2025届四川省泸州市泸县某中学高三年级上册第一次诊断性考试（高考一模）数学试题【含解析】

数学试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第II卷3至4

页.共150分.考试时间120分钟.

第I卷（选择题共58分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个

选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1,已知全集。=R,集合八{刈7〈I8={巾<1或x"},则山（川（）

A.{x11<x<2}B,{x|0<x<4}

C.{x|l<x<2}D,{x|0<x<4}

【答案】B

【解析】

【分析】根据并集、补集的定义进行计算得出结果.

【详解】由8={x|x<1或x24}得。8={x11Vx<4},

所以ZU（C5）={x[0<x<4}.

故选：B.

2.命题“Hxe（―oo,l）,J+2x—1<0"的否定是（）

3-GO3

A.3xe[1,+oo],x+2x-1^0B.e（,1）>x+2x-1^0

33

C.Vxe[l,+co],x+2x-1^0D.Vxe（-co,l）,x+2x-1^0

【答案】D

【解析】

【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.

【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：

命题“土/+2》_1<0，，的否定是“\/》《（一8,1）,/+2X—接0”.

故选：D.

sm1

-----------二44

3.已知.(兀)，贝！Jtana=()

273

A.-273B.-V3C.

亍

【答案】D

【解析】

【分析】由正弦展开式和三角函数化简求值得出.

tana

所以J31

------tana

22

所以tana=2^3-2tan(7，

解得tana=-----

3

故选：D

4.已知tan£=2&，则cos26»=()

8877

ABD

-9-9-9-9-

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用二倍角公式，结合正余弦齐次式法计算即得.

,JA-,/-czi2八.2ccos0—sin01—tan?07

R【详解】由tan9=2j2，得cos28=cos-9—sm~8=----------；—=-----?—=—

cos2+sin21+tan2^9

故选：C

5.将函数/(x)=cos3x的图象向右平移四个单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的一条对称轴方

6

程是()

【答案】A

【解析】

【分析】根据三角函数的图象变换及诱导公式结合三角函数的性质即可判定.

兀

【详解】由题意得g（x）=cos3x=cos3x——=sin3x

I2

显然由3x=]+E（左€2）=>%=崇+个（左©2）,

TT

当左=1时，X=:是其一条对称轴，而B、C、D三项，均不存在整数上满足题意.

故选：A

6.｛%｝为等差数列，若知+。10<0,q+49〉0，那么S,取得最小正值时，〃的值（）

A.11B.17C.19D.21

【答案】C

【解析】

【分析】由等差数列的性质可得力。〉0,%i<0,从而得d<0,由s“=〃（%；%）,结合条件得到

519>0,520<0,即可求解.

【详解】因为%+%0<0,4+%9=2%（）>0,所以A。,对<0,故等差数列｛4“｝的公差d<0,

又,又Q”+%0=%+。20<0,%+%9=2%0>°，

得至U$20=20（4+"20）<0,519=19（1+阳）>0,

22

所以S“取得最小正值时，，的值为19,

故选：C.

7.如图，在正方形4BCD中，£为8c的中点，P是以4B为直径的半圆弧上任意一点，设

就=工石+y春（%,了©11）,则2%+了的最小值为（）

B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，设尸(X。,外),利用坐标法将x,y用p点坐标表示，即可求出2x+y的最

小值.

以A点为坐标原点，4B所在直线为X轴，所在直线为N轴，建立如图所示的平面直角坐标系,

设45=2,P(x0,y0),则4(0,0),。(0,2),E(2,l),半圆的方程为(x—+凡=132。),

所以ZE=(2,1),AD=(0,2),AP=(x0,j^0),

因为4=*石+>筋(x/eR),HP(2,l)=x(0,2)+v(x0,j0)>

2

y=—

2=阿，肌%

所以

l=2x+yy02x=l-生

%

1—Vn

所以2x+y=l+2•—也，又尸(%,九)是半圆上的任意一点,

%0

所以％o=l+cos。，yQ=sinO,6^G[0,^],

1•£}

所以2x+y=l+2--sm,所以当，=工时，2x+y取得最小值1.

1+cos。2

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题主要考查二元变量的最值求法，关键是根据已知把几何图形放在适当的坐标系

中，把有关点与向量用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

tzx-Inx,x>0

8.已知函数/(%)=〈[/、八，若/(%)有两个极值点七,％2，记过点4>1，/区))，3(%2，/(%2))

tzx+m(-x),x<0

的直线的斜率为左，若0〈人K2e,则实数。的取值范围为()

A.[―,eB.1―,2C.(e,2e]D.^2,2d—

【答案】A

【解析】

【分析】当x>0时，求导，根据/(x)有两个极值点可得。>0,由奇函数的定义可得/(x)为奇函数，

不妨设％=—当〉0,则有々=工，所以31},l+lna；—(1+lna)：由直线的斜率公式上的表

达式，可得左=a(l+lna),a〉,，令〃(a)=a(l+lna),a〉,，利用导数可得人仅)在化+②上单调递

ee<e)

增，又由〃[g]=0,〃(e)=2e,根据单调性可得实数。的取值范围.

【详解】当x>0时，函数/(x)=ax-lnx的导数为广(x)=a-工=竺二，

JCX

由函数/(X)由两个极值点得a>Q.

当0<x<工时，/,(x)<0,/(x)单调递减;

a

当x>工时,/'(x)>0,/(X)单调递增.

a

故当x>0时，函数/(x)的极小值点为x=』.

a

当x<0时，则_x>0,则/(-x)=a(_x)_ln(_x)=_[ax+ln(-x)]=_/(x),

同理当x>0时，也有/(—x)=—/(x),

故/(x)为奇函数.

不妨设々=一%〉0,

则有》2=L所以"Ll+lna；可得士―(1+lna)

由直线的斜率公式可得k=/(6/&)=a(l+\na\a>0,

x2-x1

又女〉0,l+lna>0,所以a〉工

e・

设/Z(Q)=Q(l+lna),a〉1,得/Z'(Q)=2+lnQ=l+(l+lna)〉0,

所以〃(a)在上单调递增，又由/z]：)=0,/z(e)=2e,

由0〈左<2e,得所以』<a〈e.

故选:A.

【点睛】对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切

线方程；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值

（极值），解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个

选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知关于x的不等式办2+及+°>0的解集为（一*l）U（2,+oo）,贝。（）

A.。>0且。>0

[2

B.不等式6x+c>0的解集是《'工〉]>

C.a—b+c〉0

D.不等式以2+法+口<0的解集为

【答案】ACD

【解析】

【分析】由题意可知a>0且1和2是方程a/+bx+c=O的两个根，根据韦达定理可得6=-3a,c=2a,由

此易判断A,将氏c替换成。，由此可求B、D,结合二次函数的图象可以判断C.

【详解】•••关于的的不等式办2+.+c〉0的解集为（—0,1）32,+e）,

...a>0且1和2是方程a/+bx+c=。的两个根，

bc

+x——=3,X]%2=l=2,:.b=-3a,c=2a

2aa

对A,Ta〉。,>0,故A正确.

对B,vb=-3a,c=2q,/.Zzx+c>0可化为—3〃x+2〃>0

2

va>0-3x+2>0,解的x<一,

3

二.不等式bx+c>0的解集为故B错误.

对C」.・a>0,1和2是方程a/+ftx+c=0的两个根，

且二次函数y=ax2+b%+c开口向上，

，当久=—1时，y>0,即。一6+。>0,故C正确.

对D,不等式c*+及+。<0可化为2ax2+”<0,

•.•。>0,2》2—3x+l<0,即（2x-l）（x-l）<0,解得g<x<l,

不等式cl+9+°<0的的集为{x||<x<l},故D正确.

故选：ACD

10.已知函数/（x）=|log2（xT）|,若西<加,/（再）=/（%2）,则（）

11,r-

A.XJ<2<X2B.2<XJ<X2C.一---=1D.+2X2>3+2V2

【答案】ACD

【解析】

【分析】作出函数/（x）=|log2（x—l）|的图象，根据/（西）=/（》2），结合函数图象逐项判断.

由图象可知：1<玉<2,2〈%2，故A正确；B错误；

由/（%）=/（%2），得现2（再-1）|=|log2（x2-l）|,即-k）g2（再-1）=log2（x2-l）,

11I

所以（再一1）（工2-1）=1,即玉%2=%1+%2，所以3+1=1，故C正确；

因为X1+2/_3=（再_1）+2（々_1）22J（X]_1）•2（々_1）=2后,当且仅当（再—1）=2（%-1）时，等号

成立,

因为西<%,所以(西—1)</-1<2(%-1)，所以取不到等号，故D正确.

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：本题关键是将/(%)=/(%)转化为(再-1)(%-1)=1而得解.

2

11.已知数列｛4｝满足％=1,an+]=a,,+1,贝iI()

A.an>rTB.an>2"^

ni

C.a2n>\6+1D.log2a2"24'T

【答案】BCD

【解析】

【分析】先证明｛4｝是递增数列，且各项均为正，由递推公式求得。2，。3，。4发现A错误，然后由递推关

系利用基本不等式变成不等式%>2%,,让〃依次减1进行归纳得出B正确，由递推式适当放缩得

442代

%+2>〉⑷了=。：，这样对⑸进行归纳得出a?”>(«2„_2)>(a2„_4)〉…〉应产=2，此不

等式两边取以2为底的对数可证明选项D,对2人由指数累运算法则变形为=164""，然后证明

4"-2>w-b再结合｛4｝是正整数可得证C.

13

—

【详解】«„+1ct„=+1=(a„——)"+—>0,a”+i>。〃，｛%｝是递增数列，

2

又q=l,所以a“〉0,a2=2,a3=5,%=26,a3<3,A显然错误；

an+l=o>l>2an>2?%_]>­•■>2%=2",Aan>2小，B正确；

对选项Ca,.〉。3〉⑷)2=。：，

a4

>«t-2>(2n-4)=Qi)'，依此类推:

4424

a2n>(«2„-2)>(«2„­4)〉…〉(外)''=2''，

24"'=1647,下证4-22〃—J,

”=1时，4T20，

〃=2时，4°=1>1>

〃=3时，42>2»

假设〃二左时，4"22左—1成立，k>2,

则”=斤+1时，4K-2=4.4"224（左—1）〉（左+1）—1,

所以对任意不小于3的正整数"，4"-2>«-1，

所以。2"=16‘7〉16"T,又出"是正整数，所以的"N16"T+1,C正确;

对选项D,由选项C得生"22"'，所以log24,,210g22—=4"，D正确.

故选：BCD.

第II卷(非选择题共92分)

注意事项：

(1)非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘

出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.

(2)本部分共8个小题，共92分.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.

|log2x|,0<x<2,

12.已知函数/（x）=«则/(/(3))=

—x+2,x>2,

12

【答案】1

【解析】

【分析】结合分段函数解析式，由内向外计算即可.

【详解】由题意得/（3）=—；x3+2=g,/f1j=log21=1.

所以/（/（3））=1,

故答案为：1.

13.计算:-------4cos10°=

tan10°

【答案】V3

【解析】

【分析】切化弦，通分后结合二倍角和两角和差正弦公式可化简求得结果.

、士启口、1.，八。cos10°.，八。cosl0°-4sinl0°coslO"cos10°-2sin20°

详解】--------4cosl0=--------4cosl0=---------------------=---------------

tan10°sin10°sin10°sin10°

cosl0°-2sin（30°-10°）_cosl0°—cosltT+Gsinl0°_瓜in10。_.

sin10°sin10°sin10°”

故答案为：6

r2(r

14.已知函数/(x)=(znx—l)lnx+----mx,函数g(x)=/'(%)有两个极值点%,乙•若西£0,一，则

2Ie_

g(xj-g(x2)的最小值是_____.

4

【答案】一

e

【解析】

结合韦达定理可得当=’,

【分析】求导后可知苞,》2是方程》2+癖+1=0在(0,+。)上的两根,

1)(1)

a=一再—；将g(xj-g(%2)化为-2%+-—In%]+2%---,令

Vxi71。3\X\7

/z(x)=2^x-—^j-2^x+—^lnx^0<x<-^,利用导数可求得。(、丫由，

从而得到结果.

2

【详解】因为/(%)=(加x—l)lnx+搭■一加x,

令g(%)=/'(%)=mInx+――-+x-m=mlnx+x-—(x>0),

XX

因为g'(x)=%+l+1=k+M+l,g(x)有两个极值点七,》2，

XXX

所以X],%2是方程f+7HX+l=0在(0,+。)上的两根，

(1)

所以占+》2=一机，Xx=1,所以％=一•,m=_XyH------------,

12项lX1

所以g(国)—g(%)=加In$+西一」--加In%1

-

X2H-------------

x\x2

,1,1」11(11

—Z77InXj+X]----FZ72InX|----FXj——2Xj+—InX]+2X]---,

1X]X]]

x\7Ix\7

设/z(x)=2—1—2^xH—]Inx(o<x«一),

贝…=2+，2flnx-21：]=-也芈』X,

X

所以当xe]o」时，〃'(x)<0,所以为(x)在Lil口的惘住江

1o,-上单调递减，

所以-e)++e)=：,即g(xj—g(%2)的最小值为"I.

4

故答案为：一.

e

【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求解函数最值的问题；本题求解最值的基本思路是将多个变量统一

为关于一个变量的函数的形式，通过构造函数将问题转化为函数最值的求解问题.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(x)=sin(ox+0)(其中0>0,0<^<!)的最小正周期为兀，且.

①点在函数y=/(x)的图象上；

②函数/(x)的一个零点为-?；

0

5兀JT]

[I.

请你从以上三个条件选择一个(如果选择多个，则按选择的第一个给分)，补充完整题目，并求解下列问

题：

(1)求/(X)的解析式；

(2)用“五点作图法”画出函数/(x)一个周期内的图象.

【答案】⑴无论选哪个条件，函数/⑺的解析式均为/(x)=sin2x+1

(2)答案见解析

【解析】

71sinf2x^-+(z?1=1,若选②,

【分析】(1)若选①，则/

12

,由此求出分别求出。即可得解.

(2)直接用“等距法”按照五点画图的步骤作图即可.

【小问1详解】

2兀

由题意最小正周期为了=同=兀,。>0,解得0=2,所以/(x)=sin(2x+G),

若选①，则/三=sin2x二+o=1,所以巴+o==+2E/eZ,

I12J62

JTIT

又o<°<W，所以左=o,0=—,

23

所以函数/(X)的解析式为/(x)=sin12x+m)；

JTIT

又0<夕<5，所以左=0,0=—,

23

所以函数/(X)的解析式为/(x)=sin12x+m

I57rTT

若选③，即/(X)的一个增区间为-石，五

57171(5nn]

当xe时，t=2x+(p

n,12

JT

又0＜。＜万,

由复合函数单调性可知，只能g+9，；+。

三，所以函数/(x)的解析式为/(x)=sin(2x+gj；

(P=

3

综上所述，无论选哪个条件，函数/(x)的解析式均为/(x)=sin2x+g.

【小问2详解】

列表如下:

7171兀7715K

X

~~612i~n~6

c兀兀371

t—2xH—0712兀

32~2

/(x)=sin[2x+；]

010-10

描点、连线(光滑曲线)画出函数/(X)一个周期内的图象如图所示:

\-ax

16.已知定义在R上的函数/(%)=-----(。〉0且awl).

1+优

(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；

(2)若/(1)=—g,试判断函数/(x)的单调性并加以证明；并求/(x)+l—

=0在[-2,3]上有解时,

实数机的取值范围.

【答案】(1)/(x)为奇函数，理由见解析

19

(2)/(x)为减函数，证明见解析；me

1455

【解析】

【分析】(1)先判断函数的奇偶性，再利用定义证明即可.

(2)求出参数值得到原函数，再转化为交点问题求解参数范围即可.

【小问1详解】

/(x)为奇函数

对任意xeR,都有-xeR,且该函数的定义域为R,显然关于原点对称,

l-axl-a-x1—a'a'—1„

可得/(x)+/(—%)=-----------1-----------------+-----=0.

l+ax1+「\+axax+1

，/(x)为奇函数.

【小问2详解】

当/。)=一』时,可得上上解得。=3,

21+。2

此时=/在R上为严格减函数，证明如下：

1+3

]_劣超1_4项

任取》2＞天，且Xi，X2eR,则/(%)-/(xj=]+3金-

(1-3*+)(1+3*)2(3』3日)

•••x2>,3巧〉3』〉0，，/(》2)一/(石)<。，

413

/(x)在R上为严格减函数，而/(-2)=-,/(-3)=—房，

1—qx「［34-

.•./(乃=二-在［—2,3］上的值域为一7V，二,

1+3VL145j

要使/(x)+1—掰=0在［-2,3］上有零点，

此时等价于>=加与y=/(x)+1在［-2,3］上有交点，

'191「19一

而当xe［-2,3］时，可得/(x)+le-,j，故机e-,j.

17.在△45C中，已知tark4+tari5=C(tarL4tanS-l).

(1)求C；

(2)记G为△48C的重心，过G的直线分别交边G4,C5于MN两点，设函=及火函=〃福.

11

(i)求:+一的值；

A〃

(ii)若C4=C8,求ACMN和△4SC周长之比的最小值.

7T

【答案】(1)c=-

3

(2)(i)3(ii)-

3

【解析】

【分析】(1)借助三角形内角关系及两角和的正切公式化简并计算即可得；

(2)⑴设。为48的中点，结合重心的性质及向量运算可得M=西，再利用三点共线

3Z3〃

定理即可得解；(ii)由题意可得△48C为等边三角形，可设其边长为1,则可用4必表示两三角形周长之

比，结合(i)中所得与基本不等式即可得解.

【小问1详解】

由题可知tanC=tan(7i-A-B)=-tan(A+B)=-taiL^+tarL^=,

')')l-tarUtaaS

又Ce(O,兀)，所以C=g；

【小问2详解】

—►1—1—►

(i)设。为48的中点，则CQ=—C4+—CB,

22

_.9_—.1—,1—,1.1—.

又因为CG=4C。，所以CG=_C/+_C5=—CM+——CN,

333323//

因为〃,G,N三点共线，所以上+4=1,所以：+1=3；

3%3〃X//

jr

5)由cz=C8,c=~,可得△asc为等边三角形，

3

设△45C的边长为1,ACMN与△48C周长分别为G，G，则G=3,

MN—J/2+〃2—4〃,所以G=4+〃+J22+、2—4从,

所以G2+〃+,丸2+4〃

3

由：+2=3可得，3沏=之+〃22。5（当且仅当2=〃时等号成立），

+8）上单调递增,

3

18.已知等比数列｛%｝的各项均为正数，2叼%，4。6成等差数列，且满足%=44，等差数列数列｛0｝的

前〃项和j也+^4=6,S4=10.

（1）求数列｛4｝和｛g｝的通项公式;

设""=八0’；5a",〃eN*,｛4j的前〃项和7；,求证：7；<|.

(2)

。2〃+1。2〃+3

(3),求数列｛%｝的前2〃项和.

【答案】（1）%=；3="

(2)证明见解析(3)n~H----------------

994

【解析】

【分析】(1)设等比数列｛%｝的公比为4,等差数列｛勾｝的公差为根据题意，列出方程组，分别求得

的值，即可求得数列｛4｝和｛勾｝的通项公式;

11

(2)由⑴求得4=2[],结合裂项法求和，求得数列｛4｝的前〃项和

(2〃+1)2(2〃+3)-2"+i

T"=t(2〃+13>2“

,即可得证;

(3)根据题意，求得数列｛%｝的通项公式，结合等差数列的求和公式和乘公比错位法求和，即可求解.

【小问1详解】

解：由等比数列｛%｝的各项均为正数，设公比为式4>0),

因为2%,%，4%成等差数列，且满足%=4短,

45

a/=a1q+2axq2

2%=2a5+44Bn1=q+2q

可得《,2，即V3，即,

=4/axq=41=4axq

解得%=N=;，所以％J

设等差数列｛g｝的公差为d,

2b+4d=6

因为H+“=6,§4=10,可得<[他+6小0’解得―

所以4=1+(〃—1)x1=〃，即数列｛bn｝的通项公式为a=n.

【小问2详解】

证明：由(1)知4=,b”=n，

b2H+52n+511

可得或=-(-r=2[n+f],

，2"+也n+3(2〃+1)(2〃+3)2(2«+1)-2"(2〃+3〉2’

1111(111

则T”=2+++•••+

3^2-5^45-47-8T8946(2«+1)-2"(2"+3)-2",

=2"[|11

(2〃+3>2用3(2〃+3)2

1cli11

因为----------->0,所以---------------<-,故T<一.

(2〃+3>2"3(2〃+3>2〃3"3

【小问3详解】

巩〃为奇数

解：因为。〃=<黑吃数)—:,“为偶数’

n.I

则数列｛，｝的前2〃项和W.=(1+3+…+2〃—1)+(2・工+4-,+3+2〃-

416

n(l+2n-l)2

令Un=1+3H----1-(2〃-1)=-----------二n

2

令，则'匕・・1c1

jz=2--+4-—+---+2«-4=21-+4----1-----F2n-

"4162241664^2n+2

两式相减得[匕=；+/+[+…+91—2小于工

qZODNZZ1--

4

—H---1-=-2--3-«-+-4---1-

22«+13322"+]

…"86〃+8186〃+8

所以％=厂方

4"99・4"

2

所以数列匕｝的前In项和Mn=Un+Vn=n+，一黑等

99,4

19.已知函数/(x)=ln(3-x)+cos(2-x)的图象与g(x)的图象关于直线x=l对称.

(1)求函数g(x)的解析式；

(2)若g(x)-iWax在定义域内恒成立，求。的取值范围;

2〃