2025高考数学专项复习：阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题（含答案）

2025高考数学专项复习阿波罗尼

斯圆和蒙日圆的问题含答案

阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题

一、知识点梳理

一、阿波罗尼斯圆

1.阿波罗尼斯圆的定义

在平面上给定两点AB,设P点在同一平面上且满足撰=人当4>0且入时，P点的轨迹是个圆,称

riD

之为阿波罗尼斯圆.(4=1时P点的轨迹是线段AB的中垂线)

2.阿波罗尼斯圆的证明

设P(2,y),4(—a,0),B(a,0).若爆=间>0且丑1),则点P的轨迹方程是(2一要+靖=

(等L其轨迹是以(燮la,o)为圆心，半径为「=鬻匹的圆.

v/l—17v/I-17/I2—1

证明：由Q4=zlPB及两点间距离公式，可得(c+a)?+必=#[(2—a?+媛],

化简可得(1—"+(1—矛"+2(1+#)a,+(1—#)〃=0①,

(1)当;I=1时，得。=0,此时动点的轨迹是线段AB的垂直平分线;

(2)当N片1时,方程①两边都除以1—万得d+炉+2a(W+a?=0,化为标准形式即为:

1—矛

2Q/1的圆.

V—7^1

图③

【定理】A,B为两已知点，跖N分别为线段AB的定比为划片1)的内外分点，则以的V为直径的圆。上任

意点P到AB两点的距离之比为九

证明：以；1>1为例.如图②，设AB=2a,慧=第=九则力河=3筌,BN=2a—

AN=^-,BN=孕*-2a=普~.过B作AB的垂线圆C交于Q,R两点，由相交弦定理及勾股定理

得QB，=MB•BN=粤乙”=AB?+QB2=,于是QB^,QA=,：.察=工

矛—1/l2-lV/l2-lV/l2-lQB

同时在到两点距离之比等于4的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，

圆。上任意一点P到AB两点的距离之比恒为人同理可证0<4V1的情形.

3.阿波罗尼斯19的相关结论

【结论1】当4>1时，点口在圆。内，点A在圆C外;当0V4VI时，点A在圆。内，点B在圆。外.

【结论2】因=AN,故AQ是圆。的一条切线.若已知圆。及圆。外一点A,可以作出与之对应

的点B,反之亦然.

【结论3】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为面积为妻吟.

1|（不—Ip

【结论4】过点A作圆。的切线AQ（Q为切点）,则QM,QN分别为AAQB的内、外角平分线.

【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分AB和外分AB所得的两个分点，如图所示，河是的内

分点，N是AB的外分点，此时必有■平分ZAPB,PN平分NAPB的外角.

证明：如图①,由已知可得篇=黯=第=小>°且"1）'.•.普=制=九又

PMsinZAPM,S,PBM=^PB-PMsinABPM,；.靠徐黑懿=九

sin/ARW=sin/BPM,；.4ApM=ABPM,：.PAI平分AAPB.由等角的余角相等可得4BPN=

ADPN,：.PN平分NAPB的外角.

【结诒6】过点B作圆。不与QR重合的弦EF,则平分ZEAF.

证明:如图③，连结,由已知窗=韶=4,.・.镖=鲁・：言迺=第（4>0且壮1）,又

-TJDh/JDJrJDJrAbbABFJrJD

u_147->A7TI•/D4zyc*_14DA7j>,/D4E1.AB，AEJsinNBAE_EB_AE.

SAABE=2,AEsm/BAB,S^ABF=了•AFsm^BAF,..AB.AFsinABAF=布=菽

sin/BAE=sin/BAF,；.NBAE=ABAF,：.AB平分NEAF.

：.sinZBAE=sinABAF,：.2BAE=ABAF,：.AB平分NEAF.

二、蒙日Bl

i.蒙日圆的定义

在椭圆上,任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心,半径等于椭圆长半轴

短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1.•M

证明:设椭圆的方程为芸+4=l(a>fe>0)，则椭圆两条互相垂直的切线PA,PB交点、P的轨迹是蒙日

Wbz

圆：x2+y2=a2+b2.①当题设中的两条互相垂直的切线_R4,PB斜率均存在且不为。时，可设P(g,g())(g

®一%=卜(力一M，

W±Q且队。土b),过P的椭圆的切线方程为g—队=小(劣一g)(kWO),由《壁尤_得

F=1,

222222222

(afc+b)a;—2ka(kxo-yo)x+a(kx0—y^)—ab=0,

22

由其判别式值为0,得(破—a)k—2x0y0k+需一〃=0(碇—Q2。0),

・・・品如瓦^是这个关于k的一元二次方程的两个根，

.,,_yl~b2

••kpA■kpB——'

Xo-az

由已知_R4_LPB,二％四•kpB=—1,二空一~T=-1,破+端=口2+&2,.•.点P的坐标满足方程y2+==谟

Xg—a^

+b2.

②当题设中的两条互相垂直的切线R4,P3有斜率不存在或斜率为0时,可得点P的坐标为(土a,b)或

3±6),此时点」也在圆那+婿=(12+方上.

综上所述:椭圆[+鸟=l(a>6>0)两条互相垂直的切线B4,PB交点P的轨迹是蒙日圆+量=&2

a2b-

+b2.

2.蒙日HI的几何性质

【结论1】过圆炉+峭=a?+〃上的动点p作椭圆空+£=1伽>6>0)的两条切线口,PB,则B4，

a'bz

PB.

(x2.y1—-\

证明：设P点坐标Qo，yo)，由《必〃，得(a2k2-bb2)x2—2ka2(kxQ—yo)x+a2(kxQ—y()f—a262=

[y-yo=k(x-xo)

0,由其判别式的值为0,得(就一稼)心2-2g队卜+需—〃=0(或一02#0),

•：kPA,描B是这个关于k的一元二次方程的两个根，

・•・kpA'kpB=y；b，就+说=。2+4,kpA'kpB=y；b=-l,PA±PB.

Xo-azXo-az

【结论2】设P为蒙日圆O：c2+y2=a2+〃上任一点，过点p作椭圆卓+4=1的两条切线，交椭圆于点

a2bz

AB,O为原点,则OP,AB的斜率乘积为定值kOp-kAB=—与.

a'

【结论3】设P为蒙日圆。："+靖=&2+〃上任一点，过点p作椭圆（+鸟=1的两条切线，切点分别为

Wbz

AB,O为原点,则OAP4的斜率乘积为定值kOA•蟠=—4，且OB,PB的斜率乘积为定值kOB-L=

a

—与（垂径定理的推广）.

【结论4】过圆婷+靖=a2+〃上的动点p作椭圆W+£=i（a>b>0）的两条切线，。为原点，则PO平

a2bz

分椭圆的切点弦

证明：P点坐标（羯%）,直线OP斜率k°p=%,由切点弦公式得到AB方程等+警=1,=

22

x0ab

—睁，kOP-=-4，由点差法可知，OP平分4B，如图“是中点.

Q句0出

【结论5】设P为蒙日圆O：〃+g2=稼+〃上任一点，过点p作椭圆%+%=l（a>5>0）的两条切线，交

azbz

蒙日圆O于两点。。,则。P,CD的斜率乘积为定值kOP-kCD=-^~.

a

【结论6】设P为蒙日圆，2+靖=&2+〃上任一点，过点p作椭圆《+m=1（&>6>0）的两条切线，切点

出bz

分别为ABO为原点,则OAQB的斜率乘积为定值：kOP-%CD=—4.

a4

【结论7】设P为蒙日圆/+靖=/+〃上任一点，过点p作椭圆/+£_=i（a>b>0）的两条切线，切点

Wb

分别为ABO为原点,则SQAOB的最大值为半，SXAOB的最小值为-

【结论8】设P为蒙日圆/+靖=口2+〃上任一点,过点p作椭圆与+£=i（a>fc>0）的两条切线，切点

分别为AB,则S4ApB的最大值为*7，S“PB的最小值为-

a'+ba'+b

二、题型精讲精练

题1设A,B是平面上两点,则满足端=M其中％为常数，%片0且%W1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨

迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知4（碗,0）,B（粤,0）,且看

=V2.

（1）求点P所在圆/■的方程.

（2）已知圆。:0+2）2+（夕―2）2=5与c轴交于C,D两点（点。在点D的左边），斜率不为0的直线I过点

D且与圆“交于两点,证明：/ECD=/FCD.

网］2己知椭圆+冬=l（O>6>0）的一个焦点为（病,0）,离心率为乎.

azbzJ

（1）求椭圆。的标准方程；

（〃）若动点P（曲，如）为椭圆外一点，且点P到椭圆。的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

•••

【题型训练-刷模拟】

1.阿波罗尼斯圆

一、单

1.我们都知道:平面内到两定点距离之比等于定值(不为1)的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗

尼斯圆.已知平面内有两点人(一1,0)和B(2,l),且该平面内的点P满足E4|=2|PB|,若点P的轨迹关

于直线mx+ng—2=0(m,n>0)对称，则—+—的最小值是()

mn

A.10B.20C.30D.40

2.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆

尽,几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且kW

1)的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆+岑=1(。>b>0),AB为椭圆T长轴

的端点，为椭圆T短轴的端点，分别为椭圆T的左右焦点，动点河满足野斗=2,AMAB面积

\MF\

的最大值为4碗,△MGD面积的最小值为方,则椭圆T的离心率为()

A乎B.乎C.空D.乎

3.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之

一，指的是：已知动点”与两定点的距离之比蓝^=4(4>0,4/1),那么点”的轨迹就是阿波罗尼

斯圆.已知动点河的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为"+婿=1,定点Q为2轴上一点，p(—0)且4=

2,若点则2|W|+|MB|的最小值为()

A.V6B.V7C.VioD.Vii

4,阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现:如

果一个动点P到两个定点的距离之比为常数4仅>0且4A1),那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗

尼斯圆.若点P到4(2,0),6(—2,0)的距离比为V3，则点P到直线Z：2V2rc-y-V2=0的距离的最大值

是()

A.3V2+2V3B.2+2V3C.473D.673

5.数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数4(4>0且4/1)的点的轨迹是

圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，力(-2,0),动点“满足

\MA\=21Moi，得到动点河的轨迹是阿氏圆C.若对任意实数％，直线l-.y=k(x-l)+b与圆。恒有公共

点，则b的取值范围是()

A.卜乎乎]B.[-＜,＜]

6,阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发

现:平面内到两个定点AB的距离之比为定值4仅＞0,且4片1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯

圆”.在平面直角坐标系工。沙中，4(—2,0),8(4,0),点P满足篙=；.设点P的轨迹为曲线。，则下列

说法错误的是()

A.。的方程为(c+4)2+靖=16B.当4BP三点不共线时，则/4?。=48尸。

C.在。上存在点朋■，使得|MO|=2|AM|D.若。(2,2),则|PB|+2|PD|的最小值为4，^

7.已知平面上两定点A,则所有满足段=4仅＞0且4/1)的点P的轨迹是一个圆心在直线上，半

径为-A7的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P在棱

1一心

长为6的正方体ABCD—4BQQ1的一个侧面ABB.A,上运动，且满足|B4|=2\PB\，则点P的轨迹长度

为()

A.等B.萼C.V37TD.泮^

OO/

8.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得阿基米德齐名，他发现:平面内到两个定点的距离之比为

定值4(4＞。且;1W1)的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏

圆.已知在平面直角坐标系xOy中，4(—1,0),8(2,0),点P满足喻=],设点p的轨迹为曲线。，下列

结论正确的是()

A.曲线。的方程为(2+2)2+量=4

B.曲线。与圆。:砂+(?/一2)2=4外切

C.曲线。被直线Z：c+?/=0截得的弦长为

D.曲线。上恰有三个点到直线m：x+V3y=0的距离为1

9.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现:“平面内到两个定点A,B的距离之比

为定值4(421)的点的轨迹是圆.”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.

在平面直角坐标系2。沙中，A(l,0),B⑶0),点P满足M=0点P的轨迹为曲线。，下列结论正确的

是()

A.曲线。的方程为d+靖―102+]_7=0B.直线32+4沙=0与曲线。有公共点

C.曲线。被c轴截得的弦长为D.44BP面积的最大值为

10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆,

此圆被称为‘'阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系多。沙中，4(—2,0),口(4,0),点P满足%=；.设点

P的轨迹为。，则().

A.轨迹C的方程为(力+4丫+靖=9

B.在①轴上存在异于的两点。，E,使得儡

C.当三点不共线时，射线PO是/APB的角平分线

D.在。上存在点“，使得|MO|=2|AM|

U.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,阿波罗尼斯发

现:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值4仅>0,且4W1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼

斯圆”.在平面直角坐标系以为中，4(—2,0),B(4,0),点P满足磊=].设点P的轨迹为曲线。，则下

列说法正确的是()

A.。的方程为(%+4)2+靖=16B.当三点不共线时，则/APO=/BP。

C.在。上存在点河，使得|MO|=2|M4|D.若。(2,2),则|PB|+2|PD|的最小值为4A后

三、填空题

12.阿波罗尼斯(约前262-前190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数磔k>0水/1)的

点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点0(0,0),4(3,0),动点P满足胃=

看,则点P的轨迹方程是.

13.阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿

波罗尼斯圆.若平面内两定点间的距离为3,动点P满足裔=2,则方•屈的范围为.

14.阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人

没有插足的余地.他证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数用(k>0且用手1•)的点M的轨迹是

圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有△48。,BC=6,sinB=ysinC,,当4ABC的面积最大时,则AC的长

为.

15.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点的距离之比为

定值〃4片1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已

知在平面直角坐标系以加中，4(—3,1),B(—3,6),点P是满足4=乎的阿氏圆上的任一点，若抛物线沙=

O

的焦点为F,过点F的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为

16.已知平面上两定点A、B,则所有满足鲁=4(4>0且4片1)的点P的轨迹是一个圆心在直线上，半

径为工7的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为3

1—

的正方体ABCD-AiBQQi表面上动点P满足|_B4|=2\PB\，则点P的轨迹长度为.

四、解答题

17.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得阿基米德齐名，他发现:“平面内到两个定点A,B的距离之比为

定值4仅>0且4片1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿

氏圆.在平面直角坐标系xOy中，4—2,0),B(4,0),动点P满足舄~=卷.设点P的轨迹为G.

(1)求曲线G的方程；

(2)若曲线G和O。2：(2-4)2+(夕—6)2=r2(r>0)无公共点,求r的取值范围.

18.平面上两点A、口,则所有满足器=%且k不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数

学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知圆G上的动点P满足：=2（其中。为坐标原点，A点的坐标

为©3）.

⑴直线力：沙=2上任取一点Q,作圆G的切线，切点分别为M,N,求四边形QMGN面积的最小值；

（2）在（1）的条件下，证明:直线恒过一定点并写出该定点坐标.

•••

19.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯

_\MQ\

圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M■与两定点Q,P的距禺之比q——p=auxjHwi),/)是一个

\MP\

常数，那么动点河的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其

方程为"+靖=4,定点分别为椭圆C：(+4=i(a>b>0)的右焦点F与右顶点且椭圆。的离心率

azbz

(1)求椭圆。的标准方程；

⑵如图，过右焦点F斜率为fc(fc>0)的直线I与椭圆。相交于B,。(点B在立轴上方)，点S,T是椭圆C

上异于D的两点，SF平分/BSD,TF平分ABTD.

BS

①求^|一的|取值范围；

回I

②将点S、F、T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若&SFT外接圆的面积为等，求直线，的方程.

O

•••

2.蒙日圆

一、单

1.加斯帕尔・蒙日（图1）是18-19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相

垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）.则椭圆。卷

5

+号=1的蒙日圆的半径为（）

D.6

2.画法几何创始人蒙日发现:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平

方等于长半轴短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆专+2=1的蒙日圆为，2+靖=

6b2

10,则该椭圆的离心率为（）

A.乌B.；C.4D.等

3.法国数学家加斯帕・蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的

切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆,这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆：4+£=l（a

>b>o）的蒙日圆为。："+靖=92,则椭圆「的离心率为（）

O

A察B.乎C.暇D.乎

2233

4.定义:圆锥曲线+4=1的两条相互垂直的切线的交点Q的轨迹是以坐标原点为圆心，历取为

azb

半径的圆,这个圆称为蒙日圆.已知椭圆。的方程为彳=LP是直线Z:，+2g—3=0上的一点，过

点P作椭圆。的两条切线与椭圆相切于N两点，。是坐标原点，连接OP,当尸N为直角时，则kOP

=（）

A.—■或言B.■或0C.—|■或^■D.—^或。

435553

5.画法几何的创始人--法国数学家加斯帕尔・蒙日发现:过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么

这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆。的蒙日

圆为圆G，若圆G不透明，则一束光线从点4（—4,3）出发，经，轴反射到圆G上的最大路程是（）

6.已知椭圆。:之+《=l（a>6>0）的左、右焦点分别为小理,离心率为咯,其蒙日圆方程为"+靖=

ab25

a2+b2,M为蒙日圆上的一个动点，过点刊作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P,Q两点，若AMPQ

面积的最大值为36,则椭圆。的长轴长为（）

A.2V5B.4V5C.2V3D.4V3

7.加斯帕尔一蒙日是1819世纪法国著名的几何学家.如图,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相

垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”.若长方形G的四边均

与椭圆M：4+学=1相切，则下列说法错误的是（）

64

A.椭圆河的离心率为今B.椭圆的蒙日圆方程为"+夕2=10

O

C.若G为正方形，则G的边长为2西D.长方形G的面积的最大值为18

8.研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,这个圆叫做椭圆的蒙日圆.设椭圆。

的焦点为E，E，P为椭圆。上的任意一点，R为椭圆。的蒙日圆的半径.若西•丽的最小值为占房，

则椭圆。的离心率为（）

A.yB.岑C.yD.亨

9.法国数学家加斯帕・蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的

切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆「：4+g=

a2b2

l（a>b>0）的蒙日圆为ad+靖=a&2,过。上的动点刊作「的两条切线，分别与。交于两点，直

线PQ交「于两点，则下列结论不正确的是（）

A.椭圆「的离心率为

3

B.AA7PQ面积的最大值为熹2

O

c.。到:r的左焦点的距离的最小值为（281五）。

D.若动点。在「上,将直线DA,DB的斜率分别记为阮，％2，则品自=—4

10.加斯帕尔・蒙日（如图甲）是18-19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互

相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙）.已知长方形

C.椭圆。的蒙日圆方程为"+峭=9D.长方形V的面积最大值为18

U.法国数学家加斯帕・蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直

的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆!=

azbz

l（a>b>0）的蒙日圆为。:a;2+y2=1_a2,过。上的动点初作「的两条切线,分别与。交于P,Q两点，直

线PQ交「于两点，则（）

A.椭圆「的离心率为空

B.ZWFQ面积的最大值为

C."■到「的左焦点的距离的最小值为（2—2）a

D.若动点。在「上,将直线DA,DB的斜率分别记为品，心，则fcifc2=-y

12.在椭圆C*+%=l（a>6>0）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆r：x2+y2=a2+b2±.,称此圆为该

椭圆的蒙日圆.该圆由法国数学家G.A7bnge(1745—1818)最新发现.若椭圆+靖=1,则下列说法中

正确的有()

A.椭圆。外切矩形面积的最大值为4A历

B.点P(a:,y)为蒙日圆「上任意一点,点M(-2A/3,0),2V(2V3,0),当/PAW最大值时tan4PMN=2+

V3

C.过椭圆。的蒙日圆上一点P,作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于点Q,若％OP#OQ存在，则为定

值一4

D.若椭圆。的左右焦点分别为瓦易过椭圆。上一点P和原点作直线I与蒙日圆相交于昭N,且P公

PF2=^,^APM-PN=^

13.画法几何的创始人--法国数学家加斯帕尔・蒙日发现:与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭

圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：苧+靖=1后,另分别为椭圆的

左、右焦点，直线I的方程为，+四y一3=0,河为椭圆。的蒙日圆上一动点，AM,皿5分别与椭圆相切于

AB两点，。为坐标原点，下列说法正确的是()

A.椭圆。的蒙日圆方程为"+婿=3

B.记点A到直线I的距离为d,则d-|A£|的最小值为早

C.一矩形四条边与椭圆。相切，则此矩形面积最大值为6

D.ZVIOB的面积的最小值为。，最大值为警

O/

三、填空题

14.法国数学家蒙日(Monge,1746—1818)发现:椭圆「:4+^7=l(a>5>0)的两条互相垂直切线的交点

a'bz

P的轨迹方程为：/+婿=/+〃,这个圆被称为蒙日圆.若某椭圆m+必=I(Q>1)对应的蒙日圆方程

az

为力2+婿=5,则°=.

15.若椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆中心，则称这个圆为蒙日

圆.若椭圆C：4+¥=1(，>4)的蒙日圆的半径为2通,则椭圆C的离心率为

W4

16.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为:椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同

•••

一个圆上,它的圆心是椭圆中心，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆c：,+,=19>0）的蒙日

a+1a

圆方程为"+婿=7,则椭圆。的离心率为.

17.画法几何的创始人--法国数学家加斯帕尔・蒙日发现:与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭

圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C:1+4=l（a>b>0）的蒙日

圆方程为炉+靖=<^+〃,椭圆。的离心率为卓，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线,

与蒙日圆分别交于P、Q两点，则面积的最大值为.（用含b的代数式表示）

四、解答题

18.法国数学家加斯帕尔・蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论:一

椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆,尊称为蒙日圆,且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心,半径

为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆+4=l（a>b>0）中,离心率e=

寺，左、右焦点分别是回、号上顶点为Q,且|Q£|=2,O为坐标原点.

（1）求椭圆。的方程，并请直接写出椭圆。的蒙日圆的方程；

（2）设P是椭圆。外一动点（不在坐标轴上），过P作椭圆C的两条切线，过P作，轴的垂线，垂足H,若两

切线斜率都存在且斜率之积为-十，求中。〃面积的最大值.

19.在椭圆C：《+m=l（a>b>0）中,其所有外切矩形的顶点在一个定圆「：/+靖=a?+呼上，称此圆为

a2bz

椭圆的蒙日圆.椭圆C过P（L空），Q（—粤

⑴求椭圆。的方程；

（2）过椭圆。的蒙日圆上一点/■，作椭圆的一条切线,与蒙日圆交于另一点N,若％0凶，%.存在，证明：名”

"ON为定值.

•••

阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题

一、知识点梳理

一、阿波罗尼斯圆

1,阿波罗尼斯圆的定义

在平面上给定两点AB,设P点在同一平面上且满足撰=人当4>0且入时，P点的轨迹是个圆,称

riD

之为阿波罗尼斯圆.(4=1时P点的轨迹是线段AB的中垂线)

2.阿波罗尼斯圆的证明

设P(2,g),Ai(—a,0),B(a,0).若=4(4>0且4W1),则点P的轨迹方程是(x—+1a}+y2—

(等L其轨迹是以(燮la,o)为圆心，半径为「=鬻匹的圆.

v/l—17v/I-17/I2—1

证明：由Q4=zlPB及两点间距离公式，可得(c+a)?+必=#[(2—a?+媛],

化简可得(1—淤)炉+(1一矛)靖+2(1+*)如+(l—#)a2=0①,

(1)当;I=1时，得。=0,此时动点的轨迹是线段AB的垂直平分线;

(2)当N片1时,方程①两边都除以1—万得d+炉+2a(W+a?=0,化为标准形式即为:

1—矛

2Q/1的圆.

V—7^1

图③

【定理】A,B为两已知点，分别为线段AB的定比为4仅a1)的内外分点，则以的V为直径的圆。上任

意点P到AB两点的距离之比为九

证明：以；1>1为例.如图②，设AB=2a,笑=慈=九则力M=^g,BM=2a—普勺=3，

Mk>Nb1+/l1-F/il+/i

AN=^-,BN=孕*-2a=普~.过B作AB的垂线圆C交于Q,R两点，由相交弦定理及勾股定理

得QB，=MB•BN=粤乙”=AB?+QB2=,于是QB^,QA=,：.察=工

矛—1/l2-lV/l2-lV/l2-lQB

同时在到两点距离之比等于4的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，

圆。上任意一点P到AB两点的距离之比恒为人同理可证0<4V1的情形.

3.阿波罗尼斯19的相关结论

【结论1】当4>1时，点口在圆。内，点A在圆C外;当0V4VI时，点A在圆。内，点B在圆。外.

【结论2】因=AN,故AQ是圆。的一条切线.若已知圆。及圆。外一点A,可以作出与之对应

的点B,反之亦然.

【结论3】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为面积为妻吟.

1|（不—Ip

【结论4】过点A作圆。的切线AQ（Q为切点）,则QM,QN分别为AAQB的内、外角平分线.

【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分AB和外分AB所得的两个分点，如图所示，河是的内

分点，N是AB的外分点，此时必有■平分ZAPB,PN平分NAPB的外角.

证明：如图①,由已知可得篇=黯=第=小>°且"1）'.•.普=制=九又

PMsinZAPM,S,PBM=^PB-PMsinABPM,；.靠徐黑懿=九

sin/ARW=sin/BPM,；.4ApM=ABPM,：.PAI平分AAPB.由等角的余角相等可得4BPN=

ADPN,：.PN平分NAPB的外角.

【结诒6】过点B作圆。不与QR重合的弦EF,则平分ZEAF.

证明:如图③，连结,由已知窗=韶=4,.・.镖=鲁・：言迺=第（4>0且壮1）,又