2025届长沙市某中学高三数学上学期11月考试卷及答案解析

长沙市一中2025届高三月考试卷（三）

数学

时量：120分钟满分：150分

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

^-=3-41

z|

1.若复数z满足z，则()

2D.

B.一L.-------如

A-T552

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的除法运算求出复数z,计算其模，即得答案.

【详解】由出口=3—4i可得z=1+i(l+i)(3+4i)_-l+7i

Z3-4i(3-4i)(3+旬25

则目=争

故选：C

2.已知数列｛%｝的前〃项和S”=〃2一2〃,则的+0+%等于（）

A.12B.15C.18D.21

【答案】B

【解析】

【分析】利用其-尾即可求得生+4+的值•

［详解】因为数列｛%｝的前n项和Sn=/-2〃,

2

所以的++。5=$5—S=5—-2x5—(2-2x2)=15.

故选：B.

3.抛物线y=4/的焦点坐标为（

A.(1,0)B.(-1,0)

c（0,一《）D（o,』）

【答案】D

【解析】

【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而可求出其焦点坐标

【详解】解：由＞=4/，得

所以抛物线的焦点在N轴的正半轴上，且22=!

4

所以夕=g，勺总

所以焦点坐标为（0,'），

16

故选：D

4.如图是函数〉=sin（ox+e）的部分图象,则函数的解析式可为（）

y=sin卜+m

A.y=smy-2%B.

y=sin12x+g"cosg-2x

C.D.

【答案】A

【解析】

5兀

【分析】观察图象，确定函数〉=sin（ox+。）的周期,排除B,由图象可得当x=—时，函数取最小值,

12

求。由此判断AC,结合诱导公式判断D.

2兀兀

【详解】观察图象可得函数J=sin（0x+9）的最小正周期为7=2

~3~~6=71,

2兀

所以L=兀，故刃=2或G=—2,排除B；

兀2兀

观察图象可得当_%+亍_5兀时，函数取最小值,

X--------二—

212

5兀37i

当@=2时，可得2x----（p—24兀+—,左£Z,

122

2兀

所以0=2左兀+,左eZ,排除C；

5兀7T

当口=—2时，可得一2x----（p—2左兀----，左wZ,

122

兀

所以0=2祈+1,keZ,

7T

取左=0可得，0=—,

3

故函数的解析式可能为了=sin[g-2x）,A正确;

y—cos―2x]—cos+——2x]——sin―2x],D错误

故选：A.

5.1903年，火箭专家、航天之父康斯坦丁•齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力

1m,+m

的理想情况下的最大速度v满足公式：v二%ln加幅9其中％，加2分别为火箭结构质量和推进剂的质

量，%是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为8km/s,

则火箭发动机的喷气速度为（）（参考数据：ln2p0.7,ln3e1.1,1114^1.4）

80

A.10km/sB.20km/sC.一km/sD.40km/s

3

【答案】B

【解析】

【分析】根据实际问题，运用对数运算可得.

,m,+m?,2m,+m7n

【详解】由题意叫=2加2，v=%lnq_-=voln—=—-=8,

mi2m2

.888

3y_=-----=-----------x----------=2。

得%1117=8,故。3ta3-ln21.1-0.7，

2In

2

故选：B

___o___r

6.若3cosa+JIUcos/=—,3sina-JiUsin6=—,则cos（a+〃）的值为（）

444

【答案】C

【解析】

【分析】已知两式平方相加，再由两角和的余弦公式变形可得.

_O_ZT

【详解】因为3cosa+JIUcos/=1，3sina-VlOsin/?=—,

所以(3cosa+VlOcosyff)2=晟,(3sincr-VlOsin^)2=,

即所以9cos2a+6jfUcosacos〃+10cos2笈二£,

9sin2a-6V10sincfsin^+1Osin2/?=,

两式相加得9+6V10cos(a+/)+10=4,

所以C0S（6K+尸）二———，

故选：C.

7.如图，一个质点从原点O出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为白，向右

3

的概率为工，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概率为（）

3

-4-3-2-101234

4824

A.—B.—C.—D.一

272799

【答案】A

【解析】

【分析】根据该质点共两次到达1的位置的方式有0-1->0-1和0—1—2—1,且两种方式第4次

移动向左向右均可以求解.

【详解】共移动4次，该质点共两次到达1的位置的方式有0->1->0-1和0—1—2—1,且两种方

式第4次移动向左向右均可以，

1211124

所以该质点共两次到达1的位置的概率为一X—X—+—X—X—=.

33333327

故选：A.

8.设S“为数列｛aj的前n项和，若%+%+i=2〃+l,且存在左eN*，5*=5印=210,则％的取值集合

为（

A,{-20,21)B.{-20,20)

C.{-29,11}D.{-20,19}

【答案】A

【解析】

【分析】利用4+。“+1=2〃+1可证明得数列｛%7｝和｛%"｝都是公差为2的等差数列，再可求得

S2“=〃（2〃+l）,有了这些信息，就可以从左的取值分析并求解出结果.

【详解】因为+%+「=2十+1,

所以S2”=（%+%）+（%+%）+…+（%〃-1+%〃）-3+7H—+（4〃-1）=---------〃（2〃+1）,

假设S2"=〃（2〃+l）=210,角星得〃=10或〃=一~—（舍去），

由存在kwN*，^=^+1=210,所以有人=19或左=20,

a

由%+n+\=2〃+1可得，an+l+%+2=2〃+3,两式相减得：cin+2—an=2,

当左=20时，有S20=S21=210,即出1=0,

根据为+2—。〃=2可知：数列奇数项是等差数列，公差为2,

所以。2i="i+（ll—l）x2=0,解得q=—20,

当左=19时，有S]9=020=210,即。20=0，

根据氏+2-%=2可知：数列偶数项也是等差数列，公差为2,

所以20=%+（10_l）x2=0,解得的=_18,

由已知得力+出=3,所以—21.

故选：A.

二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项

是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）

9.如图，在正方体中，点、E,厂分别为的中点，则下列说法正确的是

()

A.直线EF与De为异面直线B.直线D.E与DC,所成的角为60°

C.DXF±ADD,〃平面CD2G

【答案】ABD

【解析】

【分析】直接根据异面直线及其所成角的概念可判断AB,利用反证法可判断C,利用线面平行判定定理可

判断D.

【详解】如图所示，连接NC,CD-EF,

由于£,厂分别为401,的中点，即尸为NC的中点，

所以EF//。。一£E(z面C">G，CRc面C”>G，

所以£户〃平面C">G，即D正确；

所以EE与共面，而用£。2,所以直线所与2片为异面直线，即A正确；

连接8。，易得D[E//BCi，

所以ZDQB即为直线D[E与DCI所成的角或其补角，

由于为等边三角形，即/。。㈠=60。，所以B正确；

假设A尸，N。，由于ND，。，，DFCDR=D,所以/。，面

而面口。厂显然不成立，故C错误；

故选：ABD.

10.已知P是圆。：/+J?=4上的动点,直线4:xcos8+ysine=4与4:xsin。一ycos8=l交于点

0,则（）

A.lx1Z2B.直线4与圆。相切

C.直线，2与圆。截得弦长为2百D.|。。|的值为旧

【答案】ACD

【解析】

【分析】选项A根据4，，2，44+5d2=0可判断正确；选项B由圆心。到4的距离不等半径可判断错

误；选项C根据垂直定理可得；选项D先求出0（4sin。-cos仇4cos9+sin。），根据两点间的距离公式

选项A：因cosesin^+sinel—cos。）=0,故乙，4，A正确;

选项B：圆。的圆心。的坐标为（0,0）,半径为外=2,

圆心。到4的距离为4=/,。=4〉r,故直线4与圆。相离，故B错误;

Vcos2^+sin2^

,_|-1|_

选项C:圆心。到4的距离为=I—=1,

[sine+（-cos。）

故弦长为I=2G2-d；=2-\/3，故C正确;

xcos8+ysin8=4fx=4cos8+sine

选项D：由4.八八i得《一八八，

xsin，-ycos，=1[y=4sm3-cos0

故0(4cos6+sin仇4sin6-cos。),

故|。。|二^(4cos6^+sin6^)2+(4sin^-cos6^)2=V17，故D正确

故选：ACD

11.已知三次函数/(%)=。/+乐2+“+1有三个不同的零点不，9,x3(xj<x2<x3),函数

g(x)=/(x)—l也有三个零点。，彳2，，3(。<%2<%3)，则()

A.b1>3cle

B.若为，x2,X3成等差数列，则々=-2

3。

C.2+/<4+%3

D.%；+x；+x；=%；+，；+%；

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A,由题意可得/'(x)=0有两个不同实根，则由A〉0即可判断；对于B,若%,/,工3成等

差数列，则(X2,f(X2))为了(X)的对称中心，即可判断；对于C,结合图象，当。〉0和4<0时，分类讨论

即可判断；对于D,由三次函数有三个不同的零点，结合韦达定理，即可判断.

【详解】因为/(X)=ax，+乐2+cx+d,

(b(b

则/'(x)=3QX?+26x+c,QWO’对称中心为一^—,f\---，

I3Q3aJj

对于A,因为/(x)有三个不同零点，所以/(x)必有两个极值点，

即/'("=3〃%2+2加:+。=0有两个不同的实根，

所以A=4b2-12ac>0，即〃>^ac，故A正确；

对于B,由占,%2，%3成等差数列，及三次函数的中心对称性，

可知(X2,f(x2))为/(X)的对称中心，所以％2=-，故B正确;

对于C,函数g(x)=/(x)T,当g(x)=。时，/(x)=l,

则y=l与y=f（x）的交点的横坐标即为4,，2，%3,

当Q〉0时，画出/（X）与V=1的图象，

由图可知，再<4，X3<t3,则须+%3<4+%3,

当Q<0时，则再+工3>。+/3，故C错误;

(x-x)(x-x)(x-x)=ax3+bx2+cx+d

a123

对由题意,

D,(X-，J(X-%2)(X-3)=Q%3+bf+CX+d-1

a

b

X]+%+%3=£[+/2+=----

a

整理,得《

c

XxX2+X2X3+X3Xx=单2+"3+t3t1=—

一一a

-I—2(4G+12/3+

得(X]+%2+X3)-2(XJX2+X2X3+X3X])=(4+4+/3

即x：+x；+x；=彳+1+/；,故D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是利用交点式得到三次方程的韦达定理式再计算即可.

三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）

12.己知随机变量X服从二项分布8（〃,2），若E（X）=3,Q（X）=2,则〃=.

【答案】9

【解析】

【分析】根据二项分布的期望、方差公式，即可求得答案.

【详解】由题意知随机变量X服从二项分布8（〃,p）,E（X）=3,£>（X）=2,

贝|」7卯=3,7/（1—2）=2,即得P=；,〃=9,

故答案为：9

13.已知平面向量7,B满足同=2,问=1,且B在）上的投影向量为,则|万+可为.

【答案】V3

【解析】

【分析】由条件结合投影向量公式可求鼠根据向量模的性质及数量积运算律求归+用.

【详解】因为B在2上的投影向量为一工2,

4

b-aa1-1c

所以yr[=一：Q，又同二2,

\a\\a\411

所以=-1，又W=L

所以卜+可=,卜+3『=^a2+2a-b+b2=V4-2+1=73.

故答案为：V3.

14.如图，已知四面体45CD的体积为32,E,F分别为AB,6c的中点，G,“分别在CD,AD

上，且G,X是靠近。点的四等分点，则多面体£7（汨3。的体积为.

【答案】II

【解析】

【分析】连接EG,£0,将多面体EEGHS。被分成三棱锥G-〃和四棱锥£-BEG。，利用题设条

件找到小棱锥底面面积与四面体底面面积的数量关系，以及小棱锥的高与四面体的高的数量关系，结合四

面体的体积即可求得多面体斯GEZSD的体积.

如图，连接EG,，则多面体EFGHBD被分成三棱锥G-EDH和四棱锥£—BFGD.

因〃是上靠近。点的四等分点，则S®HE=-SMED，

又E是4B的中点，故S4DHE=二S"ED=:X}S"BD=&SdBD，

44Zo

因G是CD上靠近。点的四等分点，则点G到平面ABD的距离是点C到平面ABD的距离的9,

4

11TZ=-^―x32=1；

故三棱锥G-EDH的体积%.EDH

32

_13„35

又因点尸是5c的中点，则ZCFG=3义工S-BCD=:§S&BCD，故SBFGD=可S&BCD

又由£是48的中点知，点£到平面BCD的距离是点A到平面BCD的距离的,，

2

故四棱锥£—BFGD的体积VE_BFGD=|xlVA_BCD=-^x32=10,

8216

故多面体EFGHBD的体积为VG_EDH+VE_BFGD=1+10=11.

故答案为：11.

【点睛】方法点睛：本题主要考查多面体的体积求法，属于较难题.一般的求法有两种：

(1)分割法：即将多面体通过连线，作面的垂线等途径，将其分成若干可以用公式求解；

(2)补形法：即将多面体通过辅助线段构造柱体，锥体或台体，利用整体体积减去个体体积等间接方法

求解.

四、解答题(本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.设V4SC的内角A,B,C的对边分别为b,c,已知asirtS—GbcosZ=0.

(1)求A；

(2)若sinB+sinC=2siM,且V48C的面积为右，求a的值.

7T

【答案】(1)A=-

3

(2)a=2

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理的边角变换得到tanZ=G，从而得解；

(2)利用正弦定理的边角变换，余弦定理与三角形面积公式得到关于。的方程，解之即可得解.

【小问1详解】

因为asinS-=0,即asinB=拒bcosA，

由正弦定理得sinZ•sin8=Csin8-cosA，

因为sinBw0,所以sinZ=Gcos4则tanA=也，

又Ne(O,兀)，所以/=g.

【小问2详解】

因为sinB+sinC=2siib4,由正弦定理得b+c=2a,

因为/=£,所以S='bcsinZ=x二■=，则bc=4,

3"222

由余弦定理/=b2+c2-2bc-cosA>得余+c2-be-4>

所以(b+c)2—36c=4,贝.2a7一3x4=4,解得a=2.

16.设/(x)=(x?+ax)lnx+gx2,eR

(1)若4=0,求/(X)在X=1处的切线方程；

⑵若aeR,试讨论/(x)的单调性.

【答案】(1)4x—2y—3=0

(2)答案见解析

【解析】

【分析】(1)由函数式和导函数式求出/(I)和/'(1),利用导数的几何意义即可写出切线方程；

(2)对函数/(x)求导并分解因式，根据参数。的取值进行分类讨论，由导函数的正负推得原函数的增减,

即得/(x)的单调性.

【小问1详解】

当。=0时，f(x)=x2lnx+^x2,f'(x)=2x(lnx+l),因/⑴=；,八1)=2,

故/(X)在x=l处的切线方程为y—g=2(x—1),即4x—2y—3=0；

【小问2详解】

因函数y(x)=(x2+ax)lnx+gx2的定义域为(0,+s),

/'⑴=(2x+Q)Inx+2x+a=(2x+a)(lnx+1),

211

①当QV-一时，若0<%<—，贝!Jlnx+l<0,2x+a<0,故/'(x)〉0,即函数/(%)在(0,—)上单调递

eee

增；

1Q

若x>—,由2x+〃=0可得x=—.

e2

则当』<x<—@时，2x+a<0,lnx+l>0,故/'(x)<0,即函数/(x)在(士―巴)上单调递减；

e2e2

当x〉—时，lnx+l>0,2x+Q〉0,故/'(x)>0,即函数/(%)在(—■|,+s)上单调递增；

211

②当——<Q<0时，若%>—，贝!Jlnx+1〉0,2%+。〉0,故/'(%)〉0,即函数/(%)在(一,+8)上单

eee

调递增；

若一2<%<,，则lnx+l<0,2x+〃〉0,故/'(%)<0,即函数/(%)在(一区」)上单调递减；

2e2e

若Ov'C—'l，则lnx+l<0,2x+a<0,故/'(x)〉0,即函数/(%)在(0,-£)上单调递增，

2

③当〃=——时，/(村20恒成立，函数/(、)在(0,+。)上单调递增，

e

④当时，若x>,，则lnx+l>0,2x+a〉0,故/'(x)〉0,即函数/(%)在(L+oo)上单调递

ee

增；

若0<x<』，则lnx+l<0,2x+a〉0,故/'(x)<0,即函数/(x)在(02)上单调递减；

ee

。11

综上，当时，函数/(%)在(0,—)上单调递增，在(一,)上单调递减，在(,+8)上单调递

eee22

增；

2

当〃=——时，函数/(X)在(0,+。)上单调递增；

e

。11

当--<。<0时，函数/(X)在(0,-@)上单调递增，在(-q,—)上单调递减，在(—,+8)上单调递增；

e22ee

当心0时，函数/(X)在(0/)上单调递减，在d,+8)上单调递增.

ee

17.已知四棱锥P-4BC。，底面45CD为菱形，PD=PB,H为PCk的点、,过///的平面分别交

PB,PD于悬M,N,且8。11平面/1^乂.

(1)证明：MNLPC；

(2)当〃为尸。的中点，0Z=PC=J14民0N与平面N5C。所成的角为60°,求平面与平面

/〃乂所成的锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见详解

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直可证AD1平面PNC,则8£>J_尸C,再根据线面平行的性质定理可证5。II

MN,进而可得结果；

（2）根据题意可证尸。，平面48CD,根据线面夹角可知APNC为等边三角形，建立空间直角坐标系，

利用空间向量求面面夹角.

【小问1详解】

设NCnAD=。，则。为NC,AD的中点，连接尸。,

因为幺5CD为菱形，则

又因为尸。=尸8,且。为AD的中点，则尸。LAD,

ACC\PO=O,NC,POu平面P/C,所以平面R4C,

且尸Cu平面P4C,则

又因为RDII平面ZMW,ADu平面PAD,平面幺"ffiVCl平面尸AD=MN,

可得8DIIMN,所以MN,尸C.

【小问2详解】

因为尸N=PC,且。为/C的中点，则尸OJ.ZC,

且尸。_LAD,AC（｝BD=O,ZC,8Du平面48CD,所以尸0,平面4BCQ,

可知PA与平面ABCD所成的角为NPNC=60°,即&PAC为等边三角形，

设/XIPO=G,则GeZ〃,Ge。。，且4Hu平面尸Ou平面PAD,

可得Ge平面ZMHN,Ge平面PAD,

且平面NMfWn平面尸跖V,所以GeTW,即4H,P0,MN交于一点G,

因为，为尸C的中点，则G为APNC的重心,

PMPN_PG_2

且BDII2W,则——

PBPD—P0-3

设/8=2,则尸Z=。。=2百,CM=OC=-AC=50B=0D=1,OP=3,

2

如图，以。4,。民。尸分别为x，v，z轴，建立空间直角坐标系,

则Z（G,O,O）,尸（0,0,3）,《0,：1：^0,-：11

umrumr(-73,0,3)

可得/Af=,O\A?=

〃,AM——+§必+Z]—0

设平面4W的法向量〃=(%,%,zj,则＜

——►4

n-NM=-y.=0

31

令玉=1,则％=0,2]=6，可得〃=(1,0,J3)

JTI•A.hd——+—JV2+Z2=0

设平面尸的法向量加二(%2，%/2)，贝卜

m-AP=-V3X2+3Z2=0

令/=百，则必=3/2=1,可得机=(、回,3,1卜

/「、・2-73V39

可得小〃回nm=曲=中=后，

所以平面PAM与平面AMN所成的锐二面角的余弦值叵.

13

2

18.已知双曲线-q=l的左、右焦点为片，F2,过用的直线/与双曲线r交于A,2两点.

(1)若轴，求线段48的长;

(2)若直线/与双曲线的左、右两支相交，且直线/月交y轴于点直线5片交y轴于点N.

(i)右SARAB二SARMN，求直线/的方程;

(ii)若片，月恒在以"N为直径的圆内部，求直线/的斜率的取值范围.

【答案】(1)线段48的长为6；

27105

(2)(i)直线/的方程为

21

(ii)直线/的斜率的取值范围为(—孚

【解析】

【分析】(1)直接代入横坐标求解纵坐标，从而求出的值；

(2)(i)(ii)先设直线和得到韦达定理，在分别得到两个三角形的面积公式，要求相等，代入韦达定理求

出参数的值即可.

【小问1详解】

由双曲线r：x=1=l的方程，可得〃=1方=3,所以4=1/=道,°=,片+/=2,

所以£(一2,0),居(2,0),若4gIX轴，则直线45的方程为x=2,

代入双曲线方程可得2(2,3),8(2,-3),所以线段AB的长为6；

【小问2详解】

(i)如图所示,

若直线/的斜率为0,此时/为x轴，48为左右顶点，此时久,48不构成三角形，矛盾,

所以直线/的斜率不为0,设/:x=(y+2,4%],%),风工2，％)，

x23r—IwO

联立消去x得(3^-1)/+12(y+9=0,/应旃足〈1,

[△=144/2—36(3/—1)>0

x=ty+2

12/Q

由根与系数关系可得%+%=-h7，%必'

—1jt—1

直线/月的方程为歹=匕兰(无+2),令x=0,得歹，点四(0,2\),

西+2%+2项+2

直线班的方程为歹="一^(x+2),令％=0,得丁=一乌口点、N(0,2%),

4+2x2+2x2+2

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