2025届顺德高三一模数学试题（含答案）

顺德区普通高中高三教学质量检测（一）

数学试题2024.11

本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如

需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求

作答的答案无效.

4.请考生保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.

第I卷（选择题共58分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知复数z满足匚^=1+#/，则忖=（）

Z

A.2B.lC.V2D.V3

2.已知集合/={xeZ}|x—1|<3},5={x|0<x<3},则（）

A.{0,1,2,3}B.{-l,0,l,2}C.{x|0<x<3}D.{x|-2<x<4}

3.“2'〉1,log2b〉1”是“2a+b〉4”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知单位向量2,B满足卜+目=1,则下列说法正确的是（）

A.®\=150。B.|a-^|=3

C.向量1+B在向量2上的投影向量为D.6±+

5.函数/（X）=COS2X-COSA^（）

A.偶函数，且最小值为一2B.偶函数，且最大值为2

C.周期函数，且在上单调递增D.非周期函数，且在»］上单调递减

6.印度数学家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边写有3025的一块牌子被劈成了两半,

1

一半上写着30,另一半上写着25.这时，他发现30+25=55,552=3025,即将劈成两半的数加起来，再

平方，正好是原来的数字.数学家将3025等符合上述规律的数字称之为雷劈数(或卡普列加数).则在下列

数组：92,81,52,40,21,14中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数的概率是()

831

A.—B.—C.—D.0

1553

-ax+1,x<a

7.已知函数=｛2的值域为尺，则实数。的取值范围是()

(x-1),x>a

A.(-oo,0)B.(-8,-1]C.[-l,l]D,[-l,0)

8.记正项数列｛an｝的前n项积为Tn,已知(%-1)北=2%,若％<黑，则〃的最小值是()

A.999B.1000C.1001D.1002

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.现有甲、乙两组数据，甲组数据为：Xl,x2,---,xl6；乙组数据为：3x「9,3/-9,…,3X16-9,若甲组数

据的平均数为加，标准差为〃，极差为。，第60百分位数为b,则下列说法一定正确的是()

A.乙组数据的平均数为3掰-9B.乙组数据的极差为3a

C.乙组数据的第60百分位数为36-9D.乙组数据的标准差为〃

io.在三棱台4BC-481G中，侧面ZCG4是等腰梯形且与底面垂直，4G=1，24=收，

ZC=8。=3,48=3后，则下列说法正确的是()

A.A.A1BCB.V,=9K

IAj—AoC

13

C.V=D.三棱台45C—44G的体积为一

AZlj-ABC2VBD-ACC1116

11.已知函数/(x)及其导函数/'(x)的定义域均为R,记g(x)=/'(x),若/(x)+/(2-x)=2,

g(x-1)为偶函数，则下列说法一定正确的是()

A./(0)+/(l)+/(2)=3B.g(x+4)=g(x)

C./(x+4)=/(x)

第H卷(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知3cos8+4sin。=5,则tan8=.

2

13.已知椭圆C:=+々=1(。〉6〉0)的左、右焦点分别为片，F,,过鸟作直线/垂直于x轴并交椭圆C

a-b~

于Z,8两点，若△ZB耳是正三角形，则椭圆C的离心率是.

14.现有甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一个邮箱里.若甲、乙、丙3位同学分别从

邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取法种数是(用数字作

答).

四、解答题：本大题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15(本题满分13分)

在△4SC中，内角Z,B,。所对的边分别为a,b,c,且sirtS•sinC=sirU,a=2.

(I)求AZBC的面积S；

(II)若/+c?=12,求/.

16(本题满分15分)

4

如图，四棱锥尸-4BCD的底面是正方形，且48=2,尸2,四.四棱锥尸-4BCD的体积为一.

3

B----------sz

C

(I)证明：平面048,平面Z8CD；

(II)求平面尸48与平面PCD夹角的余弦值.

17(本题满分15分)

已知函数f(x)=e2x-2(a+l)ex+2ax+2a+1(«>0).

(I)求函数在x=0处的切线方程；

(II)讨论函数/(x)的单调性；

(III)若函数/(x)存在两个零点可，x2,且玉+々〉0，求实数。的取值范围.

3

18（本题满分17分）

密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏，其中3名资深玩

家，4名新手玩家，甲为新手玩家.

（I）在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为工；

2

若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为工，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率；

3

（II）甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.

密室①有2个门，密室②有3个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1个门出去，若走出密

室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为X（X=1,2）,求X的分布列.

1—J

yac

①6②d-

19(本题满分17分)

已知数列｛4｝的前"项和为Sn,且=2%+〃-3.

(I)求数列｛a,,｝的通项公式；

k.n=a,-1*

(II)设勿,keN

[bn_^2k,ak-l<n<ak+i-l

(i)当左22,〃=a左+1-1时，求证：bn_x>(ak-l)-bn；

Sn-n

(ii)求工人.

i=l

4

2024学年顺德区普通高中高三教学质量检测(一)

数学试题

2024.11

本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

L答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如

需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作

答的答案无效.

4.请考生保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.

第I卷(选择题共58分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

-5|z|=

1.已知复数z满足z，则臼()

A.2B.1C.72D.V3

【答案】B

【解析】

【分析】依题意可得Z=2”,再根据复数代数形式的除法运算化简，最后再计算其模.

1+V3i

【详解】因为1==1+后，

Z

V3-i(V3-i)(l-V3i)

所以z==—市令—£=一,

1+V3i(1+V3i)(l-V3i)

所以忖=1.

故选：B

已知集合4={%€2|卜-1|<3},B={x|0<x<3},则4集8=()

A.（0,1,2,3}B.{-1,0,1,2}C.{x|0<x<3}D.{x|-2<x<4}

【答案】A

【解析】

【分析】首先解绝对值不等式求出集合A,再根据交集的定义计算可得.

【详解】由,一［<3,即—3<x—1<3,解得—2<x<4,

所以A={xeZ|<3}={xeZ|-2cx<4}={-1,0,1,2,3},

又3={x|0<%<31,

所以An3={0,l,2,3}.

故选：A

3.“20〉1，log2b>1”是“2"+°>4”的C）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C,充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的定义及指数函数、对数函数的性质判断即可.

【详解】由2"〉1可得。>0，由log20〉］可得匕>2,由2"+'>4可得。+匕>2,

所以由“2">1，log2b>1”推得出“20+“>4”，故充分性成立；

由>4”推不出“2“>1，log2b>1”,

如a=0,b=3,满足2a+b>4，但是2"=1，故必要性不成立；

所以'2">1，log2b>「'是"2"+'>4”的充分不必要条件•

故选：A

4.已知单位向量2,B满足忖+可=1,则下列说法正确的是（）

A.（7+150。B.忖―4=3

C.向量G+办在向量）上的投影向量为告之D.+

【答案】D

【解析】

【分析】根据数量积的运算律求出小6,即可求出他刀，从而判断A,再根据忖―可判断B,

根据投影向量的定义判断C,计算即可判断D.

【详解】单位向量B满足忖+可=1,

则仅+B）=a2+la-b+b2=\,所以无反=—

所以.心,可=而\=一又0。〈伍可W180。，所以伍M=120。，故A错误;

因为（M+孙+彼*=12+

2

〃+/?•〃1

所以向量五+B在向量之上的投影向量为—•a=-a,故C错误;

同’2

因为石(1+!3]=3/+工石2=_J_+J_xF=0,所以故D正确.

22222J

故选：D

5.函数=cos2x-cosx是（）

A.偶函数，且最小值为一2B.偶函数，且最大值为2

c.周期函数，且在［o,、］上单调递增D.非周期函数，且在兀］上单调递减

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性判定方式以及函数的最值判断A,B；根据周期性判断，结合复合函数的单调

性判断C,D.

【详解】/(x)=cos2x-COSX定义域为R,关于原点对称,

f(-x)=cos(-2%)-cos(-x)=cos2x-cos%=/(%),

所以/（x）为偶函数，又/（x）=cos2x-cosx=2cos2x-cosx-1,

令cosx=r,=-t-\,

当/=L时，即COSX='，/（x）有最小值，最小值为一2,

448

当/=-1时，即cosx=-l时，“X）有最大值，最大值为2,故A错误，故B正确；

因为/（x+2兀）=cos2（x+2兀）一cos（x+2兀）=cos2x-cosx=/（x）,所以〃x）为周期函数,

因为y=cosx在上单调递减，在兀］上单调递减，

-COSX-1,令cosx=r,0</<1,/(?)=2f-t-1,/(7)在|o，z

当xc%,/(x)=2cos2x

单调递减，在一」单调递增,

14）

/(x)=2cos2x-cosx-1,令cosx=r,-1<?<0,/(/)=2r-t-1,在

（-1,0）单调递减,

由复合函数的单调性知，/（x）在上先减后增，在兀J上单调递增；

故C,D错误，

故选:B.

6.印度数学家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边写有3025的一块牌子被劈成了两半,

一半上写着30,另一半上写着25.这时，他发现30+25=55,552=3025,即将劈成两半的数加起来，再

平方，正好是原来的数字.数学家将3025等符合上述规律的数字称之为雷劈数（或卡普列加数）.则在下列数

组：92,81,52,40,21,14中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数的概率是（）

831

A.—B.一C.-D.0

1553

【答案】C

【解析】

【分析】找出这6个数中的雷劈数，结合组合数公式求相应的概率.

【详解】因为（8+1）2=9?=81,所以81是雷劈数.其余的不是雷劈数.

记：“从6个数中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数”为事件A,

1

则尸⑷=CE$si

3

故选：C

f-tzx+1,x<a

7.已知函数〃x)=2的值域为R，则实数。的取值范围是()

,x>a

A.(-co,0)B.(-oo,-l]C.[-1,1]D,[-1,0)

【答案】D

【解析】

【分析】分段求函数值域，根据原函数值域为R,求实数。的取值范围.

【详解】若a<0,在(一―a)上，函数>=-办+1单调递增，所以ye(—8,1—")；

此时，函数y=(x-在上单调递减，在(1,+8)上单调递增，无最大值，所以ye[0,+s)；

因为函数/(x)的值域为R,所以1—1之。，结合。<0得—lWa<0.

l,x<0

若a=0,则/(0=的值域为[0,+s)；

(x-1),x>0

若0<a<l,在(——a)上，函数>=-"+1单调递减，所以y6(1-",+00)(1一/>0)；

在上，函数y=(x-17单调递减，在(1,+8)上单调递增，无最大值，所以ye[0,+s)；

所以函数/(x)的值域不可能为R；

若则函数在(―-。)上，函数>=-办+1单调递减，所以ye(1—/,+8)(l-a2<0);

在[a,+oo)上，函数y=(x_]/单调递增，je(a-l)2,+ooj,

此时函数/(x)的值域不可能为R.

综上可知：当一141<0时，函数/(x)的值域为R.

故选：D

8.记正项数列｛4｝的前〃项积为7；,已知(4—1)7；=2%,若%〈黑，则〃的最小值是()

A.999B.1000C.1001D.1002

【答案】C

【解析】

【分析】由数列的前项积满足(4-1)(=2耳，可求得｛雹｝是等差数列，并求得(的通项,

进而得到｛4｝的通项，再由4<—,即可求得正整数〃的最小值.

1000

【详解】•••(,为正项数列｛4｝的前〃项积，(耳―1)7；=2%,

.,.当“=］时，((—1)4=2g,%=1=3

•••｛(｝是首项为3,公差为2的等差数列，且4=3+2(〃-1)=2〃+1.

由(1—2)4=7；,得。〃=笆5=五口

1001nl2n+l10012001

右。〃<，则-----<n>------

“10002n-l10002

所以，正整数”的最小值为1001.

故选：C.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.现有甲、乙两组数据，甲组数据为：%,％,…,乙；乙组数据为：3%—9,3%-9,…J/—9,若甲组数

据的平均数为相，标准差为“，极差为。，第60百分位数为则下列说法一定正确的是()

A.乙组数据的平均数为3〃-9B.乙组数据的极差为3a

C.乙组数据的第60百分位数为劲-9D.乙组数据的标准差为“

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据平均数、极差、标准差的性质及百分位数的定义判断即可.

【详解】不妨设甲组数据从小到大排列为：石,々「一，玉6,

则乙组数据从小到大排列为：3%—9,3%-9,…,3石6-9,

因为甲组数据的平均数为加，标准差为〃，极差为。，第60百分位数为6,

则。=石6一石，又16%60%=9.6,所以8=%，

所以乙组数据的平均数为3〃z-9,故A正确；

乙组数据的极差为3/一9一（3%—9）=3（%6-=3。，故B正确；

乙组数据的第60百分位数为3玉0-9=-9,故C正确；

乙组数据的标准差为3"，故D错误.

故选：ABC

io.在三棱台ABC—aqG中，侧面ACGA是等腰梯形且与底面垂直，AG=1,M=41,

AC=BC=3,AB=3底,则下列说法正确的是（）

A.4A_L3CB.V&-ABC=9匕_440]

13

=

C.VA-ABC2Vg_^D,三棱台ABC—A4G的体积为二

cc6

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据面面垂直证明线面垂直，再证线线垂直，可判断A的真假；根据两个同高的三棱锥的体积之

比等于它们的底面积之比，可判断BC的真假；根据台体的体积公式求出台体体积，判断D的真假.

【详解】如图：

对于A：在中，AC=BC=3，AB=3拒,所以NAC5=90°,即AC，5c.

由平面ACGA1•平面ABC,平面ACCi^n平面A6C=AC,BCu平面ABC,

所以平面ACGA，又AAu平面ACGA，所以故A正确；

对于B：因为AC=1，AC=3,且△4B]GsZSABC,所以与2£=：S口ABC-

又三棱锥4-ABC和3—AgG的高相同，所以！_筋0=9匕_4瓯1，故B正确；

对于C：因为AC=3AG,所以=38口4。1。,所以％―AAC=3Vg_AGC,即/_4叱=，故C

错误;

对于D：因为三棱台的高为1,所以三棱台ABC-的体积为：V=1

故

D正确.

故选：ABD

11.已知函数/(x)及其导函数/'(X)的定义域均为R,记g(x)=7'(x)，若〃x)+/(2-x)=2,

g(x-1)为偶函数，则下列说法一定正确的是()

A./(0)+/(1)+/(2)=3B.g(x+4)=g(x)

C./(x+4)=/(x)D.gU=g1|]

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，即可判断.

【详解】对A：令龙=1,则”1)+/•⑴=2n"1)=1；令尤=0,则/⑼+"2)=2.所以

〃0)+/。)+〃2)=3,故A正确；

对B：因为“x)+/(2-x)=2,

两边求导，得g(x)—g(2—x)=0即g(x)=g(2-x)；

因数g(%T)为偶函数，所以g(T+x)=g(T-x)=>g(2-x)=g(—4+x),

所以g(x)=g(—4+x),故g(x+4)=g(x)成立，故2正确；

对C因为g(x+4)=g(x),

所以/(x+4)+Ci=/(%)+°2n/(x+4)=/(x)+c,c未必为0,故C错误；

对D：因为g(x)=g(2—x),令x=g，则gg]=g1|']，故D正确.

故选：ABD

【点睛】结论点睛：若/(%),g(x)的定义域均为R,且g(x)=/'(x),则:

（1）若y（x）为奇函数，则g（x）为偶函数；若/（尤）为偶函数，则g（x）为奇函数.反之也成立.

（2）若/（X）为周期函数，则g（x）也是周期函数，且周期相同，反之未必成立.

第n卷（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若3cosa+4sina=5,则tana=.

4

【答案】-

3

【解析】

【分析】由已知条件结合同角三角函数间的平方关系，求得sina,cosa,进而可得解.

sin(Z=—

3cosa+4sina=5

【详解】联立《

cos2+sin2a=1

cosa=—

故答案为:

1（。〉人〉0）的左、右焦点分别为6、F],过工且垂直于X轴的直线交椭圆

于A、2两点，若为等边三角形，则椭圆C的离心率为.

【解析】

【分析】由已知及AA43是等边三角形即可求得：4月=^HC,AF=迪°,利用椭圆定义列方程可得:

2313

AF2+=""c+2"c=2a，整理得：Gc=a，问题得解.

【详解】如图，依据题意作出图形,

由题可得：耳月=2c,又儿443为等边三角形,

77

由椭圆的对称性可得：NA£&=—,又A3,耳凡

6

AF2="c,AF、=吏c

计算可得:

313

由椭圆定义可得：+A耳=———c~\———c-2a

整理得：y[3c=a

所以e=£=《3

a3

【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，还考查了三角形中的边、角计算，还考查了椭圆的定义应用，

考查方程思想及计算能力，属于中档题.

14.现有甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一个邮箱里.若甲、乙、丙3位同学分别从

邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取法种数是（用数字作

答）.

【答案】134

【解析】

【分析】设甲、乙、丙3位同学的信件分别为A、B、C,对A、B、C取到的个数分四种情况讨论，

按照分类、分步计数原理计算可得.

【详解】设甲、乙、丙3位同学的信件分别为A、8、C,

若A、8、C都没有取到，则有A：=24种不同的取法；

若A、8、C取到一个，则有C；A；A”72种不同的取法；

若A、8、C取到两个，则有©；伊凶+5=36种不同的取法；

若A、8、C取到三个，则有C；=2种不同的取法；

综上可得一共有24+72+36+2=134种不同的取法.

故答案为：134

四、解答题：本大题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在△ABC中，内角A,B,。所对的边分别为〃，b,c,且siaB•sinC=sinA,a=2.

（1）求△ABC的面积S；

（2）若廿+。2=12，求A.

【答案】（1）2

⑵-

4

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理得到。-sinC=a=2,从而得到sinC=2,再由面积公式计算可得；

b

（2）由余弦定理得到6ccosA=4,从而得到bccosA=q2,再由正弦定理将边化角，即可求出tan4,从

而得解.

【小问1详解】

因为sinB-sinC=sinA,a=2,

由正弦定理可得6sinC=a=2,所以sinC=2,

b

所以-sinC=—x2bx—=2；

22b

【小问2详解】

因为〃2=02+02-20CCOSA，又/+。2=12，4=2,

所以4=12—2Z?ccosA,所以Z?ccosA=4,贝!JbccosA=/,

由正弦定理可得sinBsinCeosA=sin2A，又sinB-sinC=sinA,

所以sinAcosA=sin?A,显然sinA>0,所以cosA=sinA,则tanA=l,

又440,兀），所以A=

4

如图，四棱锥尸-ABC。的底面是正方形，5.AB=2,P4,尸5.四棱锥尸-A3CD的体积为

(1)证明：平面平面A3CD；

(2)求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

5

【解析】

【分析】(1)取A3的中点。，连接。尸，即可得到尸。=1,设尸到平面A5CD的距离为/?,根据锥体

的体积公式求出力=1,即可得到P。，平面A5CD,从而得证；

(2)取CD的中点，连接OE,建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【小问1详解】

取A3的中点。，连接。尸，因为A8=2,PA1PB,

所以尸0=LA3=1,

2

又四棱锥P—ABC。的底面是正方形，所以SABCD=22=4,设尸到平面A3CD的距离为限

114

则^P-ABCD="SABCD=§X，X4=§,所以力=1，

所以尸0=%,即P。_L平面ABCD,又POu平面PAB,所以平面PAB_L平面ABCD；

取CD的中点，连接。石，则0E〃6C,即。

如图建立空间直角坐标系，则P(O,O,1),C(1,2,0),。(一1,2,0),

所以灰=(2,0,0),PC=(1,2,-1),

设平面PCD的法向量为力=(x,y,z),贝叫_.,取力=(0,1,2),

n-PC=x+2y-z=0

又平面243的一个法向量为阳=(0,1,0),

\m-n\1V5

设平面PA3与平面PC。夹角为，，贝！jcos6=^^=——r=—,

\m\-\n\lxV55

所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为.

5

17.已知函数八%)=e2x-2(a+l)ex+2ax+2a+l(a>0).

(1)求函数/(x)在x=0处的切线方程；

(2)讨论函数/(力的单调性；

(3)若函数/(x)存在两个零点看，%，且%+%2〉0,求实数。的取值范围.

【答案】(1)>=0

(2)答案见解析(3)(1,+co)

【解析】

【分析】(1)求出了(0),再求出导函数，即可得到切线的斜率，从而求出切线方程；

(2)由⑴可得/'(x)=2(e=4.-1),再分a=l、。〉1、0<。<1三种情况讨论，分别求出函数

的单调区间；

(3)由f(0)=0,可得/(x)必有一个零点为0,再结合(2)讨论可得.

【小问1详解】

因为/(x)=q2x-2(o+l)e*+2ax+2o+l(o>0),

所以“0)=0,f\x)=2e2x-2(a+l)ex+2a,则/(0)=0,

所以函数/(x)在x=0处的切线方程为>=0；

【小问2详解】

函数/(x)=e2x-2(。+1谬+2ax+2o+l(o>0)的定义域为R,

且f'(x)=2e2*-2(a+l)el+2a=2(eA-a)(ex-l),

当a=l时，尸(0=2伫—1)220恒成立，所以/(x)在R上单调递增；

当a〉l时，则当尤>lna或x<0时/'(X)〉0,当0<x<lna时/'(x)<0,

所以/(X)在(-8,0),(Ina,+CO)上单调递增，在(O』na)上单调递减；

当0<a<l时，则当x〉0或x<Ina时—(x)〉0,当lna<x<0时/'(x)<0,

所以〃x)在(-aUna),(0,+动上单调递增，在(Ina,0)上单调递减；

综上可得，当a=l时，/(x)在R上单调递增；

当a〉l时，/(x)在(-90),(Ina,+8)上单调递增，在(0,Ina)上单调递减；

当0<a<l时，，(%)在(一8,1强),(0,+司上单调递增,在(Ina,0)上单调递减.

【小问3详解】

因为，(0)=0,/(x)必有一个零点为0,

由(1)可得，当a=1时/(x)只有一个零点，不符合题意；

当a〉l时，/(x)在(-8,0),(Ina,+8)上单调递增，在(0,Ina)上单调递减，

显然f(lna)<f(O)=O,

当x>ln[2(a+l)]时e*>2(a+l),则e*-2(a+l)>0,^>0，2ax>0,

所以/(%)=片'-2(a+l)e、'+2ax+2a+1=[e*-2(a+l)]e，+2ax+2a+1>0,

所以/(x)在(Ina,+co)上存在一个零点，

此时/(x)有两个零点七，马(不妨令王<%),且否=0,x2e(lntz,+oo),即马〉0,满足

%+%>°；

当0<a<l时，/(x)在(一％,In。)，(0,+“)上单调递增，在(lna,0)上单调递减，

所以/(x)在(0,+e)不存在零点，且一个零点为0,则另一零点不可能大于0,

此时不满足%!+x2>0,故舍去；

综上可得实数a的取值范围为(1,+8).

18.密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏，其中3名资深

玩家，4名新手玩家，甲为新手玩家.

(1)在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为

;若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为《，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率;

（2）甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和

②.密室①有2个门，密室②有3个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1个门出去，若走

出密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为X（X=1,2）,求X的分布

列.

密室外''、、、、

/ac\

;①b②d\

»I

【答案】（1）3

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（2）分布列见解析

【解析】

【分析】（1）先求出7人中随机选择2人的情况数和包含甲的情况数，分析得到6种情况中，甲和资深玩

家对抗的情况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种，分两种情况，求出甲获胜的概率，相加即可；

（2）设《为甲在密室①，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，舄为甲在密室②，且最终从密室

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①走出密室，挑战成功的概率，分析得到两个方程，求出耳=§,从而得到尸（x=1）=§和

P（X=2）=|,得到分布列.

【小问1详解】

7人中随机选择2人，共有C；=21种情况，其中含甲的情况有C；=6种，

6种情况中，甲和资深玩家对抗的情况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种，

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则甲和资深玩家对抗并获胜的概率为—x-=—,

21321

313

和同级的玩家对抗并获胜的概率为—x-=—,

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