2025届台州高三一模数学试题（含答案）

台州市2025届高三第一次教学质量评估试题

数学2024.11

本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔

将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分（共58分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知tan«=2,则cos2a的值为（）

2.椭圆可：土+上=1与椭圆E,:「一+二^=1（0（左<4）的（）

19429-k4—k

A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等

3.若复数z是方程必―2x+5=0的一个虚根，贝Uz+I=（）

A.-2B.2C.-4zD.4z

4.已知集合4=卜,+2%<3},3={电+%<3},则“xeA”是“xeB”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

V-bx++2

5.已知变量x与y的成对样本数据具有线性相关关系，由一元线性回归模型1,根据最

E（e）=0,D（e）=o-2,

小二乘法，计算得经验回归方程为$=L6x+4,若是=10,3=15,则4=（）

A.6.6B.5C.-1D.-14

6.已知/（x）是定义在R上的奇函数，当xe（0,+oo）时，/（x）=log3x,则/（—9）=（）

A.-3B.-2C.2D.3

7.已知球。的半径为3,P是球。表面上的定点，S是球。表面上的动点，且满足（2而+豆）•而=0,

则线段。5轨迹的面积为（）

A.30兀B.36兀C.60兀D.6石兀

8.台州某校为阳光体育设计了一种课间活动，四位同学（两男两女）随机地站到4x4的方格场地中（每人

站一格，每格至多一人），则两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列的概率是（）

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列选项正确的是()

14

A.若随机变量X~5(6,§),则。(X)=g

B.若随机变量X~N(6,4),则E(X)=6

C.若随机变量X服从0—1分布，且尸(X=l)=g,则。(X)=；

C}C：T2

D.若机变量X满足P(X=左)=，攵二0,1,2,则或X)=§

10.已知函数/(%)=|〃—2sinM-卜in%]〃£H,且QWO,则下列选项正确的是()

7T

A./(x)的最小正周期为兀B.7(x)的图象关于直线x=万对称

C.Vxpx2eR,\f(xj-f(x2)\<4D.三。e(1,3),/(x)在[0,上有两个不同的零点

11.已知棱长为3的正四面体A—BCD,荏=2而，而=〃反，说'=g/,；[0,1],则下列选项正

确的是()

A.当〃=5时，EFBC=QB.当〃<2时，附卜号

,则|赤『的最大值为14+；&

C.当冏=6时，4+〃的最大值为gD.当同=新时

非选择题部分(共92分)

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”

的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设从上到下各层球的个数构成一个数列{4},

则％0-▲

X_1

13.若/(x)=^^+ax在R上单调递减，则实数a的最大值为▲

e+1

14.已知圆C:x2+y2+£)x+Ey=0,其中。<0,若圆C上仅有一个点到直线x+gy—2=0的距离为

F

,则上的值为▲；圆C的半径取值可能为▲（请写出一个可能的半径取值）.

D

四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知△ABC的内角A,5,C所对的边分别为a,4c,且2c-。=2acosB.

Q）求角A；

（2）若△ABC的面积为4百，。为AC的中点，求3。长度的最小值.

16.（15分）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，PC=AC.

（1）求证：平面平面A5CD；

（2）求直线与平面PCD所成角的正弦值.

17.（15分）已知函数/（冗）=+4%2-5元.

（1）求函数y=/（%）的单调递减区间；

（2）若不等式V对任意％w[1,+8）恒成立，求实数。的取值范围.

X

22

18.（17分）已知抛物线I:;/=4x的焦点为「准线为/,双曲线二：土-上=1的左焦点为T.

（1）求/的方程和双曲线口的渐近线方程;

（2）设。为抛物线11和双曲线12的一个公共点，求证：直线QT与抛物线11相切;

(3)设P为/上的动点，且直线PT与双曲线匕的左、右两支分别交于A3两点，直线尸尸与抛物线「1交

1k

于不同的两点c,。，判断1~是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

网Qi

19.(17分)对于无穷数列｛4｝和如下的两条性质：

月：存在实数2>0,使得V'/eN*且，<),都有力—。0/1；

P2：任意i,jwN*且i<j,都存在加wN*,使得。根=2%-q.

⑴若4=〃+±“eN*,判断数列｛4｝是否满足性质片，并说明理由；

n

(2)若不<：<……GeN*r=1,2,3,…),且数列也｝满足任意neN*,bna.,则称也｝为数列

｛%｝的一个子数列.设数列｛4｝同时满足性质《和性质P2.

①若。1=1,%=5，求出的取值范围；

②求证：存在｛4｝的子数列为等差数列.

台州市2025届高三第一次教学质量评估试题

数学参考答案2024.11

12.5513.-14.V3,厂£（0,0）均可

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）解：（1）已知2。一6=2〃cosB,由正弦定理得，

2sinC-sinB=2sinAcosB,因为A+8+C=7i,所以2sin（A+B）-sinB=2sinAcosB,

整理得2sinAcosB+2cosAsin5-sinB=2sinAcosB,即cosA=—,

2

jr

又因为Ae（0,兀），所以A=—.

3

(2)已知$4BC=gbcsinA=4G，由(1)知A=],得。c=16,

(AA2bA211

2

因为BO?=_2-2---C-COSA=—+c一一bc>bc——be=8,

UJ+C2422

当。=2c=4及时取到等号，所以3。的最小值为2后.

16.(15分)解：(1)不妨设正方形A8CD边长为2,则PD=CD=2,AC=PC=20,

由PC?=2£)2+82,得CDLPD,再由得平面。4。，

因为C£)u平面ABCD,所以平面PAD_L平面ABCD.

(2)取AD中点0,连结尸0,则POL平面A8C。，

以。为原点，OQOP所在直线分别为y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示,

则尸(0,0,V3),5(2,-1,0),C(2,l,0),D(0J,0),而=(2,—1,-6)，

-n-DC=0,2x=0,_l

设平面PC。的法向量为〃=(x,y,z),则<______=><l取〃=(0,j3,l),

n-PD=0,y—j3z=0,

\PB-n\2J3

记P3与平面PCD所成角为e,贝usine=#

网对4V24

17.解：(1)/(x)的定义域为R,f'(x)=3x2+8x-5,

人a2Q<n即汨—4——4+V31

令3x+8x-5=0,解得x,=-------,x2=--------,

-4-Jsl-4+A/31

由fXx)<0,解得§<x<丁,

所以函数/(x)的单调递减区间是二三叵]

22

(2)记。⑴=X+4%-5-6Inx-a(x-1),xG[1,+oo),

j.x——ax-\-

hx=x+--ax-=，

xx

因为用(2)<0,所以7—6山2—〃WO,得。27-61n2>7—6=l,

令h'(x)=0,解得x=1或％=----，

a—1

3

当时，----<1,/(%)<0在［1,+8)上恒成立，因此，/z(x)在［1,+8)上单调递减,

a-l

得h(x)<h(l)=0，即-61nxVtz(x-l)2对任意x£［1,+oo)恒成立.

当1<。<4时，对任意%3］,h\x)>0,因此，/z(x)在(1,］上单调递增，

\67—17I(Z—1)

当/e[1,3])时，力(%o)>%(1)=0，不满足题意.综上，a>4.

18.(17分)解(1)准线/的方程为％二—1,双曲线的渐近线方程为y=±JIx.

2x2—y2=6,

(2)联立方程组17

>2=4羽

消去y得V—2x—3=0,解得x=3(舍负)，由对称性，不妨取。(3,26)，

又由T(—3,0),求得直线QT的方程为x—Gy+3=0,

联立方程组逝y+3=°，消去％得y—4Gy+12=0,

y2-4x

因为A=(-4A/3)2-48=0,所以直线QT与抛物线口相切.

(3)因为T(-3,0),尸(1,0),得准线/为线段TF的中垂线，则直线PT与直线产尸的倾斜角互补，即

kPTkpF，

设%:y=k(x+3),lPF:y=-k(x-l),由条件知0<网<血,

y——k(x—1)

联立方程组《,'消去y得左2必—(2左2+4)》+左2=0,

〔6以

则\CD\=XC+XD+2=**2+1),

k

y-左(％+3),

联立方程组4消去y得(2—女2)九2—2左2%—女2—6=0,

2%2_y2=6,

则IA.=J1+42|xA-xB|=4?"，

Z-K

222

CCHI1V32-k瓜°2-k+3kV3

\AB\\CD\4G（左2+1）4（产+1）4月（r+1）6

1V3斗士/吉V3

故r+■;7为定值•

\AB\\CD\6

19.（17分）解:数列｛4｝满足性质片.Vz,JG2V*KJ<J,=；+--（«+-）=（J-O（l一一—）;

J