2025届新高考数学一轮复习特训：一元二次函数、方程和不等式 （含答案）

2025届新高考一轮复习特训一元二次函数、方程和不等式

一、选择题

1.已知集合〃={—2,—N=„—x—620},贝I,N=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

2.已知a>02>0,若2a+3=H厕a+2b的最小值为（）

A.2B,4C.3+20D.9

3.已知实数满足—2<a<Z?<3,则a-Z?的取值范围是（）

A.—4<a<6B.—5<a—/?<0C.—5<a—Z?<1D.—1<。—Z?<1

4.某单位采用新工艺将二氧化碳转化为化工产品,其月处理成本y（元）与月处理量x

（吨）的函数关系式为y=2/—180X+20000.请问：当月处理量为吨时,可以使

每吨的平均处理成本最低？（）

A.100吨B.150吨C.200吨D.250吨

5.已知a>0，Z?>0，c>0,且a+£»-cNO,则由+”•的最小值为（）

ac

A.2B.3C.4D.9

6.已知。为正数，则&的最小值为（）

a

A.2B.4C.6D.8

7.已知关于x的不等式2%2_3+〃<0的解集是（2,3卜则利+〃的值是（）

A.-2B.2C.22D.一22

8.已知则下列结论错误的是（）

A.4<a+Z?<7B.2</?—a<3

C.3<aZ7<10D.I<±<1

5b3

二、多项选择题

9.已知。力为正实数，且a>1〉1,a/?—a—/?=0，则（）

A.必的最大值为4B.2a+Z?的最小值为3+2行

C.q+b的最小值为3-20D.'+」_的最小值为2

a-1b-1

10.下列说法错误的是()

A.命题“存在xeR,使得不等式必+%+1<。成立”的否定是“任意xeR,都有不等式

f+x+l〉。成立”

B.命题“若/_3%+2=0,则％=1”的逆命题为“若x=l,则必―3%+2=0”

C."(x-2)(x-3)V0恒成立”,是H+卜-3|=1成立”的充要条件

D.关于x的方程d+(/〃-3卜+加=0有一个正根，一个负根的充要条件是加

11.已知a,5，ceR,下列命题为真命题的是()

A.若则<a.(?B.若j>a>0>c，则£<£

ab

C.若c>Z?>a>0,则-">bD.若〃>了>>>0,则@>"十°

c-ac-bbb+c

三.填空题

12.已知O<则x(l-2x)的最大值为.

13.已知％>0,则x(l-3x)的最大值为.

14.若无〉。时3的最大值是.

x

四、解答题

15.解下列不等式：

⑴/―3%+2>0；

⑵|x-5|<l.

16.(1)当上取什么值时，一元二次不等式262+6-。<0对一切实数》都成立？

8

(2)解含参数。的不等式尤2+2双

17.(1)已知%>3,求y=±+x的最小值；

x-3

(2)已知0<x<6,求y=x(6-x)最大值.

18.已知集合A=卜|<o|,Bmx2-(2m-l)x-2^0,m^01.

（1）当772=1时，求AB；

（2）若xeA是xeB的充分条件，求实数机的取值范围.

19.2018年9月,习近平总书记在东北三省考察并明确提出“新时代东北振兴，是全面振

兴，全方位振兴”.吉林省有着丰富的资源，其中“世界人参看中国，中国人参看吉林”.吉林是

中国人参的核心产区，有着1500多年的野山参采挖史和和450多年的人参人工栽培史.

而抚松县万良镇是全球最大的人参交易集散地，这里也被称为“中国人参之乡”.在落实党

中央决策部署，持续解放思想，深化经济改革,以新气象新担当新作为推进东北全面振兴

的过程中抚松县万良镇的居民走在了经济致富的前沿，现有一微型企业生产制作人参产

品每月的成本/（单位:元）由两部分构成:①固定成本（与生产产品的数量无关）：20万

2

元;②生产所需材料成本：100x+工（单位:元），x为每月生产产品的套数.

20

（1）该企业每月产量x套为何值时,平均每套的成本最低，每套的最低成本为多少？

（2）若每月生产x套产品，每套售价为：360+土（单位:元），假设每套产品都能够售出,

10

则该企业应如何制定计划,才能确保该设备每月的利润不低于4万元？

参考答案

1.答案：c

解析：方法一：因为N=Hf-X-6训=(-00,-2〉［3,+00),而M={—2,-1,0,1,2},

所以MiN={-2}.

故选：C.

方法二：因为M={—2,—1,0,1,2},将—2，—1，0,1,2代入不等式尤2_%_620，只有

—2使不等式成立，所以MN={-2}.

故选：C.

2.答案：D

解析：由2a+5="可得!+2=1,

ab

〜/07d12-2b2a<.12b2a6

a+2b=(a+2b)\—+—=5H-----1>5+2J--------=9，

\ab)ab\ab

当且仅当a=》=3等号成立，

故选:D.

3.答案：B

解析：由—2</?<3,得-3<-A<2,又-2<a<3，

则—5<a—b<5，又由a<b得a-b<0,

i^-5<a-b<0-

故选：B.

4.答案：A

解析：依题意，每吨的平均处理成本2=2(x+32里)-180222网画-180=220，

xxVx

当且仅当X=竺2",即％=100时取等号，

X

所以当月处理量为100吨时,可以使每吨的平均处理成本最低.

故选：A.

5.答案：B

冷刀土匚b4。b+a4。.

acac

，工11［人+Q4a、b+ac4〃,c4。

由于—>i,Twhy—+—1=---------+—1>—+—1,

aaccacac

由于§+丑22、其至=4,当且仅当£=虫,0=2。时取等号.

ac\acac

贝112+超=*+四—124—1=3,当且仅当a=b=£时取等号,

acac2

则2+丑的最小值为3.

ac

故选：B.

6.答案：B

解析：由题意,。>0,

所以a+㊁22.lax—=4,

a\a

当且仅当a=±即a=2取等号，

a

所以a+4的最小值为4.

a

故选:B.

7.答案：C

解析：由题意得：2与3是方程2%2_如+〃=0的两个根,故2+3=',2乂3=2,

22

所以机+〃=10+12=22・

故选:C

8.答案：B

解析：对于A,由”会2,3/45，得44。+k7人正确；

对于B,由1wa<2,得一2W—aW—1,而3WZ?W5，则1W/?—aW4，B错误；

对于C由14。42,34/745，得34。/?410右正确；

对于D,由3WAW5,得!<工<工，而lWaW2,则工三区42,口正确.

5b35b3

故选：B.

9.答案：BD

解析：对于A,因为"="+622病，则打22，ab1，

当且仅当a=占=2时取“="，所以ab的最小值为4,A错误;

对于B,由ab=a+b—+—=\,{2a+b\f—+—=3+—+—>3+2A/2,

abbJba

当且仅当〃=1+号人1+及时取fB正确；

对于C,(a+/?)(▲+工］=2+2+@24,

\ab)ab

当且仅当a=A=2时，取“=”,C错误；

对于D,因为所以(a—1)伍—1)=1,

=2,当且仅当a=b=2时，取“=”,D正确.

故选：BD.

10.答案：AD

解析：对于A,命题“存在xeR,使得不等式f+工+1<。成立”的否定是“任意

xeR,都有不等式f+%+120成立"，故A错误，

对于B,命题“若/_3%+2=0,则x=l”的逆命题为“若x=l,则炉―3x+2=0,故B

正确，

对于C,充分性:若(1-2)(%-3)<0,解得2WxW3,而对于

2x-5,x>3

\x-2\+\x-3\=<l,2<x<3,故充分性成立，

5-2x,x<2

必要性:当2GW3时，|x-2|+,-3|=1,且(x-2)(x-3)40成立,故必要性成立，

综上“(x-2)(x-3)40恒成立"，是“|x-2|+|x-3|=1成立”的充要条件，故C正确，

对于D,必要性;若方程*+(m-3)x+/“=0有一个正根，一个负根，必有

(m-3)2-4/M>0,m<0,解得》t<0,必要性不成立，故D错误.

故选:AD

11.答案：BD

解析：对于A项,ac2-be2=—/?),因为b<avO,所以a—Z?>0,所以/>0,

所以02(a一0)20,即：be1〈ad，故A项错误；

对于B项,£—£=£^——，因为b>a>O>c,所以。)<0,QZ?>0,所以

abab

£一£=辿二色<0,即：故B项正确；

ababab

对于C项,-----——二。(:人)，因为所以c-aAO,c-bAO,a-bvo,

c-ac-b(c-a)(c-b)

所以，——也=c("»<0,即:，<上，故c项错误；

c-ac-b(c-a)(c-b)c-ac-b

对于D项，因为匕=a("+c)_"(a+c)=("一»c,

bb+cb(Jb+c)b(b+c)'

又因为a>>>。>0,所以>0,/?+c>0,

所以组二处〉0,即：@〉竺二故D项正确

b(b+c)bb+c

故选：BD.

12.答案：1

8

—12

解析：由0<x<■知1—2x>0,x(l-2x)=Lx2x-(l-2x)V十°~=—,

2'J2'’228

当且仅当2x=(l-2x),即七时取得等号,

即X。-2x)的最大值为二,

故答案为：1.

8

13.答案：—

12

~~|2

解析：x(l-3x)=--3x(l-3x)<-3x+"3x)」

'733]2J1：

当且仅当3x=1—3x,

即X=L时等号成立,

6

故答案为:J_.

12

14.答案：-7

解析：1-x--=-fx+—^+1<-2O^+l=-8+l=-7-

当且仅当％=3,即x=4时等号成立.

X

故答案为:―7

15.答案：（1）｛小<1或卜>2｝

（2）|x|4<x<6｝

解析：（1）/_3%+2>0可整理为（x—1）（%—2）>0,解得％<1或%>2.故解集为

何％<1或1%>2｝

（2）5区1,所以-5W1，解得4WxW6.•故解集为｛x|4«xV6｝

16.答案：（1）-3<左<0

（2）答案见解析

解析：（1）因为一元二次不等式2kx2+kx--<0对一切实数%都成立，

8

k<0

所以L,2）（3、八,解得-3<%<0.

△=左2-4x（2^）xl--1<0

即当—3<女<0时，一元二次不等式2kx2+kx--<0对一切实数%都成立.

8

（2）解方程必+2依—3〃=。得玉=〃,犬2=-3。，

当〃=-3〃,即〃=0时,不等式％2+2依-3々2<0的解集为0；

当a>—3a,即a>0时,不等式炉+2ax-3〃2<0的解集为｛x|-3av%va｝；

当a<—3a，即a<0时不等式x2+2ax-3a2<0的解集为｛x|avx<—3a｝；

综上，当a=0时,不等式%2+2ax-3a2<0的解集为0；

当〃〉。时，不等式%2+2融一3/V。的解集为｛乂-3〃vxva｝；

当〃<0时,不等式炉+2依-3〃2V。的解集为卜vxv-3a｝.

17.答案：(1)7

(2)9

解析：(1)因为x>3,所以x—3>0，

▽44/-4

乂丁=---+%=---+x-3+3>2,------x(x-3)+3=7，

x—3x—3yx—3

当且仅当，_=x-3,即1=5时取等号，所以y=」一+x的最小值为7.

x~3x~3

⑵因0<xv6,所以6-4>0,

又y=x（6—%）4广+；-=9，当且仅当*=6-％，即x=3时取等号,

所以y二工（6-％）最大值为9.

18.答案：（1）{x\-3<x<2]

⑵/

解析：（1）皆<0,即a+3）（x-l）<0,

解得：-3vxvl,所以A=国一3vxv1},

根=1时一%—2<0,即(x+l)(x—2)<0,得一1vx<2,

贝=

所以AB