2025高考数学压轴导数大题训练：常见函数模型的应用（学生版+解析）

专题12常见函数模型的应用

考情分析

有一些常见的函数，如>=111(无+1)-尤,y=e，'-x-l等，在导数解答题常常出现其身影，在导数解答题中或

利用其性质进行求解，或以其为模型进行改编命题，无论以哪一种方式命题，掌握这些函数的性质，并有

目的的使用这些函数性质解题，能迅速找到解题思想，并使问题得以解决.

解题秘籍

(一)常见对数型函数模型

1.函数/(x)=ln(x+l)-x在(-1,0)上是增函数，在(0,+8)是减函数，/(x)在x=0处取得最大值0,

2.〃尤)=ln尤的图象与直线y=x-l在x=l相切，以直线y=x-l为切线的函数有：y=lnx,y=eA-1-1,

y=x2-x,y=l--,y=xlnx.

X

..1

3.与对数型函数有关的常见不等式有:+——,lnx<x,lnx<5/x,

Inx<—)(x>1)，In%〉]1%—](0<x<1).

4.利用In(x+1)Wx可得到In("+1)-In”<工，再借助叠加法可得到一些复杂的数列不等式.

n

【例1】(2024届陕西省学林高考全真模拟考试)已知函数/(x)=alnx—%+l(acR),g(x)=sinx—x.

⑴讨论函数的单调性；

⑵证明：g(K+J<。(〃£N*);

(3)证明：ln2>sin-一+sin——+sin^—+---+sin—(〃《N*).

n+1n+2n+32n

【解析】⑴函数的定义域为(0,+8)，r(x)=2-1=三支，

①当时，r(x)<0恒成立，

所以函数“X)的单调递减区间为(0,+e);

②当a>0时，由/'（x）=。，得1=〃，

当）£（0,。）时,/'（%）>0；当％£（。,+8）时,/,（%）<0.

所以函数/（力的单调递增区间为（0,。），单调递减区间为（弓内）.

综上，当aVO时，函数〃力的单调递减区间为（0,+”）；

当a>0时，函数/（0的单调递增区间为（0,。），单调递减区间为

(2),/g(x)=sinx-x,g'(x)=cosx—l«0，恒成立,

g(x)在R上单调递减，又〃cN*,「OV:]玉g，，g[〃+i卜g⑼二0.

(3)由(1)知，当a=l时，f(x)<0,即lnx<x—1,「.InJw'-l,

XX

]Y—1Y

二.In%21—=----,「.ln(%+l)N----(当x=0时"="成立).

XXX+1

人1/*\](1八1口口1〃+11

令x=—(neN),/.In—+1>----,即In---->----,

n\nJn+1nn+1

ln(H+l)-lnn>―彳，从而ln(n+2)—ln(w+l)>—彳,

11

In(n+3)-In(n+2)>In(2n)—In(2n—1)>一

n+32n

累力口可得ln（2〃）一In九〉」一+」一+―一+•••+」一,

n+1〃+2〃+32n

皿c1111

即In2>-----1-------------1------------F••---.

n+1〃+2n+32n

由(2)知，g(x)=sin元一％在(0,+e)是递减函数,.*.g(x)<g(O)=O,即sinx<%,

1111.1.1.1.1

----------1-------------1------------1-------1------->sin-----1-sin-----1-sin-----1-------i-sin——.

n+1n+2M+32nn+1〃+2n+32n

In2>sin-----bsin-----Fsin-----1---Fsin——(〃cN*).

n+1n+2〃+32n

（二）常见指数型函数模型

1.函数=e*-尤-1在（_oo,0）上是减函数，在（O.+oo）上是增函数，/（X）在x=0处取得最小值0,

2.与对数型函数有关的常见不等式有：ex>x+l,ev>x,er>ex,er<^—(x>0),el<--(x<0),

1—XX

e">l+x+^x2(x>0).

【例2】（2024届河北省衡水市部分示范性高中高三下学期三模）已知〃%）=]-%.

⑴求/(X)的单调区间和最值;

(2)定理：若函数Ax)在(。力)上可导，在团，切上连续，则存在gw(a,6),使得尸(■=〃?一/⑷.该定理

b-a

称为“拉格朗日中值定理”，请利用该定理解决下面问题：

i4T『e"zn

右0<机<〃,求证：------<(m+l)-----.

nmynmJ

【解析】(1)r(x)=ex-l,令尸(x)=0,解得％=0,

当X£(—oo,0)时，/(x)<O"(x)单调递减；当%£(0,+oo)时，/(x)>O,/(x)单调递增.

当x=0时，/(九)取得最小值1,无最大值；

QmQn

(2)要证------<0+1)2-----,只需证me"-〃e"<(M+1)2(加一九)，因为0<根<〃，

nm\nmJ

故只需证”上吧〉(祖+1)2.

m-n

g(x)=XQ\X>0),显然gO)在O,")上可导,在［狼网上连续，

故由拉格朗日中值定理知存在Je(m,n)，使得g©=me，"-ne",

m-n

而g'(x)=(x+l)e*>O,g'(x)在(0,+s)上单调递增，

因为根<J<〃，故g'G)>g'O),即g'G)>(/w+l)e"',

故只需证("+De"'N(m+1)2即可，因为加>0,故只需证e'"2机+1.

由(1)知e，2x+l恒成立，因此原命题得证.

(三)常见三角函数模型

1.函数/(x)=sinx-x在(0,+co)上是减函数，函数g(无)=(工2+cosx在(0,+co)上是增函数(g1x)=-〃x))

2.与三角函数有关的常见不等式有：sinx<x(x>0),sinx<x<tanx^O<x<^,sinx>x-^-x2,

I--%2<cos%<1--sin2%.

22

【例3】(2024届江西省宜丰中学高三下学期模拟)设“X)=G：2+COSX-1,aeR

⑴当“时，证明：/(%)>0;

(2)证明：cos—+cos—+L+cos—>n--(HGN\H>1).

23n3v7

【解析】(1)因为/(%)=o?+cos九-1定义域为R,

所以/(一%)=加+cosx-l=/(x),

所以/'(X)为定义在R上的偶函数，下取尤20,

可知/,(x)=x-sin%,令夕(x)=/'(x)=x_sinx,^(x)=l-cos%>0,

则。⑴在［0,+功内单调递增,可得夕⑺>姒0)=0,

即/'⑺"在［0,+8)内恒成立，可知/(x)在［0,+句内单调递增,

所以/(元)在［0,+e)内的最小值为/(。)=0,结合偶函数性质可知：”尤)20.

(2)由(1)可得：/(x)=1x2+cos^-l>0,当且仅当x=0时，等号成立，

BPcosx>l--x2,-$•x=—,n>2,neN*,贝!]COSL>1——>当〃22时，

2nn2n-

1.1.2.2,(11_1,f11

cos—>1------=1------>1-----z——=1------------------,BPcos—>1---------------------

n2n24n24H2—1\2n—\2n+l)n\2n—l2n+l

—

cos->l-

n2〃-12n+lJ

相力口可得：cos；+cosgd----Feos—>

2n+lJ32〃+l

因〃22,贝！]---->0,以cos—Fcos—FL+cos—>"—,

2〃+l23n3

即cos—+cos—H----1-cos—>n——(nG>1

23n3V

eIn%-x

(四)y=-----或>=-----

xInx

y=也在(0,e)上是增函数，在(e,+s)上是减函数，x=e时取得最大值工，利用了=匣性质解题易错点

xex

是该在(e,“o)上是减函数，但该函数在(e,+co)上没有零点，因为x>e时y>0.

【例4】(2024届海南省定安县高三上学期考试)已知函数/(x)=lnx-2依.

⑴若x=l是/(x)的极值点，求。的值；

⑵若a=l,讨论函数/(x)的单调性；

⑶若7(x)40恒成立，求a的取值范围；

【解析】(1)由/(x)=lnx—26，得尸(力=：-2。=^|^,

因为x=l是/*)的极值点，

所以/''(1)=0,即1—2。=0,所以a=；,经检验符合题意.

11—Or

(2)若4=1,/'(%)=——2=------,XG(0,+(X)).

当l—2x<0,即xN1时,r(x)=—<o,所以〃x)在1+8］上单调递减;

2xL2)

当xe(0,£|时，/(无)=上手>0；在(0,；］上单调递增,

所以/(x)在巧上单调递增，在［,+小单调递减，

(3)/(x)的定义域为(0,+oo),若/(尤)4。恒成立，则lnx-2依W0恒成立，

即2。〉——恒成乂，令g(%)=—,只需2〃Ng(%)max，又，⑺=1--2------=-L

XXXX

令g'(%)=。得%=e,%£(0,e)时，则g(%)==In单X调递增；

x

Inx

%£(e,y)时，g'(x)v0,贝ljg(%)=—单调递减；

X

所以2aNg(x)1mx=g(e)=,，解得：a>^-

e2e

(五)y=-^y=

xe

讨论y=0的性质要注意XHO,该在(-8,0)和(0,1)单调递减，在(1,+8)单调递增

X

【例5】(2024届上海市格致中学高三下学期三模)已知/(x)=e*-依-1,aeR,e是自然对数的底数.

⑴当°=1时，求函数y=/(x)的极值；

(2)若关于x的方程/(x)+l=0有两个不等实根，求〃的取值范围；

(3)当a>0时，若满足/(尤］)=/(%2)(占<%)，求证：尤i+X2<21na.

【解析】(1)当a=l时，f(x)=e-x-\,定义域为R,求导可得/，(x)=e-1,

令T(x)=O,得x=0,当x<0时，r(x)<0,函数〃x)在区间(7,0)上单调递减，

当尤>0时，/'(力>。，函数/(力在区间(0,+e)上单调递增，

所以产/⑺在x=0处取到极小值为。，无极大值.

(2)方程/(x)+l=e*-欧=0,当x=0时，显然方程不成立，

所以xwO,则°=f，方程有两个不等实根，即>与g(x)=巨的图象有2个交点，

XX

g，(x)=(x?e',当无<。或0<》<1时，g，(x)<0,

g(x)在区间(-力,0)和(0,1)上单调递减,

并且xe(e,0)时，g(x)<0,当xe(0,l)时，g(x)>0,

当X>1时，g'(x)>0,g(尤)在区间(I,+8)上单调递增,

尤>0时，当尤=1时,g(x)取得最小值,g(l)=e,

作出函数y=g(x)的图象，如图所示：

因此与8(”=.有2个交点时，a>e,故”的取值范围为(e,+s).

(3)证明：a>0,由r(x)=e*-<7=0,得尤=lna,

当x<lna时，当x>lna时，

所以函数y=/(x)在(-々Ina)上单调递减,在(Ina,+8)上单调递增.

由题意&<尤2，且/(%)=/伍)，则为e(-8,lna),/e(lna,+ao).

要证Xi+/<21na,只需证为<21na-尤2，

而百<2加3-彳2<lna,且函数尤)在(一a,Ina)上单调递减，

故只需证/(石6/⑵皿-%),又/(西六/伍)，所以只需证/伍)>/(2m。-々)，

即证〃动一J(21na-%)〉0,令〃(无)=〃x)-〃21na-x),

即〃(x)=e*-ax-1-[e"-*-a(21na-x)-1]=eA-a2e~A-2ax+2alna,

//(x)=e*+<rex-2a,由均值不等式可得h\x)=e*+a2e-x-2a>2yjex-a2e~x-2a=0,

当且仅当/=热-，，即x=lna时，等号成立.所以函数人(另在R上单调递增.

由x2>lna,可得/z(%2)>，(lna)=0,即/(x2)-/(21n<7-x2)>0,

所以/(玉)Afina—/)，又函数/(%)在(一”，ln〃)上单调递减，

所以再<21n〃一9,即芯+%2<21ni得证.所以—〃>e,即av-e,即〃.一吗―e).

典例展示

【例1】(2024届江苏省连云港市东海县石高三下学期5月模拟)已知函数〃x)=e'-gx2-x.

⑴求函数〃x)在x=l处的切线方程.

⑵证明：Vxe[0,-Ko),/(x)>sinx.

【解析】(1)由/(x)=e'—gx2—x,可得/，(%)=

13

/,(l)=e1-l-l=e-2,X/(l)=e'--xl2-l=e--,

31

所以函数/(无)在x=l处的切线方程为y-e+3=(e-2)(x-l),即(e-2)尤-丫+,二。.

(2)由/(尤)=e*—(尤2-尤，可得尸(x)=e*-x-1,令〃(x)=e*—x—1,可得/z'(x)=e*-1.

当xe[0,+s)时，/f(x)=e'-l>0,所以->)=e'在[0,+8)上单调递增，

X/z(x)>/z(0)=e0-0-1=0,Bp/'(x)=ex-x-l>0,

所以/(x)=e'-g/一x在[0,+⑹上单调递增，

所以〃尤)W/(0)=e°-：x()2-0=1,当x=0时，/(0)=l>sin0=0,

当％>0时，/(x)>l>sinx,综上所述：Vxe[0,-Hx)),/(x)>sinx.

【例2】(2025届河北省“五个一”名校联盟高三第一次联考)已知函数/(x)=alnx-x.

⑴讨论〃尤)的单调性；

(2)证明：当”>0时，/(x)<^-1.

【解析】(1)由题函数定义域为(0,+"),尸(x)=：7=亍，

故当&W0时，/'卜)<0恒成立，所以函数/(无)在(0,+动上单调递减；

当a>0时，/(X)在(0,+8)上单调递减，令/'(x)=o=>x=a,则xe(O,a)时，尤时,

/'(x)<0,所以函数在(OM)上单调递增，在+8)上单调递减，

综上，当aWO时，函数在(0,+8)上单调递减；当a>0时，函数〃元)在(0,。)上单调递增，在(0+⑹上

单调递减.

(2)由(1)当“>0时，函数“X)在(OM)上单调递增，在(。,四)上单调递减，

故/(x)W/(a)=alna-a在(0,+8)上恒成立，

a—1(a>0)证aIna—aV[—]—1(。>0),

故证

即oln(3j<^—jT(a>0)oln(4jj+1<0,

令g(x)=lnx—x+l(x>0),贝！jg'(无)=,-1=^^(尤>0),

故当xe(O,l)时，g<x)>0；xe(l,+co)时，g<x)<0,

所以g(尤)在(0,1)上单调递增,在(1,+8)上单调递减，

所以g(x)Vg⑴=0在(0,+。)上恒成立，故In+1V0,

所以当a>0时，-1.

【例3】已知函数/(x)=xe'—e，+l.

⑴证明：f(x)>0.

(2)已知“eN*,证明：sin^—+sin——+L+sin—<ln2.

n+1n+22n

【解析】(1)函数〃x)=xe-e，+l的定义域为R,y'(尤卜起。

由>0得x>0,由/'(x)<0得x<0,

故;■(X)在区间(0,+8)上单调递增，在区间(-8,0)上单调递减，

故〃尤)的最小值是"0)=0,所以〃x)ZO.

(2)由(1)得，xe'-ex+l>0.令t=e3其中/>0,则//一/+120,即In此1」，

人n+kEIn+k1

令—一1二，贝Hn——>--)

n+k-1n+k-1n+k

所以---<In'+—=In(〃+左)一In(〃+左一1),kG.

n+kn+k-11'

令g(x)=x-sinx(x>0),贝!Jg'(%)=1-cos%20且不恒为零，

所以函数g("在(。,+8)上单调递增，故g(x)>0—sin0=0,贝Ijsin犬vx(x>。).

所以sin---<---<In'+"=\n(n+k)-ln(n+k-l),左金[1,2,…

n+kn+kn+k-1

所以sin———卜sin--——I----bsin—

n+\n+22n

<[ln(K+l)-ln〃]+[ln(〃+2)-ln(〃+l)]H----b[ln2n-ln(2n-l)]

=In2〃一In〃=In2,问题得证.

【例4】(2024届江苏省苏州市八校高三三模)已知函数/(x)=cosx,g(x)=a(2-1).

(1)。=1时，求尸(%)=/(%)-g(%)的零点个数;

(2)若/(%)>g(x)恒成立，求实数，的最大值；

(3)求证:^sin^-4j>T(九一2左。(左GR).

【解析】(1)当々=1时，g(x)=2-x2,贝!!尸(%)=/(%)-@(%)=35兀一2+/，

所以尸'(％)=—sin%+2%,令。(%)=—sin尤+2%,则/(％)=—cos%+2>0,

h(x)=-sinx+2xR上单调递增，即户'(%)=-sin尤+2%在R上单调递增,

当%>0时，尸⑶>0,所以尸(%)在(0,+8)上为增函数，

当xvO时，尸⑺<0,所以尸(%)在(-8,0)上为减函数,

又尸(0)=—1,F(2)=F(-2)=cos2+2>0,

且无f—8时，产⑴一+00,则存在西£(ro,0),x2€(0,2),使得产(项)=0,/(%)=0,

所以厂(%)有两个零点.

(2)令根(X)=COSX-2G+QX2,由相(0)之0,得〃

令M1)=cosx-l+g%2=cosx+；(%2-2),所以"(x)=-sin%+%,

令(p(x)=-sinx+x,可得『'(%)=-cosx+1>0,

所以°0)=—51口%+%在(0,+8)上为增函数，所以0(x)=-sinx+%>sinO+O=(),

所以“(%)>0,所以/?(%)=cosx-l+gf>cos0-l+^x02=0,

所以版x)在［0,+8)上单调递增，所以/7(x)2/7(0)=。，gpcosx>l-1x2

所以f(X)>g(X)恒成立，所以实数。的最大值是实数1;

兀k兀k兀k兀k

(3)因为退sin+1>sin=2sin=2cos-,

~3~1+COS~3~1

12,所以cos§

由(2)可得cosx>l-—x

22i

nk

所以£[gsin+1]>24(cos—)>2n-2

Z=1

所以fgsin2

>n-

-^2(I+-^+4+---+^)<^2(I+I--+---+-+---+—)2

又-<2k,

23n2233n—1n

所以»>i—2左2)(女ER).

Z=1

2

【例5】(2024届河南省部分名校高三上学期核心模拟)已知函数/(X)=依-lnx——(a£R).

x

⑴当。二一1时,求/(%)的单调区间;

Q+1

(2)若=当办2<占〈尤2时，证明：(为+%)a+

【解析】(1)〃九)的定义域为(。，+8),

2

当Q=-1时,/(x)=-x-ln%一，

x

19+x—2(x+2)(x—1)

所以/(%)=-1---\--=(x>0),

XXX2

当％£。1)时,/'(X)>0；当X£(1,+00)时,/1(X)<0,

所以/(X)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+8).

22

(2)由/(%)=/(%),得〃再一加玉一不二1马一皿马一丁

/、22/、2(X-X.)

以In%—In再=〃(%—%)------=〃(％—再)-----2-----

%x2玉/

—ln^^a+—

则三

x{x2

(1Q+1

要证(石+工2)CL+<一厂,只需证(%+%2)In-F

7a%

/（x）=lnxd——,

⑴若加=1,求函数y=/（x）在（1,1）处的切线方程；

⑵是否存在。＜不＜々＜£，且冷尤2,W依次成等比数列，使得/&）、/（七）、〃鼻）依次成等差数列？请

说明理由.

⑶求证：当初V0时，对任意4%40,内），都有于■）+，㈤＞，（无1）一""）.

2玉-x2

3.（2024届辽宁省部分高中2023-2024学年高三下学期三模）已知函数/Xx）=,其在》=1处的切

线斜率为1一2e.

⑴求。的值；

⑵若点（九〃）在函数/（X）的图象上，求/0）-/（九）的取值范围.

4.（2024届河北省部分中学高三下学期考点评估）已知函数/（x）=xlnx-加+（2a-l）x-a+l（oeR）.

⑴若〃x）V0在［1,+⑹恒成立，求实数。的取值范围；

⑵证明：----1---------1---------1-----1---------1＞In2.

n+1n+2n+3n+n4n

5.（2024届四川省内江市高三三模）已知函数/（尤）=lnx+3-a,a＞0.

X

（1）若“X）的图象不在光轴的下方，求a的取值集合；

（2）证明：sin--——Fsin--——F…+sin——-——＜In2024（n£N*）.

n+1n+22024〃v）

6.（2024届河北省沧州市沧县中学高三下学期模拟）已知函数/（x）=lnx-ln（x-1）-L

x

⑴求/（X）的值域；

（2）求证：当〃wN*时，Zsin-----；＜In2.

z=in+i

7.（2024届山东省荷泽第一中学高三下学期5月月考）已知函数〃元）=6-hr-=.

a

⑴当时，求〃尤）的极值；

（2）当X21时，不等式"x）Z0恒成立，求〃的取值范围；

I/八111

⑶证明：】n（〃+l）＜N+五区+…+通声

8.（2024届广西百色市贵百联考高三上学期9月月考）已知函数〃x）=sinx-依-2（aeR）.

⑴当“=当时，讨论在区间呜上的单调性；

(2)当尤NO时，/(x)+ex+cos^>0,求〃的取值范围.

9.已知函数/(%)=丝-+lnx-x(a>。)-

x

⑴若1=1,求函数“X)的单调区间；

⑵若/(X)存在两个极小值点%,，求实数。的取值范围.

10.已知函数/(x)=lnx-62一切M，bgR).

⑴当。=0时，若在无«0,内)上恒成立，求实数b的取值范围；

⑵设为〃尤)的两个不同零点，证明：〃为+%)〈五三-2.

e

11.(2024届陕西省西安市第一中学高三下学期高考预测)已知函数/'(x)=(x-a)lnx+(a-l)x(aeR).

⑴若函数在(0,+8)上单调递增，求实数。的值；

(2)^1^t正：ln2>sin-----Fsin-----1--••+sin.

100101198

12.(2024届四川省江油中学高三上学期9月月考)已知函数/(x)=lnx-ax+l,aeR.

(1)当a>0时，求函数/a)在区间［l,e］上的最大值；

⑵若修为函数g(x)=x"(x)+lnx-2］的极值点，求证：2太<e而-1

13.(2024届黑龙江省哈尔滨市高三上学期9月月考)已知函数

⑴若函数“X)的图象与直线>=xT相切，求实数”的值；

⑵若函数g(x)=〃x)-丈+1有且只有一个零点，求实数。的取值范围.

14.(2023届四川省成都市高三上学期摸底)己知函数〃无)=gf+cosx.

⑴记函数的导函数是尸(x).证明：当x20时,尸(元)20；

⑵设函数g(x)=sinx+co；：2x2,*x)=/(x)+g(x),其中“<0.若0为函数网力存在非负的极小

值，求a的取值范围.

15.(2024届海南省琼中县高三上学期9月高考全真模拟)已知函数/⑺=-l(aeR),且/(x)在x=1

处取得极值.

⑴求。；

(2)求证：+<«+—+—+•••+—^—+1(HEN*).

23n—1'7

16.(2024届河南省周口市项城市高三5校青桐鸣大联考9月)已知函数〃司=1111(4+力-龙，/'(0)=0.

⑴求实数。的值；

(2)证明：x>ln4时，/(x)>x2.

专题12常见函数模型的应用

考情分析

有一些常见的函数，如y=ln(x+l)-x,y=e'-x-l等，在导数解答题常常出现其身影，在导数解答题中或

利用其性质进行求解，或以其为模型进行改编命题，无论以哪一种方式命题，掌握这些函数的性质，并有

目的的使用这些函数性质解题，能迅速找到解题思想，并使问题得以解决.

解题秘籍

(一)常见对数型函数模型

1.函数〃x)=ln(x+l)-x在(-1,0)上是增函数，在(0,+oo)是减函数，在x=0处取得最大值0,

2.7(%)=lnx的图象与直线y=%-1在x=l相切，以直线y=%-1为切线的函数有：y=inx,y—ex-1—1,

211i

y=x-x,y=1——,y=x\nx.

x

3.与对数型函数有关的常见不等式有：ln(x+l)Kx,lnxK%—l,lnx'l—,/nx<x,liix〈石,

4.利用也(％+1)<%可得到ln(〃+l)-再借助叠加法可得到一些复杂的数列不等式.

n

【例1】(2024届陕西省学林高考全真模拟考试)已知函数/(x)=〃lnx-x+1(acR),g(x)=sinx-x.

⑴讨论函数/(尤)的单调性；

⑵证明：gL+J<°(nGN*);

(3)证明：ln2>sin^—+sin---+sin―—+---+sin—(neN*).

n+1n+2n+32n

【解析】(1)函数的定义域为(0,+。)，r(x)=1-i=^^,

①当aWO时，/'(尤)<0恒成立，

所以函数的单调递减区间为(0,+“)；

②当a>0时，由/'（x）=。，得1=〃，

当）£（0,。）时,/'（%）>0；当％£（。,+8）时,/,（%）<0.

所以函数/（力的单调递增区间为（0,。），单调递减区间为（弓内）.

综上，当aVO时，函数〃力的单调递减区间为（0,+”）；

当a>0时，函数/（0的单调递增区间为（0,。），单调递减区间为

(2),/g(x)=sinx-x,g'(x)=cosx—l«0，恒成立,

g(x)在R上单调递减，又〃cN*,「OV:]玉g，，g[〃+i卜g⑼二0.

(3)由(1)知，当a=l时，f(x)<0,即lnx<x—1,「.InJw'-l,

XX

]Y—1Y

二.In%21—=----,「.ln(%+l)N----(当x=0时"="成立).

XXX+1

人1/*\](1八1口口1〃+11

令x=—(neN),/.In—+1>----,即In---->----,

n\nJn+1nn+1

ln(H+l)-lnn>―彳，从而ln(n+2)—ln(w+l)>—彳,

11

In(n+3)-In(n+2)>In(2n)—In(2n—1)>一

n+32n

累力口可得ln（2〃）一In九〉」一+」一+―一+•••+」一,

n+1〃+2〃+32n

皿c1111

即In2>-----1-------------1------------F••---.

n+1〃+2n+32n

由(2)知，g(x)=sin元一％在(0,+e)是递减函数,.*.g(x)<g(O)=O,即sinx<%,

1111.1.1.1.1

----------1-------------1------------1-------1------->sin-----1-sin-----1-sin-----1-------i-sin——.

n+1n+2M+32nn+1〃+2n+32n

In2>sin-----bsin-----Fsin-----1---Fsin——(〃cN*).

n+1n+2〃+32n

（二）常见指数型函数模型

1.函数=e*-尤-1在（_oo,0）上是减函数，在（O.+oo）上是增函数，/（X）在x=0处取得最小值0,

2.与对数型函数有关的常见不等式有：ex>x+l,ev>x,er>ex,er<^—(x>0),el<--(x<0),

1—XX

e">l+x+^x2(x>0).

【例2】（2024届河北省衡水市部分示范性高中高三下学期三模）已知〃%）=]-%.

⑴求/(X)的单调区间和最值;

(2)定理：若函数Ax)在(。力)上可导，在团，切上连续，则存在gw(a,6),使得尸(■=〃?一/⑷.该定理

b-a

称为“拉格朗日中值定理”，请利用该定理解决下面问题：

i4T『e"zn

右0<机<〃,求证：------<(m+l)-----.

nmynmJ

【解析】(1)r(x)=ex-l,令尸(x)=0,解得％=0,

当X£(—oo,0)时，/(x)<O"(x)单调递减；当%£(0,+oo)时，/(x)>O,/(x)单调递增.

当x=0时，/(九)取得最小值1,无最大值；

QmQn

(2)要证------<0+1)2-----,只需证me"-〃e"<(M+1)2(加一九)，因为0<根<〃，

nm\nmJ

故只需证”上吧〉(祖+1)2.

m-n

g(x)=XQ\X>0),显然gO)在O,")上可导,在［狼网上连续，

故由拉格朗日中值定理知存在Je(m,n)，使得g©=me，"-ne",

m-n

而g'(x)=(x+l)e*>O,g'(x)在(0,+s)上单调递增，

因为根<J<〃，故g'G)>g'O),即g'G)>(/w+l)e"',

故只需证("+De"'N(m+1)2即可，因为加>0,故只需证e'"2机+1.

由(1)知e，2x+l恒成立，因此原命题得证.

(三)常见三角函数模型

1.函数/(x)=sinx-x在(0,+co)上是减函数，函数g(无)=(工2+cosx在(0,+co)上是增函数(g1x)=-〃x))

2.与三角函数有关的常见不等式有：sinx<x(x>0),sinx<x<tanx^O<x<^,sinx>x-^-x2,

I--%2<cos%<1--sin2%.

22

【例3】(2024届江西省宜丰中学高三下学期模拟)设“X)=G：2+COSX-1,aeR

⑴当“时，证明：/(%)>0;

(2)证明：cos—+cos—+L+cos—>n--(HGN\H>1).

23n3v7

【解析】(1)因为/(%)=o?+cos九-1定义域为R,

所以/(一%)=加+cosx-l=/(x),

所以/'(X)为定义在R上的偶函数，下取尤20,

可知/,(x)=x-sin%,令夕(x)=/'(x)=x_sinx,^(x)=l-cos%>0,

则。⑴在［0,+功内单调递增,可得夕⑺>姒0)=0,

即/'⑺"在［0,+8)内恒成立，可知/(x)在［0,+句内单调递增,

所以/(元)在［0,+e)内的最小值为/(。)=0,结合偶函数性质可知：”尤)20.

(2)由(1)可得：/(x)=1x2+cos^-l>0,当且仅当x=0时，等号成立，

BPcosx>l--x2,-$•x=—,n>2,neN*,贝!]COSL>1——>当〃22时，

2nn2n-

1.1.2.2,(11_1,f11

cos—>1------=1------>1-----z——=1------------------,BPcos—>1---------------------

n2n24n24H2—1\2n—\2n+l)n\2n—l2n+l

—

cos->l-

n2〃-12n+lJ

相力口可得：cos；+cosgd----Feos—>

2n+lJ32〃+l

因〃22,贝！]---->0,以cos—Fcos—FL+cos—>"—,

2〃+l23n3

即cos—+cos—H----1-cos—>n——(nG>1

23n3V

eIn%-x

(四)y=-----或>=-----

xInx

y=也在(0,e)上是增函数，在(e,+s)上是减函数，x=e时取得最大值工，利用了=匣性质解题易错点

xex

是该在(e,“o)上是减函数，但该函数在(e,+co)上没有零点，因为x>e时y>0.

【例4】(2024届海南省定安县高三上学期考试)已知函数/(x)=lnx-2依.

⑴若x=l是/(x)的极值点，求。的值；

⑵若a=l,讨论函数/(x)的单调性；

⑶若7(x)40恒成立，求a的取值范围；

【解析】(1)由/(x)=lnx—26，得尸(力=：-2。=^|^,

因为x=l是/*)的极值点，

所以/''(1)=0,即1—2。=0,所以a=；,经检验符合题意.

11—Or

(2)若4=1,/'(%)=——2=------,XG(0,+(X)).

当l—2x<0,即xN1时,r(x)=—<o,所以〃x)在1+8］上单调递减;

2xL2)

当xe(0,£|时，/(无)=上手>0；在(0,；］上单调递增,

所以/(x)在巧上单调递增，在［,+小单调递减，

(3)/(x)的定义域为(0,+oo),若/(尤)4。恒成立，则lnx-2依W0恒成立，

即2。〉——恒成乂，令g(%)=—,只需2〃Ng(%)max，又，⑺=1--2------=-L

XXXX

令g'(%)=。得%=e,%£(0,e)时，则g(%)==In单X调递增；

x

Inx

%£(e,y)时，g'(x)v0,贝ljg(%)=—单调递减；

X

所以2aNg(x)1mx=g(e)=,，解得：a>^-

e2e

(五)y=-^y=

xe

讨论y=0的性质要