2025年高考数学一轮复习：不等式及其性质

2025年高考数学一轮复习练习题含答案解析

第3节不等式及其性质

考试要求1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据.2.理解不等式的概念.3.

理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.

知识诊断•基础夯实

【知识梳理】

1.两个实数比较大小的方法

Q—6>0=。

(1)作差法"一6=0=4三6,

a—b<0=a。.

->1(Q£R,6>0)oa>b(Q£R,Z>>0),

b-

⑵作商法C=lQa三b'a，，W0),

^<1(a©R,Z>>0)Qa<b(aGR,b>0).

g一

2.不等式的性质

(1)对称性：cObobVa；

(2)传递性：a>b,b>c=>a>c；

(3)同向可加性：a>boa+c>】+c：a>b,c>dna+c>6+d：

(4)可乘性：a>b,c>0^ac>bc；a>b,c<0=>ac<bc；a>b>09c>d>0=>ac

>_bd；

n

(5)可乘方性：a>b>0^a>b\n^9〃21)；

〃ri

(6)可开方性：a>b>0n、fa>、仿(〃GN,n与2).

［常用结论］

1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩

法.

2.有关分式的性质

(1)若口>6>0,m>0,则能;->^~—(Z7—m>0).

aa-\~maa-m

(2)若ab>0,则

ab

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“J”或"义”)

(1)a>bQaO>b/.()

(2)tz=b^^cic~~bc.(^)

⑶若7>1,则a>b.()

b

(4)Q<a<x<b或a<x<b<0()

bxa

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

解析(1)由不等式的性质，ac3>bc3a>b；

反之，cWO时，a>bac3>bc3.

(2)由等式的性质，a=b=>ac=bc；

反c=0时,ctc:=bc4Q=6.

(3)a=—3,b=~l9则多>1,但。幼,故⑶错.

b

2.(多选X必修一P43习题2.1T8改编)下列命题为真命题的是()

A.若4°2>602,则Q〉bB.若Q>6〉0,则次>炉

C.若QV6V0,则a2Vq6Vb2D.若QV6V0,则

ab

答案ABD

解析C中，若Q=—2,b——1,则42>46>62,故C错误.

3.(必修一P42习题2.1T3(4)改编)设〃=，+炉+1,7V=2(X+J-1),则/与N的

大小关系为.

答案M>N

解析M~N=x2+y2+1-2x~2y+2=(x~l)2+(y-1)2+1>0.故M>N.

4.已知一1VQV2,-3<6<5,则a+2b的取值范围是.

答案(一7,12)

解析:-3<b<5,：.-6<26<10,

又一—7<a+2b<12.

考点突破•题型剖析

考点一比较数(式)的大小

例1(1)若。<0,b<0,则P=尤+?与q=a+b的大小关系为()

ab

A.p<qB.pWq

C.p>q

答案B

解析夕_,二星J

abab

(Z)2—。2)Qb—g)(b—a)2(b+a)

abab

因为QVO,Z?<0,所以Q+6<0,ab>0.

若a=b,则P一q=O,故p=q；

若aWb,则P一gVO,故p〈q.

综上，pWq.

⑵e71•兀e与ee•兀冗的大小关系为.

答案e7I-Tie<ee-7i7t

解析

又0<£<l,0<7i-e<l,

兀

侄卜e

所以口<1,即巴^<1,

e，•兀兀

即e兀•兀e〈ee•兀兀.

感悟提升比较大小的常用方法

(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.

(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.

训练1(1)若a,Z)e[O,+8),A=\fa+'lb,B=\[^+b,则Z,8的大小关系是

B.心5

C.A<BD.A>B

答案B

解析由题意得5?—/2=-24/^WO,

又ZNO,B^O,所以NNA

⑵若a=?

，则（)

45

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.b<a<c

答案B

解析法一易知a,b,c都是正数,

Z)31n4

==Iog8i64<l,所以a>A；

a41n3

Z)51n4

==10g6251024>l,所以b>c.

c41n5

即c<b<a.

法二构造函数加0=皿

X

则用尸匕4

X2

由/(x)>0,得0<x<e；

由/(x)<0,得x>e.

.,./）在（0,e）上为增函数,在（e,+8）上为减函数.

二次3)次4)次5),BPa>b>c.

考点二不等式的基本性质

例2（1）（多选）（2023•张家口一模）若则下列不等式中正确的有（）

A.a-b>0B.2a>2b

C.ac>bcD.a2>b2

答案AB

解析对于A,因为。＞6,所以a—b＞0,故A正确;

对于B,因为。＞儿且指数函数y=2x在R上单调递增，所以2。＞2\故B正确;

对于C,若cVO,则ac＜bc,故C错误;

对于D,当a=l,b=—2时，a2<b2,故D错误.

(2)(多选)(2023•泰州调研)若a>b>O>c,则()

C.ac>bcD.a-c>2\/~Z?c

答案ABD

解析对于A,因为。>b>0,所以因为cVO,所以正确；

abab

b-cba(6-c)~b(。一。)-ac-\~bcc。一。)

a-caa(tz-c)a(a-c)a(。一。)

因为a>b>O>c,所以6—口<0,a-c>0,所以^一正确；

a—ca

对于C,因为c<0,所以了单调递减，又。>6,所以废<",错误；

对于D,a—c=a+(—c)—ac>2\j—be,正确.

感悟提升解决此类题目常用的三种方法：

(1)直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件；

(2)利用特殊值排除法；

(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、

对数、募函数等函数的单调性进行判断.

训练2(1)(2023•福州一模)"OVaVb”是ua--<b-n的()

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析・.・y=X—1在(-8,0)和(0,+8)上均为增函数，

X

二•OVaVb时，a——1,充分性成立；

ab

当。一1〈6—1时，不能推出OVaVb,例如a=l,6=-1满足。一1〈6—1,但不

ab2ab

满足OVQVR必要性不成立，

aO<a<bv是“〃一1〈6—!”的充分不必要条件.

ab

(2)(多选)已知x>y>2,x+y+z=O,则下列不等式不成立的是()

A.xy>yzB.xy>xz

C.xz>yzD.x[y|>[y|z

答案ACD

解析因为X>y>2,x+j+z=O,

所以x>0,z<0,了的符号无法确定.

对于A,由题意得x>2,若y<0,则孙<0<乃，故A错误；

对于B,因为y>2,x>0,所以盯>xz,故B正确；

对于C,因为x>y,2c0,所以工2<尸，故C错误；

对于D,当例=0时，x[y|=Mz,故D错误.

考点三不等式性质的综合应用

例3(1)已知一l<x<4,2勺<3,则x—y的取值范围是,3x+2y的取值范

围是.

答案(一4,2)(L18)

解析因为一1<x<4,2<y<3,

所以一3<一^<一2,所以一4<x—y<2.

由—3<3x<12,4<2j<6,

得1<3X+2J<18.

(2)已知aG(—3,-2),bG(2,4),贝心的取值范围是.

a

答案「2,1

解析—3,—2),2,3],

a

故!<3；,

3a2

久，：2Vb<4,：.-<--<2,

3a

则

a3

迁移在本例(1)中，把条件改为“一1<%—y<4,2<x+y<3,求3x+2y的取值

范围.

解设3x+2y=2(x—y)+〃(x+y),

即3x+2y=(2+〃)x+(/z—X)y,

.h?

于是匕解得•_§

〃一2=2,〃=鼻，

：.3x+2y=1(x—y)+|(x+y).

*.*—l<x~y<4,2<x+j<3,

；<；(x-y)<2,5<|(x+j)<y,

9i5io

•••2<2(》一/+2("+加了

故3x+2y的取值范围是C')).

感悟提升利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，应注意两点：一是必

须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的

取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，

最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.

训练3(1)已知b<B<a<g贝以一夕的取值范围是.

答案12J

解析V0<^<|,

又OVaV71,：.~-<a-/3<-,

222

又B〈a,:.a—£>0,即0<a—

⑵已知a>b>c,2a+b+c=Q,则色的取值范围是

a

答案(一3,-1)

解析因为a>b>c,2a+b+c=0,

所以Q>0,c<0,b——2a—c.

因为a>b>c,所以一24—0<4,

即3a>—c,解得，>一3,

a

将6=—2。一。代入中，得一2Q—C>C,

即c<—a,得一<一1,所以一3<一<—1.

aa

分层精练•巩固提升

【A级基础巩固】

1.（2022•上海杨浦区期中）下列是“a>b”的充分不必要条件的是（）

A.a>b+1B.->1

b

C.a2>b2D.a3>b3

答案A

解析A中，当。=2,b=l时，a>b但a=b+\,必要性不成立，因为a>b+l,

所以。>6,故充分性成立；

B中，当a=-2,6=—1时，满足—>1,但aVb,故充分性不成立；

b

C中，当a=—2,b=一1时，满足层）〃，但。〈儿故充分性不成立；

D中，当时，由不等式的基本性质得/>加，故必要性成立，反之也成立.

2.已知且MWO,cGR,则下列不等式中一定成立的是（）

A.屋B.-<-

ab

£<?+l

答案D

解析当a=l,b=—2时，则了<（—2）2=4,

J>」不，4而无意义，故A,B,C错误;

1—2

因为02+1>0,所以根据不等式的性质可得;D正确.

。,十1/十1

3.已知一3VaV—2,3<b<4,则生的取值范围为（）

D

9

A

-3)

(2b3、

,一

C3

4AJ

案

第

解析因为一3<。<—2,所以a2£（4,9）,

而3<b<4,即

463

故，的取值范围为(1,3).

b

2

4若a>l,m=loga(a+l)>〃=log{a+l),2=log°(2a),则丁，〃,夕的大小关系

是()

K.n>m>pB.相>夕>〃

C.m>n>pD.p>m>n

答案B

解析由a>l知,a2+1—2a=(a—1)2>0,

2a—(a+l)=a—1>0,.".屋+1>2a>a+1,

而y=logax在定义域上单调递增，

5.把下列各题中的“=”全部改成“<”，结论仍然成立的是()

A.如果a=b,c=d,那么a—c=b—

B.如果a=A,c=d,那么ac=bd

C.如果a=A,c=d,且cdWO,那么日='

cd

D.如果a=b,那么苏=63

答案D

解析A不一定正确，如5<6,4<9,但5—4>6—9；

B不一定正确，如一2<一1,1<4,此时ac>bd；

C不一定正确，如1<2,1<8,此时〜与；

ca

易知D正确.

6.(2023・绵阳一诊)若0<。<儿则下列结论正确的是()

A.lna>\nbB.b?〈屋

答案D

解析由于函数y=lnx在(0,+8)上单调递增，且0<a<6,所以InaClnb,

故A错误；

因为0＜。＜儿由不等式的性质可知，屋＜炉，故B错误;

由于函数＞=1在(0,+8)上单调递减，且0＜。＜儿所以故C错误;

xab

由于函数y=12j在(0,+8)上单调递减,

且OVaVb,所以卧〉即故D正确.

7.(多选)若0<a<l,b>c>l,则()

B£=£>£

b-ab

C.Cal〈Z?a1D.10gcQ〈k)gbQ

答案AD

解析对于A,

c

陞件

V0<a<l,则IcJ>lcj=1,A正确;

对于B,若^―则Ac—ab>bc—ac,

b-ab

即a(c—b)>0,这与0<a<l,b>c>l矛盾，B错误；

对于C,V0<a<l,：.a~\<Q：：b>c>\,：.ca~x>ba~x,C错误；

对于D,V0<a<l,b>c>l,/.logca<logz)a,D正确.

8.已知M=x1+y2+z2,N=2x+2y+2z-7i,贝UMN(填“>”“〈”或“=>

答案>

解析M—N=x2-\-y2-\-z2—2x—2y—2z-\-Ti=(x—l)2+(y-l)2+(z-1)2+TT-3^71

-3>0,故M>N.

9.已知3<aV8,4<b<9,则旦的取值范围是

b

答案02)

解析V4<&<9,又3<a<8,

964

.*.-X3<-<-X8,即1<2V2.

9b43b

10.实数a,b,c,d满足下列三个条件：①d>c；②a+b=c+d；③a+dVb+c.

那么a,b,c,d的大小关系是.

答案b>d>c>a

解析由题意知d>c@；

②+③得2。+6+4<20+6+/

化简得a<c@；

由②式a-\-b=c-\-d及a<c可得到b>d⑤,

故b>d>c>a.

11.已知。+6>0,试比较与的大小.

baab

名刀a,bP+7Ia—b.b—a[7^—~(a+6)(口―6)2

解石+：—Q--「=(4—6)•22Q2J=---------------------------------,

优CTb1Q，CTO1

Vtz+Z?>0,(a—6)220,

.(a+b)(a~b)2.a।ft1।1

c^b1b1a1ab

12.(1)若be—ad》0,M>0,求证：

bd

⑵已知c>a>b>0,求证：61->b.

c-ac-b

证明(l)・“c2ad,y->0,

baab

...£+1三旦+1,

dbbd

(2)Vc>tz>Z?>0,/.c—tz>0,c—b>0.

'：a>b>0,

ab

w・•、八、c/.c—ac—b

abab

又。—a>0,c—6>0,/.~~~~~\

c-ac-b

【B级能力提升】

2

13.已知实数a,b,c满足6+c=6—4a+3a2,o—6=4—4a-\~a9贝！Ja,b,c的大

小关系为()

A.QVBWCB.bWc<a

C.b<c<aD.b<a<c

答案A

解析c—b=4—4a+q2=(a—2)2^0,^c^b,

又*•b~\~c—6—4。+3。2,C—b=4-4a~\~a2,

两式相减得2b=2+2屋，即6=1+层，

.QI3

・.b—a=a2-\~1—Q=12j>0,

4

:・b>a,:・a〈bWc.

14.(2023・济南模拟)已知非零实数加，〃满足em>e",则下列关系式一定成立的是

()

A.—<-B.ln(m2+l)>ln(7/2+1)

mn

mn

答案D

解析因为em>e〃，所以加>〃.

取加=1,n——2,得，>I,故A不正确；

mn

取加=1,n=—2,得加2+IV〃2+],

所以ln(m2+1)<ln(«2+1),故B不正确；

取加=1，n=~,得加+1<〃+]，故C不正确；

23mn

当m>n>0时，