2025高考数学复习必刷题：函数的性质

第7讲函数的性质

知识梳理

1、函数的单调性

（1）单调函数的定义

一般地，设函数“X）的定义域为A,区间A：

如果对于。内的任意两个自变量的值占，马当尤时，都有了（尤）＜/（%），那么就

说在区间。上是增函数.

如果对于。内的任意两个自变量的值不，/，当为＜%时，都有〃为）＜/（々），那么

就说了。）在区间D上是减函数.

①属于定义域A内某个区间上；

②任意两个自变量占，%且无1＜尤2；

③都有＜/（X2）或/（%2）；

④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右

是下降的.

（2）单调性与单调区间

①单调区间的定义：如果函数/（无）在区间。上是增函数或减函数，那么就说函数

于（X）在区间。上具有单调性，。称为函数/（%）的单调区间.

②函数的单调性是函数在某个区间上的性质.

（3）复合函数的单调性

复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函

数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数

是减（增）函数，复合函数是减函数.

2、函数的奇偶性

函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/（X）的定义域内任意一个无，都有关于y轴对

偶函数

/（-X）=/（X）,那么函数/（X）就叫做偶函数称

如果对于函数/（X）的定义域内任意一个无，都有关于原点对

奇函数

/（-%）=-f（x）,那么函数/（无）就叫做奇函数称

判断了（-/与/（x）的关系时，也可以使用如下结论：如果/（-x）-f（x）=O或

/也=l(/(x)*O),则函数/(x)为偶函数；如果〃一元)+/0)=0或

/(无)

止夕=一1(/(无)#0),则函数/(尤)为奇函数.

/(无)

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内

的任意一个x,-X也在定义域内(即定义域关于原点对称).

3、函数的对称性

(1)若函数y=/(x+a)为偶函数，则函数y=/(尤)关于x=a对称.

(2)若函数y=/(x+a)为奇函数，则函数y=/(x)关于点(a,0)对称.

(3)若/(%)=f(2a-x),则函数/(%)关于尤=。对称.

(4)若/'(尤)+/(2。-尤)=2Z?,则函数/(x)关于点(a,6)对称.

4、函数的周期性

(1)周期函数：

对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都

有〃x+T)=/(x),那么就称函数y=/(尤)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函数〃幻的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做

/(%)的最小正周期.

【解题方法总结】

1、单调性技巧

(1)证明函数单调性的步骤

①取值：设不，%是/(X)定义域内一个区间上的任意两个量，且占＜々；

②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；

③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；

④得出结论.

(2)函数单调性的判断方法

①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值一变形一判断符号一下结论”进行

判断.

②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.

③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接

写出它们的单调区间.

(3)记住几条常用的结论：

①若〃尤)是增函数，则-/(元)为减函数；若/(尤)是减函数，则-/(尤)为增函数；

②若/(尤)和g。)均为增(或减)函数，则在/(X)和g(x)的公共定义域上/(x)+g(x)为

增(或减涵数；

③若/Xx)〉。且/(龙)为增函数，则函数为增函数，」一为减函数；

f(x)

④若f(x)>0且/(无)为减函数，则函数66为减函数，,为增函数.

f(x)

2、奇偶性技巧

(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

(2)奇偶函数的图象特征.

函数/(尤)是偶函数o函数/(尤)的图象关于y轴对称；

函数了(元)是奇函数o函数/(%)的图象关于原点中心对称.

(3)若奇函数y=/(x)在x=0处有意义，则有/(0)=0；

偶函数y=/(x)必满足/(尤)=/(|尤I).

(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内

关于原点对称的两个区间上单调性相同.

(5)若函数/(%)的定义域关于原点对称，则函数/(%)能表示成一个偶函数与一个奇函

数的和的形式.记g(x)=g"(x)+/(f)］，■»=g"(x)-,则/(x)=g(x)+/z(x).

(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除

四则运算所得的函数，如/(x)+g(x),/(x)-g(x)J(x)xg(x)J(x)+g(x).

对于运算函数有如下结论：奇士奇=奇；偶土偶=偶；奇土偶=非奇非偶；

奇乂(+)奇=偶;奇X(+)偶=奇；偶X")偶=偶.

(7)复合函数y=/［g(x)］的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.

(8)常见奇偶性函数模型

奇函数：①函数/■(%)=祖(巴士3(*/0)或函数/(尤)=加("T).

a-1a+1

②函数f(x)=±(ax-ax).

③函数〃x)=log”叶？=log“(1+卫-)或函数/(尤)=log”三*=log”(1一-—)

x-mx—mx+mx+m

④函数/(x)=log。(J-+1+x)或函数/(x)=log“(J-+1-x).

注意：关于①式，可以写成函数/(%)=机+*L(xwO)或函数

a-1

f(x)=m--(/ne7?).

a+1

偶函数:①函数/(工)=±3+「).

②函数/(%)=log。(广+1)-三.

③函数/(|x|)类型的一切函数.

④常数函数

3、周期性技巧

函数式满足关系(xeE)周期

f(x+T)=f(x)T

/(x+r)=-/(%)2T

/(x+T)=工"(尤+7)=_1

2T

/(x)/(x)

f(x+r)=/(x-r)2T

/(x+r)=-/(x-r)47

ff(a+x)=f(a-x)

2(b-a)

\f(b+x)=f(b-x)

\f(.a+无)=f(a~尤)

2a

[/(x)为偶函数

f(a+x)=-f(a-x)

2(Z?-〃)

]f(t>+x)=-f(b-x)

f(a+x)=-f(a-x)

2a

I/(x)为奇函数

f(a+x)=f{a-x)

4(Z?-a)

If(b+x)=-f(b-x)

f于(a+尤)=f(a-x)

4a

[/(x)为奇函数

f(a+x)=-f(a-x)

4〃

/(x)为偶函数

4、函数的的对称性与周期性的关系

(1)若函数y=/(x)有两条对称轴尤=a,x=b(a<b),则函数/(x)是周期函数，且

T=2(b-a)；

(2)若函数y=/(无)的图象有两个对称中心(a,c),(6,c)(a<6),则函数y=/(x)是周

期函数，且T=2(6-a)；

(3)若函数y=/(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心S,0)(4<6),则函数

y=/(x)是周期函数，且7=4(6-。).

5、对称性技巧

(1)若函数y=/(x)关于直线x=。对称，则/'(a+x)=/(a-x).

(2)若函数丫=/(彳)关于点(°,6)对称，则/(a+x)+y(a-x)=26.

(3)函数y=/(a+x)与y=/(a_尤)关于y*由对称，函数y=/(a+x)与y=-/(。一无)

关于原点对称.

必考题型全归纳

题型一：函数的单调性及其应用

例1.已知函数/(x)的定义域是R,若对于任意两个不相等的实数4，巧，总有

成立,则函数〃x)一定是()

A.奇函数B.偶函数C.增函数D.减函数

【答案】C

【解析】对于任意两个不相等的实数均，巧，总有/.)一//)>。成立,

x2-xl

等价于对于任意两个不相等的实数为<%，总有/&)</(%).

所以函数/(X)一定是增函数.

故选：C

例2.若定义在R上的函数7U)对任意两个不相等的实数a,b,总有>0成立,则

a-b

必有()

A.兀x)在R上是增函数B.7(%)在R上是减函数

C.函数人x)先增后减D.函数兀0先减后增

【答案】A

【解析】由“(")■*)>0知1。)虫与Q-Z?同号，即当a<b时，1。)勺S),或当a>b时，

a-b

八〃)次份，所以於)在尺上是增函数.

故选：A.

例3.下列函数中，满足“〃%+,)=〃力/3”的单调递增函数是

A.7(x)=/B,f(x)=x

C.〃X)=1D.f{x)=y

【答案】D

【解析】由于优•/=/',所以指数函数/(x)=/满足/(x+y)=/(x)+〃y),且当“>i

时单调递增，0<x<l时单调递减，所以〃X)=3工满足题意，故选D.

考点：幕函数、指数函数的单调性.

变式1.函数”力=色-3犬+2|的单调递增区间是()

3

A.叵+刃B.1,j和［2,+oo)

「3D.1应5)和［2,+e)

C.和-,2

【答案】B

X?-3尤+2,xVl

【解析】y=y—3x+2］=<―尤?+3了_2,1<尤<2

x?—3尤+2,x22

和［2,+力).

故选：B.

变式2.(江苏省泰州市海陵区2024学年高三上学期期中数学试题)已知函数

9Y

f(X)—--------,XE(0,+00).

X+1

⑴判断函数/(x)的单调性，并利用定义证明;

(2)若/(2加一1)>/。—根)，求实数加的取值范围.

【解析】(1)F(x)在(0,+8)上递减,理由如下:

任取再,％2£(°，+8)，且再<尤2,则

〃尤2)-〃再)=一弋+杏

x2+lxl+l

_2X](x2+1)-2%(尤i+1)

(尤2+1)(尤1+1)

2(X|一尤之)

(x2+1)(%+1)

因为芯,尤2e(°，+°°)，且西＜%，

所以X1-%<0,(%+1)(再+1)>0,

所以/(3)-/(再)＜。，即/(%)＜/(占),

所以f(x)在(0,+co)上递减；

(2)由(1)可知/(x)在(0,+℃)上递减,

所以由/(2加—一机)，得

2m-1>0

12

<l-m>0,解得—<m<一,

23

2m-1<1-m

所以实数用的取值范围为

变式3.(2024.全国•高三专题练习)设。＞0,awl,证明：函数夕(x)=上二是尤的增函

X

数(x>0).

【解析】证明：当务＞占＞0,在伯努利不等式定理3中取1+左=。力，r=—,0＜r＜l,

Xj

则有(1+x)'Wl+rc,即<1+11_(优2_1),

即姒

所以当了＞。时，e(x)是x的增函数.

变式4.(2024.上海静安.高三校考期中)已知函数/(》)=二一二(°＞0),

且"0)=0.

a2

(1)求4的值，并指出函数/(劝的奇偶性；

(2)在(1)的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数/(x)在(-叫+s)上是增函数.

【解析】(I)因为/(0)=,一。=0,又。>0,所以。=1,

a

所以/(X)=2',

2

此时/(-x)=1-2工=--(x),所以f(x)为奇函数；

2

(2)任取玉<工2，则/(%)_/(/)=2为_9_2巧

2司一11

二(一电)+―；——=(2X'X电一司),

2/22再+电-2^)/(1+2^为+—“2)=2'(1+2--百-+-吃--)’(1—2

因为X]<%,所以2也f>1,所以1-2*5<0,2'，(1+亍，)>0

所以/(占)一，(％)<。即F(占)<F(%)，

所以函数f(x)在(-8,+8)上是增函数.

【解题总结】

函数单调性的判断方法

①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值一变形一判断符号一下结论”进行

判断.

②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.

③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接

写出它们的单调区间.

题型二：复合函数单调性的判断

例4.函数y=J#+3x的单调递减区间为()

3

——,+oo

2

C.[0,+<z>)D.(-8,-3]

【答案】D

【解析】由题意，^X2+3X>0,解得XV-3或X20,

所以函数y=J7+3x的定义域为(一8,_引.[0,+co),

3

令/=f+3x，贝!|/=%2+3%开口向上，对称轴为工二一大，

所以"f+3]在(―，-3]上单调递减，在。+8)上单调递增,

而y=〃在。+8)上单调递增，

所以函数y=H豆的单调递减区间为(-00,-3].

故选：D.

例5.(陕西省宝鸡市金台区2024学年高三下学期期末数学试题)函数y=log2(2x-/)的

单调递减区间为()

A.(1,2)B.(1,2]

C.(0,1)D.[0,1)

【答案】A

【解析】由2x-d>o,得0<x<2,

令r=2无一尤2,则y=log2f,

”2…2在(0,1)上递增,在(1,2)上递减,

因为y=bg2t在定义域内为增函数，

所以，=log2(2x-Y)的单调递减区间为(1,2),

故选：A

例6.(陕西省榆林市2024学年高三下学期阶段性测试)函数y=lg(2cos尤-6)的单调递

增区间为()

B.（2%乃+GZ）

A.(2k7i+兀,2kjr+2^-)(Z:GZ)

C.(2攵万一?，2%)](keZ)D.12%%,2%）+煮）（左GZ）

【答案】C

【解析】根据题意，2cosx->/3>0,解得，2析一2cx<2k万+=,左GZ

又函数y=/g%在定义域内为单调增函数，

且函数y=2cosx-g在(2版■-看,2%万：左eZ内为单调增函数

根据复合函数的单调性可知：

y=/g(2cosx-道)的单调增区间为(2丘一eZ

选项C正确，选项ABD错误.

故选：C.

【解题总结】

讨论复合函数y=/[g(x)]的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数

的单调性.一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复

合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：

1、若M=g(x),y=/(")在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，贝1Jy=/Ig(x)］

为增函数；

2、若"=g(x),y=/(〃)在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则

y=/［g(尤)］为减函数・列表如下：

U=g(x)>=/(«)y=/Tg(x)]

增增增

增减减

减增减

减减增

复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递

减.

题型三：利用函数单调性求函数最值

例7.(河南省2024届高三下学期仿真模拟考试数学试题)已知函数/(x)为定义在R上的

单调函数，且/(〃x)-2*-2x)=10,则/⑺在［-2,2］上的值域为.

"7-

【答案】--40

【解析】因为/(x)为定义在R上的单调函数，

所以存在唯一的teR,使得〃。=1。，

贝iJ/(x)—2，-2x=r,=即/(r)=2'+3r=10,

因为函数y=2'+3r为增函数，且22+3x2=10,所以/=2,

f(x)=2x+2x+2.

易知/(元)在［—2,2］上为增函数，且2)=-：，"2)=10,

「7-

则/(X)在［-2,2］上的值域为--.10.

"7"

故答案为：-了1。■

x

例8.(上海市静安区2024届高三二模数学试题)已知函数/(彳)=黄n石(。＞0)为偶函数,

则函数“X）的值域为.

【答案】（0；

【解析】函数〃尤）=〃一（。>0）是偶函数,

2+1

"（T）=f（x）n黄口

，〃尤）=第，易得〃力>0,

设f=(ey«>o),

贝产不T二1%,

IH—

t

当且仅当f=l即f=l时，等号成立，

t

所以0<f4，

2

所以函数/（x）的值域为［。，；.

故答案为：.

例9.（河南省部分学校大联考2024学年高三下学期3月质量检测）已知函数

〃x）=a'+3x+l（a>0且awl）,若曲线y=/（x）在点（0,〃。））处的切线与直线

x+2y-1=0垂直，则“X）在上的最大值为.

【答案】7+4

e

【解析】由题意得/'（x）=dlna+3,所以/'（O）=lna+3,

因为切线与直线x+2y—1=0垂直，而x+2y—1=0的斜率为-5,

所以切线斜率为2,即ln4+3=2,解得a=e-,

所以/(x)=eT+3x+l,且以(力=一^”+3,

显然/(x)是增函数，

当xe[-l,2]时，/'(x)N/'(—1)=3—e>0,

所以/(x)在［-1,2］上单调递增,故/(尤)1mx="2)=7+3.

e

故答案为：7+—

e

变式5.(新疆乌鲁木齐市第八中学2024届高三上学期第一次月考)若函数/(力=生千

x十1

在区间［0』上的最大值为3,则实数加=.

【答案】3

【解析】；函数/("=生?=2+二，

由复合函数的单调性知，

当机〉2时，〃司=2上/在［0』上单调递减，最大值为〃0)=7”=3；

X+1

当机<2时，/("=§詈在［0』上单调递增，最大值为/(1)=言=3,

即〃7=4,显然〃2=4不合题意，

故实数加=3.

故答案为：3

【解题总结】

利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值.常用到下面的结

论：

1、如果函数y=/(x)在区间①，切上是增函数，在区间屹，c)上是减函数，则函数

y=f(尤)(xea,c)在x=8处有最大值/(6).

2、如果函数y=/(x)在区间(a,句上是减函数，在区间g,c)上是增函数，则函数

y=/(x)(xea,c)在x=b处有最小值f(b).

3、若函数y=/(x)在［a,句上是严格单调函数，则函数y=在团，切上一定有最

大、最小值.

4、若函数y=/(x)在区间［a,6］上是单调递增函数，则y=/(x)的最大值是/'(6),最

小值是f(a).

5、若函数y=/(尤)在区间［a,句上是单调递减函数，则y=f(x)的最大值是y(a),最

小值是f(b).

题型四：利用函数单调性求参数的范围

(3a—l)x+4a(x<1)

例10.已知函数〃尤)=a,lA，满足对任意的实数为，巧且工产赴，都有

[/（%）—/（尤?）]（芯—W）<0,则实数。的取值范围为（）

A.卜”B.[0,[CIT]

【答案】C

【解析】对任意的实数占力尤2,都有[/a）-/u）]a-%）<o,即"*一"马）<o成立,

xi—x2

可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0,说明函数是减函数；

’3"1<0

可得：<4>0,

3a-l+4a>a

解得“W,

1_63）

故选：C

例11.（吉林省松原市2024学年高三上学期第一次月考）若函数"无）=log”（尤3一收）

">0且存1）在区间（-；可内单调递增，则〃的取值范围是（）

A.卜）B・加C.]：,+.D.

【答案】B

【解析】函数/。）=皿/-办）（a>0,a"）在区间（-1,0）内有意义，

贝!]（——）^+—4?..0,a..>

2

设/=工3-依,贝IjJ=logflt,t'^3x-a

（1）当a>1时，y=logflt是增函数，

要使函数/（x）=log“（d-ax）（a>0,aw1）在区间（-g,0）内单调递增,

需使t^^-ax在区间（-g,0）内内单调递增，

则需使对任意xe（-：0）恒成立，即”43/对任意了€（-；,0）恒成立；

131

因为彳€（—-,0）时，0<3公〈—所以°<0与。>—矛盾，此时不成立.

244

（2）当0<。<1时，y=log/是减函数,

要使函数〃X）=/og。（三一◎卜。>0,a21）在区间（_；,0）内单调递增，

需使f=x3-ax在区间,0）内内单调递减，

则需使，=3f-a40对任意xe（-：,0）恒成立，

即a23/对任意xe（-;,0）恒成立，

13

因为工£（——,0）时,0<3%2<—,

24

3

所以〃…―，

4

3

又avl,所以二,,

4

3

综上，〃的取值范围是

4

故选：B

例12.（四川省广安市2024学年高三上学期期末数学试题）已知函数

-x2-ax-9,x<l

/（%）=a在R上单调递增，则实数〃的取值范围为（）

—,%>1

、%

A.[-5,0）B.（-8,-2）

C.[-5,-2]D.（f0）

【答案】C

【解析】由题意，xeR,

—%2—QX—9,X«1

在〃%)=,〃'中，函数单调递增,

一,X〉1

X

——

2x(-1)-

a<0,解得:-5<a<-2,

-l-a-9<—

1

故选：C.

变式6.（江西省临川第一中学2024届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知函数

=log.（V-办+3）在[0』上是减函数，则实数。的取值范围是（）

A.(0,1)B.(1,4)

C.(0,1)31,4)D.［2,4)

【答案】D

【解析】函数〃x)=log”(x2-奴+3)在［0,1］上是减函数，

22

当0<。<1时，x2-ax+3=(x-—)2+3-->3-—>0，

244

而函数"=V一办+3在区间［0,1］上不单调，因此0<”1,不符合题意，

当。>1时，函数y=log“"在(0,+s)上单调递增，于是得函数"=炉-6+3在区间［0』上

单调递减，

因此建1,并且产一人1+3>0,解得24”4,

2

所以实数。的取值范围是［2,4).

故选：D

变式7.(天津市复兴中学2024学年高三上学期期末数学试题)已知函数

〃力=》2+2日—5在［-2,4］上具有单调性，则实数上的取值范围为().

A.B.k>2

C.kWY或k22D.k<Y或k>2

【答案】C

【解析】函数/(x)=犬+2质-5的对称轴为x=—k,

因为函数〃力=犬+2区-5在［-2,4］上具有单调性，

所以一女24或一左4一2,即左WT或左22.

故选：C

【解题总结】

若已知函数的单调性，求参数。的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参

数〃的不等式，利用下面的结论求解.

1、若。>/(x)在［加，川上恒成立oa>/(x)在［加，川上的最大值.

2、若a</(尤)在［山，川上恒成立。。</(尤)在［加，上的最小值.

题型五：基本初等函数的单调性

例13.(2024•天津河西•天津市新华中学校考模拟预测)已知函数y=/(x+2)是R上的偶

函数，对任意4，x,e[2,+w）,且x户/都有"再）一"吃）

>0成立.若。=川吗18）,

jq-x2

(InlOA

b=/In，c=fe2，则。，b,c的大小关系是（)

\7

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【解析】因为函数y=〃x+2）是R上的偶函数,

所以函数y=的对称轴为x=2,

又因为对任意4，无，目2,心），且现WX,都有了（♦）_/（%）>0成立.

Xj-x2

所以函数y=/（x）在（2,+◎上单调递增,

e2LL

2

而3=log327>log318>log39=2,In-j==Ine-In<2=2-In<2<2,

InlO_

e'=eln^=VlO>3>

/e2

所以e2>log318>2>ln-^=,

所以c>。，

因为函数y=/（x）的对称轴为x=2,

所以〜-74-In—(==/^2+1DA/2j,

而a=/(log318)=/(log39x2)=/(2+log32),

因为In应<log32,

2

所以2<4-ln歹e<318<3

所以Z?<a,

所以

故选：A.

例14.(多选题)(甘肃省庆阳市宁县第一中学2024学年高三上学期期中数学试题)已知

函数“X)在区间［-5,5］上是偶函数，在区间［0,5］上是单调函数，且/⑶<〃1),则

()

A./(-1)</(-3)B./(0)>/(-1)

C./(-D</(1)D./(-3)>/(5)

【答案】BD

【解析】函数“X)在区间［0,5］上是单调函数，又3>1,>/(3)</(1),

故此函数在区间［0,5］上是减函数.

由已知条件及偶函数性质，知函数)(可在区间［-5,0］上是增函数.

对于A,-3<-1,故/(-3)</(-1),故A错误；

对于B,0>-1,故/(。)>〃一1),故B正确；

对于C,f(-l)=f(l),故C错误；

对于D,/(-3)=/(3)>/(5),故D正确.

故选:BD.

例15.(2024届北京市朝阳区高三第一次模拟考试数学试题)下列函数中，既是偶函数又

在区间(0,+8)上单调递增的是()

32

A.y=xB._y=-x+1C.y=log2xD.y=2同

【答案】D

【解析】根据函数的奇偶性和单调性，对四个函数逐一判断可得答案.函数y=V是奇函

数，不符合；

函数y=-Y+l是偶函数，但是在(0,+S)上单调递减，不符合；

函数y=log?x不是偶函数，不符合；

函数y=2111既是偶函数又在区间(0,+8)上单调递增，符合.

故选：D

【解题总结】

1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解

决.

2、求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③

求复合函数单调区间（同增异减）.

3、利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定

义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数

定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.

题型六：函数的奇偶性的判断与证明

例16.利用图象判断下列函数的奇偶性：

—%2+2x+1,x>0

⑴/(x)=

x2+2x~l,x<0

x2+x,x<0,

⑵/(%)=<

x2-x,x>0

⑶尸

(4)y=|log2(x+l)|；

(5)y=x2-2|x|—1.

【解析】（1）函数/⑴的定义域为（y,o）（。,+8）,

—尤2+2x+1,x>0

对于函数/（》）=

x2+2x-l,x<0

当x>0,/（x）=-/+2x+l,为二次函数，是一条抛物线，开口向下，对称轴为x=l,

当x<0,/（x）=/+2无-1,为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为％=-1,

—尤2+2x+1,尤>0

画出函数/（x）=c八的图象，如图所示，

x~2+2x-l,x<0

函数图象关于原点对称，所以函数/（X）为奇函数;

（2）函数/（幻的定义域为（-8,。>（。,+8）,

2

,一“、x+xx<0

对于函数/（%）={2八，

x-x,x>0

当尤<0J（尤）=/+%,为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为X=-；,

当x>0,/（尤）=f-x,为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为尤=1,

画出函数/（x）=12'八的图象，如图所示，

x-x,x>0

函数图象关于y轴对称，故/（x）为偶函数;

（3）先作出y=（g）'的图象，保留》=（；）'图象中后0的部分,

再作出y=（；厂的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，

即得y=（；/的图象，如图实线部分.

由图知y=（1）kl的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.

（4）将函数y=log2X的图象向左平移一个单位长度，再将X轴下方的部分沿无轴翻折上

去，

即可得到函数y=|iog2（x+i）|的图象，如图，

由图知y=Mg?（x+l）|的图象既不关于y轴对称，也不关于x轴对称,

（5）函数y=f（x）=%2-2国-1=［。

11，+2尤-l,x<0

当X20J（X）=Y-2X-1,为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为x=l,

当了<0"。）=炉+2苫-1,为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为x=-1,

龙2—2%—1x>0

2'~的图象，如图，

（%+2%-1,x<0

由图知>=/-2凶-1的图象关于〉轴对称，所以该函数为偶函数.

例17.（2024•北京•高三专题练习）下列函数中，既是偶函数又在区间（0,+"）上单调递增的

是（）

A.y=cosxB.y=e忖C.y=lg尤D.y=-

X

【答案】B

【解析】对于A,函数y=cosx的定义域为R,且满足cos（-x）=cosx,所以其为偶函数，

在(0,兀)上单调递减，在(兀,2兀)上单调递减，故A不符合题意;

ex,x>0

对于B,设y=/(x)=/，函数〃尤)=/=<八的定义域为

(一),x<0

e

且满足〃r)=/(x),所以函数〃x)=e国为偶函数，

当xe(0,+⑼时，“尤)=e*为单调递增函数，故B符合题意；

对于C,函数y=lgx的定义域为(0,+co),不关于原点对称，

所以函数>=lg尤为非奇非偶函数，故C不符合题意；

对于D,设y=/(x)=L,函数=■的定义域为(-8,0)(0,+co),关于原点对称，

XX

且满足“一句=-"£),所以函数/。)=工为奇函数，

又函数/(X)在(0,+8)上单调递减，故D不符合题意.

故选：B.

例18.(多选题)(黑龙江省哈尔滨市第五中学校2024学年高三下学期开学检测数学试

题)设函数〃x),g(x)的定义域都为R,且“X)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论

正确的是()

A./(x)-g(x)是偶函数B.|/(x)|.g(x)是奇函数

C.是奇函数D.是偶函数

【答案】CD

【解析】因为函数〃x),g(x)的定义域都为R，

所以各选项中函数的定义域也为R,关于原点对称，

因为了⑺是奇函数，g(x)是偶函数,

所以/(r)=-/(x),g(f)=g(x)，

对于A,因为/(-x).g(-x)=_/(x)g(x),

所以函数］(x>g(x)是奇函数,故A错误;

对于B,因为|/(-x»g(-x)=M(x»g(x)=，(x»g(x),

所以函数火到屈力是偶函数,故B错误；

对于C,因为=

所以函数“X>|g（x）|是奇函数,故C正确；

对于D,因为|〃-*"（-刈=卜〃》"（耳=,（%"（刈，

所以函数［〃x）-g㈤是偶函数，故D正确.

故选：CD.

变式8.（北京市海淀区2024届高三二模数学试题）下列函数中，既是奇函数又在区间

（0,1）上单调递增的是（）

2

A.y=lgxB.y=-C.y=2|x|D.y=tanx

x

【答案】D

【解析】对于A,>=坨尤的定义域为（0,+8）,定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函

数，故A错误，

2

对于B,/（%）=—的定义域为（-e,0）U（0,—）,定义域关于原点对称，又

X

/（-x）=-x-1=^（x）,所以为奇函数，但在（0,1）单调递减，故B错误，

对于C,/（X）=2闵的定义域为R,关于原点对称,又〃一司=2出2叼⑺,故"X）为偶

函数，故C错误，

对于D,/（x）=tanx,由正切函数的性质可知〃x）=tanx为奇函数，且在（0,1）单调递增，

故D正确，

故选：D

【解题总结】

函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的

对称性.

题型七：已知函数的奇偶性求参数

例19.（四川省成都市蓉城联盟2024学年高三下学期第二次联考）已知函数

f（0=伫+4b卜in2尤是偶函数，贝！|°=.

【答案】-1

【解析】f（%）=彼+）sin2x定义域为R,

由f(-x)=/(x)得：(e-x+ae')sin(-2x)=(e*+ae^x卜in2x,

因为sin(—2x)=—sin2x,所以-(6-*+4&')=6'+小-*,故q=-l.

故答案为：-1

例20.(江西省部分学校2024届高三下学期一轮复习验收考试)若函数

/(x)=log2(⑹+1)-办是偶函数，则log。2=.

【答案】1

【解析】为偶函数，定义域为R,

・••对任意的实数x都有/(x)=f(-x),

即log?(16"+l^-ar=log2(16-*+1)+奴，

%v

2ax-log2(16'+1^-log,^16-+l^=log216=4x,

由题意得上式对任意的实数了恒成立，

.♦.20=4,解得。=2,所以bg02=l

故答案为：1

例21.(湖南省部分学校2024届高三下学期5月联数学试题)已知函数

+ax+2,若/(x+1)是偶函数，贝ija=.

【答案】-4

【解析】因为/(x+1)是偶函数，

所以/(—x+l)=/(x+l),

2(—x+1)~+a(—尤+1)+2=2(尤+1)~+a(尤+1)+2,

即8x=—2ax,

解得a=T.

故答案为：—4.

变式9.若函数/(x)=2e2£+ae2+1为偶函数，则“=.

【答案】2

【解析】•••函数/(x)=2e2x+ae3+l为偶函数

/(x)=2e2'+ae~2x+1=/(-%)=le2x+ae2x+1

即(2-aQ=(2-a)e-2.

又e2x>0,e-2x>0,e2v丰(x^O)/.2-a=Q

故答案为：a=0

【解题总结】

利用函数的奇偶性的定义转化为了(-*)=±/(X),建立方程，使问题得到解决，但是

在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.

题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值

例22.(2024年高三数学押题卷五)已知函数〃x)是奇函数，函数g(x)是偶函数.若

/(x)-g(x)=xsinx,则j

2023兀2023兀「八

A.-----B.C.0D.—1

22

【答案】c

【解析】由函数/(X)是奇函数，函数g(x)是偶函数，/(x)-g(x)=xsinx,

故/(-x)—g(-X)=-xsin(-x),即一/(x)-g(x)=xsin(x),

将该式和/(x)-g(x)=xsinx相减可得/(x)=0,

2023兀

则/