2025高考数学复习必刷题：数列的基本知识与概念

第40讲数列的基本知识与概念

知识梳理

知识点一、数列的概念

（1）数列的定义：按照二定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每二个数叫做这个

数列的项.

（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限

子集｛1,2,…，77｝）为定义域的函数%=/伽）当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所

对应的一列函数值.

（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.

知识点二、数列的分类

（1）按照项数有限和无限分:

递增数列：an+l>an

递减数列：a>a

（2）按单调性来分:n+ln

常数列：%=%=C（常数）

摆动数列

知识点三、数列的两种常用的表示方法

（1）通项公式：如果数列｛%｝的第"项与序号〃之间的关系可以用一个式子来表示，

那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

（2）递推公式：如果己知数列｛%｝的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）

开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式

就叫做这个数列的递推公式.

【解题方法总结】

[,n=l

（1）若数列｛4｝的前〃项和为通项公式为%,则%=*

,n>2,neN

注意：根据S“求知时，不要忽视对”=1的验证.

（2）在数列伍“｝中，若。,最大，贝,若a,最小，贝/""""a.

[%Nan+l[an<an+1

必考题型全归纳

题型一：数列的周期性

,、1

例1.（2024.全国•高三专题练习）在数列｛a,｝中，已知%>。，4=1,%+2=—且

4十1

〃100—〃96，则％022+。3=（）

A.-B.C.@D.一〃

2222

【答案】C

1a11

【解析】由%+2=F，可得1]r，

"96+1

1

因为/00=。96，所以1110%，整理得《6+。96-1=。，

%6+1

由于%＞。，解得须=避工A/5-11V5-1

从而内8=7，=

+1”100()=

«962佝8+12

A/5-I

可知为6=%8=%00=…=%022=

2

11

因为〃3=q+12'所以“2022+。3=

2

故选：C.

例2.（2024•全国•高三专题练习）在数列｛4｝中,%=7,々=24,对所有的正整数〃都有

4+1=”“+4+2，则4。24=()

A.-7B.24C.-13D.25

【答案】B

«„i=

【解析】由+an+an+2得an+2=an+l+an+3,

两式相加得。“+3=-%，

aa

•e,n+6=~n+3=，

.••｛%｝是以6为周期的数列，

而2024=337x6+2,

••02024="2=24♦

故选：B.

例3.（2024•江西赣州•高三校联考阶段练习）斐波那契数列｛4｝可以用如下方法定义：

4+2=。.+。"，且卬=的=1,若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列也,｝,则数

列｛2｝的第100项为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】由题意有。“+2=凡+1+。“，且％=%=1，

若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列也J,

b

则4=1,b2=l,4=2,2=3,仇=1，6=0>b7=1,bs=l,b9=2...,

则数列也」是以6为周期的周期数列，

贝1J400=^6x6+4=&=3,

则数列｛£｝的第100项为3,

故选：D.

变式1.（2024•全国•高三对口高考）已知数列｛%｝中，4=；4+1=1-，522）,贝=

/an

（）

A.1B.-1C.2D.1

【答案】A

【解析】数列｛4｝中，

2an

A111c111

可知”2=1-7=-1,%=1-不=2,&=1一丁=5=。1，

故数列｛风｝是以3为最小正周期的周期数列，

所以“2014="671x3+1=%=耳•

故选：A

变式2.（2024.全国•高三对口高考）设函数一定义如下，数列｛%｝满足%=5,且对任意自

然数均有%+1=/（%）,则Zoos的值为（）

X12345

/（尤）41352

A.1B.2C.4D.5

【答案】B

【解析】由对任意自然数均有X向=/（毛），且X°=5,

可得%=/（%）=/（5）=2,x2=f（xl）=f（2）=l,^3=/（^2）=f（1）=4,

4=/（&）=/（4）=5,x5=/（X4）=/（5）=2,...,

所以数列｛尤“｝是4项为周期的周期数列，且前四项分别为2,1,4,5,

所以%2005=%501x4+l=Xi=.

故选：B.

变式3.（2024・安徽合肥・合肥一六八中学校考模拟预测）在数列｛%｝中，已知

%=2,2=3,当2时，。“+1是的个位数，则％）23=（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】因为%=2,%=3,当〃22时，。“+1是的个位数，

月^以=6,=8,〃5=8,〃6=4,cij=2,cig=8,cig=6,%。=8,〃】1二8,

%=4,

可知数列｛风｝中，从第3项开始有。“+6=%,

即当"23时，。”的值以6为周期呈周期性变化，

又2023+6=337..」,

故。2023=。1=2.

故选：C.

变式4.（2024.北京通州.统考三模）数列｛%｝中，4=2,g=4,«„_1«,i+1=an｛n>2）,则

。2023=（）

A.-B.1C.2D.4

42

【答案】C

【解析】因为%=2,%=4,an_xan+l=(?„(«>2),令〃=2,贝!|%%=。2，求得的=2,

令〃=3,贝|。2。4=43，求得〃4=；，令〃=4,则。3。5=。4，求得%=:,

令〃=5,贝!]。4。6=。5，求得。6=；，令〃=6,贝1]〃5%=。6，求得。7=2,

令〃=7,则。6。8=%，求得。8=4,....,

所以数列｛为｝的周期为6,则的023=4=2.

故选：C

【解题方法总结】

解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.

题型二：数列的单调性

例4.（2024•北京密云•统考三模）设数列｛%｝的前“项和为S"，贝『'对任意"eN*,%>。"

是“数列母｝为递增数列''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不是充分也不是

必要条件

【答案】A

【解析】数列｛%｝中，对任意〃eN*,an>0,

则S“=S“T+a”>S,T，〃22,

所以数列｛S“｝为递增数列，充分性成立；

当数列⑸｝为递增数列时，Sn>Sn_t,n>2,

即S,i+a“>Si，所以4>0,九22,

如数列-1,2,2,2,…,不满足题意，必要性不成立；

所以“对任意〃eN*,«„>。”是“数列电｝为递增数列”的充分不必要条件.

故选:A

例5.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝满足％=a>0,a“+i=-d+r%（"eN*）,若

存在实数乙使｛0｝单调递增，则〃的取值范围是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】A

【解析】由｛风｝单调递增，得％=-4+%>%,

由4=Q>。，得。〃>0,

・，.1>%+1(〃£N*).

九=1时，得/>々+1①,

〃=2时，得/〉一片+均+1,即（〃一1），<（々+1）（〃一1）②,

若，=1,②式不成立，不合题意；

若a>l,②式等价为，va+1,与①式矛盾，不合题意.

综上，排除B,C,D.

故选：A

例6.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝满足

2+生+…+墨川”—*）,一若数列也｝为单调递增数列,则彳的

取值范围是（

3

1-+8D1

A-B.—,+00C.8—,+oo

22

【答案】A

【解析】由今+*+…+M="（”eN*）可得?+*+…+篇="-1（心2）,

两式相减可得名=1,则4=2”,“22,

当〃=1时，+1可得q=2满足上式，故氏=2ReN*）,

所以勿=2（20-1）-"2+4",

因数列也｝为单调递增数列，即VneN*,bn+l-bn>0,

则几(2加一l)-(〃+l)2+4(〃+l)-[/l(2"-l)-n2+4n]=2-2"-27?+3>0.

整理得2厂〃一3,

A2"-32n-l2n-35—2〃

令q,=下「,〃£N*,

。〃+1c及2"+i2〃2n+i

C

当〃《2时，cn+i>cn,当〃23时,7+1<n，

于是得。3=］是数列｛g｝的最大项，即当”=3时，笑?取得最大值从而得

o2b8

所以％的取值范围为ui/>3.

O

故选：A

变式5.(2024.天津武清•高三天津市武清区杨村第一中学校考开学考试)数列｛%｝的通项

公式为4,=加+〃+1,贝!!“%>-；”是“｛%｝为递增数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

【答案】B

【解析】由题意得数列｛%｝为递增数列等价于对任意

neN*,an+1-an=［左(w+l)~+w+2］一(加？+"+l)=2万2+无+1>0,恒成立，

即人>_对任意〃eN*恒成立，

2n+l

因为-；7二<0,且可以无限接近于0,所以上20,

所以，，左>-g，，是，，｛4｝为递增数列，，的必要不充分条件，

故选：B

变式6.(2024・全国・高三专题练习)已知数列｛%｝的通项公式为凡=1-32〃，贝广2<1”是

“数列｛4｝为递增数列''的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】若数列｛%｝为递增数列，

则%+1—a”=［(〃+1)-32("+1)］—-32”)

—+2〃+1--3丸］-(“-3%〃)

—2〃+1—3X>0,

BP3Z<2M+1

由〃EN*,所以有32<2xl+l=3o/i<l,

反之，当X<1时，an+l-an>Q,则数列｛%｝为递增数列，

所以“九<1”是“数列｛4｝为递增数列”的充要条件，

故选：C.

变式7.（2024•江苏南通高三期末）已知数列｛%｝是递增数列，且4IS」，"”",

U,n>6

则实数f的取值范围是（）

A.（2,3）B.[2,3）C.件3）D.（1,3）

【答案】C

[（3——8,n<6

【解析】因为%=Ie,，｛%｝是递增数列，

[t,n>6

3—Z>0

所以”>1,解得£<f<3,

（3-r）x6-8<z

所以实数t的取值范围为[%],

故选：C

变式8.（2024.全国.高三专题练习）已知数列｛见｝满足q+i=log2（4+l）,若｛%｝是递增数

列，则外的取值范围是（）

A.（0,1）B.（0,72）C.（-1,0）D.（1,+8）

【答案】A

【解析】因为｛%｝是递增数列，所以。"<。用，即a“<log2（%+l）.

如图所示，作出函数y=x和y=log2（x+l）的图象，

由图可知，当xe（O,l）时，x<log2（x+l）,且log2（x+l）e（0,l）.

故当4«0,1）时,q<k>g2（%+l）=%且

依此类推可得4<a2<a3<---,

满足｛4｝是递增数列，即4的取值范围是（。,1）.

变式9.(2024.甘肃张掖.高台县第一中学校考模拟预测)已知数列｛%｝为递减数列，其前〃

项和5"=1?+2〃+加,则实数〃2的取值范围是().

A.(-2,+oo)B.(-oo,-2)C.(2,+co)D.(-co,2)

【答案】A

【解析】因为％包-。“<0,所以数列｛q｝为递减数列，

当“22时，a”=S“一S“_]=_，厂+2“+机一[—(〃-1)+2[z—1)+=—2M+3,

故可知当“22时，｛4｝单调递减，

故｛%｝为递减数列，只需满足出<4，BP-l<l+m^>m>-2.

故选：A

【解题方法总结】

解决数列的单调性问题的3种方法

作差比较法根据an+l-an的符号判断数列｛对｝是递增数列、递减数列或是常数列

根据―(4>0或。“<0)与1的大小关系进行判断

作商比较法

an

数形结合法结合相应函数的图象直观判断

题型三：数列的最大(小)项

例7.(2024.湖南邵阳•邵阳市第二中学校考模拟预测)数列｛2〃-1｝和数列｛3〃-2｝的公共项

从小到大构成一个新数列｛。“｝，数列也｝满足：包=/，则数列也｝的最大项等于.

7

【答案】-/1.75

4

【解析】数列｛2"-1｝和数列｛3〃-2｝的公共项从小到大构成一个新数列为:

L7,13,…，该数列为首项为1,公差为6的等差数列，

所以。“=6〃-5,

6”+16n-511-6〃

i+ln2〃+1T~~2n+1

所以当时，bn+.bn<0,即打>4>%>…，

又伪<么，

7

所以数列｛2｝的最大项为第二项，其值为:.

..7

故答案为：—.

4

例8.(2024・全国•高三专题练习)记S“为数列｛%｝的前"项和，若%=2"\贝U

2

(«-3«)-log2(S„+1)的最小值为.

【答案】T

【解析】依题意，数列｛%｝是首项为1,公比为2的等比数列，则S"=H=2"-1,

于是(/-3〃>log2(S“+l)=〃3-3〃2,令b"=n3-3n2,

32322

则有bn+1-bn=(n+1)-3(n+1)-(n-3n)=3n-3n-2,

显然当时，3〃2—3w-2>0,即6用>2，因此当“22时，数列也J是递增的，

又4=-2也=一4,所以(/一3/2).log2(S„+l)的最小值为-4.

故答案为：—4

例9.(2024•全国•高三专题练习)已知数列｛%｝满足q=18,an+1—an=3n,则」的最小

n

值为_________

【答案】9

【解析】由已知可得，an+i=an+3n,

所以当时，有%=凡一+3(〃-1).

则有

—18,

a2=4+3x1,

a3=%+3x2,

L

%=%+3(〃—1)，

两边分别相加可得，%+%+/+,,,+〃〃=4+2+，，一i+18+3x1+3x2+,••+3(〃—1)

(n-l)(3+3n-3)3n(n-l)

=〃]+%+•,,+%一]+18+=%+出+…+--------F18,

2

所以%=吗二11+18.

当〃=1时，4=18满足条件.

所以，

所以%=3+电金+史.3

n2〃2〃2

3x18_3

设/⑴=

2x2

根据对勾函数的性质可知，当0<x<2有时，f(x)单调递减；当x>2道时，/(x)单调递

增.

3x3183立+史-3=9,

又〃3)=---+一]=9，/(4)=

23242

所以，当"=3或〃=4时，%有最小值为9.

n

故答案为：9.

变式10.(2024•全国•高三专题练习)己知正项数列｛4｝满足4=1,g=64,

anan+2=ka^l+l,若应是｛4｝唯一的最大项，则上的取值范围为

【答案】

【解析】因为44+2=如工，所以巴旦=&叽，又％=1,电=64,

an+\an

所以幺红是首项为64,公比为4的等比数列，则&包=64VT=26/t,

I%J册

6

则6=2•也生•%=26人"2.》k"T….2jt°-l=C6"-6,T'F

an-\〃〃-2axZk

246310

a.5>a.2)t>2%./口i

因为％是｛q｝唯一的最大项，所以6,即1224k7k3'解得立,

4'

a5>%

即左的取值范围为

故答案为:4'T

2n-l,n<4,

变式11.(2024・高三课时练习)数列｛%｝的通项公式为。〃=右。5是

—n2+(a—l)n,n>5,

｛qj中的最大项，则a的取值范围是

【答案】[9,12]

【解析】当"W4时，4=2"-1单调递增,

因此〃=4时，取得最大值为g=15,

22

当〃25时，an=-n+(a-l)n=-(«-~~)+>

因为应是｛4｝中的最大项，

5

所以J2"解得9VaV12,

、一25+5(。-1)215

故答案为：[9,12].

2

变式12.(2024•北京•高三北京八中校考阶段练习)数列｛。“｝中，an=-n+lln(n^N*),

则此数列最大项的值是.

【答案】30

【解析】设/(〃)=—r+ibz,则该数列当〃=段时，小)取最大值，

又因为a〃=f2+1皿〃cN*),而5<g<6,

故当九=5或〃=6时，此数列取最大项，其值为例=3。，4=3。,

故此数列最大项的值是：30

故答案为：30

变式13.（2024・全国.高三专题练习）已知优+2022（HeN+，reR）,若数列｛玛｝中

最小项为第3项，贝Me.

【答案】（5,7）

【解析】因为/"）=f-比+2020开口向上，对称轴为％=^,

则由题意知=5t7

222

所以re（5,7）.

故答案为：（5,7）.

变式14.（2024•全国•高三专题练习）已知数列《“｝的通项公式为a,=n-5+2，则。"的

最小值为.

【答案】1-A/3/-V3+1

2

【解析］因为_yjn2+2=

"+4n2+2

易知数列｛4｝为递增数列,

所以数列｛4｝的最小项为为,即最小值为1-6.

故答案为：1-石

【解题方法总结】

求数列的最大项与最小项的常用方法

（1）将数列视为函数/（X）当xdM时所对应的一列函数值，根据/（无）的类型作出相

应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出了（元）的最值，进而求出数列的最大（小）

项.

（2）通过通项公式凡研究数列的单调性，利用22）确定最大项，利用

a

UNn+1

卜522）确定最小项.

V4+1

（3）比较法：若有叫「a-1）_/（=>0或时4>1,则的乜,则数

列S，，｝是递增数列，所以数列｛“，，｝的最小项为4=/（I）；若有4+「%=/（77+1）-/（77）<0

或%>0时巴旦<1,则凡+1<“，，则数列｛""｝是递减数列，所以数列｛4，｝的最大项为

a„

4=/（I）-

题型四：数列中的规律问题

例10.（2024.全国•高三专题练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何

学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所

示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第〃行黑圈的个数为与,则

()

Q第1行

O第2行

©•一第3行

图1图2

A.110B.128C.144D.89

【解析】已知〃“表示第〃行中的黑圈个数，设么表示第〃行中的白圈个数，

则由于每个白圈产生下一行的一个白圈和一个黑圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈和2

个黑圈，

所以4+1=2。〃+么，bn+i=an+bn,

又因为q=。，伪=1,

所以。2=1，月=1;

%=2X1+1=3,4=1+1=2；

a4=2x3+2=8,%=3+2=5；

%=2x8+5=21,b5=8+5=13；

4=2x21+13=55,4=21+13=34；

%=2x55+34=144.

故选：c.

例11.(2024.云南保山.统考二模)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一

书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.杨辉三角也可以看

做是二项式系数在三角形中的一种几何排列，若去除所有为1的项，其余各项依次构成数

列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,则此数列的第56项为()

A.11B.12C.13D.14

【解析】由题意可知：若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1,2,3,

4，,

可以看成构成一个首项为1,公差为1的等差数列，则

可得当〃=10,所有项的个数和为55,第56项为12,

故选：B.

例12.(2024・全国•高三专题练习)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如

三角形数1,3,6,10,第〃个三角形数为吗W=+3”.记第〃个左边形数为

222

以下列出了部分攵边形数中第〃个数的表达式：三角形数：

11Q1

N(n,3)=a"?+万几;正方形数：N(〃4)=〃2；五边形数：N(n,5)=-n2--n；六边形数：

N(〃,6)=2/—〃，可以推测N(〃水)的表达式，由此计算N(20,23)=()

A.4020B.4010C.4210D.4120

【解析】由题意可得：N(a,3)N(",4)=："2+2",

2222

2

N(〃,5)=-—n,A^(n,6)=—n--n.

2222

k—O4-k

由此可归纳N(",幻=77,

23—24—23

所以N(20,23)=^―x2()2+x20=4010,

故选：B.

变式15.(2024・全国•高三专题练习)古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研

究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三

角形数，如1,3,6,10,15,21,...这些数量的点都可以排成等边三角形，.•.都是三角

形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列｛q｝类似地，数1,4,

9,16,…叫做正方形数，则在三角数列｛%｝中，第二个正方形数是（）

A.28B.36C.45D.55

【解析】由题意可得，三角数列｛%｝的通项为4=匹m，

则三角数列的前若干项为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,

设正方形数按由小到大的顺序排成的数列为｛%｝,则a="2,

其前若干项为1,4,9,16,25,36,49,

在三角数列｛%｝中，第二个正方形数是36.

故选：B.

变式16.（2024.全国•高三专题练习）早在3000年前，中华民族的祖先就已经开始用数字

来表达这个世界.在《乾坤谱》中，作者对易传“大衍之数五十”进行了一系列推论，用来

解释中国传统文化中的太极衍生原理，如图.该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,

18,24,32,40,50,60,72,若记该数列为｛%｝,贝|。2。2「％必=（）

太极

天一•-------0

+

I―地二（2）=2

乾+

天三•）------含地二（2）=4

地四（4）=8

坤天五含地四（4）=12

--------地六（6）=18

天七----------含地六（6）=24

谱

天九…1---------------------含地八（8）=40

.............................................1.I..|（10）=50

A.2018B.2020C.2022D.2024

【解析】由题设中的数据可知数列｛%｝满足：%「出1=2〃，=2〃，

故a2021-a2020=2x1010=2020,

故选：B.

变式17.（2024・全国•高三专题练习）观察下列各式：

a+b=l；

a1+b2=3;

a3+b3=4;

6?+/=7;

a5+b5=11;

L

则不+〃。=（）

A.28B.76C.123D.10

【解析】设优+9=〃〃）,则

/（3）=/。）+/（2）=4"⑷=/（2）+/（3）=71（5）=/（3）+/（4）=ll,…

通过观察不难发现：/（"）=〃〃-1）+〃"-2）,从而

/（6）=/（4）+/（5）=18,/（7）=/（5）+/（6）=29,/（8）=/（6）+/（7）=47,

/（9）=/（7）+/（8）=76,/（10）=/（8）+/（9）=123,

故那+*=123,

故选：C.

变式18.（2024・全国•高三专题练习）古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研

究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三

角形数，如1,3,6,10,15,21,…这些数量的点都可以排成等边三角形，.•.都是三角

形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列｛4｝.类似地，数1,4,

9,16,…叫做正方形数，则在三角数列｛%｝中，第二个正方形数是（）

A.36B.25C.49D.64

【解析】由题意可得，三角数列｛为｝的通项为为=当辿，则三角数列的前若干项为1,

3,6,10,15,21,28,36,45,55,...»

设正方形数按由小到大的顺序排成的数列为抄“｝,则2其前若干项为1,4,9,

16,25,36,49,.

・・・在三角数列｛“〃｝中，第二个正方形数是36.

故选：A.

【解题方法总结】

特殊值法、列举法找规律

题型五：数列的恒成立问题

例13.（2024・全国•高三专题练习）已知数列｛。”｝的通项公式%=102"，前〃项和是

S",对于V"eN*,都有Sn<Sk,则k=

【答案】5

【解析】

如图，为>=1。元和y=2'的图象，设两个交点为A,B,

因为4=10-2=8>0,所以

因为。5=50-32=18>0,a6=60—64=—4<0,所以5<x§<6,

结合图象可得,当〃式1,5］时，10〃>2",即%>0,

当〃e［6,+co）时，10〃<2",即。“<。，所以当〃=5时，S.取得最大值，即左=5.

故答案为：5.

例14.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝满足%…+《，若k2为恒成

nn+12n

立，则实数上的最小值为.

3

【答案】1/1.5

［解析］,•*Q〃+1—Q〃=--------1-------------------------1----------------<0,

2n+l2〃+2n2〃+12n+22n

33

・・・数列｛〃”｝为单调递减数列，①〃)侬=4=5.从而％

3

即女的最小值为不.

2

3

故答案为：—

例15.(2024•河南郑州•高三校联考阶段练习)数列｛4｝满足又，小(〃22,且

〃cN*),4=2,对于任意〃cN*有丸＞%恒成立，则丸的取值范围是.

【答案】|,+，|

1

【解析】…一%二E

111

22x323

111

323x434

111

434x545

111

—“I-----------------

一nx(n+l)nn+1

从而可得。〃-q=7------7

2〃+1

即见='!—~＞因为见＜京,所以，

2n+l22

故答案为：|，+°0)

变式19.(2024•全国•高三专题练习)数列也J满足4=/+M+2,若不等式%Na4恒成

立，则实数上的取值范围是()

A.[—9,—8]B.[-9,-7]C.(—9,—8)D.(-9,-7)

【答案】B

【解析】+加+2=(〃+:)--^-+2,

•・•不等式42%恒成立，

3.5＜--＜4.5,

2

解得-9”＜一7,

故选：B.

变式20.（2024.河北唐山.高三唐山一中校考阶段练习）数列｛%｝满足

“用=二二，若不等式4+&+•••+—<〃+%,对任何正整数〃恒成立，则实数力的最

4-4a“%a2an+l

小值为

A.-B.-C.-D.-

4488

【答案】A

2345n

【解析】依题意%==牙。4=元,〃5=五…，由此可知〃"=2（九+0，所以

11

^=1+.x=i+-f--一—1所以生+幺+…+吐=〃+1+¥"--------匚］

an“（”+2）n+1）axa2an+i212n+2n+3）

二+…+^2±1<〃+几对任何正整数〃恒成立，即彳之工.

考点：数列与不等式.

【解题方法总结】

分离参数，转化为最值问题.

题型六：递推数列问题

例16.（2024・全国•高三专题练习）设数列｛q｝满足%009=夜，且

%+4=2%-2（〃eN*）,则数列的前2009项之和为.

【答案】2008+72/.72+2008

【解析】由an+lan=2a“+i—2（〃wN*）,得«„+1=――,则

'/L~an

2211

a2=--------=-------x一=1+T-------

2-%

・•・数列｛风｝是以4为周期的数列，二的009=弓=3.

2

由an+i=,_可得?=2+,5——A/29%=2—^2，

^~an

「.%+%+/+.•,+%oo9=502(%+a?+/+%)+%=502x4+\/2=2008+A/2.

故答案为：2008+0.

例17.（2024・全国•高三专题练习）正项数列｛风｝中，%+1=京广，6=1，猜想通项公式

为〃“二_________

1

【答案】

3n-2

a11+3。”1_1

【解析】方法一:由%+i=r—得—=——^=一+3,所以一为等差数列，且公差为

1+3%an+lanan[an\

3,首项为1,故上=l+3（〃-l）=3w-2,故氏=

a

n3n—2

11

7_1

方法二：由。1=1得〃2=a2a3

3

1+34]_1_/1+1。

47

由此可猜想%=不—

3n-2

故答案为：«„=—1—

3n-2

例18.（2024•广东佛山・统考模拟预测）数列｛%｝满足。用>4,%,=2a“+l,写出一个符

合上述条件的数列｛4｝的通项公式______.

【答案】a„=n-l（答案不唯一）

【解析】由出“=24+1得：％+1=2（%+1）,

则当4=〃-1时，an+l=n,:.a2n+l=2n,故凡="-1（〃€1'<'）满足递推关系，

又见+1-%=〃一（=-1）=1>°，满足％”>%，

满足条件的数列｛%｝的一个通项公式为：«„=«-1.

故答案为：an=n-\（答案不唯一）.

变式21.（2024.全国•模拟预测）斐波那契数列由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引

入，故又称为“兔子数列”，即1,1,2,3,5,8,13,21,