2025届新高考数学复习：导数解答题 分类专项练习（含解析）

【高考数学】【专项复习】导数解答题分类练习

【题型一】求切线、公切线的问题（1-3题）

【题型二】函数单调性的讨论（4-6题）

【题型三】函数极值点辨析、极值、最值（7-9题）

【题型四】函数不等式的证明（10-12题）

【题型五】恒成立与能成立（有解）问题（13-15题）

【题型六】函数的零点问题（16-18题）

【题型七】隐零点问题（19-21题）

【题型八】双变量、极值点偏移、拐点偏移、零点偏移问题（22-24题）

【题型九】方程的根、函数图像交点和位置问题（25-27题）

【题型十】导数与三角函数综合问题（28-30题）

【题型一】求切线、公切线的问题（1-3题）

1.（2023•贵州•模拟预测）已知函数〃x）=e*+x,g（x）=«x2+2x+l.

⑴当时，讨论函数尸（x）=〃x）—g（x）的单调性；

⑵当a<0时，求曲线丫=〃M与丁=8（2的公切线方程.

2.(2021.全国.模拟预测)已知函数/(x)=e*,g(x)=lnx.

(1)求函数"(x)=/(x).g〈x)的最小值(g'(x)为函数g(x)的导函数);

(2)试判断曲线y=〃x)与y=g(x)公切线的条数.

3.(2018•河南安阳•一模)已知函数/3=但+2，g(x)=3elnx,其中e为自然对数的底数.

ex

⑴讨论函数/(X)的单调性.

(2)试判断曲线y=/(%)与y=g。)是否存在公共点并且在公共点处有公切线.若存在,求出公

切线/的方程；若不存在，请说明理由.

【题型二】函数单调性的讨论（4-6题）

4.（2025•四川内江•模拟预测）已知函数〃司=§加-/.

⑴若/”）=1,求函数在区间［0,2］上的最值；

⑵讨论函数y=的单调性.

5.（2024•浙江绍兴•模拟预测）已知"x）=aeX-x,g（x）=cosx.

⑴讨论/（x）的单调性.

⑵若玉。使得/（不）=g（X。），求参数。的取值范围.

6.(2022.全国•模拟预测)已知函数/(x)=(x+2a)lnx(aeR).

⑴讨论r(x)的单调性；

⑵是否存在aeZ,使得r(x)>a+2对曾>1恒成立？若存在，请求出。的最大值；若不存

在，请说明理由.

【题型三】函数极值点辨析、极值、最值(7-9题)

7.(2024・云南•模拟预测)已知函数〃x)=xlnx-；依3-尤(℃2.

(l)f(x)在x=l处的切线与直线y=x垂直，求。的值;

(2)若f(x)有两个极值点，求”的取值范围.

8.（2022•河南•模拟预测）已知函数/（x）=2sinx-alnx（a＞。）.

⑴当°=1时，求曲线y=〃x）在点伍,2-ln?处的切线方程；

⑵讨论“X）在区间［兀,2兀）上极值点个数.

2

9.（2021・贵州贵阳•模拟预测）已知曲线〃切=旄。§加一,，a"

（1）当a=0时，求曲线y=/（x）在点（L〃l））处的切线方程；

（2）若函数y=/（x）有三个极值点，求实数。的取值范围.

【题型四】函数不等式的证明(10-12题)

10.(2024•陕西榆林•模拟预测)已知函数〃x)=e'+(a-l)x-l,其中aeR.

(1)讨论函数〃司的单调性；

(2)当a=2时，证明：/(x)>xliu-cosLr.

n.(2023.广东广州•二模)已知函数/(x)=ln(l+x),g(x)=ox2+x.

⑴当犬>—1时，/(x)<^(x),求实数〃的取值范围；

(2)已知〃GN*,证明：sin—^―+sin+•••+sin—<ln2.

H+1n+22n

12.(2023・湖北十堰.二模)已知函数〃x)=(2—x)e。6-2.

(1)若f(x)在R上单调递减，求。的取值范围；

⑵当0<.<1时，求证〃x)在(0,+8)上只有一个零点毛,且毛<白.

【题型五】恒成立与能成立（有解）问题（13-15题）

13.（2020•山东・高考真题）已知函数/（%）=〃e"T—Inx+lna.

（1）当“=e时，求曲线y=在点。，/⑴）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

（2）若不等式/（x）Nl恒成立，求a的取值范围.

14.(2023・四川成都•二模)已知函数g(x)=ax-a-ln无,〃x)=xg(x),且g(x)N0.

⑴求实数。的值；

⑵证明：存在%,「伉)=0且0</<1,0<彳<1时,/(x)</(^).

15.(2023•江西南昌•模拟预测)已知函数/(x)=e*+(l-a)x-lna-lnx(a>0).

⑴若”=e,求函数〃x)的单调区间；

(2)若不等式/(X)<1在区间(1,y)上有解，求实数。的取值范围.

【题型六】函数的零点问题（16-18题）

16.（22-23高二下•河南•期末）已知函数/（x）=ae*—x,aeR.

（1）当々=—时，证明："X）—lnx+x—120在（0,+8）上恒成立；

⑵若丁（无）有2个零点，求a的取值范围.

17.（2024•河南郑州三模）已知函数/（x）=e"—x.

⑴若a=2,求在（1/（1））处的切线方程；

⑵讨论“X）的零点个数.

18.(2019•全国•高考真题)已知函数/(x)=2sinx—xcosx—x,f(x)为于(x)的导数.

(1)证明：f(x)在区间(0,万)存在唯一零点；

(2)若工£[0,用时，f(x)>ax,求Q的取值范围.

【题型七】隐零点问题（19-21题）

19.（2018高三・全国•竞赛）设函数〃x）=1,%是正整数.当x>0时，〃尤）>娱

恒成立.求上的最大值.

20.(2023高三・全国・专题练习)设函数f(x)=e2，-alnx.

(1)求。=e时，/(x)的单调区间；

2

(2)求证：当a>0时，/(x)>2a+a\n—.

a

21.(2020•北京•模拟预测)已知函数〃x)=x-lnx-2.

(1)证明：f(x)在区间(3,4)内存在唯一的零点；

(2)若对于任意的都有xlnx+x>Mx-l),求整数％的最大值.

【题型八】双变量、极值点偏移、拐点偏移、零点偏移问题(22-24题)

22.(2023-江西南昌・二模)己知函数/'(x)=x(lnx—。)，g(x)=+a-ax.

⑴当时，/(x)、-Inx-2恒成立,求a的取值范围.

⑵若g(x)的两个相异零点为%，求证：项

23.(22-23高三上•河北唐山•阶段练习)已知函数〃x)=(x-l)hu-x2+ax(aeR).

⑴若函数y=/'(x)有两个零点，求。的取值范围；

⑵设占,％是函数的两个极值点，证明：x,+x2>2.

24.（2023•江西•模拟预测）已知函数/。）=冗+=.

e

⑴讨论了（X）的单调性；

⑵若凡片々，且〃占）=/（9）=2,证明：0<〃2<e,且再+尤2<2.

【题型九】方程的根、函数图像交点和位置问题(25-27题)

25.(23-24高三下•山东荷泽•阶段练习)已知函数〃x)=(x-l)e*-加，aeR.

⑴当时，求“X)的单调区间；

(2)若方程，(x)+a=O有三个不同的实根，求。的取值范围.

26.(2023.河南.模拟预测)已知函数〃x)=xlnx-加，-⑺为/(x)的导数.

⑴讨论广⑺的单调性；

(2)若直线>=三与曲线y=f(x)有两个交点，求a的取值范围.

高三・全国・专题练习)设函数/(司=；%-机无，2

27.(20232Ing(x)=x(m+l)x,m>0.

⑴求函数/(x)的单调区间；

⑵当机＞1时，讨论函数〃x)与g(x)图象的交点个数.

【题型十】导数与三角函数综合问题（28-30题）

28.（23-24高三下•四川绵阳•阶段练习）已知函数/（x）=ex-msinx,

⑴讨论mNO时函数外力在[0,可上的单调性；

（2）当加=1时，若加+1对于任意xw[0,+oo）恒成立，求。的取值范围.

29.(23-24高三上.河北.阶段练习)已知函数〃尤)=sin(x-l)-Inx,尸(x)为的导数.

⑴证明：广(x)在区间(0,1+鼻上存在唯一极大值点；

⑵求函数/(x)的零点个数.

30.（2024・四川南充•三模）已知函数/1（无）=；/-sinx+ox.

⑴当。=1时，求〃x）的最小值；

⑵①求证：“X）有且仅有一个极值点；

②当ae[-1-71,1]时，设/（X）的极值点为升,若g（无）=-；x2+2siru-2x.求证:

f（x0）＞g（x0）

参考答案:

1.⑴在R上单调递增.(2)y=2x+le"—A-cix^X]+(4a—2)e%—4〃+1=0.

【解答】(1)当〃=工时，

2令加⑴=e2x-4axcx+(4a—2)e*—4〃+1,

F(x)=/(x)-g(x)=ex--x2-x-l(xeR)

m'(x)=2e2x—4aex—4orex+(4〃-2)e"=2ex(e》-2ax-])

Fr(x)=ex-x-l

令夕(x)=e*-2ax-l,

令/i(x)=F(x),有“(x)=e*—1,

因为avO,所以函数丁=一2。%—1在在R单调递增，

当X£(TX),O)时，〃(尤)vO,函数7z(x)在(一8,0)又函数y=e”在在R单调递增，

所以夕(x)在R单调递增，又0(0)=0,

上单调递减，

X£(0,+8),勿(X)>0,函数人(无)在(0,+8)上单当元£(一8,0),0(%)<0,

调递增，X£(O,+8),0(X)>0,

故/i(x)之用(0)=0,即b'(X)之0,

又e，>0得，

所以尸(%)=/(九)一g(九)在R上单调递增.所以工£(-«?,0),m'(x)<0,

(2)因为/(九)=e*+%,g(jv)=52+2%+1,%£(0,+8),加(%)>0,

所以/'(x)=e*+l,g(x)=2or+2,所以相⑴在(-00,0)单调递减，在(0,+8)单调递增，

设曲线y=/(%)在点(%，/(菁))与曲线y=g(尤)所以m(x)>m(0)=0,

在(％2，g(%2))的切线相同，因此函数y=m(x)只有一个零点，

则切线方程为y—/(石)"'(%)(%-%)，即即匕2过-4时e再+(4a—2)e再-4〃+1=0只有一

y—eXi—X,=(e*i+1)(%—玉)，个解石=0,

此时切线方程为y=2x+L

整理得y=(e画+1)九一e西石+e画.

所以曲线>=/(%)与丁=8(%)的公切线方程为

又切线方程也可表示为y-g(/)=(?'(X2)(%_%2)，

y=2x+l.

即y—ovf—2X(+2)(X—X),

2—1=2OX222.(1)e；(2)2条公切线.

整理得y=(2依2+2)%—应+1，【解答】(I)g'(x)=—,函数//(无)=——，定义域为

XX

eX|+1=2g+2(0,4-00),

所以《

.'?消/整理得

—e'玉+e*'=—ax?+1

且“(x)=e(：1),令“(%)=0得1=]因为厂[4]=1—W>0，^(e2)=e2-3>0,

x

当了£(0,1)时，”(x)<0,当无£(l,+oo)时，所以尸(%)=jvlnx—Inx—%—1=0有两个正数根，再

x1

”(九)>0,由eI=——，可得两个对应的占的值.

即函数h{x)在(0,1)上单调递减，在(1,y)上单调递增,故曲线y=/(%)与y=g(%)有2条公切线.

所以心僵=〃⑴=e-

3.(1)/(%)在(-00,0)上单调递减，在[0,3广|上单调

(2)设曲线y=e”与切线的切点横坐标为X],曲线

递减，在上单调递增.

y=lnx与切线的切点横坐标为马(石w尤2，々>。)•

v1(2)存在，y=3x

因为(e*y=e>(inx)’

X

2x2e2

【解答】(1)解：因为/(%)=臼一+匚定义域为

r1eX1—Inxex

所以e再=—=----------

x再-x

22{%|xW。},

所以f(x)="一W=令/'(x)=0,

exex

1ex,-Inx1--Inx,e

1?

将其代入——=--------得1x2解得x—77=.

x2-lnx2-x2

(九)<0；当工>帚时'

当x<~?7=且%。0时，

整理得x2Inx2-Inx2-x2-1=0.

r(x)>o,

记x=%2>0，令r(x)=Jvlnx—Inx—x—1,

则/(九)=Inx--,/(x)在(o,+8)上单调递增,所以〃力在(一8,0)上单调递减，在上单调

且/(1)=一1<0,/⑵=ln2-；>0，

上单调递增.

所以r'(x)=0在(1,2)上有唯一的解，设为x0,

(2)解：由且(％)=3匕1口%定义域为(0,+8),

则函数r(x)在(0,%)上单调递减，在(5，+»)上单调

，/、3e

g(X)=一

递增，故r(x)有极小值.X

,1假设曲线丁=/(X)与y=g(x)存在公共点且在公共点

又Inx。=一，

%

处有公切线，且切点横坐标为%>0.

所以r(x())=入11nM—]nx0-x0-1

11,

—Y________Y——1—---FXQj<0.

一人0Ao1——

%%X。)

?2

所以当0<兀<§时/'(%)v0,当§〈尤<2时

/（x0）=g（x（））

/（无o）=g'（x。）r(x)>o,

所以/(X)在I。,'!]上单调递减，在上单调递增,

2

4xne3e,?」3八

其中--------Y=—即4须）一3e工0—e=0,

e天%）又"0)=0,42)=4,,

记1(%)=4%3-3昭2%-匕3,XG(0,+O0),则所以函数/'(x)在区间[0,2]上的最小值为

/1|■]=一六，最大值为"2)=4；

"(%)=3(2x+e)(2x—e),

2

所以当■时”(x)<0,当%时(2)函数%2的定义域为R且

”(九)>0,/r（x）=2m;2-2x=2j;（ar-l）,

所以〃(X)在［o,1^上单调递减，在+8)上单调递

若々=0时，当兄<0时/当％>0时

增，

又7/(0)=W〃0=-2e3,仆)=0,

所以/(%)在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递

故方程为(%)=0在(0,+e)上有唯一实数根尤0=e,

减;

若Q>0时，则当％<0或％>工时/'(%)>。，当

经验证九0=e也满足2片+——=3elnx0，a

%

0<x<—时/'⑺v0,

a

于是〃/o)=々(/)=3e'(Xo)=g'5)=3,

所以〃X)在(-8,0),[L+s]上单调递增，在

所以曲线丁=/(%)与y=g(尤)的公切线/的方程为

[o,一J上单调递减；

y-3e=3(x-e),即y=3x.

若avO时，则当x<工或%>0时/'(x)v0,当

4a

4.(1)最小值为-----，最大值为4(2)答案见解析

27

—<x<0时/'(%)>0,

2

【解答】(1)因为/(%)=§依3一%2,所以a

所以/(%)在1-8,—],(0,+")上单调递减，在

f'^x)=2cu3—2x,

[1,0)上单调递增；

则/'(1)=2〃-2=1,解得a=~,

综上可得：当4=0时/(元)在(—。,0)上单调递增，在

所以/(x)=x3-x2,则

/0=3%2-2x=x（3x-2）,

当Q〉0时/(%)在(-00,0)，［j,+s］上单调递增，

，故/(%)>g(x)恒成立,这表明此时条件不满足；

在(0,：］上单调递减；

当a<l时，设/?(%)=ae"-x-cosx,由于

当〃<0时/(X)在1―8,工］(0,+8)上单调递减，

/z(-|a|-l)=ae"+|a|+l-cos(-|a|-l)>ae"+|fl|2一,甘口+,卜\c

在［L,o］上单调递增.

，/z(0)=4e°-0-cos0=a-lW0,

5.(1)当〃W0时，/(%)在(-8,+00)上单调递减；当故由零点存在定理，知一定存在/c］—］4一1,。］,使得

〃>0时，/(%)在(TO,—Ina)上单调递减，在/?(方)=。,故

(—Ina,+oo)上单调递增.(2)(-co,l］/(%)一g(%)=ae丽-xQ-cosx0=h(xQ)=0

【解答】(1)由/(x)=ae"-x,知/'(x)=ae*-l.从而/(Xo)=g(%o),这表明此时条件满足.

当aV0时，有/f(x)=acx—1<0—1=—1<0,所综上，a的取值范围是(-00,1］.

以/(%)在(一。,+8)上单调递减；6.(1)当a<0时，/'(X)在(0,+8)上单调递增；・当

当。>0时，对x<-lna有a>0时，f'(x)在(0,2a)上单调递减，在(2a,+x>)

/(%)=Oe”—1<茂“a—1=1—1=0,

上单调递增.

对x>-ln〃有(2)不存在满足条件的整数a,理由见解析

/'(x)=ae*—1>求“"—1=1—1=0,【解答】(1)因为/'(x)=(x+2a)lnx(x>0),

所以/(%)在(一8,—In〃)上单调递减，在所以/'(%)—Inx+1+—.

(-lna,+a?)上单调递增.记g(x)=/'(%)=lnx+l+—(x>0),

12ax-2a

综上，当〃00时，/(%)在(一8,+8)上单调递减；

xx2x2

当〃>0时,/(%)在(一8,—Ina)上单调递减,在当a«0时，g'(x)>0,即g(%)在(O,+8)上单调递

(一Ina,+8)上单调递增.增；

当a>0时，由g'(x)>0,解得x>2a，

(2)当a>l时，由(1)的结论，知/(%)在(-8,一lna)

即g(x)在(2a,4w)上单调递增；

上单调递减，在(-Ina,+。)上单调递增，

由g'(x)<。,解得。<xv2a,

所以对任意的工都有

/(x)>/(-ln«)=fle-lnfl+lntz=l+liid!>l+tal=l>coj元土贼价)在(0,2Q)上单调递减.

综上所述，当a40时，f'(x)在(0,+8)上单调递增;7.(Da=1(2)

当a>0时，/'(x)在(0,2a)上单调递减，在【知识点】已知切线(斜率)求参数、根据极值点求参数

【详解】(1)/'(%)=1111+1—办2—1=In]一办2,

又了(%)在％=i处的切线与丁=%垂直，所以

(2)假设存在aeZ，使得/'(x)>a+2对任意x>l

/⑴=T,即一，=一1，所以々=1；

恒成立，即xlnx—x—ax+2a>0对任意x>l恒成

立.(2)因为/'(%)=Inx-依2,且，(无)有两个极值点,

令7i(x)=xlnx-x—依+2a(x>l),则

所以方程/(x)=0在(o,+8)上有两个不同的根,

"(x)=lnx-a，即方程In犬一办2=。有两个不同的正数根,

]nx

当〃«0且awZ时，”(x)>0,则/z(x)在(L+oo)将问题转化为函数g(x)=—丁与函数y=a的图象在

上单调递增，(0,+8)上有两个不同的交点,

x(l-21nx)_l-21nx

若%>0对任意%>1恒成立，则/z(l)=Q—120,则/(%)=，令

./\1—21nx_/—

即121,矛盾，故舍去；g(*)=—§—=0,解得了=6,

当。>0，且时，由Inx—a>0得兀>e"；

当时,gr(x)<0,g(%)单调递减,

由Inx—avO得l<xve"，

当0<了<、6时，g'(x)>0，g(x)单调递增，

所以;1(%)在(1,e")上单调递减，在(e",+00)上单调递

且当X>1时，9(%)>0，且%f+8,

增，

所以="(e")=2a—e",则令g(i)=o.

h(x\.=2a—e">0即可.故作出g(x)的图象如图所示:

\/mm

令G(f)=2f—e'Q>0),则G'«)=2—e',

当2-e'>0,即，<ln2时，G“)单调递增；

当2—e'<0,即/>ln2时，G。)单调递减，

所以G⑺1rax=G(ln2)=21n2-2<0.

所以不存在a〉0且a£Z，使得2〃一匕°>0成立.

即Q的取值范围为

综上所述，不存在满足条件的整数271

8.(1)y=--x+3—•In—

712

(2)当0<Q<4兀时，/(%)在区间［兀,2兀)上极值点个数个数为0,

综合上述，当0<a<4兀时，/(%)在区间［兀,2兀)上极

为1;

当〃之4兀时，/(%)在区间［兀,2兀)上极值点个数为0；值点个数为1；

当〃24兀时，/(%)在区间［兀,2兀)上极值点个数为0；

【解答】(1)当&=1时，/r(x)=2cosx--,贝1J

9.(1)y=lex-e；(2)('1'+00］

【解答】(1)当〃=0时，

所以曲线y=/(x)在点处的切线方程为：

f(x)=xex^=>f(x)=ex+xex=jT⑴=2e,

-呜1-步-。即

由/⑴=e，

271

y=—x+3—In—.

712

故曲线y=/(x)在尤=1处的切线方程为：

(2)由题意得，/'(%)=2cosx——，(Q>0),

y-e=2e(x-l),化简得：y=2ex-e.

因为函数y=2cosx,y=-@(a>0)在区间

(2)

［兀,2兀)上均单调递增，

'・"'(％)=/(4+1)—2ta(x+1)=(x+1)伫一2句

所以/'(%)=2COS%—4(Q>0)在区间［兀,2兀)上单

，，令

调递增，=0=(x+1乂，-2ar)=0=x+l=0

r(7r)=-2--<o,

71或e"-2ax=0，

当了'(2兀)=2------>0»即0<"<4兀时,由于函数)=/(%)有三个极值点Xi,乙，13，

2兀

x

f\x)在区间［71,271)上存在唯一的零点m,所以方程e-2ax=0必有两个不同的实根，

设g(%)=e，-2ar,可得g'(x)="-2。，

则/(%)在区间上单调递减，在区间(机,271)上单

当时，，在上单调递增，不符

调递增，QW0g'(%)>0g(x)H

所以/(%)在区间［兀,2兀)上只有1个极值点，且为极小值合题意；

当〉时，的两个零点必为正数.

点，a0g(x)

当了'(2兀)=2-gW0,即口上4兀时，f\x)<0令g'(%)=0=>e'_2a=0=>x=In2a,

2兀

对九£［兀,2兀)恒成立，所以在九£(—)』112。)，g'(%)<0,g(x)单调递减；

所以/(X)在区间［兀,2兀)上单调递减，没有极值，即极值在X£(ln2a,+oo),g(x)单调递增.

依题意，要使得函数g(x)=ex-2ax有两个不同的零点ex+X+COSX-1-X1HX>0,XG(0,+OO),

尤2，与，则8⑺丽=8山2")<0,于是①当0<九(1时，・・・e“+%+cosx-l>0，

xlnx<0,

e'n2a—2aIn2av0=2a—2aIn2av0=1—In2av0=。>£

2

/.exH-x+cosx—1—xlnx>0；

..•・当〃■时，在%£(—00,—1),//(X)<O,/(X)

②当尤>1时，令g(x)=e"+x+cosx—1-xlnx,

单调递减，在了£(—1,42)，/'(X)>0，/(%)单调递

则g'(x)=eX_sinx_lnx,设7z(x)=g'(x),则

增，在X£(九2，%3)，/(%)单调递减，在

/(x)=ex-cos%--,

%£(毛，+00),/(%)单调递增.Qx>l,ex>e>2»-1<」<0，

x

故实数Q的取值范围是[•|，+8]

—14―cosy<1,7/(%))0,

10.(1)答案见解析(2)证明见解析

「/⑺在(1,+oo)上单调递增，

【解答】(1)•.•/(%)=©，+(〃—1)%—1>

/z(x)>/z(l)=e—sinl-0>0,即g'(%)>0,

•••/'(%)=d+a-1,

/.g(X)在(1,-KX))上单调递增，

当时，/'(X)=e*+a—1>0,函数/⑺在R

g(x)>g(1)=e+cosl>0,即

上单调递增；

e"+x+cosx-l—xlnx>0•

当QVI时，由/'(x)=e”+a-l>0,得

综上，当〃=2时，/(J;)>xlnx-cosx.

x>In(1—(2),

ii.(DaNO⑵证明见解析

函数〃力在区间(ln(l-a),+8)上单调递增，

【解答】(1)解：令/z(x)=ln(x+l)-x(x>-l),

由/'(x)=e"+a—l<。,得xvln(l—a),

则h!(x\=-----1=———,

\7X+lX+1

函数/(%)在区间(-8,ln(l—a))上单调递减.

当一1vxvO时，〃(犬)>0,则函数力(%)在(一1,0)

综上，当时，/(%)在上单调递增，无减区间.

R上单调递增，

当avl时，/(%)在(in(1-十句上单调递增，在当％>0时，/zf(x)<0,则函数7z(九)在(0,+a?)上单

(—8,In(1—a))上单调递减.调递减，

所以，=用(0)=0,即ln(x+l)<x,

(2)•・•当〃=2时，/(尤)=e"+x—l,

所以，当。之0时，In(九+1)KxK办之+犬，即

二.要证/(x)>jdrLx-cosx,即证

「.1.1,1

/(%)<g(x),所以，sin-------bsin-------1-----bsin——

n+1n+22n

v[ln(n+l)—In〃]+[ln(〃+2)—ln(〃+l)]d----1-|^ln(2n)—In(2n—1)J

当avO时，取入0=—■->0,

a

2H

=]n(2n]—lnn=In——=ln2.

由于ln(l+Xo)>lnl=O,而n

12.(l)[l,+oo卜2)证明见解析

(1丫1

(2XQ+%0=aj——=0，得

Va)a

【解答】(i)因为/(%)=(2-X)6"—。(:一2,所以

竭

In(%+1)>+x0,

广(x)=(l-x)e"-a.

故/(九o)>g(%o),不合乎题意.

由/'(X)在R上单调递减，得/'(x)wo,即

综上所述，a>0.

(l-x)e*—aWO在R上恒成立.

(2)证明：当。=0时，由(1)可得ln(x+l)4x,贝！1

令g(x)=(l_九)/一々,则g'(x)=fe”.

lnx<x-l，

可得In’W』一1,即一—1,即当XW(TX),0)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；

XXX

当了£(0,+oo)时，g'(x)vO,g(x)单调递减.

lnx>1-—(x>1),

令』=1一,，所以，尤二一乙一，所以，In」一21，故g(%)max=g(0)=l—解得.NL

txt——1t——1t

即a的取值范围为[1,+8).

(2)由(1)可知，/'(%)在(0,+8)上单调递减，且

所以，一Wln(〃+左)一ln(〃+左一1),

/(O)=l-47>O,/(l)=-6Z<0,

左£{0,1,2,•••,〃},

故三不£(0,1],使得/(玉)=0.

令g(x)=x—sinx(尤>。)，贝ij

当％£(0,玉)时，/r(x)>0,函数/(%)单调递增；

gr(x)=l-cos%>0,且g'(无)不恒为零，

当%£(%,+00)时，/'(%)<0,函数单调递减.

所以，函数g(x)在(0,+8)上单调递增，故

因为/(0)=0,/(2)=-2a-2<0,所以/(%)在

g(%)>g(O)=O,则sinxv尤(％>0),

上只有一个零点八,

所以，(0,2)

sin---<---<In(n+-In(n+A:—1),故函数/(%)在(0,+8)上只有一个零点%.

zz+kzz+k

A:e{0,1,2,---,n},因为0<%<2,所以要证/即证

Q+1

在（0,+8）上单调递增，即/'（%）在（0,+OO）上单调

4zxo+x0-e<0,即证a%o+2—eVO.

递增，

因为/(Xo)=(2_xo)e与一〃^_2=0,得

当4=1时，八1）=0,・・./（4加=〃1）=1,.：

(2-Xo)e%=映+2,

〃九）21成立.

所以(2—九o)e与Ke,故需证(2一%)e%—eWO即

当。＞1时，）＜1，./Li，

可.

1--1

・••/'（一）-⑴-l）（6Z-l）＜0,

令/z(x)=(2—x)e"-e,0〈犬<2，则a

，存在唯一%＞0,使得了'（Xo）=〃e与7—」-二。，

rx

/z(x)=(l-x)e.%

且当xw（O,Xo）时/'（%）＜0,当%£（%0，+oo）时

当xw(0,l)时，"(x)>0,/z(x)单调递增；当

f（x）＞0,ae^=—,

元£(1,2)时，”(x)vO,/i(x)单调递减.%

/.ln（i+x0-l=-lnx0,

故力(%)的=九(1)=0.即(2-%o)e"—e<0,

原不等式即证.因此/(x)^=/(x0)=ae'b-In/+Ina

2

13.(1)----(2)［1,+℃)

e