2025年高考数学一轮复习：函数模型及其应用（解析版）

第09讲函数模型及其应用

目录

第一部分：基础知识..................................................1

第二部分：高考真题回顾.............................................2

第三部分：高频考点一遍过...........................................4

高频考点一：几类不同增长的函数模型..............................4

高频考点二：利用常见函数模型解决实际问题（二次模型；分段模型）.10

高频考点三：利用常见函数模型解决实际问题（指、对、塞函数模型）.14

高频考点四：利用给定函数模型解决实际问题......................20

第一部分：基础知识

1、常见函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型f(x)=kx+b(k,b为常数,k/0)

(左/为常数且左w0)

反比例函数模型f(x)=±+b

X

二次函数模型/(x)=ax2+bx+c均为常数，

指数函数模型f{x}^k-bx+c(左，①c均为常数，k<0,b>0,bwl)

对数函数模型f(x)=k-logax+b(左/，。为常数，左w0,〃>0,〃wl)

幕函数模型f(x)=k-xn+b(k,b,几为常数,左w0,〃wl)

力(x),x&Dx

分段函数f(x)=<力(x),XGD2

/(x),xeD3

指数、对数、事函数才慎型性质比较

函数

y=优(〃>1)y=logax(a>l)y=%〃(〃>0)

性质

在（0,+8）上的

单调递增单调递增单调递增

增减性

介于指数函数与

增长速度先慢后快，指数爆炸先快后慢，增长平缓对数函数之间，相

对平稳

随x的增大，图象与y轴接近随X的增大，图象与X轴接近随〃值变化而各有

图象的变化

平行平行不同

值的比较存在一个毛,当X〉不时，有logaX<x"<a"

第二部分：高考真题回顾

1.（多选）（2023•全国•统考高考真题）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定

义声压级4=20xlg上，其中常数为（网>0）是听觉下限阈值，〃是实际声压.下表为不同声源的声压级:

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050-60

电动汽车1040

己知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为",PZ,P3,则（）.

A.Pi>P2B.p2>10p3

C.p3=100p0D.A<100/J,

【答案】ACD

【分析】根据题意可知与e[60,90],e[50,60],=40,结合对数运算逐项分析判断.

【详解】由题意可知：人460,90],雅目50,60],4=40,

对于选项A：可得乙八-乙八=20xlg2-20x1g匹=20xlg包，

PoPoPi

因为474,则=20xlg旦NO,即1g旦NO,

P2Pl

所以且21且。1，。2>。，可得P12P一故A正确；

Pi一「一

对于选项B：可得4_4=20x1g&_20X1g旦=20X1g&,

PoPoP3

因为=4「40N10,贝必°xlg正21°,即

P3P3/

所以&2VI5且22，,3>0,可得6P3，

P3

当且仅当4=5。时，等号成立，故B错误；

对于选项C：因为乙私=2。义3星=40,即1g星=2,

PoPo

可得m=100,即p3=lOOpo,故C正确；

Po

对于选项D：由选项A可知：4]-£02=20xlga",

Pi

且乙，一乙丹490-50=40,贝U20x1g包440,

〃2

即lgaW2,可得包4100,且所以“VlOOp,,故D正确；

PlP1

故选：ACD.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：几类不同增长的函数模型

典型例题

例题1.（2023上•广东广州•高三铁一中学校考阶段练习）函数f（x）的数据如下表，则该函数的解析式可

能形如（）

X-2-101235

“X)2.31.10.71.12.35.949.1

A./（%）=+b

B./（x）=Axex+b

C.f（x）=k\x\+b

D.f^x）=k{x-Xy+b

【答案】A

【分析】由函数/（x）的数据即可得出答案.

【详解】由函数的数据可知，函数〃-2）=/（2）"（-1）=〃1）,

偶函数满足此性质，可排除B,D；

当尤＞0时，由函数/'（X）的数据可知，函数/（X）增长越来越快，可排除C.

故选：A.

例题2.（2023上•河北石家庄,高一石家庄二中校考阶段练习）有一组实验数据如表:

X23456

y1.402.565.311121.30

则体现这组数据的最佳函数模型是

A.y=4xB.y=g-2”

C.y=log2xD.y=2尤-3

【答案】B

【分析】根据数据判断函数的增长速度选择函数模型.

【详解】/（3）-/（2）=1.16,“4）—"3）=275,/（5）-/（4）=5.69,/（6）-/（5）=10.3,

通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快，

AC选项函数增长的速度越来越慢，D选项函数增长的速度不变，B选项函数增长的速度越来越快，所以B

正确.

故选：B.

例题3.（2023上•山西临汾•高一统考期中）在一次物理实验中某同学测量获得如下数据：

X12345

y5.38011.23220.18434.35653.482

下列所给函数模型较适合的是()

A.y=ax+b(a>l)B.j=a^/x+b(a>1)

C.y=—+b(a>1)D.y=ax2+b(a>1)

【答案】D

【分析】由数据中y随x的变化情况，分析适用的函数模型.

【详解】由所给数据可知y随尤的增大而增大，且增长速度越来越快，

而A中的函数增长速度保持不变，B中的函数增长速度越来越慢，C中的函数是随x的增大而y减小，D中

的函数符合题意.

故选:D.

例题4.（2023上•四川南充•高一四川省南充高级中学校考阶段练习）假设某学习小组对家庭每月用水的收

费提供了如下两种模型:模型一:若用水量不超过基本月用水量加？，则只付基本费8元和损耗费c元（c<5）；

若用水量超过基本月用水量，则除了需付基本费和损耗费外，超过部分还需按b元/n?进行付费；模型二：

用函数模型y=屋机>9+〃（其中七m,〃为常数，且加彳1）来模拟说明每月支付费用y（元）关于

月用水量尤（n?）的函数关系.己知该市某家庭1—3月的用水量x分别为9m3,15H?和21m3,支付的费用y

分别为9元，19元和31元.

（1）写出模型一中每月支付费用y（元）关于月用水量Mn?）的函数解析式；

⑵写出模型二中每月支付费用y（元）关于月用水量Mn?）的函数解析式，并分析说明学习小组提供的模型

哪个更合理？

9,0<%<10

【答案】（i）y=

2x—ll,x>10

⑵y=50・tr41，%>0,模型一与生活中的实际情况更接近

【分析】（1）分析出第2,3月份用水量15m3和210?均大于最低限量如？，列出方程组，求出6=2,2a=c+19,

不妨设9>°,推出矛盾，故9<a,得到c=l,求出答案；

（2）得到方程组，求出m=（g,，左=50,〃=T1,得到解析式，并用三个方面说明模型一与生活中的实

际情况更接近.

8+c,0<x<"

【详解】(1)由题意得丁=

8+。(尤一Q)+C,尤>a

第2,3月份水费均大于13元，故用水量15m3和21m3均大于最低限量加？,

8+b(15-a)+c=19

于是有解得。=2,

8+A(22-〃)+c=33

从而2〃=c+19,

再考虑1月份用水量是否超过最低限量加？,

不妨设9>々，将x=9代入y=8+人（%—〃）+。中，得8+/?（9—a）+c=9,

故2=c+17,与2〃=c+19矛盾，舍去,

故94々，即8+c=9,解得0=1,

故4=10,

z八f9,0<x<10

所以每月支付费用y（元）关于月用水量Xm3的函数解析式y='

\2X—11,>1U

（2）y=k-mx~9+n,

k•m9-9+n=9k+n=9®

由题意知，,女15-9+〃=19,即.hm6+n=19(2)

k-m2i~9+〃=31%•加2+〃=31(3)

由②-①得％(MT)=1°，由③-①得上(/-1)=22,

所以=解得机6=2,所以机=（蚌，

M-155⑶

代入左（加6—1）=10,解得左=50,又上+〃=9,所以〃=T1,

x-9

所以y=50（：j6-41-x>0.

模型一与生活中的实际情况更接近（言之有理即可）.

建议从以下三方面考虑：

原因一：惠民政策，生活中，比如：打车，交税，交气费等都是与模型一接近,

百姓缴费少；

i_x-9

原因二：指数爆炸，由机=停]>1知，y=5o]£|丁-41关于X是快速增长，

但模型一在（10,+®）上匀速增长，更符合实际意义;

原因三：当x=0时,41，

由于⑷1空巴丫_幽_生〈幽

十［封216'hoj250012162500,

33

所以故y=5o{|j-41<o,不符合实际意义.

练透核心考点

1.（2023上・江苏•高一专题练习）今有一组实验数据如下：

t1.993.04.05.16.12

V1.54.047.51218.1

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）

A.v=log,tB.v=loglZC.v=^-^-D.v=2t-2

22

【答案】C

【分析】选x=4代入四个选项的解析式中选取所得的v最接近7.5的解析式即可.

【详解】对于选项A：当x=4时，v=log24=2,与7.5相差较多，故选项A不正确；

对于选项B：当尤=4时，^logi4=-2；与7.5相差较多，故选项B不正确；

2

42-1

对于选项C：当x=4时，v=-----=7.5,故选项C正确；

2

对于选项D：当％=4时，v=2/-2=2x4-2=6,与7.5相差较多，故选项D不正确；

故选：C.

2.（2023上•浙江•高一校联考阶段练习）今有一组实验数据及对应散点图如下所示，则体现这些数据关系

的最佳函数模型是（）

X10202941505870

y123.87.4111521.8

30■

20-

x

A.y=A\ogax+pB.y=A-a+p

C.y=ax2+bx+cD.y=kx+b

【答案】C

【分析】根据散点图的变化趋势及散点的分布情况判断回归方程的类型.

【详解】由散点图中各点的变化趋势：非线性、且在第一象限内上单调递增,

对于Ax,.=x/+1-,Ay,.=y.+1-yt,ie（1,2,3,4,5,6},由题意可得：

X102029415058

A%

0.10.20.30.40.50.57

可知，［x,潦J近似于线性，所以适合二次函数模型.

故选：C

3.（2023上•上海•高一上海市建平中学校考阶段练习）近来，国内多个城市纷纷加码布局"夜经济"，以满

足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力，某夜市的一位工艺品售卖

者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（x）（单

位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足尸（引=10+：且销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单

位：天）的部分数据如下表所示

X1015202530

Q")5055605550

（1）给出以下四个函数模型：①Q（x）=ox+6；②。（x）=4x-时+人；③Q（x）=a-6x；@Q（x）=alogbx.

请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系,

并求出该函数的解析式及定义域

⑵设该工艺品的日销售收入为f（无）（单位：元），求f（x）的最小值.

［答案］⑴选择模型②，e（x）=-|x-20|+60（l<x<30,xeN,）

（2）441元.

【分析】（1）根据表格中数据的增减性，结合函数的单调性，可得答案;

（2）根据分段函数的性质，结合基本不等式，可得答案.

【详解】（1）由表格数据知，当时间无变换时，Q（x）先增后减，而①③④都是单调函数

所以选择模型②，Q（x）=a\x-^+b

由Q（15）=Q（25）,可得15-时=|25-时,解得加=20

Q(15)=5a+6=55

解得。=-1*=60

0(20)=6=60

所以日销售量。⑺与时间x的变化的关系式为。（尤）=-卜-20|+60（1〈尤430,尤eN*）.

x+40,l<x<20/*

(2)由(1)知：2(^)=-|x-20|+60=—x+80,20<%<30'

|^10+-j(x+40),l<x<20

所以“x)=P(尤)(尤)=<(xeN*

I10+-|(-x+80),20<%<30

40

10元+—+401,1W20

即〃X

x)=<onxeN*

-10x+—+799,20<x<30

x

当1VXW20,XEN*时,

由基本不等式，nTW/（x）=10x+—+401>2^10x—+401=441,

40

当且仅当10%=，时，即％=2时等号成立，

x

QQ

当20<xW30,x£N*时，/（%）=—10%+—+799为减函数，

Q

所以函数的最小值为“X）1nm=/（30）=499+『441,

综上，当x=2时，函数“X）取得最小值441元.

4.（2023上•四川宜宾•高一统考阶段练习）2023年宜宾市新添城市名片"中国动力电池之都"，初步建成较

为完整的配套协同动力电池产业布局，并搭建起从原材料到整车制造的新能源汽车产业链.新能源电动车主

要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.有关部门在国道上对某

型号纯电动汽车进行测试，国道限速60km/h.经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量。（单位：wh）

与速度x（单位：km/h）的数据如下表所示：

X0104060

Q0142044806720

为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量。与速度x的关系，现有以下三种函数模型供选择：①

2(无)$犬一2V+CX；②2(x)=l一(2)；③Q3(x)=2001og〃x+6.

（1）当0VXV60时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表

达式;

⑵现有一辆同型号纯电动汽车从宜宾行驶到重庆某地，其中，国道上行驶50km,高速上行驶250km.假设

该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量Q与速度x的关系满足（1）中的函数表

达式；高速路上车速x（单位：km/h）满足xe[80,120],且每小时耗电量N（单位：wh）与速度x（单

位：km/h）的关系满足N（x）=2x2_10x+200（80WxW120）.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车

辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？

11

【答案】（l）选①Q（x）=而x3-2尤2+5,x3-2x2+160.r；

⑵在高速上的行驶速度为80km/h,在国道上的行驶速度为50km/h,43625wh.

【分析】（1）根据表格中的数据，对3个函数模型逐一判断即得.

（2）分别求出国道和高速上该辆车耗电量的最小值及对应行驶速度即可得解.

【详解】（1）对于③，Q3（x）=2001og0x+6,当x=0时，它无意义，不符合题意；

10io

对于②，e2（x）=i-（-）\当x=io时，e2（io）=i-（-）,xo＜（-）＜（-）°=i,

所以2（io）=1-（：严＜1,不符合原意；

因此选①,Q（尤）=X3—lx2+ex.

由表中的数据得，^X1O3-2X1O2+CX1O=142O,解得C=160,

所以Q（x）$x3_2f+160x.

250

（2）高速上行驶250km,所用时间为一h,

x

贝I」所耗电量为了（无）=—-N（x）=--（2x2-10x+200）=500（%+—）-2500,

XXX

显然函数"X）在［80,120］上单调递增，

于是/（尤）血,=7（80）=500x（80+黑）-2500=38125wh；

oO

国道上行驶50km,所用时间为留h,

X

贝I」所耗电量为g（X）=竺.0（X）=竺.号/_2/+160%）=x2-100.x+8000,

而04x460,则当x=50时，gWman=g（50）=5500wh.

所以当这辆车在高速上的行驶速度为80km/h,在国道上的行驶速度为50km/h时，

该车从宜宾行驶到重庆某地的总耗电量最少，最少为38125+5500=43625wh.

高频考点二：利用常见函数模型解决实际问题（二次模型；分段模型）

典型例题

例题L（2023上•湖南岳阳•高二统考期末）2022年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制

造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本1000万元，生产X(百辆)新能源汽车，还需另投入成本c(x)

10X2+200X,0<X<30

万元，且C(x)=<10000.由市场调研，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能

504元+------3000,x230

全部销售完.

(1)求出2022年该企业生产新能源汽车的利润“力(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；(利润=

销售量-成本)

(2)2022年产量为多少百辆时，该企业生产新能源汽车所获利润最大？并求出最大利润.

-10X2+300%-1000,0<X<30

【答案】⑴2⑺=7》一出

+2000,x230

Lx

(2)50百辆时，企业所获得利润最大为1600万元

【分析】(1)根据利润与产量、成本之间的关系，写出分段函数的解析式即可;

(2)分别根据二次函数、均值不等式求函数在每一段的最值，比较大小即可得解.

【详解】(1)当0<x<30时，

L(x)=500x—1000~(10x2+200x)=-10x2+300^-1000

当xN30时，

L(x)=500x-l000-(504x+-3000)=-4x-+2000

XX

-10%2+300元-1000,0<%<30.

L(x)=<

-4%_12222+2000,%>30.

X

(2)当0vxv30时,

L(x)=-10A:2+300A:-1000=-10(x-15)2+1250

;.x=15时，L(x)取得最大值,最大值为1250

当X230时,

，10000…八一10000

L(x)=-4x-------F2000=-(4x+)+2000<-2+2000=1600

xx

当且仅当4x=竺啰,即x=50时，等号成立,

X

所以当x=50时，L(x)有最大值1600.

综上所述：x=50,取得最大值，最大值为1600,即2022年生产量为50百辆时，企业所获得利润最

大，最大利润为1600万元.

例题2.(2023上•贵州六盘水•高一统考期末)心理学家根据高中生心理发展规律，对高中生的学习行为进

行研究，发现学生学习的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.上课开始时，学生的兴趣激

增，中间有一段时间学生的兴趣保持理想状态，随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用/(X)表

示学生掌握和接受概念的能力(了。)的值越大，表示接受能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：

-0.1尤2+2.8x+38,0<xW10,

min),满足以下关系：〃x)=56,10<x<20,

-lx+96,20<尤440.

(1)上课多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？

⑵有一道数学难题，需要54的接受能力及15min的讲授时间，老师能否及时在学生处于所需接受能力的状

态下讲授完成这道难题？

【答案】⑴上课10分钟后，学生的接受能力最强，能维持10分钟

(2)老师不能及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道题

【分析】(1)在(。,10］上利用二次函数求得最大值；xe(10,20］时,/(尤)=56,在xe(20,40］利用一次函数

求得最大值即可；

(2)当xe(0,10］,xe(10,20］,xe(20,40］时分别令〃x)K54求解.

【详解】(1)解：由题知/(x)=0.1/+2.8x+38在(0,期上单调递增，

所以=/d0)=56,

又xe(10,20］时，/(%)=56,

/•(彳)=-2*+96在彳€(20,40］上单调递减，/(x)e(16,56］,

所以上课10分钟后，学生的接受能力最强，能维持10分钟.

(2)当xw(0,10］时，令/(x)N54,Bp-0.1X2+2.8%+38>54,

化简得尤2—28尤+160WO,解得84x<20,又无e(0,10］,

所以8<x<10,此时有效时间为2分钟,

当xe(10,20］时,/(x)=56,有效时间为10分钟，

当xe(20,40］时，令/(尤)254,解得20<xV21,有效时间为1分钟，

由于讲授时间需15分钟，但有效时间2+10+1=13分钟，13<15,

所以老师不能及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道题.

练透核心考点

1.(2023下•河南•高一校联考阶段练习)中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导

体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划

建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万

元，若该型芯片生产线在2024年产出x万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本V(x)(单位：万元)，已

知当0<xW5时，V(x)=125；当5<xW20时，V(x)=犬+40x—100；当x>20时，V(x)=81x+1^)()-600,

已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.

(1)已知2024年该型芯片生产线的利润为尸(无)(单位：万元)，试求出尸(x)的函数解析式.

(2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大

利润.

80x-425,0<x<5

【答案］(1)尸(x)=l-x2+40x-200,5<x<20；

1600

—X-+----3--0-0--,-尤>20

X

(2)当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元.

【分析】(1)根据利润等于售价减成本可求利润P5)的表达式;

(2)根据P(x)的表达式分别求出每段函数的最大值即可.

【详解】(1)(1)由题意可得，P(x)=80%-V(x),

80%—300--125,0vxW5

所以尸(x)=,80X-300-(x2+40.r-100),5<x<20,

80x-300-(8lx+-600),x>20

X

80x-425,0<x<5

即尸(x)=(+40x-200,5<x<20.

一X-2^22+300,x>20

、尤

(2)当0<xW5时，尸(x)VP(5)=-25；

当5Vx<20时，尸(x)=-x2+40x-200,对称轴x=20,P(x)<尸(20)=200；

当x>20时，由基本不等式知x+竺竺280,

X

当且仅当彳=幽，即x=4O时等号成立，故2(^^=一80+300=220,

综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元.

2.(2023上•浙江杭州•高一浙江省杭州第二中学校考期中)"智能"是本届杭州亚运会的办赛理念之一.在亚

运村里，时常能看到一辆极具科技感的小巴车出现在主干道上，车内没有司机，也没有方向盘，这就是无

人驾驶AR智能巴士.某地在亚运会后也采购了一批无人驾驶巴士作为公交车,公交车发车时间间隔"单位：

分钟)满足54/420,teN,经测算，该路无人驾驶公交车载客量。⑺与发车时间间隔/满足:

60-(?-10)2,5<r<10

P⑺h其中reN.

60,10</<20

⑴求P⑸,并说明。(5)的实际意义;

⑵若该路公交车每分钟的净收益,二刨产-1。（元）‘问当发车时间间隔为多少时’该路公交车每分

钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益.

【答案】（1）35；发车时间间隔为5分钟时，载客量为35

（2）6分钟，38元

【分析】（1）根据题意求得P（5）=35,从而说明其实际意义；

（2）根据题意，分类讨论t的取值范围，利用基本不等式与反比例函数的单调性即可得解.

60-(/-10)2,5</<10

【详解】（1）因为P⑺=<

60,10<f<20

所以"5)=60-(5-10)2=35,

实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35.

(2)因为⑺+24-10,

所以当5?t10时，y=360_6（：10）+24_]0=]]0_3+平卜—2[牛=38,

当且仅当8="，即r=6时，等号成立，

t

所以当，=6时，y取得最大值38；

当10WtW20时，y=6x6；+24_]0=平]0,该函数在区间[10,20]上单调递减，

则当f=10时，>取得最大值28.4；

综上所述，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元.

高频考点三：利用常见函数模型解决实际问题（指、对、塞函数模型）

典型例题

例题L（2023上•湖南长沙•高一长沙市第十五中学校联考阶段练习）中国茶文化源远流传，博大精深，茶

水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用80。。的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可

以产生最佳口感.为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物

体的初始温度是4,经过rtnin后的温度是T，贝U7-4=（"_4）eW（e=2.71828…），其中4表示环境温度，

/?表示半衰期.该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是80℃,放在20℃的室温中，lOmin以后茶

水的温度是50℃,在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1,参考数

据In2ao.7,ln3«l.l）（）

A.5.7minB.5.8min

C.5.9minD.6.0min

【答案】A

【分析】根据已知条件列出关于〃，，的方程组可得答案.

【详解】由题意可得方程组：

50-20=（80-20）e一了①10

,,,由①式化简可得：〃=涓，代入②式，

60-20=（80-20）屋［②

由1“，10（ln3-ln2）.

所以:-----------«5.7min,

In2

大约需要放置5.7min能达到最佳饮用口感.

故选：A.

例题2.（2023上•湖北咸宁•高一校考阶段练习）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著

名的香农公式：C=Wlog2^l+^.它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽

W,信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中三叫作信噪比.当信噪比比较大

N

时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，若带宽W不变，信噪比?从1000提升到12000,

N

则。比原来大约增加了（）.（附：lg2«0.3010,lg3«0.4771）

A.32%B.43%C.36%D.68%

【答案】C

ccC-C

【分析】根据三=1000和3=12000表示出对应cc,然后根据谓1结合对数的运算求解出结果.

NNg

【详解】当2=1000时，最大信息传递速度为G=Wlog2（l+l000卜Wlog2100°，

当f=12000时，最大信息传递速度为G=Wlog2(1+12000)«Wlog212000,

C「G_log212000-log21000一log212000_1_lg12000

所以C比原来增加了

C]-log21000-log21000-IglOOO

lgl000+lgl2।3+21g2+lg3,21g2+lg3小，

=------------------------1=------------------------1=-----------------«30%,

333

故选：C.

例题3.（2023上•安徽六安•高一校考阶段练习）一种放射性元素，最初质量为1000g,按每年10%衰减.

⑴写出x年后这种放射性元素质量>与％之间的函数关系式；

⑵求这种放射性元素的半衰期（放射性物质的质量衰减为原来的一半所需要的时间）精确到0.1年，已知

（lg2=0.3010,lg3=0.4771）.

【答案】⑴y=1000x0.9%

（2）6.6年

【分析】（1）由递推关系写出函数解析式即可.

（2）依据题意列出方程，求解即可.

【详解】（1）最初的质量为经过1年后，y=1000（l-10%）=1000x0.9,

经过2年后，y=1000x0.92,由此推知，x年后，＞=1000x0.9,,

年后，》关于x的表达式为＞=1000x0.9,.

（2）歹!J出方程1000x0.9*=500,

0.9,=0.5nlg0.9x=lg0.5nxlg0.9=lg0.5,

lg0.5_-lg2_0.3010

a6.6（年），

lg0.9-21g3-l-1-2x0.4771

即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.

例题4.（2023上•全国•高一期末）"实施科教兴国战略，强化现代化建设人才支撑”是2022年10月16日

在中国共产党第二十次全国代表大会上报告的一部分,必须坚持科技是第一生产力、人才是第一资

源、创新是第一动力，深入实施科教兴国战略、人才强国战略、创新驱动发展战略，开辟发展新领域新赛道，

不断塑造发展新动能新优势.某科技企业通过加大科技研发投资，提高了企业的技术竞争力，也提高了收入.下

列一组数据是该公司从2017年以来每年的收入（单位:亿元）,2017年记为1,后面的年份依次类推.

X/年123456

y/亿元0.91.402.565.311121.30

⑴给出以下两个函数模型:①丫=[；②丫=二.试问:用哪个模型更适合模拟该企业的收入?

人3

（2）该企业大约在哪一年收入超过100亿元?（参考数据:lg3《0.477,怆210.301）

【答案】（1）用模型②尸g更适合模拟该企业的收入

（2）大约在2025年该企业的收入超过100亿元.

X

12

【分析】（1）在同一平面直角坐标系内作出函数）与＞的图象，并在此坐标系内描出表格提供的数

据对应的点，观察即可；

（2）解出了＞100,xeN*,贝U%n=9,即可求解.

17X

【详解】（1）在同一平面直角坐标系内作出函数＞与＞=[■的图象,

并在此坐标系内描出表格提供的数据对应的点如图所示.

观察图象知，这些点基本上都落在函数y='的图象上或附近，

所以用模型②y=y更适合模拟该企业的收入.

（2）当一〉100时,2">300,

3

因此X>1暇300=翼J4竽=马2田<8.23,

lg2lg20.301

而xeN*,则XmM=9,

所以大约在2025年该企业的收入超过100亿元.

练透核心考点

1.（2023上•江苏•高一期末）生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态

系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为。，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两

代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型K（〃）=Xlog3〃（2为常数）来描述该物种累计

繁殖数量”与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且。=1+1,在物种入侵初期，基于现有数据得

出。=6,7=60.据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍所需要的时间为（）天.（结

果保留一位小数.参考数据：比2a0.30,In3。0.48）

A.19.5B.20.5C.18.5D.19

【答案】A

【分析】根据题意，利用结定的函数模型求得彳，进而利用对数的运算法则列式即可得解.

【详解】因为。=马+1，2=6,T=60,所以6="+1,解得九=12,

AZ

设初始时间为K-初始累计繁殖数量为"，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍的时间为K2,

则K2-K]=12log3（6M）-12log3n=121og36

cIn2+ln30.30+0.48,十、

=12x------------=12x---------------®19.5（天）.

In30.48

故选：A.

2.（2023上•江苏南通•高一海安高级中学校考阶段练习）牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度

变化：如果物体初始温度为"，则经过一定时间单位：分钟）后的温度T满足T一?；=:"（"-如，其

中刀是环境温度，九为常数，现有一杯8（TC的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55。。

经测量室温为25P,茶水降至75P大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等

待分钟.

（参考数据：lg2x0.30,lg3x0.50,lg520.70,lgll«1.04.）

【答案】6

【分析】根据已知条件求出参数〃的值，进而转化为解指数方程，利用对数的运算以及换底公式即可求出结

果.

【详解】根据题意可知，环境温度（=251,初始温度”=8（TC,

经过一定时间f（单位：分钟）后的温度T满足T一（"一

因为茶水降至75℃大约用时一分钟，即f=1,T=75P,

所以75-25=卜1（80-25），解得1|=bgj《,贝/-

所以要使得该茶降至55P,即T=55P,则有55-25=（工1（80-25），得\=l°glH=l°glA，

Z、log.—\o—

L6].;11lgnlg6-lgllIg2+lg3-lgll0.3+0.5-1.04

故"log,--h=——±1707=-7^-=----------=------------=------------------------=6.

Iloa1„1°IglO-lgll1-lgll1-1.04

11

所以大约需要等待6分钟.

故答案为：6.

3.（2023上•上海•高一上海南汇中学校考阶段练习）用打点滴的方式治疗"支原体感染"病患时，血药浓度

（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合9。）=乂（1-2-力，其函数图象如图

所示，其中乂为与环境相关的常数，此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限

浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合。2（。=。2,，其中c为停药时的人体血

药浓度.

2

0

8

6

4

2

。|48《单位:小时)

⑴求出函数G(。的解析式；

(2)一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注

射？(如果计算结果不是整数，保留小数点后一位)

【答案】(l)q⑺=16x1-