2025年高考数学二级结论篇（核心知识背记手册）

高考数学二级结论篇

（核心二级结论背记手册）

目录

二级结论背记01集合................................................................3

1.德摩根公式.................................................................................3

2.容斥定理之集合中元素个数..................................................................3

二级结论背记02复数................................................................4

1.复数的模...................................................................................4

二级结论背记03平面向量............................................................4

1.爪子定理...................................................................................4

2.爪平面向量的系数和（等和线）（等值线）....................................................4

3.极化恒等式.................................................................................5

4.奔驰定理...................................................................................6

（1）奔驰定理的证明.......................................................................6

（2）奔驰定理的推论及四心问题.............................................................7

二级结论背记04不等式与基本不等式.................................................8

I.基本不等式链...............................................................................8

2.权方和不等式的二维形式....................................................................8

3.糖水不等式定理.............................................................................8

4.糖水不等式的倒数形式:......................................................................8

5.对数型糖水不等式..........................................................................8

二级结论背记05三角函数与三角恒等变换.............................................9

1.常见三角不等式.............................................................................9

2.半角公式...................................................................................9

3.万能公式...................................................................................9

4.和差化积与积化和差公式....................................................................9

二级结论背记06解三角形...........................................................10

1.常见三角恒等式............................................................................10

2.常见平面几何结论.........................................................................10

3.三角形中常见不等式.......................................................................10

4.内切圆半径................................................................................10

5.海伦-秦九韶公式...........................................................................10

6.海伦-秦九韶公式推广.......................................................................11

7.三倍角公式................................................................................11

8.射影定理..................................................................................11

9.角平分线定理..............................................................................11

10.张角定理.................................................................................II

11.倍角定理.................................................................................11

12.中线长定理...............................................................................12

13.三角恒等式...............................................................................12

二级结论背记07函数的基本性质.....................................................13

I.周期性（差为常数有周期）.................................................................13

2.对称性（和为常数有对称轴）...............................................................13

（1）轴对称...............................................................................13

(2)点对称...............................................................................13

3.周期性对称性综合问题.....................................................................13

4.奇偶性对称性综合问题.....................................................................14

5.与指数函数相关的奇函数和偶函数...........................................................14

6.与对数函数相关的奇函数和偶函数...........................................................14

7.奇函数+常函数.............................................................................14

二级结论背记08导数......................................................................14

1.几个常用极限..............................................................................14

2.两个重要的极限............................................................................15

3.函数极限的四则运算法则...................................................................15

4.常用的近似计算公式.......................................................................15

5.二阶导的定义..............................................................................15

6.函数极值的第二判定定理...................................................................15

7.曲线的凹凸性..............................................................................16

8.曲线的拐点................................................................................16

9.利用曲线的切线进行放缩证明不等式.........................................................17

10.利用曲线的相切曲线进行放缩证明不等式...................................................17

11.恒成立问题常见类型.......................................................................18

12.能成立(有解)问题常见类型..............................................................18

13.端点效应的类型...........................................................................19

14.洛必达法则：.............................................................................19

15.常见的指对放缩...........................................................................19

16.常见的三角函数放缩......................................................................19

17.其他放缩.................................................................................19

18.放缩程度综合............................................................................20

19.常见函数的泰勒展开式....................................................................21

20.常见函数的泰勒展开式的结论..............................................................21

21.极值点偏移的含义........................................................................22

22.极值点偏移问题的一般题设形式............................................................22

23.极值点偏移的判定定理....................................................................23

24.对数平均不等式..........................................................................24

25.拉格朗日(Lagrange)中值定理............................................................25

二级结论背记09数列......................................................................26

1.等差数列任意前n项和的关系...............................................................26

2.等比数列任意前n项和的关系...............................................................26

3.数列不动点................................................................................26

4.错位相减一万能公式求和...................................................................27

5.通项公式的构造...........................................................................27

二级结论背记10立体几何.................................................................27

1.内切球体积................................................................................27

2.三垂线法求二面角.........................................................................28

3.垂面法求二面角...........................................................................28

4.射影面积法求二面角.......................................................................28

5.三余弦定理................................................................................28

6.三射线定理................................................................................28

7.空间两点间的距离公式.....................................................................29

8.点。到直线/距离..........................................................................29

9.异面直线间的距离.........................................................................29

10.点8到平面a的距离......................................................................29

11.异面直线上两点距离公式..................................................................29

12.欧拉定理（欧拉公式）.......................................................................29

13.球的组合体...............................................................................30

二级结论背记11解析几何（直线与圆+圆锥曲线）...................................30

1.点关于线对称的一般性结论.................................................................30

2.直径端点圆的方程.........................................................................30

3.解析几何中的切线方程.....................................................................30

4.解析结合中的切点弦方程...................................................................30

5.相切的条件................................................................................31

6.斜率关系..................................................................................31

7.常见不等式................................................................................31

8.椭球体积..................................................................................31

9.纵坐标之和................................................................................31

10.渐近线围成的四边形面积..................................................................31

11.帕斯卡定理...............................................................................31

12.斜率定值.................................................................................32

13.椭圆和双曲线的结论汇总..................................................................32

14.补充结论1...............................................................................................................................................................34

15.抛物线的结论............................................................................35

16.补充结论2...............................................................................................................................................................36

二级结论背记12排列组合、二项式定理、概率统计.....................................37

1.二项式系数的性质..........................................................................37

2.二项式系数和..............................................................................37

3.单条件排列................................................................................37

4.分配问题..................................................................................38

5.“错位问题”及其推广........................................................................38

6.不定方程的解的个数.......................................................................39

7.数学期望的性质...........................................................................39

8.方差的性质................................................................................39

9.方差与期望的关系.........................................................................39

10.正态分布密度函数........................................................................39

二级结论背记01集合

1.德摩根公式

Cu（znB）=（c/）u（c㈤

Cu（/U8）=（q/）n（c*）

2.容斥定理之集合中元素个数

card（4U5）=card（4）+card（5）-card（400

cardUBU。）=card（4）+card（B）+card（C）-card（4Cl5）-cardDC）

-card（5DC）+cardPl5DC）

二级结论背记02复数

1.复数的模

已知％=a+bi(a,beR),z2=c+di(c,d6即且匕之+/£()),

〃(c2+d2

则五-N-G+w0)2222

㈤一后二()’|z)-z2|=|zj-|z2|=y/a+b-yjc+d

Z2

二级结论背记03平面向量

i.爪子定理

形如AD=xAB+yZC“爪”字型图及性质:

⑴己知AB,AC为不共线的两个向量,则对于向量AD,必存在x,y，使得

AD=xAB+yAC。则B,C,D三点共线ox+y=1

当0<x+y<l,则。与Z位于8c同侧，且。位于4与8c之间

当x+y>l,则。与4位于8c两侧

x+y=l时，当x>0,y>0,则。在线段8c上；当孙<0,则。在线段8C延长线上

（2）已知。在线段8c上,且忸必：|。必=加：〃，则诟=‘一方+“一%

m+nm+n

2.爪平面向量的系数和（等和线）（等值线）

如图，P为AA0B所在平面上一点，过0作直线///4B,由平面向量基本定理知:

存在X/EK,使得OP=X。/+yQ8

A

下面根据点P的位置分几种情况来考虑系数和x+y的值

①若Pe/时，则射线0P与/无交点，由////B知，存在实数2,使得丽=4方

AB=OB-OA,所以。尸=208—20/,于是x+y=X-/i=0

②若Pe/时，

(i)如图1,当P在/右侧时，过尸作C0//48,交射线0408于C,。两点，则

△OCD〜AOAB,不妨设NOCD与AOAB的相似比为k

由尸,C,。三点共线可知：存在NeR使得：

0P=WC+(l-A)0D=kAdA+k(l-A)dB

所以x+y=左几+无(1-X)=左

(ii)当尸在/左侧时，射线OP的反向延长线与48有交点，如图1作尸关于。的对称点P,由(i)

的分析知：存在存在4eR使得：

OP'=20C+(l-A)0D=kA0A+(l-A)0B

所以而=_左义厉+_(1_X)砺

于是x+y=-kA+-^(1-2)=-k

综合上面的讨论可知：图中方用力,砺线性表示时，其系数和x+y只与两三角形的相似比有关。

我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。

因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过O作48边的垂线

10P'I

设点尸在/'上的射影为P,直线/'交直线48于点耳，则|刈=^^(左的符号由点尸的位置确定)，因此

只需求出|0尸'|的范围便知x+y的范围

3.极化恒等式

_厂(a+b)2-(a-bY

a.b—

4

恒等式右边有很直观的几何意义:

向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的，，和对角线，，与，，差对角线，，平方差的3

恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系

如图在平行四边形ABCD中，AB=a,AD=b

则展…+加)2"通)2

4

在上述图形中设平行四边形ABCD对角线交于M点，则对于三角形来说:

产苧

4.奔驰定理

如图，已知尸为“8C内一点，则有S△咏+.赤+•灰

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.

(1)奔驰定理的证明

如图：延长。4与8c边相交于点。

BD_S“BD_S&BOD__S&ABD-S&BOD_S&AOB

DCS-CDS&CODSACD—S&CODS&AOC

—•DC—•BD―-

0D=——0B+——0C

BCBC

e____e____

__0B+^AOBQQ

C_i_VVc

Q"OCT口4AOB口4AoeT°AAOB

..OD_SBOD_S(X)D_SBOD+ScOD_SaBOC

SBOA^COASSAAOB

°NS18cM+COAS“0C+

—►S—►

0D=-----——OA

C_Lc

Q"OC丁°AAOB

c___c___c___k

.-.-----OA=OB+Moc

C_LQC_i_VC_i_C

Q"OCT口&AOB°"OCTQ"OB3Aoe丁口AAOB

二.SeOA+S,OB+SACR，OC-0

△DC/CAAAOCCiC^AUD

(2)奔驰定理的推论及四心问题

推论0是AABC内的一点，且x-OA+yOB+zOC=0,则S^BOC:S^COA:S^AOB=x:y:z

有此定理可得三角形四心向量式

(1)三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距

离之比为2：1.

(2)三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.

(3)三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内

心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.

(4)三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心,

它到三角形三个顶点的距离相等.

奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着

决定性的基石作用.

已知点。在08C内部，有以下四个推论：

①若。为"3C的重心，则方+无+历=6；

②若。为“3C的外心，则sin2a03+sin25・赤+sin2c-反1=6;或

③若。为AJBC的内心，则..次+6•赤+c•双=6;备注：若。为“3C的内心，则

sin/京+sin8•砺+sinC灰=6也对.

④若。为"BC的垂心，贝！Jtan/•厉+tan氏赤+tanC-0?=6，或而•砺=砺•历=灰1•次

二级结论背记04不等式与基本不等式

1.基本不等式链

告〈）〈一〈尸

--1--

ab

em,nemenm+n

拓展•胆〉〃n时-u,----+--'->----~--->e2

2m—n

2.权方和不等式的二维形式

若a,b,x,y>Q则—+—+当且仅当-=-时取等.

xyx+yxy

（注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀）

3.糖水不等式定理

b+mh

若a>b>0,m>0,则一定有-~->-

a+ma

通俗的理解：就是a克的不饱和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖,则糖水更甜;

4.糖水不等式的倒数形式：

aa+m

设a>b>0,m>0,则有：2〉竺竺

bb+m

5.对数型糖水不等式

⑴设〃eN+，且〃>1,则有log„+1n<log„+2(«+l)

⑵设a>b〉l,m〉0,则有logflZ?<logfl+m(Z7+m)

(3)上式的倒数形式：设a>b>l,m>0,则有log；,a>log^(a+m)

二级结论背记05三角函数与三角恒等变换

1.常见三角不等式

(1)若工£,贝|sinx<x<tanx.

(2)若XG，贝ijl<sinx+cosxV力.

sinx|+|cosx|>l

(3)

2.半角公式

al-cosa

(l)sin一=±

22

aI+cosa

(2)cos-=±

2

a1-cosasina1-cosa

(3)tan—=±

1+cosa1+cosasina

a

以上称之为半角公式,符号由-所在象限决定.

2

3.万能公式

2tan—I-tanI2—2tan—

.22

smx=----------cosx--------------tanx=----------

I+tan一I+tan2—1-tan2—

222

4.和差化积与积化和差公式

a-B

sin。+sin/?=2sin--------cos---------

22

.a-B

sina—sin/?=2cos------sm-------

22

a+0a-B

cosa+cos°=2cos--------cos---------

22

.a-B

cosa-cosP=2sin-------sin.......-

22

2sinAcosB=sin(/+5)+sin(4—B)

2cosAcosB=cos(A+5)+cos(A-B)

2sinAsinB=cos(4-B)-cos(A+B)

二级结论背记06解三角形

i.常见三角恒等式

在任意△4SC内，都有taiL4+tan5+tanC=taiL4-tan5-tanC

推论：在△4SC内，若taiL4+tan5+tanCv0,则△45C为钝角三角形

2.常见平面几何结论

平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和

3.三角形中常见不等式

在锐角三角形中sin/+sin5+sinC>cosA+cosB+cosC

4.内切圆半径

在Rt448C中，。为直角，内角4B,C所对的边分别是a,b,c,则△NBC的内切圆半径为巴匕

2

5.海伦-秦九韶公式

三角形的三边分别是a、b、c,

则三角形的面积为S=⑪(p-a)(p-b)(p-c)

O—I—h—

其中p二,这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。

2

我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式：

a1+b2-c2

6.海伦-秦九韶公式推广

已知三角形三边X,乃Z,求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如J万，V28,V29)

A+B=x~

B+C=y2

C+A=z2

2S=y/A-B+B-C+C-A

7.三倍角公式

sin3a=3sina—4sin3a,

cos3a=4cos2a-3cosa

8.射影定理

a=bcosC+ccosB,6=acosC+ccosN,

9.角平分线定理

(1)在AA8C中，4D为N54C的角平分线,

BDCD

c,NBAC

28xcxcos--------

(2)AD=-----------------2_

b+c

(3)AD~=ABxAC-BDxCD(库斯顿定理)

4B_S、ABD

(4)

10.张角定理

sin0sintz_sin(a+/3)

ABAC~-AD

11.倍角定理

在A/BC中，三个内角4B、。的对边分别为a、b、c,

⑴如果N=25,则有:X=〃+秘

(2)如果C=24,则有:c?=a2+ab

(3)如果5=2C,则有:b2=c2+ac

倍角定理的逆运用

在A/BC中，三个内角/、B、C的对边分别为a、b、c,

⑴如果/=A?+bc,则有:N=2B0

(2)如果c1-a1+ab，则有:C=2A。

(3)如果〃=0?+℃,则有:3=2C。

12.中线长定理

40为8c的中线，则中线定理:4»2+2。2=2(402+。。2)

证明：

在△48D和AZOC中，用余弦定理有：

'AD?+BD?-mAD2+DC2-AC2

<2ADBD+2ADDC-AB2+AC2=2(AD2+DC2)

BD=DC

13.三角恒等式

在ZU5C中，

ABC

@sin+sinS+sinC=4cos-cos-cos一；

222

.A.B.C

@cosA+cosB+cosC=1+4sin-sin-sin一；

222

(3)sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC；

④cos2A+cos2B+cos2C=1-2cosAcosBcosC;

zpx.24.2B.2C1..A.B.C

@sm——I-sin——I-sin-=I-2sin-sin-sin一；

222222

⑥cos2-+cos2-+cos2-=2+2sin-sin-sin-；

222222

⑦cot4•cot5+cot24•cotC+cot5-cotC=I；

BCABC

+cot——I-cot——=cot—cot——cot——

⑧£22222

4BBCCA

(9)tan—tan—Ftan—tan—卜tan—tan——1；

222222

二级结论背记07函数的基本性质

1.周期性(差为常数有周期)

①若/(x+a)=/(x),则/(x)的周期为：T=\a\

②若/(x+a)=/(x+b),则/(x)的周期为：T=\a-b\

③若/(x+a)=—/(x),则/(x)的周期为：T=\2a\(周期扩倍问题)

④若/(x+a)=±—1，则/(x)的周期为：T=|2a|(周期扩倍问题)

J\x)

2.对称性(和为常数有对称轴)

(1)轴对称

①若f(x+a)=/(-X),则/(x)的对称轴为x=~|

②若/(x+a)=/(—x+则/(x)的对称轴为x=一

(2)点对称

①若/(x+a)=—/(—》)，则/(x)的对称中心为g，0j

②若/(x+«)+f[-x+b)=c,则/(x)的对称中心为(巴吆

3.周期性对称性综合问题

①若/(a+x)=/(a—x),f(b+x)=f(b-x),其中awb,则/(x)的周期为：T=?\a-b\

@^f(a+x)=-f(a-x),f(b+x)=-f(b-x),其中"b,则/(x)的周期为：

T=2\a-b\

③若/(a+x)=/(a-x),f(b+x)=-f(b-x),其中awb,则/(x)的周期为：

T=4\a-b\

4.奇偶性对称性综合问题

①已知/(x)为偶函数，/(x+a)为奇函数，则/(x)的周期为：7=4时

②已知/(x)为奇函数，/(x+a)为偶函数，则/(x)的周期为：7=4时

5.与指数函数相关的奇函数和偶函数

/(x)=ax-¥a~x,(Q>0,且awl)为偶函数，

f(x)=ax-a~x,(Q>0,且awl)为奇函数

/(%)=乙二和/(》)=*“，(«>0,且a/1)为其定义域上的奇函数

ax+1ax-1

2?

/(x)=l---—和/(x)=l+1—,(a>0,且awl)为其定义域上的奇函数

a+1a-1

/(幻=加为偶函数

6.与对数函数相关的奇函数和偶函数

/(x)=log,(Jl+b。?土bx)，(a>0且awl)为奇函数，

b±ex

f(X)=log。亡一，(a>0且a/1)为奇函数

b+cx

7.奇函数+常函数

在定义域内，若尸(x)=/(x)+Z,其中/(x)为奇函数，Z为常数，有/⑷+/(—4)=22

即/■)+/(—。)=2倍常数

二级结论背记08导数

1.几个常用极限

(1)lim—=0,lima〃=0(|tz|<1)；

ns几n—>oo

(2)limx=x。，lini———.

%-%o%XXQ

两个重要的极限

smx

(1)hm----=1；

3x

(2)liml1+-I=e(e=2.718281845...).

18(x)

3.函数极限的四则运算法则

若limf{x}=a,limg(x)=b,则

(l)lim[/(x)±g(x)]=a±Z>；

Xf尤0」

(3)lim

x—>x

0奈

4.常用的近似计算公式

(当|x|足够小时)

⑴J1+x®1+—x;Vl+x®1+—X;

2n

(2)(1+x)ap1+ax(aGR)；——«1-x；

1+x

(3)e"«1+x；

⑷/“(l+x)ax；

(5)sinx«x(x为弧度)；

(6)tanx®x(x为弧度)；

5.二阶导的定义

定义1：若函数/(X)的导函数/'(X)在点X=Xo处可导，则称/(X)在点X=/的导数为/(X)在点

X=Xo的二阶导数，记作f"(x0),同时称/(X)在点x=/为二阶可导.

定义2:若/(x)在区间M上每一点都二阶可导，则得到一个定义在M上的二阶可导函数，记作

/(x),xeM,xel

6.函数极值的第二判定定理

若/(x)在》=/附近有连续的导函数/(x),且/(X。)=0J"(X。)H0

(1)若/1"(%0)<0,则/(x)在点5处取极大值；

(2)若/"(x0)〉0,则/(x)在点/处取极小值

7.曲线的凹凸性

设函数y=/(%)在区间(a,b)内可导，如果对应的曲线段位于其每一点的切线的上方，则称曲线在

(a,6)内是凹的，如果对应的曲线段位于其每一点的切线的下方，则称曲线在(a,6)内是凸的。从图象上来

看，曲线段向上弯曲是凹的，曲线段向下弯曲是凸的。

设函数j=/(%)在(。,6)内具有二阶导数，如果在他/)内那么对应的曲线在(/6)

内是凹的，如果在(。力))内/，!(xo)<°>那么对应的曲线在Qb)内是凸的设j=/(x)在区间

M上连续，如果对M上任意两点玉,々，恒有/[七，<]/(%)+/(》2)]

则称y=/(x)在M上的图形是凹的，简称为凹弧；

如果恒有宥]>g[/(xJ+/(X2)]

则称y=f(x)在M上的图形是凸的，或简称为凸弧。

马函数

8.曲线的拐点

n

曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。因此拐点一定是使/(xo)=o的点，但是使r(xo)=o的点不

一定都是拐点。

9.利用曲线的切线进行放缩证明不等式

设了=6工上任一点尸的横坐标为根，则过该点的切线方程为y-e"=e"(x-5),即

y=e"'(x+l)-ffw"',由此可得与e'有关的不等式：e">em(x+l)-mem,其中xeR,meR,等号当且

仅当x=〃z时成立.特别地，当机=0时，有e'21+x；当初=1时，有e*2ex.

设了=lnx上任一点。的横坐标为〃，则过该点的切线方程为y-hi"='x-〃)，BPy=—x-1+lnn,

nn

由此可得与Inx有关的不等式：Inx^Lx-l+ln”，其中x>0,n>0,等号当且仅当x=〃时成立.特别

n

地，当〃=1时，有In无Vx-l；当〃=e时，Wlnx<—x.

e

利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数.

10.利用曲线的相切曲线进行放缩证明不等式

综合上述两种生成，我们可得到下列与e'、Inx有关的常用不等式:

与e，有关的常用不等式：

(1)>1+x(xeR)；

(2)eA>ex(xeR).

与Inx有关的常用不等式：

Y—I

(1)--<lnx<x-l(x>0)；

x

(2)WlnxW-x(x>0)；

exe

/、2(x-l)、、

(3)lnx<-------(z0<x<1),lnx>------