2025初中数学专项复习突破：四边形中的新定义问题（含答案及解析）

专题四边形中的新定义问题

O

例题精讲

【例1].定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形，如图，在对余四边形ABC。中,

AB=BC,AD=2后,CD=5,ZABC=60°,则线段.

A变式训练

【变定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的

线段叫做这个损矩形的直径，即损矩形外接圆的直径.如图，△ABC中，ZABC=90°,

以AC为一边向形外作菱形ACER点。是菱形ACEF对角线的交点，连接BD若NDBC

=60°,ZACB=15°,3D=2«,则菱形ACE尸的面积为.

【变1-2].定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形ABC。中,

若/A+NC=180°或/2+/。=180°,则四边形ABC。是“对补四边形”.

【概念理解】（1）如图1,四边形是“对补四边形”.

①若NA：/B：ZC=3：2：1,则NQ=度.

②若NB=90°.且AB=3,4。=2时.贝！ICZ^一。F二

【类比应用】（2）如图2,在四边形ABC。中，AB=CB,2。平分/AOC.求证：四边

形ABC。是“对补四边形”.

【例2].定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形.如图，在RtZxABC中，Z

ABC=9Q°,AB=2,BC=\,将△ABC沿/ABC的平分线88的方向平移，得到A8C,

连接AC,CC,若四边形A8CC是等邻边四边形，则平移距离88的长度是.

A变式训练

【变2-1].已知在RtZsABC中，ZC=90°,AC=6,BC=3.我们定义：“四个顶点都在

三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”.

（1）如图1,四边形COEE是AABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长m等于；

（2）如图2,四边形。是（1）中△ED4的内接正方形，那么第2个正方形。G8/

的边长记为。2；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形，依此类推,……

则第〃个内接正方形的边长的=.（"为正整数）

[变2-2],定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，

像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形.

根据以上定义，解决下列问题：

(1)如图1,正方形ABC。中E是CZ)上的点，将绕8点旋转，使与A4重

合，此时点E的对应点F在D4的延长线上，则四边形8EOF(填“是”或“不是”)

“直等补”四边形；

(2)如图2,已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=10,CD=2,AD>AB,

过点B作BE±AD于E.

①过C作CF_LB/于点尸，试证明：BE=DE,并求BE的长；

②若M是边上的动点，求周长的最小值.

n实战演练

1.如图，四边形ACZJE是证明勾股定理时用到的一个图形，a,b,cMRtAABCRtABED

边长，易知AE=MC,这时我们把关于x的形如a*+、ncx+b=Q的一元二次方程称为

“勾系一元二次方程”.

请解决下列问题:

（1）判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”：

①2?+^x+l=O—（填"是”或“不是”

②3/+5&x+4=0（填“是”或“不是”）

（2）求证：关于尤的“勾系一元二次方程+我M+b=O必有实数根；

（3）若尤=-1是“勾系一元二次方程”苏+加B+6=0的一个根，且四边形ACDE的

周长是12,求△ABC面积.

2.我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则

称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.

(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称；

(2)如图1,己知格点(小正方形的顶点)0(0,0),A(3,0),B(0,4),请你画出

以格点为顶点，OA,08为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAM5

(3)如图2,将△ABC绕顶点8按顺时针方向旋转60°,得到连接A。，DC,

/DCB=30；求证：DC2+BC2=AC2,即四边形48c。是勾股四边形.

3.定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线.

(1)如图/,在△ABC中，AB^AC,是△ABC的角平分线，E,尸分别是BD,AD

上的点.求证：四边形A3所是邻余四边形；

(2)如图2,在5X4的方格纸中，A,8在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形

ABEF,使A2是邻余线，E,尸在格点上；

(3)如图3,已知四边形A8C。是以A8为邻余线的邻余四边形，AB=15,AD=6,BC

=3,ZAZ)C=135°,求。的长度.

A

4.定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形.

【性质初探】如图1,已知，I3ABCD,/8=80°,点E是边上一点，连结CE,四

边形4BCE恰为等腰梯形.求NBCE的度数；

【性质再探】如图2,已知四边形ABC。是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCERBF

=CE,连结BE、CF.求证：BE=CF；

【拓展应用】如图3,回的对角线AC、8。交于点。，AB=2,ZABC=45°,过

点。作AC的垂线交BC的延长线于点G,连结。G.若NCDG=90°,求BC的长.

5.给出如下定义：有两个相邻内角互余的四边形称为“邻余四边形”，这两个角的夹边称为

“邻余线”.

(1)如图1,格点四边形A8C。是“邻余四边形”，指出它的“邻余线”;

(2)如图2,在△48C中，AB=AC,是△ABC的角平分线，E,尸分别是8。，AD

上的点.求证：四边形ABE尸是“邻余四边形”;

(3)如图3,四边形ABC。是“邻余四边形”，AB为“邻余线”，E,尸分别是AB,CD

的中点，连接ERAD=4,BC=6.求的长.

图1

6.定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三

角形相似(不全等)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.

(1)如图1,△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形A8C。是以AC

为“相似对角线”的四边形，请只用无刻度的直尺，就可以在网格中画出点D,请你在

图1中找出满足条件的点。，保留画图痕迹(找出2个即可)

(2)①如图2,在四边形ABC。中，/DAB=90°,/DCB=135°,对角线AC平分/

D48.请问AC是四边形A3。的“相似对角线”吗？请说明理由；

②若求4。乂8的值.

(3)如图3,在(2)的条件下，若NO=/ACB=90°时，将△AOC以A为位似中心，

位似比为灰：&缩小得到连接CE、BF,在绕点A旋转的过程中，当

CE所在的直线垂直于A尸时，请你直接写出8尸的长.

7.我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”

(1)概念理解：

请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；

(2)问题探究：

如图1,在等邻角四边形ABCD中，ZDAB=AABC,AD,8C的中垂线恰好交于A8边

上一点尸，连接AC,BD,试探究AC与8。的数量关系，并说明理由；

(3)应用拓展：

如图2,在与RtZvlB。中，NC=/Z)=90°,BC=BD=3,AB=5,将RtA

A3。绕着点A顺时针旋转角a(0°</a</BAC)得到D'(如图3),当凸

四边形A。'2C为等邻角四边形时，求出它的面积.

8.定义：长宽比为五：1（“为正整数）的矩形称为g矩形.下面，我们通过折叠的方式

折出一个正矩形，如图①所示

操作1：将正方形A3。沿过点8的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线8。上的点

G处，折痕为88.

操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A,点。分别落在边AB,CD上，折痕为EF.

可以证明四边形BCEF为圾矩形.

（I）在图①中，地的值为；

FG一

（II）已知四边形8CEP为正矩形，仿照上述操作，得到四边形8cMM如图②，可以

证明四边形BCMN为底矩形,则n的值是.

9.我们定义：有一组邻角相等的凸四边形做''等邻角四边形”，例如：如图1,NB=NC,

则四边形ABCD为等邻角四边形.

(1)定义理解：已知四边形ABC。为等邻角四边形，且/A=130°,ZB=120°,则

ND=度.

(2)变式应用：如图2,在五边形ABCOE中，ED//BC,对角线8。平分/4BC.

①求证：四边形ABOE为等邻角四边形；

②若乙4+/C+NE=300°,NBDC=NC,请判断△BCD的形状，并明理由.

(3)深入探究：如图3,在等邻角四边形ABC。中，/B=NBCD,CE±AB,垂足为E,

点尸为边BC上的一动点，过点尸作PNLCD,垂足分别为N.在点P的

运动过程中，判断尸M+PN与CE的数量关系？请说明理由.

(4)迁移拓展：如图4,是一个航模的截面示意图.四边形A3。是等邻角四边形，Z

A^ZABC,E为AB边上的一点，ED±AD,ECLCB,垂足分别为。、C,42=2，石而z,

AD=3dm,BD=y]37dm.M.N分别为AE、BE的中点，连接QAf、CN,求ADEM与

△CEN的周长之和.

MEN

M7

图1图2图3图4

10.问题情景：如图1,我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，按照此定义，

我们学过的平行四边形中的菱形、正方形等都是“垂美四边形”，“筝形”也是“垂美四

边形”.

概念理解：

(1)如图2,已知等腰梯形4BC。是“垂美四边形"，AB=6,CD=8,求的长.

性质探究：

(2)如图3,已知四边形A8CD是“垂美四边形”，试探究其两组对边AB,CD与BC,

之间的数量关系，并写出证明过程.

问题解决：

(3)如图4,分别以的直角边AC和斜边为边向外作正方形ACFG与正方

ABDE,连接CE,BG,GE,CE与3G交于点。，已知AC=3,AB=5,求△OGE的

中线08的长.

图3图4

11.定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”.

特例感知：

(1)如图1,四边形是“垂美四边形，如果OA=OD=*^OB，08=2,60°,

3

贝!]4。2+8。2=,AB2+CD2=.

猜想论证

(2)如图1,如果四边形ABCZ)是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB,CD马BC,

AO之间的数量关系并给予证明.

拓展应用：

(3)如图2,分别以RtZXACB的直角边AC和斜边为边向外作正方形ACFG和正方

ABDE,连接CE,BG,GE,已知AC=4,ZBAC=60°,求GE长.

(4)如图3,ZAOB^ZCOD=90°,NC£>0=30°,/BOC=120°,OA=

OD,0C=V3>连接AC,BC,BD,请直接写出8C的长.

图1图2图3

12.点P(xi,yi),Q(无2,>2)是平面直角坐标系中不同的两个点，且xiWx2,若存在一

个正数公使点P,。的坐标满足”->2|=蛆1-X2|,则称P,。为一对“限斜点”，人叫

做点产，。的''限斜系数”，记作左(P,。).由定义可知，k(P,Q)=左(。，P).

例：若尸(1,0),Q(3,-1),有|0-工|=工|1-3],所以点尸，。为一对“限斜点”，且

224

“限斜系数”为工.

4

已知点A(1,0),B(2,0),C(2,-2),D(2,』).

2

(1)在点A,bC,。中,找出一对“限斜点”:,它们的“限斜系数”为；

(2)若存在点E,使得点E,A是一对“限斜点”，点E,B也是一对“限斜点”，且它

们的“限斜系数”均为1.求点E的坐标；

(3)正方形对角线的交点叫做中心，已知正方形EFGH的各边与坐标轴平行，边长为2,

中心为点M(0,m).点T为正方形上任意一点，若所有点T都与点C是一对“限斜点”，

且都满足左(T,C)21,直接写出点M的纵坐标机的取值范围.

叫叫

5-5-

44

33

22

1

-5-4-3-2-1,°12345”-5-4-3-2-1,°12345H

-1-1

-2-2

-3-3

-4-4

-5-5

备用图

13.定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的

“中点四边形”.如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中

方四边形”.

概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是—.

A.平行四边形

B.矩形

C.菱形

D.正方形

性质探究：如图1,四边形A8CZ)是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形A8CD

的两条结论：

问题解决：如图2,以锐角△ABC的两边AB,AC为边长，分别向外侧作正方形A5DE

和正方形ACFG,连结BE,EG,GC.求证：四边形8CGE是“中方四边形”；

拓展应用：如图3,已知四边形A8CD是“中方四边形”，M,N分别是AB,CQ的中点，

(1)试探索AC与MN的数量关系，并说明理由.

(2)若AC=2,求AB+C。的最小值.

图1图2图3

14.对于平面直角坐标系xOy中的图形M和图形W2.给出如下定义：在图形W1上存在两

点A,B(点A,B可以重合)，在图形卬2上存在两点N(点、M、N可以重合)使得

AM=2BN,则称图形M和图形卬2满足限距关系.

(1)如图1,点C(1,0),0(-1,0),E(0,如),点尸在CE上运动(点P可以

与C,E重合)，连接OF,DF.

①线段。尸的最小值为,最大值为;线段。尸的取值范围是.

②在点O,。中，点与线段CE满足限距关系.

(2)如图2,正方形A8MN的边长为2,直线PQ分别与x轴，y轴交于点。，P,且与

x轴正方向的夹角始终是30°,若线段尸。与正方形A8MN满足限距关系，求点尸的纵

坐标a(a>0)的取值范围；

(3)如图3,正方形A2MN的顶点均在坐标轴上，A(0,b)(b>0),G,X是正方形

边上两点,分别以G,H为中心作边长为1的正方形，与正方形的四边分别平行.若

对于任意的点G,H,以G,X为中心的正方形都满足限距关系，直接写出b的取值范围.

图1图2图3

15.定义：长宽比为石：1（〃为正整数）的矩形称为《矩形.

下面，我们通过折叠的方式折出一个正矩形，如图①所示.

操作1：将正方形A3。沿过点8的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线8。上的点

G处，折痕为

操作2：将AO沿过点G的直线折叠，使点A,点。分别落在边AB,CD上，折痕为EE

则四边形BCEF为&矩形.

证明：设正方形ABC。的边长为1,则22）=412+12=加.

由折叠性质可知BG=8C=1,NAFE=/BFE=90°,则四边形8CEF为矩形.

/A=NBFE.

J.EF//AD.

.BG=BF即1_BF

,•丽而‘42T,

V2

：.BC：BF=1：3=加：1.

V2

四边形BCEF为如矩形.

阅读以上内容，回答下列问题：

（1）在图①中，所有与CH相等的线段是,tan/HBC的值是；

（2）己知四边形BCEB为加矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMV,如图②，求证：

四边形BCMN是我矩形；

（3）将图②中的«矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“声矩形”，

16.定义:长宽比为石：1为正整数）的矩形称为《矩形.下面，我们通过折叠的方

式折出一个近矩形，如图a所示.

操作1：将正方形A8EF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点2落在对角线AE上的点G

处，折痕为AH.

操作2：将尸E沿过点G的直线折叠，使点R点E分别落在边ARBE上,折痕为CD.则

四边形ABC。为&矩形.

(1)证明：四边形ABCD为迎矩形；

(2)点〃是边48上一动点.

①如图b,。是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OMLON,连接MN.求tan/

OMN的值；

②若AM=A。，点N在边8C上，当的周长最小时，求型的值；

NB

③连接CM,作垂足为R.若A2=2让,则。R的最小值=.

17.定义：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形.

(1)如图1,在半对角四边形ABCD中，NB=1/D,ZC=—ZA,则/B+/C

22

(2)如图2,锐角△ABC内接于O。，若边AB上存在一点£>,使得8D=B。，在0A上

取点E,使得DE=OE,连接。E并延长交AC于点凡ZAED=3ZEAF.求证：四边形

BCfD是半对角四边形；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点。作。G,08于点H,交8c于点G,OH=2,

DH=6.

①连接OC,若将扇形08C围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为

②求△ABC的面积.

18.在平面直角坐标系尤Oy中，点A在直线/上，以A为圆心，。4为半径的圆与y轴的另

一个交点为E.给出如下定义：若线段OE,OA和直线/上分别存在点2,点C和点。，

使得四边形是矩形(点A,B,C,。顺时针排列)，则称矩形A8CZ)为直线/的“理

想矩形”.

例如，下图中的矩形48C。为直线/的“理想矩形”.

(1)若点A(-1,2),四边形A3。为直线x=-1的“理想矩形”，则点。的坐标为—；

(2)若点A(3,4),求直线y=fcc+l(GW0)的“理想矩形”的面积；

(3)若点A(1,-3),直线/的“理想矩形”面积的最大值为一,此时点。的坐标

为.

专题四边形中的新定义问题

例题精讲

【例1].定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形，如图，在对余四边形ABC。中,

AB=BC,AD=2后,CD=5,ZABC=60°,则线段3A.

解：：对余四边形ABC。中，ZABC=60°,

AZADC=30°,

'：AB^BC,

...将△BCD绕点3逆时针旋转60°,得到△BAR连接如，如图所示,

:.△BCD^XBAF,NFBD=60°

：.BF=BD,AF=CD,ZBDC=ZBFA,

...△8尸。是等边三角形，

:.BF=BD=DF,

VZADC=30°,

：.ZADB+ZBDC=30°,

：.ZBFA+ZADB=30°,

ZFBD+ZBFA+ZADB+ZAFD+ZADF^180°,

.•.60°+30°+ZAFD+ZADF=1SO0,

AZAFD+ZADF^90°,

ZFAD=90°,

：.AD2+AF2=DF2,

：.AEr+cb2=BD1,

C.BD1^(275)2+52=45,

'：BD>0,

:.BD=3炳,

故答案为：3A/E.

A变式训练

【变171定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的

线段叫做这个损矩形的直径，即损矩形外接圆的直径.如图，△ABC中，ZABC=90°,

以AC为一边向形外作菱形ACEF,点。是菱形ACEF对角线的交点，连接80.若NDBC

解：如图1,取AC的中点G,连接BG、DG,图1

•..四边形ACE尸是菱形，

：.AE±CF,

：.ZADC=90°,

XVZABC=90°,

；.A、B、C、。四点共圆，点G是圆心，

AZACD=ZABD=90°-ZDBC=90°-60°=30°,

VZAGB=15°X2=30°,NAGO=30°X2=60°,

ZBGD=30°+60°=90°,

ABGD是等腰直角三角形，

：•BG=DG=^-BD^^~x2V3=V6,

；.AC=2企，

••.AD=2加Xsin30。=276Xy=V6-

•,-CD=2V6XCos300=2V^X除=3VL

菱形ACE尸的面积为：

3&X&+2X4

=6734-2X4

=1273

故答案为：12我.

【变1-2].定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形A8C。中，

若/A+/C=180°或/3+/。=180°,则四边形ABC。是''对补四边形”.

【概念理解】（1）如图1,四边形A2CD是“对补四边形”.

①若NA：ZB：NC=3：2：1,则/£>=90度.

②若N8=90°.且AB=3,A£）=2时.贝！jCD?-cM=5.

【类比应用】（2）如图2,在四边形ABCZ）中，AB=CB,8。平分NAZJC.求证：四边

形ABC。是“对补四边形”.

.•.设NA=3x°,则/B=2x°,ZC=x°,

•••四边形ABC。是“对补四边形”，

；./A+NC=180°,

3x+x=180,

・・・x=45°.

：.ZB=2x=90°.

•..四边形ABC。是“对补四边形”,

.".ZB+ZD=180°,

/.Z£)=90°.

故答案为：90；

:.AB2+BC2^AC2.

:四边形A8CD是“对补四边形”，

.•.ZB+ZD=180°.

-90°.

：.AD2+CD2=AC2.

:.AB2+BC2=AD2+CD2,

：.CD1-CB2=AB2-AD2,

'：AB=3,AD=2,

：.CD1-CB2=32-22=5.

故答案为：5；

(2)证明：在。C上截取。E=D4,连接BE,如图,

平分/AOC,

/ADB=ZEDB.

在△A£>2和△即8中,

'AD=ED

-ZADB=ZEDB,

DB=DB

；.AADBg/\EDB(SAS),

/.ZA=ZDEB,AB=BE,

,CAB^CB,

：.BE=BC,

：.4BEC=NC.

"：ZDEB+ZBEC=ISQO,

：.ZDEB+ZC=ISO°,

ZA+ZC=180°,

四边形ABC。是“对补四边形”.

【例2].定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形.如图，在Rt^ABC中，/

ABC^90°,AB=2,BC=1,将△ABC沿NABC的平分线的方向平移，得到ABC,

连接AC,CC,若四边形A8CC是等邻边四边形，则平移距离88的长度是1或幺，.

解:「将RtzXABC平移得到AVB'C,

：.BB'=CC',A'B'//AB,B'=AB=2,B'C=BC=l,A'C=AC=45>

①如图1,当CC'=BC时，BB'=CC'=BC=1；

②如图1,当AC'=AB=2时，

-：ZABC=9Q°,BB'是/ABC的角平分线，

：.ZB'84=45°,

延长C'B'交AB于H,

'：A'B'//AB,ZA'B'C=90°,

/.ZAHC1=ZA'B'C=90°,

=90°,

设BH=B，H=x,

：.BB'=&x,AH^2-x,CH^l+x,

"：AC'2=AH2+C'H2,

22—(2-x)2+(1+x)2,

整理方程为：2/-2x+l=0,

VA=4-8=-4<0,

此方程无实数根，故这种情况不存在;

③如图2,当AC'=CC时，则AC'=BB',

延长C'B'交AB于H,

VA,B'//AB,ZA'B'C=90°,

：.ZAHC=NA'B'C=90°,

=90°,

设,BH=B'H=x,

：.BB'=AC'=V2X,AH=2-x,CH=l+x,

'：AC2=AH2+CH2,

2=(2-x)2+(1+x)2,

解得：尸立，

2

：.BB'=»弧,

2

综上所述，若四边形4BCC是等邻边四边形，则平移距离瓦T的长度是1

【变2-1].已知在Rt^ABC中，NC=90°,AC=6,BC=3.我们定义：“四个顶点都在

三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”.

(1)如图1,四边形CZ5EF是△ABC的内接正方形，则正方形CD所的边长m等于2；

(2)如图2,四边形DGHI是(1)中的内接正方形，那么第2个正方形DGHI

的边长记为。2；继续在图2中的△8G4中按上述方法作第3个内接正方形，依此类推,……

9n

则第n个内接正方形的边长an上丁.(w为正整数)

3n-1-

BB

解：（1）四边形CZ）E尸是正方形，

:.EF=FC,EF//FC,

:.△BFES^BCA,

.BF=EF

"BCAC"

.3-al_al

••11,

36

••cii=2,

故答案是：2；

（2）如图（2）四边形。GH/是正方形，

：.IH=ID,1H//AD,

：./\EIH^/\EDA,

.IE=IH

"DEAD"

.2-a_a

••22,

24

3

Q93

如图3中，由以上同样的方法可以求得正方形PGQS的边长为：色

932

第4的个正方形的边长为：K=4，

3

273

2n

第n个内接正方形的边长丽=J

3n-1

故答案为：=/丁2n.

3n-1

B

图1

[变2-2],定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角,

像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形.

根据以上定义，解决下列问题：

（1）如图1,正方形ABC。中E是上的点，将△BCE绕8点旋转，使8C与重

合，此时点E的对应点F在D4的延长线上，则四边形BEDF是（填“是”或“不

是”）“直等补”四边形；

（2）如图2,已知四边形是“直等补”四边形，AB=BC=10,CD=2,AD>AB,

过点B作BELAD于E.

①过C作CFLBF于点F,试证明：BE=DE,并求BE的长；

②若M是AD边上的动点，求周长的最小值.

解：（1）,•将△BCE绕8点旋转，BC与54重合，点E的对应点尸在OA的延长线上,

图1

・・・NABF=/CBE,BF=BE,

•・,四边形ABC。是正方形，

ZABC=ZD=90°,

/.ZABE+ZCBE=90°,

AZABE+ZABF=90°,即NEB/=NO=90°,

：.ZEBF+ZD=1SO°,

VZEBF=90°,BF=BE,

・・・四边形5瓦正是“直等补”四边形.

故答案为：是；

(2)①证明：•・,四边形A3CD是“直等补”四边形，AB=BC=IO,CD=2,AD>ABf

：.ZABC=90°,ZABC+ZZ)=180°,

：.ZD=90°,

9：BELAD,CF±BE,

：.ZDEF=90°,NCFE=9U°,

J四边形CD所是矩形，

：.DE=CF,EF=CD=2,

VZABE+ZA=90°,ZABE+ZCBE=90°,

・•・/A=/CBF,

VZAEB=ZBFC=90°,AB=BC,

:•△ABE/ABCF(A4S),

；.BE=CF,AE=BF,

•；DE=CF,

：.BE=DE；

•・,四边形COE尸是矩形，

：.EF=CD=2,

AABE^ABCF,

：.AE=BF,

：.AE=BE-2,

设BE—x,则AE—x-2,

在RtZiABE中，/+(x-2)2=1()2,

解得：x=8或x=-6(舍去)，

BE的长是8；

②ABCM周长=BC+BM+CM,

：.当BM+CM的值最小时，丛BCM的周长最小，

如图，延长CD到点G,使DG=C。，连接2G交AD于点AT,过点G作GHL2C,

交BC的延长线于点”，

.,.点C与点G关于对称，

ABM+CM=BM+MG^BG,即BM+CM^BM'+M'C,

当点M与重合时，BM'+M'C的值最小，即△BCM的周长最小,

在中，

RtZXABEAE=^AB2_BE2=^1Q2_g2=6,

・・•四边形ABC。是“直等补”四边形，

ZA+ZBCZ）=180°,

VZBC£>+ZGCH=180°,

・•・ZA=ZGCH.

VZAEB=ZH=90°,

AABEsACGH,

.BEAEAB105日口88-25

GHCHCG42GHCH2

：.GH=^-,CH=^,

55

BC+CH=10+—=—,

55

=22

BG7BH+GH=J（■）?+（手）2=2Vli>

.,.△BCM周长的最小值为2al+10.

n实战演练

1.如图，四边形ACZJE是证明勾股定理时用到的一个图形，a,b,cMRtAABCRtABED

边长，易知AE=MC,这时我们把关于x的形如a*+、ncx+b=Q的一元二次方程称为

“勾系一元二次方程”.

请解决下列问题：

(1)判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”：

①2?+^x+l=O不是(填“是”或“不是”)；

②3/+5&x+4=0是(填"是”或“不是”)

(2)求证：关于尤的“勾系一元二次方程+我M+b=O必有实数根；

(3)若尤=-1是“勾系一元二次方程”苏+加B+6=0的一个根，且四边形ACDE的

周长是12,求△ABC面积.

(1)解：2/+返x+l=0不是“勾系一元二次方程”,

理由：：&c=F，

.疝

2

•."=2,b=l,

tZ2+Z?27^C2,

・••以〃、b、。为三边长的三角形是不是直角三角形，且。为斜边的长,

；.2?+返x+l=0不是“勾系一元二次方程”，

37+5&.计4=0是“勾系一元二次方程”，

理由：,:近c=5瓜

•・c=5，

b=4,

a2+b2=c2,

...以。、b、C为三边长的三角形是直角三角形，且C为斜边的长，

.•.3/+5&x+4=0是“勾系一元二次方程”，

故答案为：不是，是；

(2)证明：：ax2+&cx+b=0是”勾系一元二次方程”，

••.〃、b、c为同一直角三角形的三边长，且c为斜边的长，

/.c2=a2+Z?2,

：A=(>/2c)2-4ab=2c2-4-ab=2((r+b2)-4ab=2(a-b)2^0,

关于x的“勾系一元二次方程”—+&cx+b=O必有实数根.

(3)解：：尤=-1是“勾系一元二次方程”依2+&cx+b=O的一个根，

'.a-J^c+6=0,

.'.a+b—y[2c,

:四边形ACDE的周长是12,

2(。+6)+，*^c=12,

：.2近c+近c=12,

；.c=2&,

:.a+b=®X2近=4,

Ca+b~)2=16,

(r+2ab+b2=16,

Va2+Z72=c2=(2V2)2=8,

2a6+8=16,

••cib'―4,

.*.SAABC=—aZ?=—X4=2.

22

AABC面积是2.

2.我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则

称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.

(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称；

(2)如图1,已知格点(小正方形的顶点)O(0,0),A(3,0),B(0,4),请你画出

以格点为顶点，OA,02为勾股边且对角线相等的勾股四边形0AM&

(3)如图2,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°,得到连接A。，DC,

NDC8=30°.求证：DC1+BC1=AC1,即四边形ABCD是勾股四边形.

(1)解：正方形、长方形、直角梯形.(任选两个均可)

(2)解：答案如图所示.M(3,4)或(4,3).

(3)证明：连接EC,

：.AC=DE,BC=BE,

VZCB£=60°,

：.EC=BC=BE,NBCE=6Q°,

VZr)CB=30°,

AZDCE=90°,

:.DC2+EC2=D呼,

J.D^+B^^AC2.

即四边形ABCD是勾股四边形.

3.定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线.

(1)如图/,在△ABC中，AB=AC,是△ABC的角平分线，E,尸分别是BD,AD

上的点.求证：四边形ABEF是邻余四边形；

(2)如图2,在5X4的方格纸中，A,B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形

ABEF,使A8是邻余线，E,尸在格点上；

(3)如图3,已知四边形ABC。是以4B为邻余线的邻余四边形，AB=15,4。=6,BC

=3,NAOC=135°,求CD的长度.

(1)证明：'：AB^AC,A£＞是△ABC的角平分线,

：.ADLBC,

：.ZADB=90°,

：.ZDAB+ZDBA^90°,

胡8与/EBA互余，

四边形ABEF是邻余四边形；

(2)解：如图所示(答案不唯一)，

(图2)

(3)解：如图3,延长A£),CB交于点H,

,/四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形,

ZA+ZB=90°,

VZADC=135°,

：.ZHDC=45°,

ZHDC=ZHCD=45

:.CH=DH,

'：AB2=AH2+BH2,

；.225=C6+DH)2+(3+DH)2,

：.DH=6(负值舍去)，

:.CD=6®

4.定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形.

【性质初探】如图1,已知，^ABCD,/B=80°,点E是边上一点，连结CE,四

边形ABCE恰为等腰梯形.求N8CE的度数；

【性质再探】如图2,已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF,BF

=CE,连结BE、CF.求证：BE=CF；

【拓展应用】如图3,回ABC。的对角线AC、BD交于点0,42=2,45°,过

点。作AC的垂线交2C的延长线于点G,连结。G.若NCr>G=90°,求BC的长.

【性质初探】解：过点A作AGLBC交于G,过点E作EX,3c交于入

VSiABCD,

：.AE//BC,

：.AG=EH,

...四边形ABCE恰为等腰梯形，

'：AB=EC,

.•.RtAABG^RtAECG(HL),

；./B=NECH,

VZB=80°,

：.ZBCE^SQ°；

【性质再探】证明：：四边形ABC。是矩形，

.,.AE//BC,

•.•四边形BCEF是等腰梯形，

：.BF=CE,

由(1)可知，ZFBC=ZECB,

:.△BFC出ACEB(SAS),

:.BE=CF；

【拓展应用】解：连接AC,过G点作交延长线于点

,/四边形ABCD是平行四边形，

二。是AC的中点，

GO±AC,

：.AC=CG,

'：AB//CD,ZABC=45°,

：.ZDCG=45°,

AZCDG=90°,

CD=DG,

.•.a4=OG=2,

'：ZCDG=90°,

:.CG=2®

；.AG=2&,

VZADC=Z£>CG=45",

：.ZCDM=135°,

：.ZGDM=45a,

：.GM=DM=42>

在RtZkAGM中，（2圾）2=（AD+如）2+（企）2,

:.AD=4i-近,

：.BC=4i-&.

5.给出如下定义：有两个相邻内角互余的四边形称为“邻余四边形”，这两个角的夹边称为

“邻余线”.

(1)如图1,格点四边形A8CO是“邻余四边形”，指出它的“邻余线”；

(2)如图2,在△ABC中，AB=AC,是△ABC的角平分线，E,尸分别是8。，AD

上的点.求