2025届天津市某中学高三数学上学期统练试卷（一）附答案解析

2025届天津市耀华中学高三数学上学期统练试卷（1）

一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的.

1,已知集合/={°12},8={x|x=3"l,keN},则2口8=（）

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{1}

2.设xeR,则“x<0”是“》2_》〉0，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知函数/（x）的部分图象大致如图所示，则/（x）的解析式可能为（）

A./（X）=-2X3+XB./（%）=—~-

X+1

c./（x）=xcos4xD./（x）=5

4.已知奇函数/（x）在R上是减函数，若a=—/1log3；|,b=/log/，c=—/（2心），则a,b,

c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

5.在数列{%}中，已知q=2,电=1，且满足%+2+%=%+i，则数列{%}的前2024项的和为（）

A3B.2C.1D.0

6.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三

角垛”的最上层（即第1层）有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…设“三角垛”从第1层到第

〃层的各层的球数构成一个数列{%},则第21层的球数为（）

A.241B.231C.213D.192

7.尻殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐虎殿顶与重檐尻殿顶.单檐尻殿顶主要

有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体在-48CD的形状（如图②），

若四边形45CD是矩形，AB//EF,且48=CD=2£尸=28C=8,EA=ED=FB=FC=3,则五

面体FE-ABCD的表面积为（）

正脊

>......

>C

3

①

A48B.3275C.16+16豆D.32+16指

/3%、

cos（a----）

8.若tana=2tan，则1°=（）

5sin（a-g）

A.1B.2C.3D.4

T7T

9.设函数/（x）=3sin（@x+9）+l（G>0,；）的最小正周期为兀，其图象关于直线X=：对称,

则下列说法正确的是（）

A./（x）的图象过点［o,-

B./（X）在—上单调递减

C./（x）的一个对称中心是［言,o］

D,将/（x）的图象向左平移fd个单位长度得到函:

数y=3sin2x+l的图象

10.已知函数/（X）=（加2—加—1卜苏+'1是幕函数,且在（0,+8）上为增函数，若a,beR,且

。+6〉0,仍<0,则/（6?）+/（6）的值（）

A.恒等于0B.恒小于0C.恒大于0D.无法判断

11.函数/⑺=V，在区间（无水+1.5）上存在极值点,则整数人的值为

A.—3,0B.—2,1C.-3,—1D.—2,0

2

12.已知函数/3=卜=1|满足/(a)=/S)(awb),在区间⑷26］上的最大值为e—1,贝晨为

11

A.In3B.-C.-D.1

32

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.

13.若复数z=^^^+|3—4i|,则闫=

2+1

14.若正数x,歹满足3x+y=5盯，则4x+3y的最小值为.

15.定义在R的函数y=f(x),如果函数图象上任意一点都在曲线/=|刘上，则下列结论正确的是

(填上所有正确结论的序号)

①/(0)=0；

②函数y=fO)值域为R；

③函数y=/(x)可能既不是奇函数也不是偶函数；

④函数y=/(久)可能不是单调函数；

⑤函数产/(x)的图象与直线产;x有三个交点，

16.已知直三棱柱ABC-/4G中，NR4C=90°，侧面BCCXBX的面积为2，则直三棱柱ABC-4四

外接球表面积的最小值为.

|x-l|-l,x<2

17.已知函数/(x)=<，若函数g(x)=x・/(x)-a的零点个数为2,则。的范围为

18.在等腰梯形48。中，已知ZABC=60°,BC=2,48=4,动点£和尸分别在线段

_、_、——►1——►_»

5C和。。上，且BE-BC，DF=—DC,则通.而的最小值为

三、解答题：本题共2小题，共22分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.

3

19.在V48c中,角48,C的对边分别为a,"c,已知bcosC+ccosB=2acosN.

（1）求角A；

（2）若cosC=；,求cos[g+N]的值；

（3）若a=2j7,Z）为ZC的中点，且80=将，求V45。的面积.

20.已知等比数列{4}是递增数列，且4+%=10，=14.

（1）求{2}通项公式；

（2）在%和4之间插入1个数Ai，使%、小、的成等差数列；在4和火之间插入2个数Hi、b22,

使。2、人21、%、%成等差数列；…；在%和%+1之间插入〃个数如、“2、…、与，使%、%、“2、…、

b1m、%成等差数列.若虱=bn+（&i+%）+…+（如+6”2+,•,+“"），且〈-3小2"对

〃eN*恒成立，求实数加的取值范围.

天津市耀华中学2025届高三数学统练（1）

一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的.

1.已知集合"={012},B={x\x=3k-l,ke^}；则405=（）

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{1}D.{2}

【答案】D

【解析】

【分析】根据交集定义求解即可.

【详解】因为/={0,1,2},B={x\x=3k-\,k^},

所以4口8={2}.

故选：D.

2.设XER,贝广x<0”是x>o”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

4

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】解出不等式——X〉。后，结合充分条件与必要条件的定义即可得.

【详解】由J—x〉0,解得x>l或x<0,

故“x<0”是“x2-x>0”的充分不必要条件.

故选：A.

3.已知函数/(%)的部分图象大致如图所示，则/(%)的解析式可能为()

A./(x)=-2x3+xB./(%)=丁二

x+1

C.f(x)=xcos4xD-/(幻=画

【答案】C

【解析】

【分析】由函数图象的特殊点以及单调性逐一判断可得解.

【详解】由图象可知/(1)<0,故BD不成立;

对于A选项：f(x)=-6x2+1,当/(x)〉0时，xe

当/'(x)<0时,X€

号，孚］上单调递增,

所以/(x)在---丁上单调递减，在在二，+s上单调递增，不符合

I6)66JI6J

图象，故A不成立;

故选：C

4.已知奇函数/(x)在R上是减函数，若a=—/［logs；］,b=flog”，c=—/(2一°£),则a,b,

5

C的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

【解析】

【分析】根据奇函数的性质得到a=/(log34),c=/(-2-°-8),再比较*4,1°8|2,_2一°8的大

小关系，最后结合函数的单调性判断即可.

【详解】奇函数/(x)在R上是减函数，则-/(x)=/(-x),

所以a=-/1logs=-/(-log34)=/(log34),

88

C=-/(2-°-)=/(-2-°-),

因为I=log33<log34<log39=2,log22<log0—=log2f—=-l,

3i23⑶

又0<25<2°=1，所以一1<—2-08<0,

/\

8

所以1%2<-2一°8<唾34,则/bgj>/(-2-°-)>/(log34),

3\3J

故A〉C〉<7.

故选：B

5.在数列｛4｝中，已知q=2,<72=1，且满足%+2+%=%+1，则数列｛%｝的前2024项的和为()

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【解析】

【分析】用"+1去换4+2+%=4+1中的〃，得4+3=%+2-%+1，相加即可得数列的周期，再利用周

期性运算得解.

【详解】由题意得4+2=。“+1-4，用"+1替换式子中的，，得4+3=纵+2一%+1，

两式相加可得%+3=-%，即4+6=-4+3=%，所以数列S„｝是以6为周期的周期数列.

=

又％=2,a,=1,tz3=—1,a4-2,%=-1，4=1-

6

所以数列｛册｝的前2024项和S2024—337+a2-\\-a6^+ax+a2=3.

故选：A.

6.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三

角垛”的最上层（即第1层）有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…设“三角垛”从第1层到第

«层的各层的球数构成一个数列{an},则第21层的球数为（）

A.241B.231C.213D.192

【答案】B

【解析】

【分析】依题意写出前几项即可发现规律.

【详解】设4+1—

由。2-%=3—1=2,a3—a2=6—3=3,

a4-a3=10-6=4,

可知也｝为等差数列，首项为2,公差为1,

故2=2+（"-1）="+1,

故%+「%=n+\,

贝U。2一％=2,。3一。2=3,。4—。3=4，

a“—a,-=〃（〃之2）,

累加得…小（”?〃+2）,

即%=（"T）｝+2）+i,显然该式对于〃=1也成立,

故％=230+1=231.

故选：B

7

7.尻殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐尻殿顶与重檐尻殿顶.单檐尻殿顶主要

有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体在-45CD的形状（如图②），

若四边形/BCD是矩形，AB//EF,且AB=CD=2EF=2BC=8,EA=ED=FB=FC=3,则五

面体在-ABCD的表面积为（）

正脊

①

A.48B.3275C.16+1675D.32+16百

【答案】D

【解析】

【分析】根据平面图形的几何性质，分别求等腰三角形和梯形的高，再求各个面的面积，即可求总面积.

【详解】分别取40,8c的中点G,H,连接G77,FH,

EF

过点尸作45的垂线77,垂足为/,

因为EB=FC=3,BC=4,所以所以FH=下,

根据对称性易得△EBC之^EAD,

所以SHBC=万5CxFH=—x4xV5=2A/5,

8-4,_________

在RtAra/中，BI==2,所以FI=dFB?-B「=亚，

S梯形皿B=；(族+N3)x"=；x(4+8)x石=66，

又S矩形/Be。=4BxBC=32,

所以S所-ABCD=2SAFBC+2s梯形£^5+S矩形84co=32+16指.

故选：D.

/3%、

cos(a----)

8.若tana=2tan—,则------二()

5sin(a--)

8

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【详解】costa7171

=cosCCH------------

52

7171

二cosad—=sin+

~25rtb

71.71.71

sinCtH-----smacos——+cosasm—

55

所以原式=---7...-V

71.71.71

sinCL------smacos---cosasm——

555

兀〜兀

tana+tan—3tan—

----------=^=3,

7171

tana-tan—tan—

55

故选C.

点睛：三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合

适的公式计算即可.本例应用两角和与差的正弦(余弦)公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知

条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用.

本题主要考查两角和与差的公式.

9.设函数/(x)=3sin(ox+0)+l(®>0,的最小正周期为兀，其图象关于直线x=9寸称,

则下列说法正确的是()

/(X)的图象过点(。，一!"

A.

B./(x)在—上单调递减

/(x)的一个对称中心是1,0

将/(x)的图象向左平移;个单位长度得到函数>=35足2、+1的图象

D.

【答案】D

【解析】

9

【分析】由周期求出。，再由对称轴求出。，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即

可.

【详解】函数/(%)=3sin(ox+9)+1。〉0,闸<3的最小正周期是兀,

所以0=/=2,则/（x）=3sin（2x+0）+l,

/(x)=3sin(2x+^)+l图象关于直线x=1对称,

JTJTJT

所以2x—+0=—+左兀，左£Z,解得。=——+左兀，左EZ,

326

因为。£所以当左=0时，（p———,则/（X）=3sin[2x—KJ+1,

jr3i

当x=0时，/（0）=-3sin-+l=——+1=一一，故A错误;

''622

,「乃-it「八7兀

由xe—,所以2x—0,—

12366

因为y=sinx在04上不单调，所以/(x)在3g上不单调，故B错误;

因为/[j=3sinf2x^--^-j+l=3sinjr+l=1^0

所以五,0不是/(x)的一个对称中心，故C错误;

1

因为511。7|=r0，将/(x)=3sin([2x-％7TJ1+1的图象向左平移五7T个单位长度得至小

y=3sin+I=3sin2x+1,所以能得至n=3sin2x+l的图象,故D正确.

故选：D.

10.已知函数/(x)=(加2—加—1)X苏+MT是塞函数，且在(0,+8)上为增函数，若且

4+6〉0,。6<0,则/(。)+/伍)的值()

A.恒等于0B.恒小于0C.恒大于0D.无法判断

【答案】C

【解析】

10

【分析】根据函数是基函数，且在(0,+8)上为增函数，得到加=2,确定函数为奇函数，单调递增，故

/(°)>/(询=-/伍),得到答案.

【详解】函数/(X)=(加2—加—是幕函数，则加2_加_]=],解得加=2或掰=—1.

当加=—1时，/(x)=x\在(0,+8)上为减函数，排除；

当加=2时，f(x)=x5,在(0,+8)上为增函数，满足；

/(x)=x5,函数为奇函数，故在R上单调递增.

a+b>0,故十>一6,/(。)>/(一6)=-/伍),故/(<?)+/9)>0.

故选：C.

【点睛】本题考查了幕函数的定义，根据函数的奇偶性和单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函

数性质的综合应用.

11.函数在区间(太上+1.5)上存在极值点，则整数人的值为

A.-3,0B.-2,1C.-3,-1D.—2,0

【答案】C

【解析】

【分析】求出导函数，判断函数的单调性，利用函数的极值所在位置，列不等式求解左的值即可.

【详解】函数/(x)=xV,可得"x)=2xex+x2eJ=e\x2+2x),

当xe(—oo,—2)和(0,+8)时，f\x)>0,当xe(—2,0)时，f\x)<0,

则/(x)在(-叫-2)和(0,+8)上单调递增，在(-2,0)上单调递减.

若/(x)在的无+L5)上无极值点,贝联+1.5,,-2或h.0或-2"<上+1.5,,0,

ke(-oo,-3.5]u[-2,—1.5]u[0.+<%?)时,/(x)在(左，左+1.5)上无极值点，

ke(—3.5,—2)(—1.5,0)时,/(X)在(左，上+1.5)上存在极值点.

因为七是整数，故左=—3或左=一1,

故选：C.

【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的判断，是难题.

12.已知函数/(》)=卜*-“满足/(a)=/(6)(awb),在区间[a,26]上的最大值为e-1,贝！16为

11

11

A.In3B.-C.-D.1

32

【答案】C

【解析】

【分析】函数图象结合单调性可解.

【详解】/(a)=/(b)=a<O<b,函数/(乃=卜-在［0,2可上单调递增，

所以/(26)>/(6)=/(4，

所以在区间［d2可上的最大值为/(2Z))=e26-l=e-l,解得b=；

故选：C.

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.

13.若复数z=-^”+|3—倒，则忖=.

【答案】46

【解析】

【分析】根据复数的除法运算以及模长公式即可求解.

10-5i।,5（2-i）（2-i）5（3-4i）

［详解】z=--+3-4i—V+5=———-+5=8-4i,

2+i11（2+i）（2-i）5

|Z|=782+（-4）2=4V5

故答案为：46

14.若正数x,>满足3x+y=5砂，则4x+3y的最小值为.

【答案】5

【解析】

31131

【分析】由题意可得一+—=5,可得4》+3了=丁(4》+3/(一+一),由基本不等式可得.

yX5yx

12

31

【详解】正数％,V满足3x+y=5盯，…一+—=5,

y%

.,4X+3^=1(4X+3J)(-+-)=1(13+—+^)>1(13+2(—x^)=5

5yx5yx5\yx

12x3y1.

当且仅当——=—即x=—且歹=1时取等号，

yx2

故4x+3y的最小值为5.

故答案为：5

15.定义在R的函数y=p>),如果函数图象上任意一点都在曲线/=|刘上，则下列结论正确的是

(填上所有正确结论的序号)

①/(0)=0；

②函数y=fO)值域为R；

③函数y=f(x)可能既不是奇函数也不是偶函数；

④函数y=八比)可能不是单调函数；

⑤函数产/(x)的图象与直线产〈X有三个交点，

【答案】①③④

【解析】

【分析】利用奇偶性单调性结合函数图象求解.

【详解】①当x=0时>=0所以/(0)=0成立，正确

②函数y=/(x)的图像可能都在x轴上方，值域不是R,故错误

③函数y=/(x)可能是奇函数，也可能是偶函数，也可能非奇非偶，正确

④函数y=/(x)可能是增函数，也可能是减函数，也可能不是单调函数，正确

⑤函数y=/(x)的图像与直线y=有可能只有一个交点(原点)，也可能有两个，也可能有三个交

点，错误.

故答案为：①③④.

16.已知直三棱柱ABC-451G中，ABAC=90°，侧面BCC{BX的面积为2，则直三棱柱ABC-4Aq

13

外接球表面积的最小值为.

【答案】47

【解析】

【详解】试题分析；根据题意，设8C=2加，则有AS】=工，从而有其外接球的半径为

m

R=)2+白*所以其比表面积的最小值为S=4".

考点：几何体的外接球，基本不等式.

|x-l|-l,x<2

17.已知函数/(1)=<，若函数g(x)=x・/(x)-a的零点个数为2,则a的范围为

>2

735

【答案】一＜。＜—或a=—

824

【解析】

【分析】把函数零点个数转化为图象公共点的个数，作出图象，列出限制条件可得答案.

【详解】令〃(尤)=伽(%)，

-x2,x<1

当x«2时，/(x)=|x-l|-l,=,

x2-2x,l<x<2

当xe(2,4]时，x—2G(0,2],f(x)=——/(x-2)=--^|x-3|,

,2<x<3

,3<xV4

当x£(4,6]时，x—4c(0,2],/(x)=—/(x—4)=—(|x—5|—ij,

(4x-x)4<xV5

g)=<j

(x?-6x),5<x<6

,4

当xc(6,8]时，x—6G(0,2],/(x)=—/(x—6)=—^|x—7|—1^,

88'

14

(6%-12),6<x<7

，(x)=,；

(x?-8x),7<x<8

-8

作出函数仅x)的部分图象如下,

因为g(x)=a的零点个数为2,所以〃(x)=切(x)的图象与y=a的图象的公共点个数为2,

735

由图可知，一<。(一或a=——.

824

735

故答案为：一〈。(一或a=—

824

18.在等腰梯形中，已知ZABC=60°,BC=2,AB=4,动点£和尸分别在线段

____—.1—.

3c和。C上，且B£=；18C，DF=--DC,则乐.丽的最小值为

【答案】4c-13

【解析】

___AD______________________4

【分析】由题意可得Z)C=—,AE-BF=(AB+ABCy(BC+CF),进一步化为不+62-13,再利用条件

2A

以及基本不等式，求得它的最小值.

【详解】由题意8C=2,AB=4,ZABC=60°,

___

所以=—25C-cos600=4—2=2,/.DC=—,

2

f0<2<l

又动点E和歹分别在线段BC和。。上，且屉=X能，。尸=彳丁£>。，所以｛1，解得

2A04—V1

[22

15

一<A<1»

2

'.AE-BF=（AB+ABC）-（BC+CF）=（AB+ABC）（BC-FC）

=（AB+ABC）-[BC-（DC-DF）]=（AB+ABC）-（BC+—DC-DC）

24

=（而+加）・辰+（•等争=（肉加）皿+詈•函

=T.荏2+（1+匕丝）羽.元+几元2

4Z4

1-2Z1-2Z4I—I-

=-------xl6+（l+-------）x4x2xcosl20°+4Z=-+6A-13>2V24-13=476-13,

424Z

当且仅当士=64时，即2=46时取等号，故衣.而的最小值为4c-13，

23

故答案为：476-13.

三、解答题：本题共2小题，共22分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.

19.在V4SC中，角4民。的对边分别为a,6,c,已知6cosc+ccos3=2acos/.

（1）求角A；

（2）若cosC=；,求cos[g+z]的值；

（3）若。=2疗,£＞为/C的中点，且BD=5，求V48C的面积.

7T

【答案】（1）A=-

3

⑵3

6

（3）3G

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式，计算可得答案.

（2）利用和差角公式和二倍角公式，计算可得答案.

（3）利用余弦定理，整理出方程，计算可得答案.

【小问1详解】

ZJCOSC+CCOS5=2acosA,由正弦定理，得

sin5cosC+sinCcos5=2siih4cos/,sin（3+C）=sirU=2siiL4cos/

16

]兀

e(O,7r),sin/wO,cosA=—,A=—

v'23

【小问2详解】

2

cosC=2cos2--1=-cos2-

2323

C+兀=cos-cos--sin-sin-2/tl_2/|2/1

cos£+^=cos=xx=

12J2232332326

【小问3详解】

△ABD中,由余弦定理,

2

b2+4c2-2bc=28，

272_2]

V4BC中，由余弦定理，得cosC=)

2c-b2

:.b2+c2-bc=2S>

b2+4c2-2bc=28

联立《得3c2=bc，b=3c,

b2+c2-be