2025高考数学一轮知识清单：复数及其应用（原卷版）

专题10复数及其应用

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）

维构建・耀精向绐

复数的定义：形如a+bi（a,b£R）的敷叫做复数

其中实部是a,虚献b

诩(b=0))

题型复数的基本概念及应用

复数的分类01

K0知识点一复数的基本痴四（bw0）（a:0时为纯虚数））题型02根据复数相等求参数

题型03复数的模长计算

题型04共匏复数及其应用

1复数的有关概念〉<共姬复数）

1■（复数的模）

复

数「:空酗盛］I：耍直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面

题型01复数与复平面的点一对应

及

O知识点二复数的几何意义；实轴与虚轴娜U做实轴，y轴叫做虚轴题型02复数与复平面向量——对应

其题型03复数的模的几何意义及应用

蔓的几何薪

应

用.一._—,二、复数的运算法则一力口、减、乘、题型01复数的四则运算

知识点三复数的四则运算题型02复数的乘方运算

Y、__o_______:____________________，/〜复数运…算的几二个重要~结-论-----

题型03复数范围内解方程

辘的定义

蔓的辐角T）八、

-----------辐角主值

T：。知识点四复数的三角形式题型01复数的代数式与三角式互化

一复数的三角旃C：亘cos0+isine）题型02复数三角形式乘除法运算

复数的三角吩及运氟―卜；赢的乘法霞：）题型03复数的新定义问题

复数的除法^

口识盘点・置翡非煤

知识点1复数的基本概念

1、复数的定义：形如。+历3，6GR）的数叫做复数，其中实部是“，虚部是从

2、复数的分类：

实数6=0,

复数z=a+历

「纯虚数a=0,

a,Z?£R虚数厚（T

.非纯虚数存0.

3、复数的有关概念

复数相等a+Z?i=c+diu^a=c且Z?=d(a,b,c,d£R)

共粗复数a+Ai与c+di共辆0a=c且Z?=—d(a,b,c,d£R)

向量OZ的模叫做复数z=〃+Z?i的模，记作|z|或|〃+历

管粉的精

BP\z\=\a+bi\=r=yJa2+b2(r>0,a,b£R)

知识点2复数的几何意义

1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面;

2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上

的点都表示纯虚数；

3、复数的几何表示：复数z="+bi«一一对应》复平面内的点zm，b)..・对应,平面向量无.

知识点3复数的四则运算

1、复数的运算法则

设+历，z2=c+di(a,b,c,d£R),则

(1)zi+z2=(〃+Z?i)+(c+di)=(〃+c)+S+4/)i；

(2)zi-Z2=(〃+bi)—(c+di)=(。—c)+(b—d)i；

(3)zi22=(〃+bi)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i；

Z1_a+bi_(a+bi)(c-di)ac+bdbe—ad八、

(4)

z2c+di(c+di)(c-di)

2、复数运算的几个重要结论

(1)|zi+z2|2+|zi—Z2|2=2(|Z1|2+|Z2|2).

(2)Z-z=|z|2=|ZI2.

(3)若z为虚数，贝”z|2先2.

(4)(1土i)2=±2i.

(5)i4"=l;i4"+l=i；i4"+2=—1；i4"+3=—i.

知识点4复数的三角形式

1、复数的辅角

(1)辅角的定义：设复数z=a+6i的对应向量为前，以X轴的非负半轴为始边，向量被所在的射线(射

线。Z)为终边的角。，叫做复数z的辅角.

(2)辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这

些值相差2兀的整数倍.

规定：其中在0W8<2兀范围内的辅角8的值为辅角的主值，通常记作wgz.

【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数。的辅角是任意的.

2、复数的三角形式及运算

(1)定义：任何一个复数都可以表示成2=「(°05。+15讥8)的形式，其中r是复数的模，。是复数的辅角.

【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连.

(2)复数乘法运算的三角表示：已知Z]=r1(cos61+is讥。J,z2=r2(cos02+isin02),

则ZjZ]=r1r2[cos(01+02)+isin(%+02)]-

这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和.

(3)复数除法运算的三角表示：已知Z]=r1(cos31+isin%),z2=r2(cos02+isin%)

则迫=斐。s7+is讥黑=3_+is讥（88）］.

z2r2（cos02+^in02）r2

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，

商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差.

点突破•春分好•检

重难点01与复数有关的最值问题

求复数模的范围与最值问题的解题策略

（1）把复数问题实数化、直观化、熟悉化，即将复数问题转化为实数问题来处理，转化为实数范围内，求

模的范围与最值问题来解决；

（2）发掘问题的几何意义，利用几何图形的直观性来解答，把陌生的问题转化为熟悉的问题来解答；

（3）利用三角函数解决.

【典例1】（2024.山东烟台.三模）若复数z满足|z|=|z-2-2i|,则忖的最小值为（）

A.1B.V2C.V3D.2

【典例2】（2024.云南.二模）已知i为虚数单位,复数z满足|z-l|=|z+i|,则或-i|的最小值为（）

A.正B.4C.-D.0

223

重难点02共朝复数与复数运算的综合问题

共朝复数问题的求解技巧：

1、若复数z的代数式已知，则根据共软复数的定义，可以写出再进行复数的四则运算.

2、已知关于z和I的方程，而复数z的代数形式位置，求解z.解决此类问题的常规思路是：设

z=a+bi（a,bqR）,则』=a-历，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解.

【典例1】（2024.福建泉州•一模）（多选）已知复数z满足z=l-L则（）

Z

A.z.z=lB.z2=zC.z+z=-1D.|z-z|=A/3

【典例2］（23-24高三下•湖南娄底•阶段练习）（多选）己知复数4/2的共辗复数分别为，意，下列结论正

确的是（）

A.若均为纯虚数，则4+1=0

B.若z；+z：=0,则4=z?=0

C.若|z「Zz|=0,则I与=0

D.若|z-l|=|z+l|,则z在复平而内对应的点的轨迹为直线

法技巧・1g亲学霸

一、复数的分类

对于复数“十历，

（1）当且仅当6=0时，它是实数；

（2）当且仅当。=6=0时，它是实数0；

（3）当厚0时，叫做虚数；

（4）当。=0且以0时，叫做纯虚数.

【典例1】（2024.广东东莞.模拟预测）若复数z满足（5+i）（l+i）=4,则复数z的虚部是（）

A.2B.-2C.3D.-3i

【典例2］（23-24高三上・甘肃庆阳•阶段练习）（多选）下列各式的运算结果是实数的是（）

A.z=i（l-i）2B.z=（l+i）2

C.z=（l+i）（l+2i）（l+3i）D.z=|^

二、求复数标准代数式形式的两种方法

1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；

2、待定系数法：将复数设为标准式，代入己知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部的

方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部.

【典例1】（2024.新疆・三模）复数z满足|z+2i|=|z|,贝」的虚部为（）

A.-iB.iC.-ID.1

【典例2】（2024.福建泉州.模拟预测）已知复数z满足目=2,|z-2|=2,贝丘+刊=（）

A.2A/3B.2C.-2D.-273

三、复数的几何意义

（1）任一个复数z=a+历（a,bdR）与复平面内的点Z（a,b）是---对应的.

（2）一个复数z=o+bi（a,bGR）与复平面内的向量应=（a,b）是——对应的.

【典例1】（2024・四川自贡.三模）在复平面内，复数4,z?对应的向量分别是函=（-2,3）,OB=（3,-2）,

则复数对应的点位于（）

Z1+Z?

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【典例2】（2024•安徽马鞍山.三模）已知复数z满足zN=2（z+行=4,若z在复平面内对应的点不在第一象

限，贝UZ=.

四、虚数单位i的乘方

计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，i"有如下性质：

i1=i,i2=—Li3=i-i2=—i,i4=i3-i=—i-i=L

从而对于任何wGN+,都有i4,!+1=i4"-i=(i4),!-i=i>

同理可证i4"+2=—1,i4"+3=—i,i4"+4=l.

这就是说,如果“6N+,那么有i4"+l=i,i4"+2=—1,g=—i,i4"+4=l.

由此可进一步得(l+i)2=2i,(1-i)2=—2i,—1,—i.

【典例1】（2024・湖北•二模）己知复数2="（1+口，则z2°24=)

A.1B.-1C.—iD.i

【典例2】（2024•河北三模）已知复数［满足2y°23+12期）=12。25,贝匹的共轨复数的虚部是（）

1.1.1

A.—1B.C.—1D.

2222

五、复数方程的解

在复数范围内，实系数一元二次方程a%?+力％+。=0（aH0）的求解方法：

（1）求根公式法：

①当A20时，X=gbi②当△＜（）时，X=-i（bj哂

2a2a

（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为尤=巾+市（机，nER）,

将此代入方程a/+bx+c=0（a^0）,化简后利用复数相等的定义求解.

【典例11（23-24高三下•西藏拉萨•阶段练习）已知z=1-i是方程z?+2az-b=0（a,6eR）的根,则a+6=（）

A.-3B.-1C.2D.3

【典例2】（2024.江苏盐城・模拟预测）（多选）已知4，句为方程/+2*+3=0的两根，则（）

A,1^-z2|=25/2B.—+—=

C.团+4=2』

D.Zj—z2=z1+z2

六、复数的三角表示

将复数z=a+历(a,beR)化为三角形式z=r(cosd+is讥时，要注意以下两点：

(1)r=y/a2+b2,

(2)cosd=sind-\其中8终边所在象限与点(a,6)所在象限相同，

当a=0,b>0时，argz=

【注意】每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，

两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等.

【典例1］(23-24高三下•江苏苏州•阶段练习)(多选)任何一个复数z=a+bi(。，6eR,i为虚数单位)

都可以表示成z=r(cos6»+isin。)(r>0,6eR)的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫

弗发现：［r(cos0+isin=r"(cosnd+isinn0)(〃eN*),我们称这个结论为棣莫弗定理，则下列说法正

确的有()

A.复数z=1-后的三角形式为z=2^cos|-isin三］

232024

B.当r=l,6=3时，Z+Z+Z+--+Z=0

IT

C.当r=2,6=§时，z3——8

TT

D.当r=3,6时，"W为偶数”是“Z"为纯虚数”的充分不必要条件

【典例2】(2024•黑龙江哈尔滨•三模)复数z=a+历(a,6eR,i是虚数单位)在复平面内对应点为Z,设

r=|OZ|,。是以无轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角，贝!|z=a+历=〃(cose+isin，)，把

r(cos，+isin，)叫做复数〃+历的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，

［「(cose+isin。)］“=r〃(cos几，+isin几，,例如：」+^i=fcos—+isin—=cos27i+isin27i=1,

31

(l+i)4=[e]cos：+isin："=4(cos7i+isin7i)=-4,复数z满足：z=l+i,贝Jz可能取值为()

x笏庇笏错•联券嗜相

易错点1忽视复数2=。+次是纯虚数的充要条件

a=0

点拨：对复数为纯虚数理解不透彻，对于复数2=。+加为纯虚数0,八，往往容易忽略虚部不等于0.

【典例1］（24-25高三上•湖南•开学考试）已知复数z=2-i,Z2=a+i（"R）,若复数为纯虚数，则实

数”的值为（）

A.—B.-C.-2D.2

22

【典例2］（23-24高三上.广西.开学考试）已知i是虚数单位，若2=牛％是纯虚数，则实数〃=（）

1-1

A.±B