2025高考数学复习必刷题：直线的方程（学生版）

第57讲直线的方程

知识梳理

知识点一：直线的倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角

若直线/与X轴相交，则以X轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与/重合所成的角

称为直线/的倾斜角，通常用西分，7,..表示

（1）若直线与x轴平行（或重合），则倾斜角为0

（2）倾斜角的取值范围ee[O,万）

2、直线的斜率

设直线的倾斜角为夕，则a的正切值称为直线的斜率，记为左=tana

（1）当&=工时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的

2

（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率

（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广

（与直线方程相联系）

（4）网越大，直线越陡峭

（5）倾斜角a与斜率％的关系

当左=0时，直线平行于轴或与轴重合；

当左＞0时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随左的增大而增大；

当左＜0时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角左随的增大而减小；

3、过两点的直线斜率公式

已知直线上任意两点，A（X1,%）,必）贝麟=之——

马一再

（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关.

（2）若占=尤2，则直线钻的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90。

4、三点共线.

两直线AB,AC的斜率相等-4B、C三点共线；反过来，AB、C三点共线，则直线

AB,AC的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在.

知识点二：直线的方程

1、直线的截距

若直线/与坐标轴分别交于（。,0）,（0,》），则称a,6分别为直线/的横截距，纵截距

（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾

名思义误认为与“距离”相关）

（2）横纵截距均为。的直线为过原点的非水平非竖直直线

2、直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式y-y^k^x-x^不含垂直于无轴的直线

斜截式y=kx+b不含垂直于X轴的直线

y一必二

两点式不含直线元=者（占…）和直线y=x（x片%）

截距式2+2=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线

ab

Ax+By+C=0

一般式平面直角坐标系内的直线都适用

(A2+B20)

3、求曲线（或直线）方程的方法：

在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：

（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直

接法则需找到两个点，或者一点一斜率

（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线

方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）

4、线段中点坐标公式

若点《，鸟的坐标分别为（占，%）,（%,为）且线段££的中点M的坐标为（尤，y），则

<2，此公式为线段打8的中点坐标公式.

[2

5、两直线的夹角公式

若直线，=勺彳+伉与直线y=&x+%的夹角为a,则tana?=.

1+kxk2

必考题型全归纳

题型一：倾斜角与斜率的计算

例1.（2024.四川眉山.仁寿一中校考模拟预测）己知a是直线x—2y+3=。的倾斜角，则

A/2sina+—+sin6Z,,、

I的值为（z）

cosla

A4„4754A/5n3出

.D.------R.------JU•-----

331520

例2.（2024.重庆・重庆南开中学校考模拟预测）已知直线/的一个方向向量为

0=1in§,cos§J,则直线/的倾斜角为（）

兀c兀-2兀-4兀

A.—B.—C.—D.—

6333

例3.（2024•江苏宿迁•高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）经过4-1,3）,B（右,-豆）两

点的直线的倾斜角是（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

变式1.（2024•全国•高二专题练习）如图，若直线的斜率分别为匕&-，则（）

B.k3<kI<k2

C.kx<k2<k3D.k3<k2<kx

变式2.（2024•全国•高二专题练习）直线>=-后+3的倾斜角为（）

A.30B.60C.120D.150

变式3.（2024•全国•高二课堂例题）过两点A（4,y）,3（2,-3）的直线的倾斜角是135。，则

y等于（）

A.1B.5C.-1D.-5

变式4.（2024.高二课时练习）直线/经过4（2,1）,3（1,历）两点，那么直线/的斜

率的取值范围为（）.

A.（0,1]B.C.（-2,1]D.[l,+oo）

变式5.（2024・全国•高三专题练习）函数一/的图像上有一动点，则在此动点处

切线的倾斜角的取值范围为（）

3兀

A.0-TB.T,7r

3兀兀3兀

C.T,71D.2'T

【解题方法总结】

正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式左=入二匹，根据该公

%一9

式求出经过两点的直线斜率，当占=%，%*%时，直线的斜率不存在，倾斜角为90,求斜

率可用左=tana（a片90）,其中a为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割.牢

记“斜率变化分两段，90是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.这可通过画正切

函数在上的图像来认识.

题型二：三点共线问题

例4.（2024・全国•高二专题练习）已知三点（2,-3）,（4,3）,，,g]在同一条直线上，则实数左

的值为（）

A.2B.4C.8D.12

例5.（2024•辽宁营口•高二校考阶段练习）若三点A（0,8）,。（办T）共线，则

实数册的值是（）

A.6B.-2C.—6D.2

例6.（2024・重庆渝中•高二重庆复旦中学校考阶段练习）若三点M（2,2）,N（。，

0）,Q（0,6）,（ab包）共线，则工+工的值为（）

ab

A.1B.—1C.—D.—

22

变式6.（2024.全国•高三专题练习）若平面内三点A（l,-d）,B（2,a2）,C（3,〃）共线，

则a=（）

A.1土也或0B.三叵或0

C.生或D.竺^或0

22

【解题方法总结】

斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变,

即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等.这正是利用斜率可证三点共线的原因.

题型三：过定点的直线与线段相交问题

例7.（2024.吉林.高三校考期末）已知点4（1,3）,8（-2,-1）.若直线/:y=k（x-2）+1与线段

A3相交，则左的取值范围是（）

A.kN-B.k〈—2

2

C.k>—或k4—2D.—24左4—

22

例8.（2024・高三课时练习）已知点”（2,-3）和N（-3,-2）,直线/:y=6-a+l与线段MN

相交，则实数。的取值范围是（）

3、3

A.a>—^a<-4B.-4<a<-

44

33

C.-<a<4D.——<a<4

44

例9.（2024・全国•高三专题练习）已知A（2,0）,B（0,2）,若直线y=上"+2）与线段A3有

公共点，则k的取值范围是（）

A.[-1,1]B.[l,+oo)

C.[0,1]D.(ro,-+8)

变式7.（2024.全国.高三专题练习）已知点A（-2,3）,3（3,2）,若直线以+y+2=0与线段

A3没有交点，则。的取值范围是（)

54

C.

2,3

变式8.（2024.全国•高三专题练习）已知直线+2a=0和以M（3,5）,N（4,-2）为端点的

线段相交，则实数。的取值范围是（）

A.a<lB.-l<a<l

C.a<-l^a>lD.〃（一1或aNl或a=0

变式9.（2024.全国•高三专题练习）已知4（2,—3）,B（-3-2）,直线/过点尸（1,1）且与线段

A5相交，则直线/的斜率上的取值范围是（）

33

A.左WT或女2—B.-4<k<—

44

1、43

C.k<——或女2—D.——<k<4

434

变式10.（2024・全国•高三对口高考）已知点P（-M）,Q（2,2）,若直线/：x+⑺+”=0与产。

的延长线（有方向）相交，则加的取值范围为.

变式IL（2024.全国•高三专题练习）已知4-1,2）,3（2,4）,点尸（尤,y）是线段A2上的动点，

则）的取值范围是.

X

变式12.（2024・全国•高三专题练习）尸（x,y）在线段43上运动，已知A（2,4）,S（5,-2）,

则学的取值范围是.

【解题方法总结】

一般地，若已知4（百,%）,8（尤2，%），2（%，%），过「点作垂直于x轴的直线/'，过P点的

任一直线/的斜率为z,则当/'与线段的不相交时，々夹在原4与怎B之间；当/'与线段4?

相交时，上在&14与原B的两边.

题型四：直线的方程

例10.（2024・全国•高三专题练习）过点（1,2）且方向向量为（-1,2）的直线的方程为（）

A.2x+y-4=0B.%+y-3=O

C.x—2y+3=0D.x—2y+3=0

例IL（2024・全国•高三专题练习）过点A（L4）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该

直线方程为（）

A.x—y+3=0B.%+丁一5=0

C.4%-丁=0或x+y—5=0D.4x-y=0或x-y+3=0

例12.（2024•吉林白山・抚松县第一中学校考模拟预测）对方程子=2表示的图形，下列

叙述中正确的是（）

A.斜率为2的一条直线

B.斜率为一;的一条直线

C.斜率为2的一条直线，且除去点（-3,6）

D,斜率为的一条直线，且除去点（-3,6）

变式13.（2024.全国•高三专题练习）经过点尸（-1,。）且倾斜角为60。的直线的方程是

（）

A.s/3x-y-1=0B.乖x-y+拒=o

C.氐-y-石=0D.尤-gy+l=0

变式14.（2024•全国•高三专题练习）

变式15.（2024.全国•高三专题练习）已知过定点直线依-y+4-左=o在两坐标轴上的截距

都是正值，且截距之和最小，则直线1勺方程为（）

A.x-2y-l=0B.无一2y+7：0C.2x+y—6=0D.尤+2y—6=0

变式16.（2024•全国•高三专题练习）若直线/的方程、中，ab>0,ac<0,则

bb

此直线必不经过（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

变式17.（2024.全国•高三专题练习）已知直线/的倾斜角为60,且/在，轴上的截距为

-1,则直线/的方程为（）

A.y=--x-lB.y=尤+1

33

C.y=\[3x—1D.y=6x+1

【解题方法总结】

要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方

程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式.

题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题

例13.（2024.全国•高三专题练习）若一条直线经过点4（-2,2）,并且与两坐标轴围成的三

角形面积为1,则此直线的方程为.

例14.（2024.全国.高三专题练习）已知直线/过点M（2,l）,且分别与x轴的正半轴、y轴

的正半轴交于A,8两点，。为原点，当△AOB面积最小时，直线/的方程为.

例15.（2024・全国•高三专题练习）已知直线/的方程为：

（2+7九）x+（l-2〃?）y+（4—3加）=0.

（1）求证：不论加为何值，直线必过定点M；

（2）过点M引直线上使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求4的方程.

变式18.（2024・全国•高三专题练习）直线/过点M（L2）,且分别与龙,丁轴正半轴交于A、B

两点，。为原点.

⑴当面积最小时，求直线I的方程；

⑵求|0闻+2|0用的最小值及此时直线/的方程.

变式19.（2024•全国•高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，直线/过定点尸（3,2）,且

与x轴的正半轴交于点与＞轴的正半轴交于点N.

（1）当PATPN取得最小值时，求直线/的方程；

（2）求△MON面积的最小值.

变式20.（2024・北京怀柔・高二北京市怀柔区第一中学校考期中）已知直线/经过点

尸（2,2）,O为坐标原点.

（1）若直线/过点。（-2,0）,求直线/的方程，并求直线/与两坐标轴围成的三角形面积;

（2）如果直线/在两坐标轴上的截距之和为8,求直线/的方程.

变式21.（2024•高二单元测试）已知直线/过点尸（4,3）,与x轴正半轴交于点A、与y轴正

半轴交于点B.

（1）求。电面积最小时直线/的方程（其中。为坐标原点）；

（2）求|以卜|依|的最小值及取得最小值时I的直线方程.

变式22.（2024•江西吉安•高二吉安一中校考阶段练习）过点M（4,3）的动直线/交x轴的正

半轴于A点，交》轴正半轴于8点.

（I）求为坐标原点）的面积S最小值，并求取得最小值时直线/的方程.

（II）设P是AQ4B的面积S取得最小值时AOIB的内切圆上的动点，求

z/=|PO|2+|PB|2的取值范围.

变式23.(2024•河南洛阳•高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习)已知直线/：

辰―y+1+2左=0.

(1)求/经过的定点坐标P;

(2)若直线/交X轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点5.

①,A03的面积为S,求S的最小值和此时直线/的方程；

②当尸A+gpB取最小值时，求直线/的方程.

变式24.(2024.河南郑州.高二宜阳县第一高级中学校联考阶段练习)已知直线

I:kx—y+2+3k=。经过定点P.

⑴证明：无论左取何值，直线/始终过第二象限；

⑵若直线/交X轴负半轴于点4交y轴正半轴于点8,当;|PA|+g|PB|取最小值时，求

直线/的方程.

变式25.(2024•江苏宿迁•高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习)已知直线/过定点

尸且交x轴负半轴于点A、交》轴正半轴于点3.点。为坐标原点.

(1)若A03的面积为4,求直线/的方程；

(2)求|。4|+|08|的最小值，并求此时直线/的方程；

（3）求|E4Hp目的最小值，并求此时直线/的方程.

【解题方法总结】

（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与

截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”

之说.

（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以

根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决.例如：已知一点的坐标，求过

这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或

两点，选择截距式或两点式.在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法

求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏.

题型六：两直线的夹角问题

例16.（2024•上海浦东新•高三上海市川沙中学校考期末）直线x-by+2=0与直线

氐+2y=1所成夹角的余弦值等于

例17.（2024.高三课时练习）直线x+2y+2=0与直线3x-y-2=0相交，则这两条直线的

夹角大小为.

例18.（2024.上海宝山•高三统考阶段练习）已知直线4：2x-y=0,/2：3x+y-1=。，贝也与

12的夹角大小是.

11

变式26.（2024・重庆・高考真题）曲线y=与3-2在交点处切线的夹角

24

是.（用弧度数作答）

变式27.（2024•全国•模拟预测）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y-2=0与

x-7y-4=0,原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为.

变式28.（2024・全国•高三专题练习）两条直线=的夹

角平分线所在直线的方程是.

【解题方法总结】

若直线、=上逮+伉与直线，=匕尤+8的夹角为a,则tana=1勺.

题型七：直线过定点问题

例19.（2024・四川绵阳•绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）已知直线4：x-“y+l=0过

定点A,直线3侬+^-机+3=0过定点8,4与4相交于点尸，则向「+归用-.

例20.（2024・全国•高三专题练习）已知实数a,b满足“+26=1,贝|直线依+3y+6=0过定

点.

例21.（2024・陕西咸阳・统考二模）直线y=履-左+e恒过定点A,则A点的坐标为.

变式29.（2024•辽宁营口•高二校考阶段练习）直/的方程为质-y+2Z+l=0化eR）,则该

直线过定点.

变式30.（2024.上海宝山.高二统考期末）若实数。、b、c成等差数列，则直线

ax+by+<?=0必经过一个定点，则该定点坐标为.

【解题方法总结】

合并参数

题型八：轨迹方程

例22.（2024.全国•高三对口高考）在平面直角坐标系中，已知一-.MC的顶点坐标分别为

4(2,3)、3(1,-1)、C(5,l),点尸在直线3c上运动，动点。满足PQ=PA+P8+PC,求点

。的轨迹方程.

例23.(2024•安徽蚌埠•统考三模)如图，在平行四边形Q4BC中，点。是原点，点A和点

C的坐标分别是(3,0)、(1,3),点。是线段A3上的动点.

(1)求A3所在直线的一般式方程；

(2)当D在线段上运动时，求线段CD的中点M的轨迹方程.

例24.(2024・湖北咸宁•高二鄂南高中校考阶段练习)如图，已知点A是直线

乙"-2>>+1=。上任意一点，点8是直线/2：尤-2,-4=。上任意一点，连接A3,在线段

AB上取点C使得2Ci=3BC-

(1)求动点C的轨迹方程;

⑵已知点44,-2),是否存在点C,使得|尸。=3?若存在，求出点C的坐标；若不存在,

说明理由.

变式31.(2024.全国.高三专题练习)已知4(-1,1),5(2,1),动点M与A,B两点连线的

斜率分别为kMA、kMB,若kMA=2kMB,求动点M的轨迹方程

变式32.(2024・高二课时练习)在ABC中，A(3,3),B(2,-2),C(-7,1),求上4的平分线

AD所在直线的方程.

变式33.(2024•江苏•高二假