2025高考数学专项复习：导数的概念、几何意义及运算（含答案）

2025高考数学专项复习第四章元函数的导数及其应用

第四章一元函数的导数及其应用

第一节导数的概念、几何意义及运算

课标解读考向预测

了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理

1.从近三年高考情况来看，本节是高考

解导数的几何意义.

中的必考内容.预计2025年高考会

.能根据导数的定义求函数（为常数），

2y=ccy=x,y以客观题的形式考查导数的定义、求

=f,y—x3,y=~,y=5的导数.曲线的切线方程.导数的几何意义也

可能会作为解答题中的一问进行考

3.能利用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导

查，试题难度属中、低档.

数，会求简单复合函数（限于形如八办+6））的导数.

必备知识——强基础

知识梳理

1.平均变化率

对于函数尸於），把比值拜即答=画'刈+然’尤°）叫做函数y=»x）从xo到xo+Ax的平

均变化率.

2.瞬时速度

一般地，如果物体的运动规律可以用函数s=s⑺来描述，那么，物体在时刻r的瞬时速度v

就是物体在/到r+Ar这段时间内，当。无限趋近于0时，器无限趋近的常数.

3.瞬时变化率

limlim八出十八防一八日）

定义式

坎-0AX-AX-O

实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值

作用刻画函数在某一点处变化的快慢

4.导数的概念

一般地，函数产危）在X=xo处的瞬时变化率是黑）光=蚂加°+黑―用吗我们称它为函

数y=#%)在x=xo处的导数，记作位1/6勾)或画Iy'lx=xO,即/(xo)=Ax-O八；-Ax-O

/xo+AX)-/(xo)

Ax.

注意：函数y=兀0在x=xo处的导数是y=/(x)在x=xo处的瞬时变化率.

5.导函数的概念

如果函数>=兀0在开区间(a,b)内的每一点都是可导的，则称Hx)在区间(a,b)内可导.这样,

对开区间(a,6)内的每一个值x,都对应一个确定的导数〃x),于是在区间(a,6)内〃x)构成

一个新的函数，我们把这个函数称为函数y=Ax)的导函数(简称导数)，记为了(无)或y,即/(尤)

=尸画曾H黑一山

6.导数的几何意义

函数y=/(x)在x=xo处的导数/(⑹，就是曲线y=/(x)在点(Xo，/to))处的画切线的斜率心,

即fe)=l5吊尸(xo).

7.基本初等函数的导数公式

函数导数

y(x)=c(c为常数)/«=o

f(x)=xa(a€R,且aWO)f(x)=axa~1

fix)=sinxf(x)=cosx

/(x)=cosxf(x)=—siwc

"%)=优(〃>0,且aWl)f(x)=ax\na

危)=e"f(.x)=ex

~~logqX(4>0,且dW1)了⑴-xlna

段)=lnxf(x)=x

8.导数的运算法则

⑴孙)土g(切』/(x)土g，(x).

(2)[/(x)g(尤)丫=/(尤)g(_r)+凡x)g<x).

「危)~|/(x)g(x)~fix)g\x)/

⑶贵上1;(岸%(加。)・

9.复合函数的导数

一般地，对于由函数y=/(〃)和〃=g(x)复合而成的函数y=/(g(x)),它的导数与函数y=/(〃)，u

=g(x)的导数间的关系为力'=画她£，即y对X的导数等于y对u的导数与〃对无的导数

的乘积.

常用

1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.

2.求曲线y=/(x)的切线方程的类型及方法

(1)已知切点尸(xo,刃)，求y=/U)在点P处的切线方程：求出切线的斜率〃xo),由点斜式写

出方程.

(2)已知切线的斜率为比求y=#x)的切线方程：设切点P(xo,加)，通过方程左=/Vo)解得加,

再由点斜式写出方程.

(3)已知切线上一点(非切点)，求y=/(x)的切线方程：设切点P(xo,加，利用导数求得切线斜

率了(尤。),再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得尤0,最后由点斜式或两点式写出方程.

(4)若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切

线的斜率比再由上=了(项)求出切点坐标P(xo,y0),最后写出切线方程.

(5)①在点P处的切线即是以尸为切点的切线，尸一定在曲线上；

②过点P的切线即切线过点P,P不一定是切点.因此在求过点P的切线方程时，应首先检

验点尸是否在已知曲线上.

诊断自测

1.概念辨析(正确的打“Y”，错误的打“x”)

(l»(xo)是函数>=兀0在x=xo附近的平均变化率.()

(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.()

(3»(尤0)=『(孙匹()

答案(l)x(2)x(3)x

2.小题热身

(1)(人教A选择性必修第二册5.1.1T3改编)一质点运动的方程为s=5—3产，若该质点在时间

段［1,1+加］内相应的平均速度为一3。一6,则该质点在/=1时的瞬时速度是()

A.-3B.3

C.6D.—6

答案D

(2)设y(x)=S+ln2的导函数为/(x),则了(1)的值为()

A.0B.e

答案D

(3)(人教A选择性必修第二册习题5.2T3改编)已知函数/U)=x(2024+lnx),若/(勾)=2025,

则须)=()

A.e2B.1

C.In2D.e

答案B

（4）（人教A选择性必修第二册5.2.1练习T3改编）余弦曲线y=cos尤在点俘，0）处的切线方程

为.

答案y=~x+^

解析因为尸cosx,则了=—sinx,可得曲线产cosX在点0处的切线斜率为2=—1，

则曲线尸cosx在点650）处的切线方程为尸一

（5）求下列函数的导数.

①y=2'+log2X;②丁=94；

③y=(3x+l)21n(3%)；@y=ye~3x.

解①旷=2a2+焉・

(%3-])'sinx_(siiix)'(x3-1)

②尸

sin2x

3fsim:—cosxlx3-1)

sin2x

③y'=[(3x+l)2Rn(3尤)+(3*+1)2.

,,(3x+l)2

[In(3x)]'=6(3x+l>ln(3x)+-~--.

@y'=(3)ef+3%ef)'=3*efin3-3-3Ae-3jc.

考点探究——提素养

考点一导数的概念及运算

例1（1）（2024•江苏连云港一中高三上月考）已知函数五x）的导函数为了（无），且了（l）=a,蚂

川）婴"）=i则实数。的值为（）

A.12B.一；

C.1D.2

答案D

葩杵由所土狙lim犬1）一八1+&）HimAl+^）-XD1济“1।林

斛析由题思，得-----2AX-------=-5丛-0--------晟-----=~2a,所以一14=1一。，解

得。=2.故选D.

(2)(多选)下列结论中错误的是()

A.若y=cos*则y=_

B.若y=siwc2,则yr=2xcosx1

C.若y=cos5x,贝Usin5x

D.y=2xsin2x,贝！Jy'=xsin2x

答案ACD

解析对于A,y=cos-,贝Iy=/sin},故A错误；对于B,y=siiu2,贝！Iy=2xcosf,故B

正确；对于C,y=cos5x,则y=—5sin5x,故C错误；对于D,y=5sin2x,则y=]sin2x

+%cos2x,故D错误.故选ACD.

【通性通法】

1.根据导数的定义求函数y=/a)在点xo处导数的方法

(1)求函数的增量Ay=/S)+Ax)-/(M)).

(2)求平均变化率会=/°+黑一八加

⑶得导数/(xo)=E与普，简记作：一差、二比、三极限.

2.函数的导数与导数值的区别与联系

导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数.

【巩固迁移】

L(多选)下列求导数的运算中正确的是()

A-

B.(31nxy=1

c.仔)T

D.(/cosx)'=_2xsiwc

答案AB

解析对于A,x'=\,0'=(/|)'=—/2=—相加即可，故A正确；对于B,系数不变，

只对Inx求导即可，即(31nx)，=*故B正确；对于C,由除法求导公式，得住)=&冒h=

1--Y

x,故C错误；对于D,由乘法求导公式，得(x2cos%y=2xcosx—x2sinx,故D错误.故选

AB.

2.(2023•重庆市第八中学高三适应性月考(三))已知函数人x)的导数为〃x),且满足人x)=e'—

4(0)siiu+l,则

51

答案e~+q

兀

解析因为了(x)=e*—4(0)cosx,所以了(0)=e°—4(0)cos0,解得了(0)=；,所以＞(^)=e2—1sin^

二1

+l=e2+2.

考点二导数的几何意义及其应用(多考向探究)

考向1导数与函数的图象

例2函数1x)的图象如图所示，则下列结论正确的是()

A./⑴才⑵>0才⑶

B.7(1)</(2)</(3)<0

C.0寸⑴寸⑵勺Q)

D.了⑴才⑵才(3)>0

答案D

解析如图，作出函数在x=l,2,3处的切线/i，l2,h，可见三条切线的斜率依次递减,

但是都大于零，由导数的几何意义可知，/(l)y(2)^(3)>0.故选D.

【通性通法】

函数式x)在X=xo处的导数了(X0)的几何意义是曲线y=/U)在点尸(X0,必)处的切线的斜率.相

应地，切线方程为y~yo—f(^vo)(x-xo).

【巩固迁移】

3.函数>=危)的图象如图所示，下列不等关系正确的是()

A.0</(2)</(3)砧3)-/(2)

B.0</(2)</(3)-A2)</(3)

C.0寸(3)</(3)-A2)寸(2)

D.。勺⑶一八2)</(2)</(3)

答案C

解析如图所示，根据导数的几何意义，可得〃2)表示切线/i的斜率任>0,八3)表示切线b

的斜率%>0,又由平均变化率的定义，可得再二孕二㈣一冷),表示割线A的斜率心，结

合图象，可得0<依<依<而，即0勺\3)勺(3)一42)</(2).故选C.

考向2求切点的坐标

例3已知曲线兀劝=/一工+3在点尸处的切线与直线x+2y—l=0垂直，则点尸的坐标为()

(1，3)B.(-1,3)

(1,3)或(一1,3)D.(1,-3)

答案C

解析设切点尸(xo,州)，..了(x)=3x2—1,直线x+2y—1=0的斜率为一3，.(皿)=3端一1

=2,...需=1,.,.我=±1,又切点P(xo，yo)在曲线y=/(x)上，.,.比二焉一尤o+3,...当x()=l时，

yo=3；当无o=-1时，州=3,.,.切点尸的坐标为(1,3)或(一1,3).

【通性通法】

已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从

而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.

【巩固迁移】

4.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=ln无上，且该曲线在点A处的切线经过点(一e,

—l)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是.

合案(e,1)

解析设点A(xo，yo),则yo=ln%o.又y=1,当工=沏时，y，=~~^则曲线y=ln%在点A处的

Ix—e

切线方程为y—yo=7(x—xo),即y—lnxo=;r—1,代入点(一e,—1),得一1一lnxo=『一L

AOAOXO

即xolnxo=已令H(%)=xlnx,当x€(O,1)时，H(x)<0,当工€(1,+8)时，H(x)>0,且H'(x)

=lnx+l,当x>l时，Hf(x)>0,"(%)单调递增，注意到〃(e)=e,故xoln%o=e存在唯一的实

数根x()=e,此时州=1,故点A的坐标为(e,1).

考向3求切线的方程

—1

例4(1)曲线y=:短在点(一1,—3)处的切线方程为.

答案5x-y+2=0

解析因为y=2>+2)二号二D=7_^,所以曲线y=W在点(一1,—3)处的切线的斜

(1AI乙)(XI乙)JiI4

率％=5,故所求切线方程为y+3=5(x+l),即5x—y+2=0.

(2)(2022.新高考H卷)曲线y=ln|R过坐标原点的两条切线的方程为,.

答案y=%y=~ex

解析当%>0时，y=lnx,设切点为(Xo，Inxo),由得丁1尸勺=5，所以切线方程为>

—lnxo=；(x—xo),又切线过坐标原点，所以一lnxo=；(—%o),解得％o=e,所以切线方程为

y—l=^(x—e),即》=%;当x<0时，y=ln(—x),设切点为(制，ln(一制))，由>'=5，得Vk

=勺=“，所以切线方程为y—In(―xi)=“(x—羽)，又切线过坐标原点，所以一In(-xi)=((一

xi),解得为=—e,所以切线方程为y—l=」(x+e),即y=—

ec

【通性通法】

点P%%)为切点,切

求曲线y=/(x)

求类线斜率为仁/(如,有

曲“在”点P(x0,yo)

型唯一的一条切线为旷-

线处的切线方程

加¥(珀•(4-须))

的

切若在曲线上，则

线求曲线

首

先检要分在点P和过点

类

方

验

y=/(x)点

尸P两种情况

型

程“过”点

是

否

在

二

曲

线

「(3,%)上

的切或若点p不在曲线上,

则要设切点，即

方程

“待定切点法”

注意：“待定切点法”---如果已知点（即，yi）不在曲线上，则设出切点（xo，州），解方程组

<yi~yo得切点（xo，yo）,进而确定切线方程.

-----=f（xo），

［为一祀J

【巩固迁移】

5.若经过点P（2,8）作曲线y=/的切线，则切线方程为（）

A.12x—y—16=0

B.3x—y+2=0

C.12x—y+16=0或3%—y—2=0

D.12x—16=0或3x~y+2=0

答案D

解析易知点尸在曲线y=x3上，y=3f,当点P为切点时，切线斜率左=12,切线方程为

12x—y—16=0.当点尸不是切点时，设切点为4必，州），由定义可求得切线的斜率为左=3焉.

•・,点A在曲线上,・・yo=x3,.•.高一3焉+4=0,.•・(%()+1)(%。-2>=0,解得X。

=-1或的=2（舍去），.*.yo=—1,k=3,此时切线方程为y+l=3（x+l）,即3%—y+2=0.

故经过点尸作曲线的切线有两条，方程为12不一）-16=0或3x—y+2=0.故选D.

考向4求参数的值或取值范围

例5（2023•河南郑州高三第二次质量预测）已知曲线y=Hnx+〃er在点x=l处的切线方程

为2x—y+/?=0,贝!J。=（）

A.l1B.—2

C.-3D.0

答案C

解析由题意，得y=lnx+l—加二，根据导数的几何意义可知，在点x=l处的切线斜率为

1-；=2,解得a=一e,所以切点为（1,-1）,代入切线方程可得2+l+b=0,解得b=—3.

故选C.

【通性通法】

1.利用导数的几何意义求参数的基本方法

利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等

式（组），进而求出参数的值或取值范围.

2.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点

⑴注意曲线上横坐标的取值范围.

⑵谨记切点既在切线上又在曲线上.

【巩固迁移】

6.(2022.新高考I卷)若曲线y=a+〃)e，有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是

答案(一8,—4)U(0,+°°)

解析因为y=(x+〃)e\所以)/=(%+。+1贮.设切点为A(xo,(xo+«)exo),O为坐标原点，依

(阳)+。)y0

题意得，切线斜率心4=(乂)+〃+1把*。=--------,化简，得焉+〃%()—〃=0.因为曲线y=(x+

■X。

。九工有两条过坐标原点的切线，所以关于xo的方程焉+办o—a=0有两个不同的根，所以/

=/+4〃>0,解得—4或〃>0,所以。的取值范围是(一8,—4)U(0,+°°).

考点三两曲线的公切线问题

例6设曲线y=lnx与y=(x+〃)2有一条斜率为1的公切线，则〃=()

A.i1B.-1

CiD3

J44

答案B

解析因为y=lnx,所以_/=(，又因为切线的斜率为1,所以y=F=l,解得x=l,y=0,

所以切线方程为y=x—1.因为y=(x+a)2,所以y，=2x+2a=l,解得x=/—a，代入切线方

程得y=-。，再将6一°'一3一°)代入y=a+")2，解得a=—*故选B.

【通性通法】

解决两曲线的公切线问题的两种方法

⑴利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解.

⑵设公切线/在曲线y=/(x)上的切点Pi(xi，人xi)),在曲线y=g(x)上的切点P2Q2,g(x2)),则

皿、“、/(X1)—g(X2)

了(无l)=g，(X2)=

42

【巩固迁移】

7.(2023•江西南昌模拟)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线丁=加+(〃+2)%+1

相切，贝U4=()

A.4B.8

C.2D.1

答案B

解析y=x+lnx的导数为y=l+p曲线y=x+lnx在x=l处的切线斜率k=2,则曲线y

=x+lnx在x=l处的切线方程为y—l=2(x—1),即y=2x—l.由于切线与曲线y=ax2+(a+

[y=ax1+（a+2）＞x+1'

2）x+l相切，联立J得〃/+办+2=0,又两曲线相切有一切点,

[y=2x—1，

所以力=4—8〃=0,解得4=8.故选B.

课时作业

基础巩固续

一、单项选择题

1.（2023・辽宁抚顺六校协作体高三上学期期中考试）现有一个圆柱形空杯子，盛液体部分的底

面半径为2cm,高为8cm,用一个注液器向杯中注入溶液，已知注液器向杯中注入的溶液的

容积*单位：mL）关于时间小单位：s）的函数解析式为V="+3兀不考虑注液过程

中溶液的流失，则当f=2时，杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（）

A.4cln/sB.5cm/s

C.6cm/sD.7cm/s

答案C

户户

解析由题意，杯子的底面积为5=4兀，则溶液上升高度九=1v=十+3，所以〃'=二3»『+6/，

kJT"T"

则—=2=6cm/s.故选C.

2.（2024•湖南长沙长郡中学高三上月考（四））已知函数/（x）=2cosx—/停｝加，则/住）=（）

A空B—稣

A.3B.3

C.2D.-2

答案B

解析因为於）=2cosx—/侍卜皿，所以了（无）=-2sinx—f仔）cos尤，ik.—2sin^—

cos?即店）=一4一3朗所以/停）=一4过故选B.

3.（2023•全国甲卷）曲线y=壬在点（1，|）处的切线方程为（）

ece

A.y=~^xB.y=2^

-e।e-e।3e

C.J=4^+4D,y=]x+彳

答案C

解析设曲线丫=3在点(1，f)处的切线方程为y—M心一1),因为y=后，所以尸

e(背?)2e=(x；i)2’所以左=外=1=3所以y—尹永x—I),所以曲线尸詈j在点(1，号

处的切线方程为尸全+1故选C.

4.(2024•河北邢台六校联考高三上学期第一次月考)下列求导运算正确的是()

A.(sin5)=cosg

B.(x2sin3x)f=2xsin3x+x2cos3x

C(tag'=熹

D.[ln(2x—1)]'=云匕

答案C

解析对于A,(sing)=0,A错误；对于B,(%28^3%)/=(x2),sin3x+x2(sin3x),=2xsin3.r+

3/cos3x,B错/；对于C,(tamO，=(五J』有=摄？C正确；对于

i2

D,[^(2%-1)](=-_rx2=-~D错误.故选C.

2x—12尤一1

5.(2023•安徽六安新安中学模拟)若函数加)=ln尤尤的图象存在斜率为2的切线，则实数°

的取值范围是()

A.(一8,2]B.[2,+8)

C.(—8,2)D.(2,+8)

答案C

解析由题意，函数凡x)=lnx+ar的定义域为(0,+°°),且了(x)=.+cz.函数«r)=ln尤+ox

的图象存在斜率为2的切线，即(+a=2在(0,十8)上有解，即。=2—:在(0,+8)上有解.因

为x>0,所以：>0,则一：<。，2—^<2,所以a<2,即实数。的取值范围是(一8,2).故选C.

6.(2024•河南南阳阶段考试)设点尸，。分别是曲线y=xer(e是自然对数的底数)和直线y=x

+3上的动点，则P,0两点间距离的最小值为()

A近B空

A.22

(4e—1)由(4e+l)小

c-2，2

答案B

解析由题意，曲线y=xer上的动点尸和直线y=x+3上的动点。间的距离的最小值，即

■V1---V

曲线>=在=上与直线y=x+3平行的切线与直线y=x+3之间的距离.由y=G可得丫'=一丁，

令y=l,解得x=0.当x=0时，y=0,点P(0,0),因此P,。两点间距离的最小值，即为

点尸(0,0)到直线尸x+3的距离，dmin=^=嗜故选B.

7.已知函数直线y=kx与函数/(x)的图象有两个交点,则实数k的取值范围为()

A.&,B.(五，+°0)

C.(e,+°°)D.&,+8)

答案D

解析当过原点的直线y=Ax与函数«x)的图象相切时，设切点为尸(相，由力>)=；&\

可得过点尸的切线方程为)一；”=5气¥—根)，代入点(0,0)可得一去加:一品。巴解得根=1,

此时切线的斜率为;e,由函数於)的图象可知，若直线y=kx与函数“x)的图象有两个交点,

实数上的取值范围为(|e，+8).故选D.

8.(2023•江苏南通模拟)已知过点A(m0)作曲线y=(l—x)e%的切线有且仅有1条，则。=()

A.-3B.3

C.—3或1D.3或1

答案C

%

解析设切点为5),(1—xo)eo),由已知得了=—xe",则切线斜率左=一刈-。，切线方程为y

一(1—%o)e*o=-xoexo(x—必)，直线过点A(Q,0),则一(1—%o)exo——小?0(〃一%())，化简得看一

(〃+1)沏+1=0,切线有且仅有1条，即/=(〃+1)2—4=0,解得〃=—3或1.故选C.

二、多项选择题

9.函数y=g(x)在区间［〃，切上连续，对［。，句上任意两点Xl，X2(X1WX2)，g'lbg(xi"g，2)

时，我们称函数g(x)在团，切上“严格上凹”.若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函

数的导函数(二阶导函数)在给定区间内恒为正，即g"(尤)>o.下列所列函数在所给定义域上“严

格上凹”的是()

A.y(X)=log2X(X>0)

B.犬x)=2e「+x

C.犬x)=—f+ZMxO)

D.f(x)=siiu—^(0<^<^)

答案BC

解析由题意可知，若函数在所给定义域上“严格上凹”，则满足/(x)>0在定义域内恒成立.对

于A,/(x)=log2x(x>0),则-(彳)=孱9'=一焉!<。在x>0时恒成立，故A不符合题意；

对于B,兀0=21*+刈则/。)=(-21叶1)』21工>0恒成立，故B符合题意；对于C,兀0

=-X3+2X(X<0),则/(xLC-Sr+Zyu—G无>0在x<0时恒成立，故C符合题意；对于D,

j[x)=sinx—X2(0<X<7T),则[(x)=(cosx—2xy=—sinx—2<0在0a<兀时恒成立，故D不符合题

意.故选BC.

10.已知函数人功的导数为了(无)，若存在尤0,使得Kxo)=/(xo),则称X0是1X)的一个“巧值点”,

则下列函数中有“巧值点''的是()

,1

A.f(x)=x-B.

QinV

C.f(x)=\nxD.火x)=W

答案ABC

解析对于A,/(%)=2x,令，=2x,得X=0或冗=2,有“巧值点”；对于B,/(%)=—5,令

得x=-1,有“巧值点”；对于C,了(工)=；,令lnx=；,结合y=lnx,y=：的图象,

知方程lnx=：有解，即有“巧值点”；对于D,/仁)=残7令手£=马耳，得sin2x=2,无

解，无“巧值点故选ABC.

11.(2023•江苏南京模拟)已知函数y=/(x)的图象在点(1,犬1))处的切线方程是x—2y+l=0,

若g(x)=M(%)，则下列各式成立的是()

A.加)=1B./⑴=1

1c33

C.犬x)=4fD.gXl)=2

答案AD

解析对于A,由题意知，点(1,式1))在直线x—2y+l=0上，所以共1)=1,故A正确；对

于B,函数加)的图象在点(1,加))处的切线方程是X—2y+l=0,所以了(1)=/故B错误；

对于C,<x)=*+*虽然满足人1)=1,/(1)=/但该函数只是一种特殊情况，该函数还可

以为於)=[L也满足加)=1,f(1)=3，故C错误；对于D,由题得g，(x)=/(x)+x;f(x),所

13

以8'(1)=/(1)+7(1)=1+2=1，故D正确.故选AD.

三、填空题

12.(2024•安徽亳州第一中学高三上学期第二次月考)已知函数段)=〃x—lnx,且

lim/(1+2AX)-/1-M=3；则曲线八x)在(1,犬1))处的切线方程是.

答案y=x+l

解析由妈川+2",1—口=32噌1+2,91一口=3,得了⑴=1,而了(X)=L*

所以〃=2,y(x)=2%—lnx,11)=2,所以切线方程为y—2=%—1,即y=x+l.

13.(2023•黑龙江牡丹江联考)已知函数危)=/+"(1)111元,则/(1)=.

答案一2

解析因为段)=f+Ml)lnx,所以/(x)=2x++々则/(1)=2+"(1),故/(1)=-2.

14.(2023•河南信阳高级中学高三上学期期末)已知函数/(%)=3怛，一1|.若存在沏，X2G(~a,

d){x\<xi，4>0),使得曲线y=/(x)在I=©,x=%2处的切线互相垂直，则实数。的取值范围为

答案(In4,+°°)

I2(e^—1)'GO',x>0’

解析f(x)=<]/(x)=S]若存在xi，元2€(一〃，4)(X1<X2，〃>0),

[/(I-e,，x<0，[一产'1<0'

使得曲线)=火%)在X=X1，X=X2处的切线互相垂直，根据导数的几何意义可知，fMf(X2)=

—1,且工142,所以一〃<11<0<%2<〃，贝ge%2(—=—1,匕丸+*2=4,因为一a〈％i+x2<。，e

g>4，

~a<exi+x2<ea,所以〈6一。<4，解得〃>1114.故实数〃的取值范围为(1114,+°°).

a>0,

素养提演

15.(2023•江苏扬州高邮市第一中学等2校高三上学期期末联考)若曲线y=x3-2x1+m与曲

线y=4/+l有一条过原点的公切线，则根的值为.

答案8或一4骂0

解析因为过原点斜率不存在的直线为尤=0,该直线与曲线》=4/+1不相切，所以设曲线

y=4/+l过原点的切线的方程为产区，切点为8(必以)，则上=8必左=孑，以=4送+1,

所以入2=±；.当X2=T时，k=4,所以直线y=4x与曲线尸始一2/+相相切，设切点为A(©,

2、2

%)，则为=4%i，3行一4%i=4,y\=x^—2j^+m,所以为=—g或即=2,当乃=—1时，m=一

401-

斤，当为=2时，m=8；当X2=-1时，k=—4f所以直线y=-4x与曲线ynxS—Z-+zn相

切，设切点为。(右，丁3)，则”=-4x3，3焉一4%3=—4,y3=xj—2x^+mf满足方程3焉一4%3

、40

=—4的解不存在，故根不存在.所以机=8或机=一力.

16.已知函数危)=+^)lnx+1—x(^>0).

⑴当〃=1时，求曲线«x)在x=2处的切线方程；

(2)当时，曲线加)上存在分别以4为，人为))，8(X2,兀⑵)为切点的两条互相平行的切线，

求为十%2的取值范围.

222

解(1)当。=1时，f(x)=21nx+-—x,/2)=21n2—1,/(x)=~—1,

所以7(2)=—!即切线的斜率左=一[

所以曲线/(x)在x=2处的切线方程为y—(21n2—1)=-](x—2),

即x+2y-41n2=0.

⑵由题意知/(xi)=『(X2),e)=(。+兴6T，即(a+Ol旨T=(a+设一5T，

整理得G+Od9=/系

因为Xlw%2，

所以磊我+5)=1，

所以XHX2=(X|+X2)9+J•言？=住+£+2)舄〉

4十一

a

令g(a)=a+5，

则Ig'⑷=11F(=〃+T1)(。——1)<

因为g，(〃)>0,

所以g(〃)在［3,+8)上单调递增，

所以g(a)2g(3)=3+；=¥，即。+：2学,

缶28-812

所以正=亏，

二

a+~a3

(8)

_12

即a+~nwT5'

所以西+X2>¥，即由+尤2的取值范围为代，+8).第二节导数与函数的单

调性

课标解读考向预测

1.结合实例，借助几何直

从近三年的高考情况来看，利用导数研究函数的单调性问题是必考

观了解函数的单调性与

的一个问题，这是因为单调性是解决后续问题的关键，单调性在研

导数的关系.

究函数图象、比较函数值的大小、确定函数的极值与零点、解不等

2.能利用导数研究函数

式及证明不等式中起着至关重要的作用.函数单调性的讨论与应用

的单调性，会求函数的

一直是高考考查的重点，而含有参数的函数单调性的讨论与应用是

单调区间(其中多项式

高考中的难点.预计这一考点在2025年高考中仍是重点考点.

函数一般不超过三次).

必备知识——强基础

知识梳理

1.函数的单调性与导数的关系

条件恒有结论

/«>0八X)在(a,b)上叵］单调递增

函数y=/(x)在区间(。，。)上可

人x)在(a,b)上画单调递减

导

偿)=0人尤)在(a,b)上是两常数函数

2.利用导数判断函数y=4x)单调性的步骤

第一步，确定函数的画定义域;

第二步，求出导数求幻的两零点;

第三步，用的零点将八犬)的定义域划分为若干个区间，列表给出〃x)在各区间上的正负,

由此得出函数y=Kx)在定义域内的单调性.

常用

1.利用导数解决单调性问题需要注意的问题

(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的

单调区间.

(2)注意“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意

在定义域内的间断点.

2.若函数/(x)在(a,6)上单调递增，则b)时，/(x)20恒成立；若函数兀0在(a,6)上

单调递减，则b)时，/(x)WO恒成立.

3.若函数兀0在(a,6)上存在单调递增区间，则6)时，了(x)>0有解；若函数於)在(小

b)上存在单调递减区间，则b)时，/(尤)<0有解.

诊断自测

1.概念辨析(正确的打“守’，错误的打“X”)

(1)如果函数1x)在某个区间内恒有/(x)=0,则兀0在此区间内没有单调性.()

(2)在(a,b)内了(x)WO且了(尤)=0的根有有限个，则人尤)在(a,b)内单调递减.()

(3)若函数人无)在定义域上恒有了(x)>0,则大尤)在定义域上一定单调递增.()

答案(1W(2)4(3)x

2.小题热身

(1)(多选)(人教A选择性必修第二册5.3.1例2改编)如图是函数y=/(x)的导函数>=了(无)的图

象，则下列判断正确的是()

A.在区间(一2,1)上兀V)单调递增

B.在区间(2,3)上汽尤)单调递减

C.在区间(4,5)上汽尤)单调递增

D.在区间(3,5)上式x)单调递减

答案BC

(2)函数负x)=xer的一个单调递增区间是()

A.(一8,1)B.(2,8)

C.(1,2)D.(0,2)

答案A

解析由人x）=去得了（%）=33,由/（x）>0,得x<l,所以危）在（一8,I）上为增函数.故

选A.

（3）（人教A选择性必修第二册5.3.1例1改编）函数/U）=cosx—尤在（0,兀）上的单调性是（）

A.先增后减B.先减后增

C.增函数D.减函数

答案D

解析..,当天€（0,兀）时，/（元）=-sinx—1<0,在（0,兀）上是减函数.故选D.

考点探究提素养

考点一不含参数的函数的单调性

例1求函数危）=e2%—e（2x+l）的单调区间.

角星f（x）=2e2x-2e=1-1）,

令/（%）=。，解得尸点

x,f（x）,九%）的变化如下:

(-8,01fr+°°)

X2

f(x)一0+

单调递减-e单调递增

所以五X）的单调递减区间是（一8，0,单调递增区间是6，+8）

【通性通法】

利用导数求函数单调区间的步骤

注意：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的

定义域.

⑵若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集"U”及“或"连接，只能用

“，”“和”字隔开.

【巩固迁移】

1.（2023・湖南长沙模拟）已知函数yCx）=2e，sinx（e是自然对数的底数），讨论/U）的单调性.

解f（x）—2e'（sinx4-cosx）=2A/2ersin（x+^,

3兀7兀

由了（%）<。，解得2E+彳<1<2祈+彳（左€Z）,

兀3兀

由/（x）>0,解得2fal—~^<x<2kR+彳（左€Z）,

故於）在（2E一守，2左兀+引（％€Z）上单调递增，在（2左兀+中，2E+牛）（％€Z）上单调递减.

考点二含参数的函数的单调性

例2已知函数加）=lnl+=：一：（〃€R,且〃