2025高考数学解答题：空间向量与立体几何（7大题型）含答案

2025高考数学解答题：空间向量与立体几何（7

大题型）含答案

解答敢：堂同向蜃与贪体几何

°°

题型一空间异面直线夹角的求解..........................................................1

题型二空间直线与平面夹角的求解........................................................3

题型三空间平面与平面夹角的求解........................................................5

题型四空间点、线、面间的距离求解........................................................7

题型五空间几何体的体积求解............................................................9

题型六空间几何体的翻折问题...........................................................11

题型七空间动点存在性问题的探究.......................................................13

必刷大题..................................................................................15

题型一空间异面直线夹角的求解

大题典例

1.（23-24高三上•河北衡水・月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA，平面4BCD,底面ABCD是平

行四边形，且AABD是等边三角形，=2.

（1）求证：平面上4。；

（2）若APAB是等腰三角形,求异面直线PB与AC所成角的余弦值.

•M

解法指导

1、求异面直线所成角一般步骤：

⑴平移:选择适当的点，线段的中点或端点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线.

（2）证明:证明所作的角是异面直线所成的角.

（3）寻找:在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形,并解之.

（4）取舍:因为异面直线所成角。的取值范围是（0,年］，所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线

所成的角.

2、可通过多种方法平移产生,主要有三种方法：

（1）直接平移法（可利用图中已有的平行线）；

（2）中位线平移法；

（3）补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）.

3、异面直线所成角：若公茂分别为直线12的方向向量，9为直线k,12的夹角，则cos。=

|cosV公元＞|=.

I九111-21

9变式训练

2.（24-25高三上•江西南昌•开学考试）如图，圆锥PO的轴截面是边长为4的等边三角形，C是

OB的中点，。是底面圆周上一点，等.

（1）求。。的值；

（2）求异面直线PA与。。所成角的余弦值.

3.（24-25高三上•上海•期中）如图，在直三棱柱ABC-中，4B，AC,48=441=1.

⑴求证：4。，平面ABG；

（2）求直线A.B与AQ所成角的余弦值.

题型二空间直线与平面夹角的求解

9大题典例

4.（24-25高三上・江苏南京•期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD±平面ABCD,PA±PD,

AB±AD,PA=PD,AB=2,AD^8,AC=CD=5,

（1）求证:平面PCD±平面PAB-,

（2）求直线PR与平面PCD所成角的正弦值.

•M

解法指导

1、垂线法求线面角（也称直接法）：

（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足;找线在面外的一点A,过点A向平面a做垂线，确定垂

足。；

（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面a上的投影；投影BO与斜线之间的夹角为线面角；

（3）把投影BO与斜线归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。

3、公式法求线面角（也称等体积法）：

用等体积法，求出斜线24在面外的一点P到面的距离,利用三角形的正弦公式进行求解。

公式为：sin。，其中个是斜线与平面所成的角，无是垂线段的长，Z是斜线段的长。

方法：已知平面6内一个多边形的面积为S,它在平面a内的射影图形的面积为S射影，

平面a和平面/?所成的二面角的大小为6,则COS6=§警.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。

4、直线与平面所成角：设芯是直线/的方向向量，病是平面a的法向量，直线与平面的夹角为。.则sin。

=|cos<a,启>1=普言］.

同质I

O变式训练

5.（24-25高三上•黑龙江哈尔滨・月考）在三棱柱ABC-A^C,中，人马=BB1=B,C=5,AB=4,

AC=6,为/。中点.

⑴求证：BQ±平面ABC；

（2）求直线BG与平面ABB.A,所成角的正弦值.

6.（24—25高三上•云南大理・月考）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧棱PD

±底面ABCD,「。=6=2,8。=22,/8。。=45°.点£；是棱「。的中点，点尸为棱可上的一

点，且口口=看8P.

O

（1）求证:平面PBC±平面PCD；

（2）求直线。。与平面DE尸所成角的正弦值.

题型三空间平面与平面夹角的求解

9大题典例

7.（24-25高三上•湖北•期中）如图，球。的半径为R,ABC为球面上三点，若三角形ABC为直角三角

形，其中AC，BC.延长AO与球O的表面交于点D.

（1）求证：BD±平面ABC；

（2）若直线A4QC与平面ABC所成的角分别为全黄，试求二面角C-AD-B的正弦值.

•M

解法指导

1、几何法

（1）定义法（棱上一点双垂线法）:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的

射线.

（2）三垂线法（面上一点双垂线法）：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得

到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角

（3）垂面法（空间一点垂面法）:过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线,这两条射线所成的角

就是二面角的平面角。

（4）射影面积法求二面角cose="

2、向量法：若云，茂分别为平面a,/3的法向量，0为平面a,/3的夹角，则cos。=|cosV扇，范＞|=

O变式训练

8.（24-25高三上•福建南平•期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，点B在平面44。上射影是4PAD的

外心，且8P="，上4=PD=乙4PD=90°,E是棱上4的中点，且CD，平面2D

P

B

⑴证明：8E〃平面尸①；

（2）若CD=1,求二面角A—PB—C的正弦值.

9.（24—25高三上•北京・月考）如图，在四棱锥P—4BCD中，底面4BCD为正方形，P4，平面

ABCD,PA=AB,河为线段PD的动点.

⑴若直线PB〃平面ACM,求证：M为PD的中点：

⑵求证:平面ABM1.平面PAD

⑶若平面E4C与平面M4C夹角的余弦值为孚，求点的值.

0IVlJ-y

题型四空间点、线、面间的距离求解

9大题典例

10.（24-25高三上・贵州贵阳・月考）如图，OE是正三角形ABC的一条中位线，AB=2,将△4DE沿DE

折起,得到四棱锥A—BCDE.

（1）证明：441±平面ABC；

⑵若人田，CD求点B到平面EAQ的距离.

•M

解法指导

1、几何法求点面距

(1)定义法(直接法):找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线,求出垂线段的长度；

(2)等体积法:通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；

(3)转化法:转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离.

2、向量法求空间距离：

(1)点面距：已知平面a的法向量为云，A是平面a内的任一点,P是平面a外一点，过点P作则平面a

y4•日

的垂线Z,交平面a于点Q,则点P到平面a的距离为PQ=^―

一同

⑵直线a与平面a之间的距离：d=J------L，其中是平面a的法向量。

\n\

ABH

(3)两平行平面a，B之间的距离：d=JI-------LI，其中Aea,8e6,日是平面a的法向量。

\n\

O变式训练

11.(24-25高三上•广东广州•月考)已知四棱柱ABC©—中，底面43co为梯形，AB〃CD,

4/，平面ABCD,4D，AB,其中=441=2,AD=DC=1.N,M分别是线段BG和线段

DDi上的动点，且乔=才话，DM=ADOl(0<A<l).

(1)求证：DrN//平面CB[M；

(2)若N到平面的距离为坐匚，求。iN的长度.

12.（24-25高三上•福建福州・月考）如图，在直四棱柱ABCD-4BGA中，底面四边形ABCD为梯形,

AD//BC,AB=AD=2,BD=2",BC=4.

⑴证明：4旦，4。1；

⑵若直线与平面即犯所成角的正弦值为手,求直线班到平面BQR的距离.

题型五空间几何体的体积求解

S大题典例

13.（23-24高三上•海南海口・月考）如图，在长方体ABCD-中，入劣=2AD=2AB=4,E,F

分别为AAi，CD的中点.

⑴证明：瓦4G；

（2）求三棱锥E—BGF的体积.

•M

解法指导

1、处理空间几何体体积的基本思路

（1）转:转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转

换为容易看出并容易求解的高；

（2）拆:将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算；

（3）拼：将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原乘一

个四棱柱，还台位锥，这些都是拼补的方法。

2、求体积的常用方法

（1）直接法:对于规则的几何体,利用相关公式直接计算；

（2）割补法:把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算;或者把不规则的几何体补成规则

的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；

（3）等体积法:选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为

三棱锥的底面进行等体积变换

S变式训练

14.（24-25高三上•广东深圳・月考）如图，将长方形044。式及其内部）绕OQ旋转一周形成圆柱，其中

OA=1,00^2,劣弧AB的长为a,4瓦为圆Q的直径，平面AOB与平面A^B的交线为I.

⑴证明：Z〃OA；

⑵若平面与平面4。出夹角的正切值为早，求四棱锥B—O44Q1的体积.

15.（24-25高三上・河南•开学考试）如图，四棱锥P—ABCD中，底面四边形4BCD为凸四边形，且PD

=AD=CD=4：,PA=PC=AC=^V2,AB=BC.

⑴证明：4C，PB；

（2）已知平面4PC与平面BPC夹角的余弦值为乌国，求四棱锥P—ABC©的体积.

题型六空间几何体的制折问题

9大题典例

16.（23-24高三下•山东•模拟预测）如图，在菱形ABCD中，ABAD=60°,E是AO的中点，将AABE沿

直线BE翻折使点A到达点4的位置，R为线段A.C的中点.

C

⑴求证：OF〃平面ABE；

（2）若平面A.BE±平面BCDE,求直线&E与平面人田。所成角的大小.

•M

解法指导

翻折问题的两个解题策略

1、确定翻折前后变与不变的关系：画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置

和数量关系的变与不变.一般地，位于"折痕"同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变,而位于

"折痕"两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化;对于不变的关系应在平面图形中处理,而对于

变化的关系则要在立体图形中解决

2、确定翻折后关键点的位置:所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点.因为这些点的位置移

动,会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的

变化.只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行

有关的证明与计算

9变式训练

17.（24-25高三上•云南昆明•期中）已知在长方形4BCD中，AD=2,AB=4,点河是边CD的中点，如

图甲所示.将4ADM沿AM翻折到APAM,连接PB,PC,得到四棱锥P-ABCM，其中,

如图乙所示.

（1）求证:平面PAM.L平面ABCM；

（2）求平面4M和平面PBC夹角的余弦值.

18.(2024・河北承德,二模)如图1,在直角AAPB中，ZAPB=90°，。为PB中点，24=PC=1,取AC中

点。，连接PD,8D,现把△APC沿着/C翻折,形成三棱锥P-ABC如图2,此时,取8C中

(2)若直线AQ与平面PDB所成角的正弦值为可，求PQ的长度.

15

题型七空间动点存在性问题的探究

9大题典例

19.(24—25高三上•四川德阳・月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，P4±平面

为棱PD上的动点.

⑴若E为PD中点,证明：PB〃平面AEC；

(2)若/0=1,人。=3,人口=2,在线段。。上是否存在点后使得面。/场与面人£；。夹角余弦值为

371^7

，若存在,求出点E位置，若不存在，说明理由.

157

解法指导

借助于空间直角坐标系,把几何对象上动态点的坐标用参数（变量）表示，将几何对象坐标化，这样

根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组.若方程或方程组在题设范围内有解，则通过

参数的值反过来确定几何对象的位置;若方程或方程组在题设范围内无解，则表示满足题设要求的

几何对象不存在.

9变式训练

20.（24-25高三上•江西南昌・月考）如图,在矩形纸片ABCD中，4B=4,8。=2,沿入。将ZVIDC折起,

使点D到达点P的位置，且满足平面ABP±平面BCP.

（1）求证:平面平面并求的长度；

（2）若河是线段PC上（不包括端点）的一个动点，是否存在点河，使得直线MB与平面PAC的夹角

为年？若存在，求CM的长度;若不存在，说明理由.

21.（24-25高三上•湖南•月考）如图，侧面BCCB水平放置的正三棱台ABC-A^C^AB=2A.B,=4,

侧棱长为，为棱4瓦上的动点.

⑴求证：441±平面BCGBi；

（2）是否存在点P,使得平面人尸。与平面4AG的夹角的余弦值为噌^?若存在，求出点P；若不

OO

存在,请说明理由.

Q1必利大题）o

S制模拟

22.（24-25高三上・江苏扬州•月考）已知三棱锥A-BCD,AD±底面BCD,BC±CD,AD=4,BC=

00=2,点「是人。的中点，点。为线段口。上一动点，点河在线段。（2上.

⑴若尸“〃平面ABC,求证：河为DQ的中点；

（2）若Q为的中点,求直线DQ与平面ABC所成角的余弦值.

23.（24—25高三上•江苏苏州・月考）如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3,90°,以AC

为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且，DA.

（1）证明：平面ACD±平面ABC.

⑵Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=^-DA,求点P到平面ABQ的距离.

O

24.（24-25高三上•浙江宁波・模拟考试）在三棱锥P-ABC中，侧面是边长为2的等边三角形,

（1）求证:平面平面4BC；

（2）求平面与平面PAC的夹角的余弦值.

25.（24-25高三上•黑龙江大庆•期中）在梯形ABCD中，AB〃CD,NBAD=g,AB=2AD=2CD=

o

4,P为AB的中点，线段AC与DP交于。点（如图1）.将/\ACD沿AC折起到XACD位置，使得

DOLOP（如图2）.

⑴求证:平面D'AC±平面ABC；

（2）线段PD上是否存在点Q,使得CQ与平面BCD'所成角的正弦值为咯?若存在，求出空的

oPD

值;若不存在,请说明理由.

26.（24—25高三上・北京•期中）如图，在四棱锥P—4BCD中，直线AB〃平面PCD.N4BC=90°,

ADAB=ZPCB=60°,CD=1,48=3,=平面PCB_L平面ABCD,尸为线段8C的中点,

E为线段P尸上一点.

（1）证明：4B〃CD；

⑵证明：PF,AD；

\FE\

（3）是否存在点瓦使得点E到平面PAD的距离是-i1，若存在求出贵的值，若不存在请说明理由.

27.（24—25高三上・浙江・月考）在四棱锥P—4BCD中，AD.LCD,POL底面4BCD,点

O在AC上，且PB=PC.

⑴求证：e4=p。；

⑵若ZCOD=与，4B=及7,点E在上，PD〃平面EOC，求果的值；

（3）若PO=AB=BC=1,二面角P—AD—B的正切值为22,求二面角。—AP—B的余弦值.

爱剧真题

28.（2024•北京・高考真题）如图，在四棱锥P—ABCD中，BC〃4D,4B=BC=1,4D=3,点E在4D

上，且PE，AD,PE=0E=2.

P

Bc

（1）若尸为线段PE中点,求证：BFII平面PCD.

（2）若48，平面E4O,求平面PAB与平面尸CD夹角的余弦值.

29.（2024.全国.高考真题）如图，在以/,8,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形4BCD与四边形

/EEF均为等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=VI^,FB=2代，M为

的中点.

F_______£

⑴证明：8W〃平面CDE；

（2）求二面角斤一BM—E的正弦值.

30.（2024.全国.高考真题）如图，平面四边形4BCD中，48=8,CD=3,AD=5^3,/4DC=90°,

ZBAD=30■，点E,户满足存=工历，行存，将△/EF沿EF翻折至△PEF，使得PC=

U/

（1）证明：EFLPD；

（2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.

31.（2024•广东江苏•高考真题）如图，四棱锥P—4BCD中，24,底面ABCD,上4=AC=2,BC=1,

AB=y/3

B

⑴若40，P8,证明：AD〃平面PBC；

（2）若。，且二面角A—。尸一。的正弦值为42,求AD.

32.（2024.天津.高考真题）如图，在四棱柱ABCD—中，儿4±平面ABCD,AB±AD,

AB//DC,AB^AA1=2,AD=DC^1.分别为。。的中点，

（1）求证：DXN//平面CBiM；

（2）求平面CRM与平面夹角余弦值;

（3）求点B到平面CBiM的距离.

•••

静谷发.,变间匍量多量体瓜可

-------°（KES°-------

题型一空间弁面直假夹角的求解..........................................................1

题型二空间直线与平面夹角的求解........................................................4

慝型三空间平面与平面夹角的求解........................................................7

题型四空间点、线、商间的题离求解.......................................................11

题型五空间几何体的体积求解...........................................................15

题型六空间几何体的备折问题...........................................................20

题型七空间动点存在性问题的探究.......................................................24

必剧大题..................................................................................28

题型一空间界面直线臭角的求解

9大题典例

1.（23-24高三上•河北衡水・月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA，平面4BCD,底面ABCD是平

行四边形，且△A3。是等边三角形，Ab=2.

⑴求证：，平面上4。；

（2）若4PAB是等腰三角形,求异面直线PB与AC所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）乎.

【解析】（1）因为底面48co是平行四边形，且是等边三角形，

所以四边形48co是菱形，则有BD_LAC,

又R4_L平面ABCD,BDU平面ABCD,所以R4_LBD,

又24nAe=A,P4u平面R4C,ACu平面B4。,所以BD_L平面Q4C；

（2）设ACnBD=O,

•••△K4B是等腰三角形，

：.PA^AB^2,AO=OC=®

以。为坐标原点，射线OB,OC分别为力轴，g轴的正半轴建立空间直角坐标系O—xyz,

如图，•••

R2A

二

则P(0,一通,2),A(0,-V3,0),B(1,O,O),C(0,V3,0),

所以方=(1,遍,一2),芯=(0.2V3.0),

设PB与AC所成角为巴

所以。国•明|lxO+V3x2V3+(-2)XO|6娓

|FB|-|AC|712+(V3)2+(-2)2XVO2+(2V3)2+O22V2X2V34

即PB与AC所成角的余弦值为尊.

解法指导

1、求异面直线所成角一般步骤:

⑴平移:选择适当的点，线段的中点或端点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线.

（2）证明:证明所作的角是异面直线所成的角.

（3）寻找:在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之.

（4）取舍:因为异面直线所成角。的取值范围是（0,字］，所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线

所成的角.

2、可通过多种方法平移产生,主要有三种方法：

⑴直接平移法（可利用图中已有的平行线）；

（2）中位线平移法;

（3）补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）.

3、异面直线所成角：若属,定分别为直线Z2的方向向量，9为直线k,12的夹角，则cos。=

|cos</,九2>|=nrn2

RIR

@变式训练

2.（24-25高三上•江西南昌•开学考试）如图，圆锥PO的轴截面PAB是边长为4的等边三角形，。是

的中点是底面圆周上一点，乙0。。=冬.

O

(1)求。。的值；

(2)求异面直线PA与0c所成角的余弦值.

【答案】⑴，7;(2)W

【解析】(l)Z\OCD中，00=2,OC=1,等，

根据余弦定理，OC=yjoD2+OC2-2OD-OC-cos^-=V7.

⑵如图，以点O为原点，OBQP为y轴和z轴，

过点O作Orr_L为，轴，建立空间直角坐标系，

P(0,0,2A/3),A(0,-2,0),C(O,1,O),L>(V3,-l,0),

PA—(0,—2,—2V3^)=(—A/3,2,0),

设异面直线Q4与。。所成角为3,

则cosJ=|cos,B4,i5c\=］艺］=—^7=-=

网怔I4/7

所以异面直线P4与。。所成角的余弦值为与.

3.(24-25高三上•上海•期中)如图，在直三棱柱ABC-A.B.C,中，4B，AC,4B=4C=人4=1.

⑴求证：AC±平面ABCX；

(2)求直线AiB与AC.所成角的余弦值.

【答案】⑴证明见解析；⑵/

【解析】(1)由题知441_L面ABC,又ABu面AB。,所以4Ai_LAB,

又AA^AC=A,?L4i,ACu面所以4B_L面

ACC.A,,

又AQu面ACCYAX，所以AB_LAQ,

又AC=44i=1,所以四边形ACC.A,是正方形，得到4。±AC,,

又ABDAG=A,AB,AGU面ABG,所以AQ_L平面ABQ.

(2)如图，建立空间直角坐标系，因为AB=AC=44i=l,

,

则A(o,o,l),A(O,O,O),B(l,O,O),C1(O,l,l),

得到乖=(1,0,—1),句=(0,1,1),

设直线AXB与AG所成角为仇

।——>■―►।IAIB-ACII11

则cos”IcosAB^Gh丽.“==T，

所以直线A.B与AC,所成角的余弦值为-j-.

题型二空间直线与平面夹角的求解

9大题典例

4.（24-25高三上・江苏南京•期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD±平面ABCD,PA±PD,

AB±AD,PA=PD,AB=2,AD=8,AC=CD=5,

（1）求证:平面PCD_L平面PAB；

（2）求直线PR与平面PCD所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）里工

51

【解析】（1）因为平面PAD_L平面ABCD，且平面PADD平面ABCD=AD,

且AO,ABu平面ABCD,

所以AB_L平面_R4D,

因为PDU平面Q4O,所以AB_LPD,

又「。_1^4,且_^41"1人6=人，。<4,ABu平面MB,

所以PD_L平面R4B,

又PDu平面PAD,所以平面PCD_L平面MB；

⑵

取AD中点为O,连接CO,PO,

又因为Q4=PD,所以PO_LAD,则AO=PO=4,

因为AC=CD=5,所以CO-LAD,则CO=VAC2-AO2=3,

以。为坐标原点，分别以而，OA,所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O—g/z,

则4(0,4,0),5(2,4,0),C(3,0,0),0(0,—4,0),P(0,0,4),

PC=(3.0,-4),M=(0,—4,—4),屈=(2,4,—4),

设方=lx,y,z）是平面PCD的一个法向量,•M

.[n-FC=Orf3x-4z=0

则n日・阮=。""-34z=。

令N=3,则2=4,g=—3，所以芮=（4,—3,3）,

设PB与平面PCD所成的角为仇

则sinP=占里=小/=¥F，

\n\\PB\V34-V3651

所以PB与平面PCD所成的角的正弦值为生曜.

解法指导

1、垂线法求线面角（也称直接法）：

（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足;找线在面外的一点4过点A向平面a做垂线，确定垂

足O；

（2）连结斜足与垂足为斜线在面a上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；

（3）把投影与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。

3、公式法求线面角（也称等体积法）:

用等体积法，求出斜线24在面外的一点P到面的距离,利用三角形的正弦公式进行求解。

公式为：sin。=｝，其中夕是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，I是斜线段的长。

方法：已知平面6内一个多边形的面积为S,它在平面a内的射影图形的面积为S射影，

平面a和平面B所成的二面角的大小为e，则cose=§譬.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。

4、直线与平面所成角：设范是直线I的方向向量，n2是平面a的法向量，直线与平面的夹角为优则sin。

nrn2

二|cos<ni,n2>|=

屁尻I

S变式训练

5.（24-25高三上•黑龙江哈尔滨・月考）在三棱柱ABC-A.B.C,中，人用=6目=耳。=5,48=4,

AC=6,为AC中点.

•M

（1）求证：BQ±平面ABC；

（2）求直线BG与平面ABB.A,所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）埒匚

【解析】（1）连接8。，

因为AB_L,D为人。中点，所以AD=GD=BD=]■=3,

因为481=5。=5,所以5D_LAC,所以二3=4,

又口3=5,所以B以=52=25=32+42=8。2+。比,所以5。_13。,

又BDCAC=D,BD,ACu平面ABC,所以BQ_L平面ABC-,

（2）以B为坐标原点，所在直线为⑨夕，

过B作DBi的平行线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

因为AB_LBC,所以3。=二百=2方，

则3（0,0,0）,人（0,4,0）,瓦（0,2,4）,。（2萌,0,0）,

则说=（0,4,0）,函=（逐,2,4）,郎=（2遍,0,0）,

设平面ABBXAX的一个法向量为n={x,y,z）,

则卜上=4沙=0，令2=4弱，则夕=0,z=-5,

—V5x+2g+4z=0

所以平面ABBiA的一个法向量为元=（40,0,-5）,

又BC〃BG，所以。百=配=（2V5.0,0）,

设直线与平面所成的角为。，

则sin"亶五=

|B^|.|n|2V5XV80+2521

所以直线BiG与平面ABB14所成角的正弦值为3票.

6.（24-25高三上•云南大理•月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧棱PD

±底面ABCD,00=8=2,50=22,/8。。=45°.点E是棱PC的中点，点尸为棱上的一

,.I—>9—>

点，且6斤=称口「.

O

6

p

（1）求证:平面平面尸CD；

（2）求直线。。与平面OE尸所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）空.

【解析】⑴在ABGD中，BC2=BD2+CD2-2BD-CD-cos/BDC=4,即BC=2,

叉BD=2/,CD=BC=2,则有BO+CDuBD：即BC工CD,

因为PD_L平面ABCD,BCu平面ABCD,所以PD_LBC,

又CDnPD=0,CD,PDu平面PC©,所以BC_L平面PCD,

因为BCu平面PBC,所以平面PBC_L平面PCD

（2）由（1）可知，DA±DC,DA±DP,DC1.DP,

故以。为坐标原点，DA,_DC,DP所在直线分别为a;轴，y轴，z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，

依题意得，8(2,2,0),C(0,2,0),0(0,0,0),F(0,0,2),石(0,1,1),

设点F(a,b,c)，由P,F,B三点共线,则有BF=々BP,

又屈=(a—2,b—2,c),而=(—2,—2,2),

(a-2,6—2,c)=(—2,—2,2),解得a=^,b=--,c=,

设平面DEF的法向量为茂=@%z),屈=(弓,京等)，屈=(0,1,1),

ooo

由产巧=0,得用+枭+枭=0,即月一z,

[n-DE=0[y+z=0\y~~z

取平面DEF的一个法向量元=(1,1,-1),

设直线DC与平面DEF所成角为氏则》=(0,2,0),苴=(1,1,-1),

所以DC-n=0xl+2xl+0x(―1)=2,\DC\=2,|n|=V3,

I4^-^.1

n-DC

故sin。二=卜国3=苗〉手

所以直线。。与平面DEF所成角的正弦值为普

O

题型三空间平面与平面夹角的求解

9大题典例•••

7.（24-25高三上•湖北•期中）如图，球O的半径为R,ABC为球面上三点，若三角形ABC为直角三角

形，其中延长49与球。的表面交于点。.

r了..*/

・广二:二;R

（1）求证：BD±平面ABC；

⑵若直线。4DC与平面ABC所成的角分别为手潦，试求二面角C—AD—B的正弦值.

4O

【答案】（1）证明见解析；（2）夸.

（解析［（1）因为AD是球的直径，所以AB_LBD,AC±CD.

因为AC_LBC,CDnBC=C,CD,BCu平面BCD,所以AC_L平面BCD,

因为u平面BCD,所以_4C_LBD,

因为ABAAC=A,AB,ACu平面ABC,所以BD_L平面ABC.

⑵因为直线DA,。。与平面ABC所成的角分别为十昼，所以/DW=?/℃B=?

不妨令兄=①，则AD=2-,AB=BD=0,BC=V^,AC=2,

由题设，易知_LBC,AC_L及7_LBD,

以C为坐标原点，CB,C4所在直线为⑨沙轴，过点。作BD的平行线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

C

则4(0,2,0),B(A/2,0,0),0(0,0,0),0(72,0,76).

所以况=(0,2,0),①二(g,0,V^),丽=(一0,2,0),助=(0,0,通),

设平面ACD的法向量为芯=(61,%,Zi)，平面ABD法向量为甚二(62,y?，0)，

济•CA—2%=0

，取.=-1,得用=—1）,

元•CD=g61+az1=0

元•BA=-/2+2改=0

，取纺=1,得其=（2,1,0）

,

n2BD=V6z2—0

设二面角。一AD—_B的平面角为夕，则|cosJ|="”=娓-,易知sin。=^~.

nino2V322

解法指导

1、几何法

（1）定义法（棱上一点双垂线法）:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的

射线.

（2）三垂线法（面上一点双垂线法）：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得

到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角

（3）垂面法（空间一点垂面法）:过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线,这两条射线所成的角

就是二面角的平面角。

（4）射影面积法求二面角cose="

2、向量法：若云，茂分别为平面a,/3的法向量，0为平面a,/3的夹角，则cos。=|cosV扇，范＞|=

nr-n2

周卮I.

O变式训练

8.（24-25高三上•福建南平•期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，点B在平面44。上射影是4PAD的

外心，且8P="，上4=PD=乙4PD=90°,E是棱上4的中点，且CD，平面2D

⑴证明：BE〃平面尸CD；

（2）若CD=1,求二面角A—PB—C的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）尊

6

【解析】（1）分别取PD,AD的中点为F,O,连接PO,OB,EF,延长。。至Q,使得DQ=OB,

连接BQ,FQ,如下图：

在△4PD中，EF为中位线，则EF〃=

在Rt/\APD中，由NAPD=90°,则O为外心，即BO_L平面APD,

因为CDJ_平面R4。,所以BO〃。。，

因为。Q〃OB,DQ=OB,所以OD=BQ,OD//BQ,

改为EF〃BQ,EF=BQ,所以EB"FQ,

因为平面PCD,FQu平面PCD,所以EB〃平面PCD.

(2)在AAPD中，AP=DP,则PO±AD,

因为OB_L平面APD,AD,POu平面4PD,所以OB_LPO,OB±AD,

以O为原点，分别以OA,OB,OP所在的直线为c,y,z轴，建立空间直角坐标系，如下图：

在Rt^APD中，AP=DP=2，则AD=y/AP2+DP2=2,PO=(AD=1,

在Rt/XPOB中，PB=V5,^]OB=^/PB2-PO2=2,

则A(l,0,0),P(0,0,l),B(0,2,0),C(—1,1,0),

取亚=(-1,0,1),晶=(—1,2,0),^=(1,—1,1),无=(1,1,0),

n-AP=—x-\-z=Q

设平面APB的法向量为n—(T,y,z)，则

n-AB=-x-\-2y=0

取力=2,则o=Lz=2,所以平面APB的一个法向量为日=(2,1,2);

rh-CP=a—b-\-c=0

设平面CPB的法向量为萌=(Q,b,c),则

m-CB—a-Vb—Q

取a=1,则b=—l,c=—2,所以平面CPB的一•个法向量为m=(1,—1,—2);

设二面角A—PB—C的大小为仇

।川忖词|2