2025届湖北省部分高中高三年级上册11月期中联考数学试题（解析版）

数学

本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

★祝考试顺利★

注意事项：

L答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号

条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在

试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和

答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将答题卡上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1

1.在复平面内，与复数1+i对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】应用复数除法的运算法则，简化复数，最后确定复数对应的点的位置.

11-i11.111

【详解】.、=彳一72,复数——对应的点为(一,--)，它在第四象限，故本题选D.

1+1(l+z)(l-z)221+122

【点睛】本题考查通过复数除法运算法则，化简后判断复数对应的点的位置.

2.已知cos[a—§]=一1，则sin[w+a]的值为()

A1R1R2A/2n2y/2

A.-D.C.--------U.-r------

333一3

【答案】B

【解析】

【分析】由诱导公式求解.

/JT\TTTTTT

【详解】sin-+a=sin[(a--)+-]=cos(a

<6)3233

故选：B.

3.已知G=(L@，W=2,且方/+2町,则a与5的夹角为()

兀235

A.-B.—7TC.-71D.-71

3346

【答案】B

【解析】

【分析】由垂直可得数量积为0,再根据数量积运算律化简得五石，由夹角公式得解.

【详解】因为万=(1,6),同=2,且4,(1+25),

所以1•(万+2町=万？+2万啰=F+(石『+2万.5=0,

解得益Z=—2，

_r^'b—21/八

所以c°s”/=丽==N而他小[0可

所以万方=jK

故选：B

4.已知曲线y=liu+0在点(1,。)处切线在V轴上的截距为—3,则。的值为()

x

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】利用导数的几何意义计算切线方程即可.

【详解】易知了=1—乌，l=1时y'=l—。，

XX

所以曲线y=hu+0在点(1,。)处的切线方程为：y—a=(l—a)(x—l)ny=(l—a)x+2a—1,显然有

2。—1=-3，

即Q=—1.

故选：C

5.暑假期间某校5名学生计划去黄冈旅游，体验黄冈的风俗与文化.现有黄梅东山问梅村、罗田天堂寨、黄

州的东坡赤壁三个景区可供选择若每名学生只去一个景区，且恰有2人前往黄梅东山问梅村，则不同的游

览方案种数为()

A.40B.90C.80D.160

【答案】C

【解析】

【分析】先选2人去黄梅东山问梅村，剩下的3人任意安排去其它两个景区.

【详解】先选2人去黄梅东山问梅村，剩下的3人任意安排去其它两个景区，所有游览方案种数为：

Cf-23=80,

故选：C

6.已知函数/(x)=Gsinox-cos0X(o>O)的最小正周期为兀，将/(%)的图象向右平移0个单位后得

到函数g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则正实数。的最小值为()

71兀-兀2

A.—B.—C.—D.-71

12633

【答案】B

【解析】

knjr

【分析】根据周期性求得0=2,根据图象平行结合偶函数性质可得夕=二+二,左eZ,即可得结果.

26

【详解】因为/(》)=\/^1110%一0)50%=2511110》一6],

若函数/(%)的最小正周期为兀，且0>0，

则生=兀，解得0=2,可得/(x)=2sin(2x—£],

将/(%)的图象向右平移。个单位后得到函数g(%)的图象，

则g(x)=y(x—9)=2sin2x—+，

TTjrKTVTT

可得2°+—=E+—/wZ,解得/=——十—

6226

TT

可知当k=0时，正实数。取得最小值二.

故选：B.

7.英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑

点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正

中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学

后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸

到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入

钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（）

8162432

A.—B.—C.—D.—

81818181

【答案】A

【解析】

【分析】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率为2，向右下落的概率为工，在

33

下落过程中除去第一次，剩下四次始终保证向左一次，向右三次才能最终落到4号位置.由二项分布的概

念计算概率即可.

【详解】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.

所以向左下落的概率为工，向右下落的概率为,，

33

若第一次向左下落，则下落的过程中剩下的四次中向左一次，向右三次才能最终落到4号位置，

故此时概率为：W=世，

3（3八3）243

若第一次向右下落，则下落的过程中剩下的四次中向左一次，向右三次才能最终落到4号位置，

故此时概率为：W,

3\3J243

故经过5层钉板最终落到4号位置的概率是也+且=—.

24324324381

故选：A

8./(可是定义在可上的函数，/'(尤)为〃尤)的导函数，若方程/(x)=/'(%)在［a,目上至少有3

个不同的解，则称/(九)为可上的“波浪函数”.已知定义在［T3］上的函数/(耳=%3+2x2+皿+8为

“波浪函数”，则实数加的取值范围是()

5656

A.---<m<-7B.---<m<-4

55

“56

C.-4<m<—D.—7<m<—4

5

【答案】D

【解析】

【分析】由/(X)=/'(%)列方程，分离常数加，然后利用构造函数法，结合导数来求得加的取值范围.

【详解】/(x)=x3+2x2+/nr+8,/r(x)=3x2+4x+m,

/(x)=/r(x)=>x3-x2-4x+8=m(l-x),

丫^—丫？—J.y_i_Q

显然x=l不满足上式，所以工。1,加二^—-—士士，

1-x

人/、x3-x2-4x+8rm“、2(x-2)fx2+1)

令g(x)=-—，则g，(x)=--

g(%)在(―4,1),(1,2)上g'(x)>0,g(x)单调递增，

在区间(2,3)上g'(x)<0,g(%)单调递减,

且g(-4)=-三，8(2)=_4遇(3)=_7,

画出的图像，可知：me［-7,~4).

故选：D

【点睛】易错点睛:

导数符号分析的准确性：在求解尸（久）的符号变化时，容易因导数计算错误导致对单调性的判断错误.因此,

确保导数的符号变化准确是关键.

图像绘制中的误差：在通过函数图像判断解的个数时，容易因为图像绘制不够精确或未充分考虑极值点位

置，导致解的个数判断错误.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.

9.下列结论中正确的有（）

A.已知X~N（4,cf2）,若P（X25）=0.1,则P（3WXW4）=0.4；

B.某学生8次考试的数学成绩分别为：101,108,109,120,132,135,141,141,则这8次数学成绩的第75百

分位数为135；

C.C知七,孙…，/,11,13的平均值为8,则多，％2,…，的平均值为7；

D.已知43为两个随机事件，若尸（A）=0.4,尸（6）=0.3,尸（川3）=02,则P（®A）=0.15.

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用正态分布的性质求得P（3<X<4）的值判断选项A：利用百分位数定义求得第75百分位数判

断选项B；

利用平均数定义求得玉,%2，一、％8的平均值判断选项C；利用条件概率公式求得A）的值判断选项D.

【详解】选项A：X〜N（4,4），若P（X»5）=0.1,则P（4WXW5）=0.4

故P（3WXW4）=0.4,A正确；

选项B：由8x75%=6,可得这8次数学成绩的第75百分位数为第6与第7个

数据的平均数』（135+141）=138,B错误；

2

选项C：尤1，4,一、4，11，13的平均值为8,则石+%+一,+/+11+13=10x8,

则%+々+…+/=80-24=56,故不，％2,…，的平均值为7，C正确；

选项D：若尸（A）=0.4,P（5）=Q3,P（A[5）=02,

P（AB）/、/、

则\/=0.2,则P（AB）=0.2-P（B）=0.06,

/.、P（AB）0.06

则P（3|A）="/八=大~=0.15,D正确.

''P（A）0.4

故选：ACD

10.已知正实数凡6满足2。+»=3。A，下列结论中正确的是（）

98

A.的最大值是一B.2〃十人的最小值是一

83

c.a+2。的最小值是3D.b—工的最小值为2后—3

a

【答案】BCD

【解析】

Q

【分析】对于A项，直接应用均值不等式求出3ab的最大值即可求解；对于B项：应用abN—,对2a+b

9

直接应用均值不等式即可求解；对于C项：构造（。+2»（2+工）展开再应用均值不等式即可求解；对于D

ba

项：将L消去再应用均值不等式求解即可.

a

【详解】解：对于A项：因为3a5=2a+bN2j6，所以3，拓22、/5，

则(当且仅当a=2/=&时取等号)，故A错误；

933

对于B项：因为2a+b=3aZ?2—(当且仅当a=—,b=—时取等号)，故B正确;

333

对于C项：因为2a+〃=3ab,所以？+工=3,

ba

,_7.,21._la2b__[la2b八

因为3(Q+2Z?)=(a+2Z?)(—+—)=5+---1--->5+2.——x一二9，

babaVZ?a

所以3+2初23（当且仅当Q=〃=1时取等号），故C正确;

对于D项：b--=b+--3>2.bx--3=2y/2-3(当且仅当b=J5时取等号)，故D正确.

abVb

故选：BCD.

11.高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数/（"=国（国表示不超过X的

\（1A1

最大整数）称为高斯函数.已知正项数列｛4｝的前〃项和为s“，且S,,=7an+—,令b"=7——,

21a,JSn+Sn+2

则下列结论正确的有（）

A.a"="("eN"B.S“=M("eN")

111

C.[4+Z?2+…+%3]=6D.一+―+•••+----=18

S]S2do。

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据凡与S”的关系，化简可得，=册，%=6-J二万判断A,B；再由裂项相消法求

\+2+…+%3判断C；利用放缩法判断D.

【详解】对于A,B,­/Sn=an+—

2a„

所以当“22时，2S“=S”-S“T+1=>S；-S：\=1,

七一3八-1

又S]=—qH=〃],〃〃〉0,则。1=1,

21%)

所以s：=〃=>s〃=册,%=G-册二i"，故A错，B对;

对于a1222/g/----

」+L..」〉2

-71)+(V3-A/2)+-..+(V10T-A/100)

S[S2*^100

=2(A/10T-1)>18,

;当心2时，.击＜«+*=2(Gg,

」+L...+，<l+2(A/2-VT)+(73-V2)+...+(V100-A/99)]

Sis?Si。。

=1+2(7100-1)=19,

-—-H-----F——=18,故D对;

HS2do。_

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是正确理解高斯函数，根据递推式，从而可归纳出通项公式，进而

可求得答案.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数=+2/(2)x—21ru,则/12)=

【答案】-3

【解析】

【分析】求导函数，令x=2,代入运算求解即可.

9

【详解】因为/(x)=*+2/'(2)x—21nx,贝i］/，(x)=2x+2/12)——,

X

令x=2,可得/'(2)=4+2/'(2)—1,解得/'(2)=—3.

故答案为：-3.

13.已知VA3C的角A,5c的对边分别为"c,且a=2j§teinC，若人=工，则生士S

6be

【答案】26

【解析】

A2.2

【分析】先利用三角形面积公式结合余弦定理得到〃+/力。之间的关系，进而求得3二—的值.

be

【详解】VABC中，由〃=2j^0sinC，可得/=加inC=2j§/?csinA

又A=x,则/=2y/3bcsinA=y[3bc，

由余弦定理cosA=""可得/，2+02_W

2bc可耳—2bc

_122

整理得32+'2=2&八故=26

be

〃+3

14.已知函数/(x)=a(x-1)+(b+3)寸(aw0)在区间［―1,3］上存在零点，则――的取值范围为

［答案］一2，2e

e

【解析】

〃+—Y1—V

【分析】根据函数有零点转化为乙==一二，构造函数g(x)=-F，求导数，利用单调性得出值域即可.

。ee

【详解】/(x)=0<^(Z?+3)ev=a(l-x);

b+31—x

,/aw0,/.

ae/

令g(x)=9'g‘(x)T

当—1W龙<2时，g'(x)<o，当2<xW3时，g'(x)>0

g(%)在(-1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增，

g(xL.=g。)=一J，g(T=j=2e>g(3)=一：

ccc

贝U—4Vg(x)V2e,所以一

eea

故答案为：-「2e

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

713

15.已知/=gsinx,cos[x=(cosx,siax),函数/(x)=5-沅•花.

7

(1)求/(X)的单调递减区间;

之叵，求AC和AB长.

(2)在VABC中，若于(A)=0,BC=@,S、ABC

2

--+kn,—+kit(左eZ)

【答案】(1)63V7

(2)AB=2,AC=3,或AB=3,AC=2

【解析】

【分析】(1)根据向量的数量积公式、二倍角公式及辅助角公式将/(力化简为

y(x)=-sin|2x-^+1,然后利用三角函数的性质，即可求得的单调减区间;

(2)根据题意，先求出角A,再结合三角形面积公式和余弦定理即可得解.

【小问1详解】

f(x)=T一^sinxcosx-cos

sinx=---sin2x-sin2%

22

=|-^sin2x-1(l-cos2x)=l-1、

sin2x——cos2x=-sin2x~~+1,

2一16

7

7TITTT7T7T

26263

・••/(%)减区间为-7+E,]+^(%£Z)；

【小问2详解】

/⑷=in"衿,一表2一＜,二号

S.Kr^^-=-ABACsinA^-ABACx^-,

“ABC2222

所以ARAC=6,又3C=J7,

根据余弦定理AB2+AC2—AB•AC=7,

:.AB=2,AC=3,或AB=3,AC=2.

16.已知｛4｝是公差不为0的等差数列，%=21，且4，出，生成等比数列，数列也｝满足:

%=42-3,且4=2q-L

（1）求｛。“｝和也｝的通项公式；

（2）若北为数列，匕：的前〃项和，求看.

【答案】（1）。“=6〃—3,bn=4"+l（neN*）

（2）小上―

"334"

【解析】

【分析】（1）根据已知条件结合等差、等比数列的基本公式即可求出｛4｝的通项公式，运用构造法求

｛%｝的通项公式.

a6n-3

(2)先确定广\=1丁，利用错位相减法即可求出7；.

2-14

【小问1详解】

设｛4｝的公差为d(dwO),因为q,a2,生成等比数歹U，

所以4%=域，即(21-3d)(21+d)=(21-22)2,

整理有：42d=7/，解得d=。(舍)，d=6

所以=%-3〃=3,an=Oj-6n-3；

因%=4。"-3,所以a「I=4(4-1),

又b、=2%—1=5,l=4w0,

所以｛包-1｝为首项为4,公比为4的等比数列，

所以包_1=邛，％=4"+l(“eN*)

【小问2详解】

丁^6〃一339156n-3_

Y丁丁Lh…十丁①

39156n-96n-3

产=不+不+不+…②

两式相减，得：316I6I6II66n-36n-3

1T=—+6x

4n44243444〃4〃+i4

_546n-3

-4-2x4n一"4"i，

叱9T54446n-34516n+5

以乙——X--------X---------X——----•-----.

432x4"34向3334"

17.东风学校有甲乙两个食堂，学校后勤服务中心为了调查学生对两个食堂的满意度，随机调查300名学

生.设M表示事件“学生喜欢去甲食堂”，N表示事件“调查的学生是男生”.若

_A_57

P(M\N]=-,P(N\M｝=-,P(N]=—.

调查的是男生调查的是女生

喜欢去甲食堂

喜欢去乙食堂

合计

（1）完成上列2x2列联表，并根据小概率值。=0.001的独立性检验，判断学生喜欢去哪个食堂与性别

是否有关？

（2）为了答谢参与调查的学生，学校后勤服务中心从参与调查的300名学生中按性别分层抽样的方法选

15名幸运学生参与抽奖活动，并为他们准备了15张奖券，其中一等奖奖券有3张，二等奖奖券有5张，

三等奖奖券有7张，每人抽取一张.设15名幸运学生中男生抽中一等奖的人数为X,写出X的分布列，并

计算E（X）.

2

2_n(ad-be)

(a+))(c+d)(a+c)(Z?+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】（1）列联表见解析，学生喜欢去哪个食堂与性别有关

7

（2）分布列见解析，£（%）=-

【解析】

【分析】（1）根据概率求相应人数，完善列联表，求力2,并与临界值对比分析；

（2）求男、女生人数，可知X=0,l,2,3,结合超几何分布求分布列和期望.

【小问1详解】

77

因为P（N）=^,300义区=140,即被调查的学生中男生有140人，女生有160人,

—44

且尸(MlN)=,』40x—=80,即男生中喜欢去乙食堂的有80人，喜欢去甲食堂的有60人,

_c33

又因为尸(刖河)=—,贝iJP(N|M)=—,60^-=160,即被调查的学生中喜欢去甲食堂的有160人.

888

调查的是男生调查是女生合计

喜欢去甲食堂60100160

喜欢去乙食堂8060140

合计140160300

零假设Ho：假设学生喜欢去哪个食堂与性别无关.

300x(60x60—100>80)2

1.58>10.828=,

160x140x160x140Zoooi

根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断a。不成立，

即认为学生喜欢去哪个食堂与性别有关，此推断犯错误的概率不大0.001.

【小问2详解】

根据男女生人数之比可知，被抽取的15人中男生7人，女生8人，

且X=0,1,2,3,则有：

P(x=o)=称[,P(X=1)=萼28

C[565C]565

C5C294C4C35

65

所以X的分布列为:

X0123

828241

P

65656513

矶刈=。$+】噌+：喧+3噌4

18.已知函数/(%)=%----ainx.

（1）讨论“力的单调性；

（2）当xNl时，“力20恒成立，求实数。的取值范围；

1111,/

⑶证明：N+E+际+…+E〉m（〃+1n）.

【答案】（1）答案见解析

（2）a＜2

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求得了'（X），然后对。进行分类讨论，从而求得了（力的单调区间.

（2）先求得/'（%）,然后利用构造函数法，结合导数求得实数。的取值范围.

（3）根据（2）的结论，利用赋值法来证得不等式成立.

【小问1详解】

/(%)的定义域为(0,+。)，r(x)=4(x2—磔+1),4=4一4,

1。.当—2WaW2时，AWO,/—ax+l»O恒成立，/'（X）»0,/（力在（0,+。）单调递增;

2。.当。＜一2时，A＞0,必一ax+i=。有两根，但两根均为负数，

当xe（O,+8）时,/[x）NOj（x）单调递增,

3。.当。＞2时，A＞0,%2—qx+l=O有两正根％=匕心.和％"+而W,

1222

当XG（O,XJ时，/'（6＞0,/（力在（0,石）单调递增；

当次«和々）时,/''（X）＜O,/（X）在（石,々）单调递减；

当时J'（x）＞Q/（x）在（x2，转）单调递增；

综上所述：

当aW2时，/（尤）增区间为（0,+“）；

当。＞2时，/（%）增区间为0,"'；-4]和"+―4,+co；

7

【小问2详解】

/f(x)=—^x+—-aj,令g(x)=%+工_。(%之1),

则8'(X)=—T(X~—1)之0,二g(x)在［1,+°°)上单调递增，g⑴=2—a,

若aW2,则g(x)2g⑴20,7'(力20,/(力在［1,+8)上单调递增，

/(%)>/(1)=0,与题意相符;

若a>2,则g⑴=2—a<0,所以必存在%>1,使得当为«1,%)时，g(x)<OJ'(%)<OJ(x)单

调递减,

从而使得当xe。,/)时，/(x)</(l)=O,与题意相矛盾;

综上：a<2.

【小问3详解】

由(2)知，当xNl时，/(x)=x---21n%>0(仅当x=l时取等号)，

X

1zA/n+15―/n+1In〜伉+1】〃+l1］n+1

「•x—>21nx,令x=J----,贝！J有：J------J---->21nJ----=In----=>/>In----；

xVnVnVH+1Vnn弋"+〃n

,1+,1+...+,1>In—+In—+In—d—In=ln(n+

#71123n\得证.

【点睛】方法点睛：导数与单调性分析法：通过求导数f'(x),分析函数的单调性和增减区间，是判断

函数行为的基础方法.利用导数符号分析，可以清晰地得到函数的单调性区间.构造函数法求取值范围：利

用构造函数的方法来确定参数的取值范围，是一种行之有效的方法.在分析单调性时，结合导数来得出明确

的区间结论.

19.马尔科夫链是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态

仅与前一时刻的状态有关.为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏.他给

小明和小美各一个不透明的箱子，每个箱子中都有x个红球和1个白球，这些球除了颜色不同之外，其他

的物质特征完全一样规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过

〃次操作之后小明箱子里的白球个数为随机变量X”，且p(x=1)=，.

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(1)求X的值;

⑵求P（X“=1）；

（3）证明：E（X〃）为定值.

【答案】（1）x=3

（2）…

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可；

（2）由条件概率的计算公式得

P（Xn+1=1）=P（X„=O）-P（X„+1=1|X„=O）+P（X„=1）-P（X„+1=l|x„=1）+尸（X,=2）-P（X„+1=11X“=2）及

尸（X*=O）+P（X“=1）+P（X“=2）=1,结合求解即可；

（）尸用

3（X=2）=P{Xn=0）­P（Xn+l=2|X