2025年高考数学一轮复习讲义：二次函数与一元二次方程、不等式原卷版

专题05二次函数与一元二次方程、不等式（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................7

【考点1]一元二次不等式的求解..............................................7

【考点2]三个二次之间的关系................................................11

【考点3】一元二次不等式恒成立问题..........................................13

【分层检测】...............................................................18

【基础篇】.................................................................18

【能力篇】.................................................................24

【培优篇】.................................................................27

考试要求：

1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零

点与方程根的关系.

2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.

3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.

知识梳理

1.一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.

2.三个“二次”间的关系

判别式

J>0J=0J<0

/l=b2—4ac

二次函数

n

y=ax2-\-bx-\-c

o除球

(a>0)的图象k

一元二次方程

有两相等实根

有两相异实根XI,

2

tzx+Z?x+c=0b没有实数根

X2(X1<X2)Xf=F

(a>0)的根

2

tzx+Z?x+c>0{巾>%2

或％R

(Q>0)的解集Vxi}

ax2-\~bx-\-c<0

1%|%1v%v%2}00

(〃>0)的解集

3.(x—a)(x—。)>0或(x—a)(x—。)<0型不等式的解集

解集

不等式

a<bci=ba>b

(元—〃)•(％—b)>0{x\x<a^x>b}或冗>〃}

(x—〃)•(％-b)<0{x\a<x<b}0

4.分式不等式与整式不等式

⑴^§->0(<0)=段)避(%)>0(<0).

(2)得5-三0(忘0)=人为送。)20(忘0)且8(%)20.

|常用结论

2

1.绝对值不等式枕|>。3>0)的解集为(-8,—Q)U(Q,+8)；|R<Q(Q>0)的解集为

(—a,a).

记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.

2.解不等式加+6冗+。>0(<0)时不要忘记当a=0时的情形.

3.不等式加+桁+00(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.

一八[a=b=O,]〃>0,

(1)不等式对任意实数%恒成立=彳或《

lc>0U<0.

(Q=Z?=0,(〃<0,

(2)不等式o^+bx+cvO对任意实数x恒成立"彳或土

lc<0U<0.

,真题自测

一、单选题

1.(2023•全国，高考真题)已知集合Af={-2,-1,0,1,2},A^=|x|x2—x—6>o1,则A/cN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

二、填空题

2.(2023•全国•高考真题)设ae(O,l),若函数=优+(l+a)*在(0,+e)上单调递增，则a的取值范围

是.

3.(23-24高一上•江苏徐州•阶段练习)若关于x的不等式0Wax?+法+。<2(。>0)的解集为{x\-l<x<3),

则3a+6+2c的取值范围是.

4.(2024•安徽合肥•一模)已知集合4={x|/<4}]=卜|a_l<xWa+l},若Ac3=0,则“的取值范围

是.

三、解答题

5.(2021•全国•高考真题)记S"是公差不为0的等差数列{4}的前〃项和，若生=55，%%=54.

(1)求数列{%}的通项公式。.；

(2)求使5“>%成立的”的最小值.

6.(23-24高一上・河南信阳•阶段练习)已知P：|2x—5|43,q：x2-(2a-2)x+a2-2«<0.

⑴若"是真命题，求对应无的取值范围；

(2)若P是4的必要不充分条件，求。的取值范围.

3

考点突破

【考点1】一元二次不等式的求解

一、单选题

1.（2021・上海徐汇・一模）已知xeR,条件P：/〈无，条件4：->1,则〃是4的（）

X

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2023・四川乐山•一模）已知〃无）=「:二?无，X：。，满足/⑷<〃_“），则a的取值范围是（）

[x+2x,x<0

A.（―<^）,—2）1（0,2）B.2）u（2,+a）

C.（-2,O）D（O,2）D.（-2,0儿（2*）

二、多选题

3.（23-24高一上・江苏南京•期末）已知关于%的不等式a?+灰+°>0的解集是{刈<工<3},贝！J（）

A.a<0

B.a+Z;+c=0

C.4a+2b+c<0

D.不等式ex?-/?无+a<0的解集是{削x<-l或x>-g}

4.（2023•广东深圳•模拟预测）下列命题中的真命题有（）

A.当x>l时，x+工的最小值是3

x-1

B.亲%2+W5的最小值是2

Vx+4

C.当0〈尤<10时，Jx（10-x）的最大值是5

D.若关于x的不等式加+for+c>0的解集为{也<*<3},贝!|a-6+c>0

三、填空题

5.（2021•四川绵阳•模拟预测）若函数/。）=（/+依+20俄在区间（一2,1）上恰有一个极值点,则实数a的

取值范围为—

6.（23-24高一上•上海浦东新•期末）已知a>0,关于尤的不等式（依-4-6）（彳-2）<0的解集为M,设

N=M1Z,当。变化时，集合N中的元素个数最少时的集合N为.

反思提升：

含有参数的不等式的求解，往往需栗比较（相应方程）根的大小，对参数进行分类讨论.

4

(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对

判别式进行分类讨论.

(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的

情形及判别式/的正负，以便确定解集的形式.

⑶其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.

【考点2】三个二次之间的关系

一、单选题

L(23-24高一上四川成都•期中)一元二次不等式渥+法+00的解为{42<X<3},那么办2_布+0()

的解集为()

A.{x|x>3或¥<-2}B.{尤忖>2或v<-3}

C.{x卜2Vx<3}D.|x|-3<x<2}

2.(2021•新疆•模拟预测)已知函数/(x)7+6x+c,满足/(3+元)=/(3-x),且f(4)</(5),则不等式

/(l-x)</(l)的解集为()

A.(0,+oo)B.(-2,+co)C.(-4,0)D.(2,4)

二、填空题

3.(20-21高一上•浙江台州•期中)若非负实数为了满足尤2+4/+4盯+4/y2=32,贝l］近(工+2丁)+2孙的最

大值为.

三、解答题

4.(2022•江苏盐城•模拟预测)设函数〃x)=d-依+b(a,beR).

⑴若函数了(无)在［0』］上不单调，求”的取值范围；

⑵对任意都存在yeR,使得f(y)=〃x)+y成立，求。的取值范围.

反思提升：

1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.

2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以

利用代入根或根与系数的关系求待定系数.

【考点3】一元二次不等式恒成立问题

一、单选题

1.(2023•江西九江•二模)已知命题人SxeR,^+2x+2-a<0,若〃为假命题，则实数。的取值范围为

()

A.(l,+oo)B.［l,+oo)C.(-oo,l)D.(-oo,l］

5

11\3a+4b-l\

2.（22-23高三下,上海杨浦•阶段练习）已知正实数〃，b满足靛+m=25,则‘7+/的最小值为（）

7-72-5124

A.7B.3C.—D.-

253

二、多选题

3.（23-24高一上•新疆喀什・期末）下列几种说法中正确的是（）

A.若工+1=1,则》+丁的最小值是4

xy

B.命题“HxeZ,无2>o"的否定是"v^z,x2<0"

C.若不等式尤2+办一，的解集是（-2,3）,贝|加一无+匕>0的解集是（一3,2）

3

D.纨3,0］〃是"不等式2kx2+kx--<0对一切无都成立"的充要条件

O

4.（22-23高三上•山东枣庄•开学考试）下列说法正确的是（）

A.若不等式狈2+2x+c>o的解集为{x[-l<x<2},则〃+c=2

B.若命题p：Vxe（0,+8）,x-1>lnx,则〃的否定为*e（0,+<»）,x-lWlnx

C.在ABC中，"sinA+cosA=sin3+cos3"是"A=3"的充要条件

D.若7%2+3x+2加<0对VmeOl］恒成立，则实数》的取值范围为（-2,-1）

三、填空题

5.（2022•湖北武汉•三模）若玉e1,2,使2丁_加+1<0成立，则实数X的取值范围是.

6.（2018・天津•高考真题）已知aeR,函数/（x）={2c一';若对任意烟［-3,+00）,/（尤区同恒

—X+2无一2。,无>0.

成立，则。的取值范围是.

反思提升：

（1）对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区

间上恒成立.

（2）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，

求谁的范围，谁就是参数.

①若a/+bx+c>。恒成立，则有a>0,且/<0;若o^+Zw+cVO恒成立，则有a<0,且/

V0.②对第二种情况，栗充分结合函数图象利用函数的最值求解（也可采用分离参数的方法）.

■分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2023•黑龙江哈尔滨•二模）设等比数列{%},a3,%是方程/+5工+4=0的两根，则内的值是（）

6

A.±2或±7B.2或;C.—2

2.（23-24高一上・重庆・期末）已知集合”={•安一3工—4<0},N={x|y=ln（x—1）}“则AfcN=（）

A.（1,4）B.[1,4）

C.（—1,4）D.[—1,4）

3.（2023•广东•模拟预测）若集合4=卜|雷40，，B={x|2x2-（2a+l）x+a<0）,且AC3N0,则实数

。的取值范围为（）

A.[-3,-1]B.[—3,—1）

C.（一。,一1）D.

4.（22-23高三上•江苏•开学考试）已知关于x的不等式办?+法+4>。的解集为（一其中

m<0,则'的最小值为（）

A.-4B.4C.5D.8

二、多选题

5.（2022•广东佛山•一模）下列说法正确的是（）

A.命题：VXG（—1,1],Y+2%_3v0的否定是：1,1],%2+2x-3>0；

乃1

B.«=—+2to,左EZ是sina=]的充要条件；

C.是L<1的充分非必要条件；

a

D.。«-2,2]是命题：VxeR,d-分+1>。恒成立的充分非必要条件

6.（23-24高一上•内蒙古呼伦贝尔•期末）命题"VI<x<3,尤2一“w0”是真命题的一个充分不必要条件是（）

A.a>9B.<s>ll

C.a>10D.a>12

7.（2021,江西・模拟预测）下列命题正确的是（）

A.{1,3,5}={5,3,1}

B.集合{（0,0）,（L1）}的真子集个数是4

C.不等式/一6》+5<0的解集是卜|1<》<5}

D.三，之0的解集是{x|x<—3或

7

三、填空题

8.（2021•河北石家庄•二模）若命题"3xeR,V-2x+机<0"为真命题，则实数机的取值范围为.

9.（22-23高一上•河北沧州•期中）若FxeR,尤2-6公+3。<0"为假命题，则实数。的取值范围为.

10.（22-23高三上•河北衡水•阶段练习）若命题“玉目1,3],龙依+1>0"是假命题，则实数。的最大值为

四、解答题

九2_5r>0

{尤+6,尤<0

（1）若/（根）=4,求机的值；

⑵若求。的取值集合.

12.（23-24高三上,河北邢台・阶段练习）已知函数"且/（炮2）+/（三5）=3.

⑴求a的值；

⑵当时，4'+机恒成立，求机的取值范围.

【能力篇】

一、单选题

1.（2023•黑龙江大庆•二模）已知集合&={*"=111（*-1）},B=()

A.{x[l<x<2}B.{x|l<x<2^

C.{x|lW尤<2}D.1x|l<x<2j

二、多选题

03

2.（2023・广东深圳•模拟预测）已知函数=；三+f一g疝（几©尺且％v_2）,且0=1.7,b=log031.8,

c=0.901,则下列结论正确的是（）

A.为R上的增函数B.无极值

C./（^）</（c）</（a）D./（a）</（/?）</（c）

三、填空题

3.（2023•广西•模拟预测）若不等式加>尤2一》_1对X«F,0）恒成立，则。的取值