二、多选题

3.（2022•福建龙岩•一模）已知二项式-上丫的展开式中各项系数之和是上，则下列说法正确的有（）

V128

A.展开式共有7项B.二项式系数最大的项是第4项

C.所有二项式系数和为128D.展开式的有理项共有4项

4.（2022・广东深圳•二模）已知（2-%了=%+41+〃2兀2-1--l-^x8,贝!］（）

A.=28B.%+/+,••+=1

C同+同+同+…+同=38D.Q]+24+3/+•••+8。8=—8

、填空题

729

5.（2022•辽宁沈阳•一模）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为育，则二项展

开式中的常数项为.

9

2022

6.（2022・湖南长沙•一■模）已知（1—4x）=aQ+aAxH---1-a^^x,贝成■+方---卜2n=

参考答案:

题号1234

答案ACCDAD

1.A

【分析】先由只有第六项的二项式系数最大，求出”=10;再由展开式的所有项的系数和为0,用赋值法求

出a=-1,用通项公式求出x6的项的系数.

【详解】回在1+/J的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，

回在卜+旦]的展开式有11项，即«=10；

而展开式的所有项的系数和为0,

令x=l,代入卜+[=0,B|J(l+a)'°=0,所以a=-l.

orrl02r

回\一是展开式的通项公式为：Tr+l=C[ox'~J=(-l)q0x~,

要求含丁的项，只需102=6,解得片2,所以系数为(-1)i-品='10一x9=45.

/X_L

故选：A

【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析.

2.C

【分析】先根据"所有项的系数和“求得。，然后利用二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】令x=l,则可得所有项的系数和为(1+。)6=64且。＞0,解得。=1,

(x+J|的展开式中的通项J=C*6,,左=0,1,…,6,

回当上=2时，展开式中的常数项为C：=15.

故选：C

3.CD

【分析】运用代入法，结合二项式系数和公式、通项公式以及二项式系数性质逐一判断即可.

【详解】因为二项式-,丫的展开式中各项系数之和是上，

I2x)128

10

所以令x=l可得：fVl—1—]=」一=L=—!—n〃=7.

I2xlJ1282"128

A：因为w=7,所以展开式共有8项，因此本选项说法不正确；

B：因为〃=7,所以二项式系数最大的项是第4项和第5项，

因此本选项说法不正确；

C：因为〃=7,所以所有二项式系数和为27=128,所以本选项说法正确；

8-3r

r

D：由B可知：Tr+i=C；-（-ly-2--x^^当厂=。,2,4,6时，对应的项是有理项,

故本选项说法正确，

故选：CD

4.AD

【分析】结合赋值法、导数运算以及二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】由（2—%）=%+qx+/无?+...+火龙&,

令％=0得。0=27A选项正确.

令x=l得%+q+%+…+4=1,q+2+,,,+%=1—28,B选项错误.

二项式（2-4展开式的通项公式为G-28f.（-X）r=（-l）r.28Tq•V,

由此可知％,“3,“5,%是负数，%,〃4,“6,“8为正数，

所以令X——1得%—%+4—〃3+〃4—〃5+〃6—%+〃8=38,

―4+%—〃3+〃4—〃5+—%+%=38—2^,

即同+同+同+…+同=38—28,C选项错误

由（2—%）=CLQ+ClyX+Q2f+♦,,+,

两边求导得—8（2—兀）=q+2a2兀+Bq%?+,•,+，

令尤=1得。1+2出+3/-----1~8〃8=-8,所以D选项正确.

故选：AD

5.240

【分析】由已知求得鹿=6,再根据二项式通项公式的展开式求出常数项即可.

【详解】1+2]的展开式中，二项式系数和为2〃，

11

得・治

令犬=1,的展开式中，各项系数和为3",

由题意可得，婴，即目=9解得…,

所以Q+的展开式的通项为=&2%6-%「$=&2%6等,

令6-会=0,解得r=4,故展开式的常数项为C：2,=15x16=240,

故答案为：240

6.0

【分析】利用赋值法可得答案.

【详解】根据题意，今x=0,得.=（1一0广=1,令x=g,得（1-2产2=%+*+号+...+黑，

因此与+争争+…+黑=1-4=。，

故答案为：0.

反思提升：

1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如（ax+?"，（af+fer+cyYa,》©R）

的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.

2.若Hx）=ao+aix+a2fd--\-anXn,则«x）展开式中各项系数之和为火1）,奇数项系数之和为

I../⑴+/（T）加粉黄衣粉夕/u.../⑴一f（一1）

ao十42十。4H—=4禺数项东数N本1为a1十。3十a5H—=2.

【考点3】二项式系数的最值问题

一、单选题

1.（2022•山西临汾•二模）（石+三）的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值，则a的值为（）

A.2B.3C.4D.-2

2.（2024•安徽•二模）已知21的展开式二项式系数和为256,则展开式中系数最大的项为（）

A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项

二、多选题

3.（2022•广东茂名•二模）已知［2x+｝］的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（）

A.所有奇数项的二项式系数和为2葭B.所有项的系数和为3"

12

C.二项式系数最大的项为第6项或第7项D.有理项共5项

4.（2024高三下・河南•专题练习）已知|/+亍J（〃eN*）的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，

且展开式的各项系数之和为2187,则下列说法正确的是（）

A.展开式中奇数项的二项式系数之和为64

B.展开式中存在常数项

C.展开式中含/项的系数为560

D.展开式中系数最大的项为672户

三、填空题

5.（21-22高三下•全国•开学考试）已知，2的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为;,

则展开式中最大的二项式系数值为.

6.（2024高三上•全国•竞赛）在（1+依）8的展开式中，若V的系数为一56,则。=；若展开式中有且仅

有公项的系数最大，则。的取值范围是.

参考答案:

题号1234

答案ACBDACD

1.A

【分析】根据+可知二项式系数最大值为第=10,再根据二项展开式的通项公式赋值即可求出.

【详解】因为"+三］的展开式的通项公式为&=项（«『［£［=仁"芋，令号=1,即r=1时,

尤的系数为5a,而二项式系数最大值为c；=10,所以5a=10,即a=2.

故选：A.

2.C

【分析】根据二项式系数和可得〃=8,即可根据通项特征，列举比较可得最大值.

【详解】由已知2"=256,故〃=8,故通项为九1=（-以《2晨8一2«（4=0,1,8）,故

奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，

13

《2。=1,《22＜（3智,腰26=4d24".黑=警=：＞

>1

故C；26最大，因此第七项的系数最大,

故选：C.

3.BD

【分析】根据展开式的通向公式以及二项式系数的的性质求解判断.

【详解】因为〃+1=13,所以”=12,所有奇数项的二项式系数和为2"，故A错误,

令x=l,得所有项的系数和为3口，故B正确，

由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故C错误，

（J.Y,,_4

（）3,2r

因为展开式通项为=C72x-X=2-C；2x

4

当12-§厂为整数时，r=0,3,6,9,12,共有5项，故D正确.

故选：BD.

4.ACD

【分析】利用通项公式4M=C'„an-'b'结合第4项与第5项的二项式系数相等可知C：=C：,可推出〃=7,再

7

由各项系数和为2187,利用赋值x=l可得（1+幻7=2187,解得。=2,从而得到一个已知的二项式/+

再利用二项式系数的性质和方法去判断各选项.

【详解】由二项式的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以C：=C＞解得〃=7,

又展开式的各项系数之和为2187,即当x=l时，（1+4=2187,解得。=2,

所以二项式的系数之和为2,=128,

又由奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，

则奇数项的二项式系数之和为gxl28=64,故A正确；

由的展开式的通项小=2gJ等，令14-|r=0,

解得r=］，故展开式中不存在常数项，故B错误；

又令14-gr=4,解得厂=4,所以展开式中含/项的系数为=560,故C正确;

14

2c22川C丁1316

由；一七丁自——<r<——又TEN,所以r=5,

2(2233

5「3

所以展开式中系数最大的项为4+1=25©/产=672/，故D正确.

故选：ACD.

5.35

【分析】写出通项公式，然后得第4项的系数与倒数第4项的系数，列式求解〃，利用二项式系数的性质求

解答案.

【详解】由题意,的展开式的通项为(包,所以展开式中第4

3

2111

项的系数为c：2,倒数第4项的系数为C；3.2"\所以「二；,1=5,即熹=-6=1,得〃=7,

Cn-ZZ22

所以展开式中最大的二项式系数值为G=35或C；=35.

故答案为：35

【分析】第一空，根据二项式展开式中无3的系数，列式求解，可得a的值；第二空，讨论。的取值范围,

结合题意，列出不等式组，求解即可得答案.

【详解】由题意知在(1+6)8的展开式中，V的系数为C》3=_56,

即56a3=—56,a3=—1,a=—\,

若展开式中有且仅有尤4项的系数最大，。=。不合题意，

当a>0时，所以项的系数均为正数，则需满足

即得—4<〃<己5；

54

当〃<0时，奇数项的系数均为正数，偶数项的系数均为负数,

则此时需满足>£"：，解得-巫<a<-巫，

C8tz>C8tz25

15

【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键是，注意”。时，二项展开式中系数的正负情况，从而列式得

解.

反思提升：

二项式系数最大项的确定方法：当〃为偶数时，展开式中第W+1项的二项式系数最大，最大

值为°”；当〃为奇数时，展开式中第丁项和第丁项的二项式系数最大，最大值为（，，或

»4-1

C丁

分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2024•北京怀柔・模拟预测）在。》2一（［的展开式中，常数项是（）

9999

A.-B.----C.D.

442~2

已知（一牙3+幺

2=4+4,_____।%।〃23则共+今+…+号+〃22=(

（•江苏•二模）d)

2.2023卜.22十%23，

VX）xx

A.-1B.0C.1D.2

3.（2024・辽宁•一模）的展开式中的系数为（)

A.55B.-70C.30D.-25

4.（23-24高三上•云南昆明,阶段练习）已知42似4+“能被9整除，则整数。的值可以是（）

A.-12B.-7C.9D.13

二、多选题

5.（2024•山西临汾•三模）在［2一w］的展开式中（）

A.所有奇数项的二项式系数的和为128

B.二项式系数最大的项为第5项

C.有理项共有两项

D.所有项的系数的和为3'

6.（2023•山东青岛•一模）在的展开式中，下列说法正确的是（）

16

A.常数项是1120B.第四项和第六项的系数相等

C.各项的二项式系数之和为256D.各项的系数之和为256

7.（23-24高二上,山东青岛,期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项

式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（）

杨辉三角

第

0行

第

1行

11

第

2行

第121

3行

第11

4行33

14641

第

5行

第101051

6行15

1615201561

第

7行

第

8行172135352171

18285670562881

行

第9

防

第1193684126126843691

侑

第11104512021025221012045101

115516533046246233016555111

A.第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数

B.1+C；+C"C；=C；

C.第2020行的第1010个数最大

D.第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为2:11

三、填空题

56

8.（2023•河北,模拟预测）已知多项式（x—2）5+（x—I），=%+6尤+的厂+—I-a5x+abx,则q=.

9.（22-23高二下•湖南•期末）在二项式（«一：］的展开式中只有第4项二项式系数最大，则展开式中的

常数项为.

10.（2023•江苏南通,一模）（x-2y+l）s展开式中含项的系数为.

参考答案:

题号1234567

答案ADCBABACABD

1.A

【分析】由二项式定理得展开通项并整理，令6-3厂=0,求出「回代到展开通项即可求解.

2

【详解】（3d-的展开式通项为Tr+l=C；（3x广；一（［=竽3-（一口尸，,（o<r<3,rGN*

由题意令6-3厂=0,解得r=2,从而常数项是匕=€：；33一21£|2=：

17

故选：A.

2.D

【分析】先根据二项展开式的通项公式求得知=T，再利用赋值法，令x=g，进而即可求解.

【详解】由(2-，]=4+幺+”+…+与+绦，

<X)XXXX

则詈=&=42。[口=-土，得心一，

令x=g,得0=a°+2q+22q+…+222心+223心,

左右两边除以2%得。+郎F"1-----+a22+,

所以卷+会+…+詈+%=。-(-2)=2-

故选：D.

3.C

【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.

【详解】对"一了丫，有几匚螳/乂-^=(_1)出：/5*,

令人=2,有n=(-1)2玛产2y2=10尤3,2,

令左=3,有n=5l)3C*5-3y3=『iofy3,

贝I]IxlOx?9+1一斗x(—10x2y3)=30//,

故「-三｝x-y)5的展开式中xb?的系数为30.

故选：C.

4.B

1348

【分析】根据二项式展开式的通项公式可得42。24+〃=22©349*/9-r(-1力—2+〃，贝>2+1能被9整除，结

k=0

合选项即可求解.

404

【详解】因为42必+a=28+〃=2x8】349+4=2x(9-1)1349+。

134813494

=2£[Cf349x9-x(-l/]-2+a,

k=0

1348

又鼠X9049T*J]力能被9整除，

女=0

18

所以-2+。能被9整除，

由选项知当。=-7时符合，当。=-12,9或13时均不符合.

故选：B.

5.AB

【分析】先求出二项式系数和，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即可确定A；二项式系数的

最大项，即为中间项，可确定B；整理出通项公式配|卜底)=(-!)*•284c标式\再对女赋值,

即可确定C；令x=l,可求出所有项的系数的和，从而确定D.

8

【详解】对于A,二项式系数和为，则所有奇数项的二项式系数的和为土9=128,故A正确；

2

对于B,二项式系数最大为C；,则二项式系数最大的项为第5项，故B正确；

对于C，G=C；；D=(一1户284晨/1(04”8,"2，兀1为有理项，左可取的值为0,3,6,所

以有理项共有三项，故C错误；

对于D,令x=l,则所有项系数和为［：-亚1=1,故D错误.

故选：AB.

6.AC

【分析】根据二项式定理,的通项公式为Tk+l=晨2i(-1)\8口,对于A,令左=4进行判断;对于B,令

笈=3和左=5计算判断即可;对于C,因为〃=8,所以各项的二项式系数之和为2'=256可进行判断;对于D,令

x=l即可进行判断.

【详解】根据二项式定理-的通项公式为小=C：28^(-l)S8-2\

对于A,常数项为C；24(-l)4=1120,故A正确；

对于B,第四项的系数为C；2『_l)3=7792,第六项的系数为C；2-5(_l)5=一448,故B错误；

对于C,因为〃=8,所以各项的二项式系数之和为爱=256,故C正确；

对于D,令x=l,各项的系数之和为1,故D错误.

故选:AC.

7.ABD

19

【分析】根据杨辉三角读出数据即可判断A,利用组合数公式判断B,分析各行数据的特征，即可判断C,

求出第12行中从左到右第2个数与第3个数，即可判断D.

【详解】对于A：第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：I,7,28,其和为1+7+28=36；

而第9行第8个数字就是36,故A正确；

对于B：因为1+£+或+^=1+5+号+^1=56,C；=1^1=56,

所以1+C；+或+C；=C；,故B正确;

对于C：由图可知：第九行有〃+1个数字，

如果"是偶数，则第]+1（最中间的）个数字最大；

n+1ri+1

如果〃是奇数，则第安和第宰+1个数字最大，并且这两个数字一样大，

22

所以第2020行的第1011个数最大，故C错误；

对于D：依题意：第12行从左到右第2个数为C；?=12,第12行从左到右第3个数为C；?=66,

所以第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为12:66=2:11,故D正确；

故答案为：ABD.

8.74

【分析】利用二项展开式的通项分别求得"-2）5和的展开式的尤项，进而求得q的值.

【详解】对于（X-2）5,

其二项展开式的通项为=C"5T（一2），，

令5-r=l,得厂=4,

故（=Cb（-2）4=80x,

对于（X-1）6,

其二项展开式的通项为£包=^^一气-1y，

令6—左=],得左=5,故£=C；x（—1）5二一6%,

所以《=80+（-6）=74.

故答案为：74.

15

9.——

4

【分析】根据题意可确定〃的值，继而求得二项展开式的通项公式，令工的指数等于0,求得〃的值，即可

20

求得答案.

【详解】因为二项式-的展开式中只有第4项二项式系数最大,

故二项式［石的展开式有7项，则〃=6,

故的通项公式为T3=晨（«）〜（一gy=（-;yr=0,1,2,…,6,

3

令3——r=0,.*.r=2,

2

故展开式中的常数项为（-1）2晨=?,

故答案为：--

4

10.-60

【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.

【详解】（x-2y+l）5=［l+（x-2y）］5,

设该二项式的通项公式为加=4仔，.（》_2月=5（》-2月，

因为fy的次数为3,所以令厂=3,

二项式（x-2»的通项