2025届昆明市五华区高三数学上学期期中考试卷（附答案解析）

2025届昆明市五华区高三数学上学期期中考试卷

本卷满分150分，考试时间120分钟2024.10

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要

求的.

1.设复数z在复平面内对应的点为Z（x，V）,若匕―1|=1,则（）

A.（x-1）2+y2=1B.（x+1）2+y2=1C.x2+（y-l）2=1D.x2+（y+1）2=1

—»—»—»—>1—►I—►—»I

2.已知片,02都为单位向量，若弓在02上的投影向量为万02,则卜1+024（）

A.72B.V3C.2D.3

3.在正方体48CD-4B1G2中，下列说法错误的是（）

A.ADXl^CB.40］与AO所成角为1

c.ND］〃平面D.ZR与平面ZCC］所成角为:

4.在践行“乡村振兴”战略的过程中，某地大力发展特色花卉种植业.某农户种植一种观赏花弃，为了解

花卉的长势，随机测量了100枝花的高度（单位：cm）,得到花枝高度的频率分布直方图，如图所示，则

（）

木频率/组距

A.样本花卉高度的极差不超过20cm

B.样本花卉高度的中位数不小于众数

C.样本花的高度的平均数不小于中位数

D.样本花升高度小于60cm的占比不超过70%

5.设等比数列｛%｝公比为q,则“夕>1”是“｛4｝为递增数列”的（）

A,充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件

6.已知圆台的母线长为4,高为J7，体积为7b兀，则圆台的侧面积为（）

A.48兀B.24TIC.20兀D.10兀

7.已知A、8为直线/上的两个定点，|/同=2,尸为/上的动点.在平面直角坐标系中，片（-3,0）、

片（3,0）,以片为圆心，|上4|为半径作圆片；以月为圆心，|尸目为半径作圆月，则两圆公共点的轨迹方

程为（)

B.---y2=1D.—+y2=1

8•io-

8.已知函数〃x)=lnx和两点B(c'n,m),设曲线>=/(x)过原点的切线为/,且/〃45,则加所

在的大致区间为()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=sinaa+acos0>0)的最大值为正，其部分图象如图所示，贝U()

A.0)=1

71

B.函数歹=/X--为偶函数

13兀17兀

C.>=/(x)在［0,加］上有4个零点，则——<m<——

44

D.当xe0,14寸，函数了=

COSX

10.已知函数/(x)=%3一"+2(awR),则()

'a

A./(-2)+/(2)=4B.若a>0,则/'(x)的极大值点为x=

C.若/(x)至少有两个零点，则a»3D./(x)在区间(-8,-a-1)上单调递增

11.抛物线C：y2=4x的准线为/,过焦点厂的直线与。交于4,3两点，分别过N,3作/的垂线，垂足

分别为4,B',记AA'B'F-△A8R的面积分别为岳，5，53,则()

A.△HB'E为锐角三角形B.邑的最小值为4

c.岳，S3成等差数列D.S「1s2,S3成等比数列

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

2

,1+sin2a3广兀、

12.已知-------=-,则tan|a+—|=_______.

cos2a5I

13.在正项数列｛6,｝中，lna“+i=ln%+2,且%叼=犬，则%=.

14.甲口袋中有标号为1、2、3的三张卡片，乙口袋中有标号为4、5、6、7的四张卡片，从两个口袋

中不放回地随机抽出三张卡片，每个口袋至少抽一张，则抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同

抽法共有种（用数字作答）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在V48c中，角A、B、C所对的边分别是。、b、c,J.acosB-bcosA=c-b.

（1）求角A；

（2）已知A的角平分线交5c于点。，若c=2,AB-AC=4>求40.

16.如图，在多面体ZBC—451G中，A}A,B[B,qc均垂直于平面NBC,ZABC^120°,AlA=4,

C,C=1,AB=BC=B[B=2.

（1）求证：ZB］，平面44G；

（2）求二面角/-瓦G-c的正弦值.

17.一项没有平局的对抗赛分为两个阶段，参赛者在第一阶段中共参加2场比赛，若至少有一场获胜，则进

入第二阶段比赛，否则被淘汰，比赛结束；进入第二阶段比赛的参赛者共参加3场比赛.在两个阶段的每

场比赛中，获胜方记1分，负方记0分，参赛者参赛总分是两个阶段得分的总和，若甲在第一阶段比赛中

每场获胜的概率都为。（o<P<i）,在第二阶段比赛中每场获胜的概率都为;，每场比赛是否获胜相互独

Q

立.已知甲参赛总分为2分的概率为一.

27

（1）求。;

（2）求甲参赛总分X的分布列和数学期望.

flie

18.设椭圆C：—r+^2=1（。〉1）的右焦点为E,右顶点为A,已知R河+区间="^而，下中。为原点，

e为椭圆的离心率.

（1）求。的方程；

（2）设点尸为。上一动点，过P作不与坐标轴垂直的直线/.

①若/与。交于另一点T,E为PT中点、,记/斜率为泊0E斜率为为,证明：h自为定值;

3

②若/与C相切，且与直线x=2相交于点。，以尸。为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标;

若否，请说明理由.

19.行列式最早起源于对线性方程组的研究，起初是一种速记的表达式，发展到现在已经成为一种非常有用

a,a.

LZJ

abab

的数学工具.已知表示二阶行列式，规定=ad-be；blbA表示三分行列式，规定

cdcd2

C]。2C3

qCl?CL3X03x

b2A^^2^^3^^2^^3

b?a=ax-bi+G■设/(x)=3-x0

ZjZJZJ

。2031-1-x

⑴求/(x)；

(2)以4(x“J(x"))为切点，作直线交/'(x)的图象于异于4的另一点4M(X"+IJ(X"+J)，其中

A7GN.若％=0，当〃21时，设点4的横坐标当构成数歹式M｝・

①求｛册｝的通项公式;

②证明:In1+■j-------r+In1+•;-------rH-----FIn1+।----+--1-r<1.

Ik+IJI\a2+1\)IhIJ

2025届昆明市五华区高三数学上学期期中考试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要

求的.

1.设复数z在复平面内对应的点为z(x，v),若匕―i|=i,则()

A.(x-1)2+y2=1B.(x+1)-+y2=1

C.x2+=1D.x~+(>>+1)"=1

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的几何意义可得出z=x+yi,再利用复数的减法以及复数的模长公式化简可得结果.

【详解】由复数的几何意义可得2=》+凌，

所以，\z-l\=\(x-l)+yi\=^x-l)2+y2=1，化简可得(x—球+/=1.

故选：A.

2.已知6，色都为单位向量，若，在与上的投影向量为，则,+司=()

4

A.V2B.V3C.2D.3

【答案】B

【解析】

----1

【分析】根据题意结合投影向量可得9•e?=2,平方结合数量积的运算律分析求解.

【详解】由题意可知：同=同=1,

ir,triTxir111r__]

因为[在1上的投影向量为4rre2=（ere2）e2=-e2＞可得=

ir叫2iriririr]

又因为（22

+2G•6+4—l+2x—+1=3,所以

故选：B.

3.在正方体48co-451G2中，下列说法错误的是（）

TT

A,皿，4。B.NR与AD所成角为§

C.40]〃平面ADC]D.2〃与平面NCG所成角为:

【答案】D

【解析】

【分析】设正方体N8CD-4瓦。12的棱长为1，以点。为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为

X、＞、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.

【详解】设正方体4BCD-的棱长为1，以点。为坐标原点，DA、DC、所在直

线分别为X、了、z轴建立空间直角坐标系，

则4(1,0,0)、5(1,1,0),。(0,1,0)、£>(0,0,0),4(1,0/)、4(1,1,1)、Q(0,1,1),2(0,0,1),

对于A选项，ADX=(-1,0,1),4c=(-l,L-1),

则疝•而=1+0—1=0,所以，AD}l^C,A对；

5

AD[DB-11

对于B选项，丽=(1,1,0),则cos(4C)i，£)B)=

西口国72x722,

jr

所以，Z2与3。所成角的大小为一，B对；

3

对于C选项，设平面80cl的法向量为加=a，%,zj,DCj=(0,1,1),

m-DB=x,+y,=0

则—.取％=—1,则浣=(L—1,1),

m-DC[=%+Z[=0

则/A•加=—1+0+1=0,所以，ADX±m,

又因为平面8£>q,所以，ZD]〃平面BO。，c对;

对于D选项，设平面/cq的法向量为《=(9,%,Z2)，cq=(o,o,i),c2=(i,-i,o),

n-CC.=z2=0

则—取A：2=1，则〃=(1,1,0)，

n-CA=%一%=0

2

71

所以，ZD与平面zcq所成角为为一，D错.

6

故选：D.

4.在践行“乡村振兴”战略的过程中，某地大力发展特色花卉种植业.某农户种植一种观赏花弃，为了解

花卉的长势，随机测量了100枝花的高度(单位：cm),得到花枝高度的频率分布直方图，如图所示，则

()

频率/组距

0.056

0.048

A,样本花卉高度的极差不超过20cm

B.样本花卉高度的中位数不小于众数

C.样本花的高度的平均数不小于中位数

D.样本花升高度小于60cm的占比不超过70%

【答案】D

【解析】

【分析】利用极差的定义可判断A选项；利用中位数和众数的定义可判断B选项；利用平均数公式求出样

本花卉高度的平均数，可判断C选项；计算出样本花升高度小于60cm的占比，可判断D选项.

【详解】对于A选项，由频率分布直方图可知，样本花卉高度的极差为70-40=30(cm),A错；

6

对于B选项，样本花卉高度的众数为一--=57.5(cm),

设样本花卉高度的中位数为acm,

前三个矩形的面积和为(0.012+0.028+0.036)义5=0.38,

前四个矩形的面积和为0.38+0.056x5=0.66，故ae(55,60),

由中位数的定义可得0.38+(a—55)x0.056=0.5,解得a^57.14(cm),贝Ua<57.5,

所以，样本花卉高度的中位数小于众数，B错；

对于C选项，由频率分布直方图可知，

样本花卉高度的平均数为

x=42.5x0.06+47.5x0.14+52.5x0.18+57.5x0.28+62.5x0.24+67.5x0.1=56.5(cm),

且嚏<〃，所以，样本花的高度的平均数小于中位数，C错；

对于D选项，由B选项可知，样本花升高度小于60cm的占比为66%,D对.

故选：D.

5.设等比数列｛2｝公比为q,则“g>1”是“｛4｝为递增数列”的()

A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】要判断“《>1”与“等比数列｛4｝为递增数列”之间的条件关系.需要分别从充分性和必要性两

方面进行分析，即看“4>1”能否推出“等比数列｛4｝为递增数列”，以及”等比数列｛%｝为递增数列”

能否推出“q>1”.

【详解】假设4>1.对于等比数列｛%｝,其通项公式为4=/q"T.

当q=2,4=-2时，根据通项公式可得出=。"=一2义2=-4.

此时a2<aA,等比数列｛%｝不是递增数列.

这说明仅仅4>1不能保证等比数列｛%｝一定是递增数列，

所以“q>1”不是"等比数列｛4｝为递增数列”的充分条件.

假设等比数列｛%｝为递增数列，那么%+i>an.

nn

由通项公式可得an=a@T,all+l=a4,所以aAq>axq-'.

当为<0时，不等式两边同时除以aq"T(因为为<0,qn-x>0,不等号方向改变)，

7

得到，'<q'T.例如当〃=2时，q2<q,解得0<q<L

这说明等比数列｛%｝为递增数列时，不一定有q>1,

所以“q>1”不是"等比数列｛4｝为递增数列”的必要条件.

则“4>1”是“｛an｝为递增数列”的既不充分又不必要条件.

故选：D.

6.已知圆台的母线长为4,高为J7,体积为7屿兀，则圆台的侧面积为（）

A.48兀B.24兀C.20兀D.10兀

【答案】C

【解析】

【分析】利用母线长和高，求出上底面半径和下底面半径的等式关系，然后利用体积求出上底面半径和下

底面半径的另一个等式关系，然后求出上下底面半径，再用侧面积公式即可求解.

【详解】如下图所示，

设圆台上底面半径为外，下底面半径为R,则R〉r,

设/C为圆台的一条母线，连接。4、OC，则四边形。为直角梯形，

过点C在平面。。1口内作,垂足为点B,

根据题意，AC=4,00[=力,O1C=r,04=R,

因为。00,IOA,BC1OA,则四边形。01cB为矩形，

所以，BC=OO[=近,OB=Of=r,则A8=04—05=R—r,

由勾股定理可得/炉+8。2=2。2,即（氏—疔+7=16,可得火—厂=3,①

又因为圆台的体积为「=；xg7rx（R2+Rr+r2）=7j7,可得R2+氏升+/=,②

R-r=3,

R—A

所以，\R?2+Rr+r72=21,解得〈，，

r-\

R>ri

所以，圆台的侧面积为S=；X27IX（7?+〃）X4=4TIX5=20兀.

故选：C.

8

7.已知A、8为直线/上的两个定点，|45|=2,尸为/上的动点.在平面直角坐标系中，£（-3,0）、

片（3,0）,以片为圆心，|R4|为半径作圆片；以巴为圆心，|尸目为半径作圆耳，则两圆公共点的轨迹方

程为（）

A.一上=i22

B.—-/=1C.土+JD.—+j/2=1

88•9810

【答案】A

【解析】

【分析】作出图形，分析可知，点P不在线段48（不包括端点）上，对点P的位置关系进行分类讨论，

结合双曲线的定义可求得动点的轨迹方程.

【详解】如下图所示：

设圆片、圆月的半径分别为厂、R,则厂=|/训，R=\PB\,

设两圆的一个公共点为由题意可知，点尸不能与点A或点3重合，

若点P在线段4B（不包括端点）上运动时，则|〃凰+|〃周=厂+&=|/训+户目=|48|=2,

事实上，|阿|+阿巴闫月片|=6,此时点M不存在;

当点尸在以点A为端点以瓦1的方向为方向的射线上时，

此时，\MF2\-\MFl\=R-r=\PB\-\P^=\AB\=2；

当点P在以点B为端点且以方的方向为方向的射线上时,

此时，|町|—|好|=—R=|P/|—|P&=|A5|=2.

综上，||阿＜闺闻=6,

所以，动点/的轨迹是以点片、名为焦点的双曲线，

v2J2

设该双曲线的标准方程为■=l（a〉0,b〉0），焦距为2c,

a

2a—2

a=1

则《2c=6,可得v

b=2E

c=da2+62

9

因此，两圆公共点的轨迹方程为炉―2L=i.

8

故选：A.

8.已知函数/（x）=lnx和两点4（1,0）,设曲线＞=/（x）过原点的切线为/,且/〃48,则加所

在的大致区间为（）

A.（-1,0）B.（0,1）C.（1,2）D.（2,3）

【答案】C

【解析】

【分析】求导，利用导数求得切线/的斜率左=,，根据直线平行可得e'"-e加-1=0,构建

e

g（7〃）=e"'-e^-l,可知加为g（加）的非零零点，求导，利用导数判断其单调性结合零点存在性定理分

析判断.

【详解】由题意可知：＞=/（x）的定义域为（0,+的，且（（x）=:，

设切点坐标为（x0,lnx0）,则切线I的斜率k=/'（%）=—,

则切线/的方程为y-山/=上（1一项）），

xo

若切线过原点，则一1n%=—（-％）=-1，解得x（）=e,

xo

可在切线/的左=—,

e

HI

若l〃AB,且直线45的斜率向B=F—（加W0），

e—1

mI

则左"=左，即二一二—，整理可得e"—e加一1=0，

e-1e

构建g（m）=em-em-1,则g'（加）=em-e,

可知加为g（加）的非零零点，

令g'（加）＞0,解得切＞1；令g'（加）＜0,解得加＜1；

可知g（加）在（-81）内单调递减，在。,+8）内单调递增，

则g（加）分别在（-8/）、。,+℃）内至多一个零点

且g（o）=o，g（l）=—l＜0，g（2）=e2—2e—l〉0,

io

又因为加wO,所以加所在的大致区间为(1,2).

故选：C.

【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题

求解的通法是：

(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；

(2)求导数，得单调区间和极值点；

(3)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=sinaa+acos0>0)的最大值为正，其部分图象如图所示，贝U()

13兀17兀

C.>=/(x)在［0,加］上有4个零点，则——<m<——

44

D.当xe0,14寸，函数了=△^的值域为

COSX\7

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A：根据函数周期分析判断；对于B：根据函数最值分析判断；对于C：令/(x)=0,可得

sinf1=0,以x-乌为整体，结合正弦函数性质分析判断；对于D：整理可得/O=tanx-1,结

I4J4cosx

合正切函数分析求解.

【详解】对于选项A：因为f(%)=sina)x+acoscox-sll+a2sin+cp)，

(57rji、

由图象可知：函数>=/(x)的最小正周期T=2---=2兀,

且3>0,则互=2兀，解得。=1,可得/(x)=sinx+acosx,故A正确;

G)

11

715兀

-----1____

对于选项B：由图可知：当_44_3兀时，函数>=/(x)取到最大值,

X=------=—

24

3兀).3兀3兀亚/]、ri—7

贝！Jf——sin---Facos——---(1—a)—7a+1>0,

I4J442v)

整理可得/[5]=sin,+acos/=3(l—a)=^2+l>0,解得a=—1,

It

贝l]f(x)=sinx-cosx=V2siix—

4

所有V=/-JiCOSX为偶函数，故B正确;

令/(x)=V2sin[x~~~1=0，

对于选项C：可得sin［x_：0,

兀7171

因为工£［0,加］,则x——e—,m---

444

若V=/(1)在［°，加］上有4个零点,

jr13兀177r

则3兀<根——<4K,解得一<m<—,故C正确;

444

对于选项D：因为y=/()sinx-cosx,

----------=tanx-1,

COSXcosx

又因为xe,则tanx€(0,百)，可得tanx-le(-1,6-1)

故D错误;

故选：ABC.

10.已知函数/'(x)=x，一/v+2(aeR),则()

1a

A./(-2)+/(2)=4B.若。>0,则/(x)的极大值点为x=

C.若/(x)至少有两个零点，则。之3D./(X)在区间(-8,-4-1)上单调递增

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A：根据函数解析式运算求解即可；对于B：求导，利用导数分析函数单调性和极值；对于

CD：分aK0和a>0两种情况，结合导数分析单调性和零点.

【详解】对于选项A：因为/(x)=/—ax+2,则

12

/(x)+/(-x)=(x3_办+2)+(-x)3-a(-x)+2=4,

所以/(—2)+/(2)=4,故A正确；

对于选项B：因为/'(x)=3/—。，且。>0,

令/'(x)〉0,解得x<—或x〉j|；令/'(x)<0,解得—

可知/(x)在

所以/(x)的极大值点为x=-、，故B错误;

对于选项C：若/(x)至少有两个零点，

当a<0时，则f'(x)=3x2-a>0,

可知/(x)在R内单调递增，至多有一个零点，不合题意;

当a>0时，结合选项B可知：f

即—四口+2W0W网R+2,解得a23；

3V33\3

综上所述：a>3f故C正确；

对于选项D：因为/'(1)=3/_。，

当可知/(x)在R内单调递增，符合题意；

当a〉0,则一。一1<0,

f22

对于Xe(-^,-a-l),可得f(x)>f(-a-l)=3(-a-i)-a=3a+5a+3,

止匕时A=25—36=—H<0,则/'(工)〉3。2+5。+3〉0,

所以/(x)在区间(-«,-«-1)上单调递增；

综上所述：/(x)在区间(-8,-a-1)上单调递增，故D正确；

故选：ACD.

11.抛物线C：「=4》的准线为/,过焦点厂的直线与c交于a8两点，分别过8作/的垂线，垂足

分别为4,B',记AA'B'F.AASR的面积分别为S],S2,S3,则()

A.AHB'E为锐角三角形B.凡的最小值为4

13

c.S3成等差数列D.S「1s2,S3成等比数列

【答案】ABD

【解析】

【分析】设48:x=/n.y+l,4（久1，乃）,8（久2，乃），联立方程可得韦达定理.对于A：根据直线垂直的斜率关

系分析判断；对于B：根据面积关系结合韦达定理分析判断；对于CD：根据面积结合等差、等比数列性质

分析判断.

【详解】由题意可知：焦点尸（1,0）,准线/:x=-1,直线48的斜率不为0,且与抛物线必相交，

^：AB:x=my+l,J4（x1,y1）,B（x2,y2）＞则/'（一1,凹）,5'（-1,必），

f

可得次川=石+1=my1+2,|5F|=x2+1=my2+2,

联立方程F1，消去X可得/一4即一4=0,

则%+了2=4m,yl-y2=-4,

对于选项A:因为后/F=—=—/"，可得上AtF,演夕="j=_1,

可知所以AZ'BR为直角三角形，故A错误；

对于选项B：因为民—闾=4%=V16m2+16=47m2+1，

可得S2=T7一＞2=41加2+i24,当且仅当加=0时，等号成立，

所以其的最小值为4,故B正确；

对于选项CD：因为，=3%|（加%+2）,53=3b2|（叩2+2）,

则S3=。|%|（加%+2）x。昆|（吵+2）=21[加2%%+2m（%+%）+4]

222

=lx4（-4m+8m+4）=4（m+l）=Qs2^,

即ES3=[gs2]，显然S],；S2，S3不恒相等，且不为0,

14

所以1s2,S3成等比数列，不成等差数列，故c错误，D正确；

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法

(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用

根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；

(2)面积问题常采用邑=；x底x高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要,

选择容易坐标化的弦长为底.有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面

积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；

(3)在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想

的应用.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

l+sin2(z3(兀、

12.已知---------=-,则tan|a+—|=______.

cos2a5<4J

3

【答案】-##0.6

5

【解析】

【分析】利用二倍角公式、弦化切以及两角和的正切公式化简可得结果.

r；¥的、l+sin2a_cos2a+2sin(zcosa+sin2a_(cosa+sina)-

4*1/uI■I—i/rr/、/、

cos2acosa-sina(cosa+sina)(cosa-sina)

71

tana+tan-/

cosa+sina_tana+1-----------=tanf—3

cosa—sina1-tana1-tanatan—I"

4

3

故答案为：—.

5

13.在正项数列｛%｝中，ln%+i=lna〃+2,且则％=.

【答案】e2'-1

【解析】

【分析】推导出数列｛%｝是等比数列，利用等比中项的性质求出。2的值，再利用等比数列的通项公式可求

得%的表达式.

aa

【详解】在正项数列｛%｝中，=ln4+2,则ln%+i—In%=出」包=2,可得3=e?,

anan

所以，数列｛%｝是公比为『的等比数列，

因为a1a3=a；=e,，且出>。，则的=e，，

15

n~232”-42)i-l

因为%=a2■(e?=e-e=e

故答案为：e2"-1.

14.甲口袋中有标号为1、2、3的三张卡片，乙口袋中有标号为4、5、6、7的四张卡片，从两个口袋

中不放回地随机抽出三张卡片，每个口袋至少抽一张，则抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同

抽法共有种（用数字作答）

【答案】26

【解析】

【分析】计算出从甲、乙两个口袋中，每个口袋至少抽一张卡片，共抽取三张卡片的抽法种数，以及抽取

的三张卡片都是奇数的抽法种数，利用间接法可得结果.

【详解】从甲、乙两个口袋中，每个口袋至少抽一张卡片，共抽取三张卡片，

不同的抽法种数为C；Cj+不C；=18+12=30,

其中，抽取的三张卡片都是奇数的抽法种数为C：=4,

因此，抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法种数为30-4=26.

故答案为：26.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在V4SC中，角A、B、C所对的边分别是b、c,J.acosB-bcosA=c-b.

（1）求角A；

（2）已知A的角平分线交8c于点。，若c=2,AB-AC=4＞求40.

71

【答案】（1）A=-

3

（2）AD=—

3

【解析】

【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出cos/的值，结合角A的取值范围可得出角A

的值；

（2）利用平面向量数量积的定义可求出b的值，再利用SJBC结合三角形的面积公式可求

得的长.

【小问1详解】

解：因为。cos5-bcos4=c-b,由正弦定理可得sinAcos5-sin5cos4=sinC-sin5,

即sinAcos5-sin5cos/=sin（/+3）—sin3=sinAcosB+cosAsmB-sinB,

所以，2cos/sin3—sin5=0,

171

因为A、3£（0,兀），则sin3〉0,可得2cos4-1=0,则cosZ=—,故/.

【小问2详解】

解：因为方.%=]而,/kos]=gbc=b=4,

16

ITT17rl7i

因为S"BC，即不bcsin^=7cMDsinz+7bZDsin/，

232o2o

整理可得AD=4迎=与8=生8.

b+c63

16.如图，在多面体ZBC—451G中，AXA,B[B,C。均垂直于平面NBC,ZABC=120°,N/=4,

C,C=1,AB=BC=B、B=2.

(1)求证：ABX，平面44。；

(2)求二面角/-瓦G-C的正弦值.

【答案】(1)证明见详解

【解析】

【分析】(1)建立空间直角坐标系，找到点的坐标，得出直线方向向量和平面内任意向量，得到向量垂直,

从而得到线线垂直，即可证明线面垂直；

(2)由空间直角坐标系求出面的法向量，由面的法向量求出二面角的余弦值的绝对值，由三角恒等变换得

到角的正弦值.

【小问1详解】

过点B在平面ABC内作一条直线与BC垂直，

则以8为原点，8C为x轴，8C的垂直为少轴，85］为z轴如图建立空间直角坐标系，

.­.5（0,0,0）,C（2,0,0）

'：ZABC=120°

17

4(0,0,2),G(2,0,1),

AB,—(1,-V3,2),前=(2,0,—1),^1；=(-1,73,2)

-BtC,=2-2=0

,AB}J_B]G,AB{_LB[4

44=—l—3+4=0

又,:BGn44=B[,B£u平面43c1,B&U平面43cl

ABX，平面44。]

【小问2详解】

由(1)可知：福=(1,一6,2),Zq=(3,-V3,l),鸵=(2,0,—2),qc=(0,0,1),

设平面4B]G的一个法向量为4=(X],%zJ,

设平面CB©的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),

[AB]•4=0[BXC-n2=0

•拓i=0万2=0

x-内必+2Z]=0

x2X2-2Z2=0

3玉一百%+Z]=0Z2=0

x=V3

xx2=0

则可取《M=5%=1

Z]=2A/3z2=0

即nx—（退,5,2也）,五2二（0,1,0）

5

设二面角为夕，贝I||cos,=

,40

sin0=V1-cos20=

17.一项没有平局的对抗赛分为两个阶段，参赛者在第一阶段中共参加2场比赛，若至少有一场获胜，则进

入第二阶段比赛，否则被淘汰，比赛结束；进入第二阶段比赛的参赛者共参加3场比赛.在两个阶段的每

场比赛中，获胜方记1分，负方记0分，参赛者参赛总分是两个阶段得分的总和，若甲在第一阶段比赛中

每场获胜的概率都为夕（0＜。＜1）,在第二阶段比赛中每场获胜的概率都为;，每场比赛是否获胜相互独

18

Q

立.已知甲参赛总分为2分的概率为一.

27

(1)求。;

(2)求甲参赛总分X的分布列和数学期望.

【答案】(1)p=-

2

7

(2)分布列见解析，数学期望为一.

4

【解析】

【分析】(1)利用独立事件概率的乘法公式来求解，要根据甲参赛总分为2分的情况进行分析，求。的值,

(2)需要考虑X所有可能的取值，再分别计算每个取