2025高考数学复习必刷题：圆的方程

第59讲圆的方程

知识梳理

知识点一：基本概念

平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆.

知识点二：基本性质、定理与公式

1、圆的四种方程

（1）圆的标准方程：（x-a）2+（y-b）2=r2,圆心坐标为（a,b）,半径为r（r>0）

（2）圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（。?+严一4/>0）,圆心坐标为[一,，一

半径一也三三

2

（3）圆的直径式方程：若4（占,％）,85,%），则以线段48为直径的圆的方程是

0-%）。一々）+（〉-%）0-%）=0

（4）圆的参数方程：

①尤2+9=产。>0）的参数方程为P=rCOSf（。为参数）；

[y=rsin”

②（…）2+（—A=/（r>0）的参数方程为（无=：+/cos’（©为参数）.

[y=Z?+rsin〃

注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为

（a+rcos6»,6+rsin。）（夕为参数，（a,6）为圆心，厂为半径），以减少变量的个数，建立三角

函数式,从而把代数问题转化为三角问题,然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.

2、点与圆的位置关系判断

（1）点尸（七,%）与圆（x-a）?+（y-6）2=产的位置关系：

①（x-a）?+（>-。）2>/o点尸在圆外；

®（x-a）2+（y-Z?）2=-0点尸在圆上；

③（X-“）2+（,-6）2〈产0点尸在圆内.

(2)点P5,%)与圆/+丁+m+硝+/=。的位置关系:

①片+y；+£>/o+40+尸〉。=点尸在圆外；

②片+y；+£>/+或0+/=0o点尸在圆上；

③片+y；+Dx0+Ey0+F<0<=>点P在圆内.

必考题型全归纳

题型一：求圆多种方程的形式

例1.(2024•贵州铜仁•统考模拟预测)过4(0,1)、8(0,3)两点，且与直线y=x-l相切

的圆的方程可以是()

A.(x+l)2+(y-2)2=2B.(x-2)2+(y-2)2=5

C.(x-l)2+(y-2)2=2D.(x+2)2+(y-2)2=5

【答案】C

【解析】因为A(0,l)、8(0,3),则线段A3的垂直平分线所在直线的方程为y=2,

设圆心为C(/,2),则圆C的半径为"心£』=号，

又因为r=|AC|=J/+(2一可=历1,所以，号="工，

整理可得/+6/-7=0,解得r=l或仁-7,

当/=1时，r=\AC\=s[2,此时圆的方程为(尤-iy+(y-2)z=2；

当"一7时，r=\AC\=5>/2,此时圆的方程为(x+7?+(y—2)2=50.

综上所述，满足条件的圆的方程为5—1)2+(、-2)2=2或"+7)2+(>一2)2=50.

故选：C.

例2.(2024•全国•高三专题练习)已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好

在两坐标轴上，则这个圆的方程是()

A.兀？+y?+4%—2y=0B.—4x+2y—5—0

C.%2+y2+4x—2y—5=0D.x2,+y2—4x+=0

【答案】A

【解析】设直径的两个端点分别A(4,0)1(0,b),

圆心C为点(-2,1),由中点坐标公式，得=2=一2,竽=1,解得口=-41=2.

22

/.半径r=^(-2+4)2+(1-0)2=V5，

：.圆的方程是(x+2)2+(y—I)?=5,即fy+4x-2y=0.

故选：A.

例3.(2024•全国•高三专题练习)已知圆心为(-2,3)的圆与直线彳_丁+1=0相切，则该

圆的标准方程是()

A.(x+2)2+(y-3)2=8B.(x-2)2+(y+3)2=8

C.(x+2)2+(y-3)2=18D.(x-2)2+(y+3)2=18

【答案】A

【解析】因为圆心为(-2,3)的圆与直线尤-y+l=。相切，所以圆心到直线的距离等于半

径，即r=d=-2/+1|=2点,

所以该圆的标准方程是(x+2)2+(y-3产=8.

故选：A

变式1.(2024•河北邢台•高三统考期末)已知圆+^=25与直线

/:3x-4y+机=0(机＞0)相切，则圆C关于直线/对称的圆的方程为()

A.(x+3)2+(y-4)2=16B.(x+3)2+(—=25

C.(x+6)2+(y—8)2=16D.(尤+6)2+(y—8)2=25

【答案】D

【解析】由圆C:x2+y2=25的圆心为原点。，半径为5,

又圆C与直线/相切,

则。到直线/的距离为d=5,

m

贝"的了而=5，解得加=25,

设过。且与/垂直的直线为/。,

则4：4%+3y=。，

联立［4x+3y=0Jx=-3

得直线/与4的交点为(-3,4),

设圆心。(0,0)关于点(-3,4)的对称点为(0,〃)，

o0+P

T二-----------

7p=-6

由中点公式有八n

n=8

4=----

I2

所以圆心。(0,0)关于点(-3,4)的对称点为(F8),

因此圆C关于直线I对称的圆的方程为：(尤+6>+(y-8)"=25,

故选：D.

变式2.(2024•山东东营•高三广饶一中校考阶段练习)过抛物线V=4尤的焦点厂的直

线交抛物线于A、B两点，分别过42两点作准线的垂线，垂足分别为4,用两点，以线

段44为直径的圆C过点(-2,3),则圆C的方程为()

A.(x+l)2+(y-2)2=2B.(x+1)2+(y-l)2=5

C.(x+l)2+(y+l)2=17D.(%+l)2+(y+2)2=26

【答案】B

【解析】抛物线y2=4x的焦点尸(1,0),准线44：x=-l,设A5,%),8(%，为)，令弦AB

的中点为E,

y\

而圆心C是线段Ae的中点，又AA，A片,8月，A瓦，即有EC//AA//84,

ECA.A.B,,

x=ty+l

显然直线不垂直于y轴，设直线AB"="+1,由/一消去X得:

y2-4ty-4=0,

则X+%=4G%%=-4,|-%1=J(%+-4%%=4,产+1，点E的纵坐标为

于是得圆。的半径/=glA与l=gl%1=2A/?"7T,圆心。(一1,2/),而圆C过点

A/(-2,3),

则有|MC|=r,即g+2>+(2/—3(=2#7T,解得

因此圆C的圆心C(-M),半径r=&\圆C的方程为(x+l)2+(y-l)2=5.

故选：B

变式3.(2024•全国•高三专题练习)求过两点A(0,4),3(4,6),且圆心在直线

x-2y-2=0上的圆的标准方程是()

A.(x+4)2+(y+l)2=25B.(x+4)2+(y-l)2=25

C.。-4)2+(,+1)2=25D.(x-4)2+(y-l)2=25

【答案】D

【解析】设圆心坐标为C(26+2,6),由圆过两点A(0,4),B(4,6),可得|AC|=|BC|,

即[(26+2)-01+°-4)2=[(22+2)-4了+0-6)2,解得6=1,

可得圆心为（4,1）,半径为5,贝|所求圆的方程为（无-4）2+0-1）2=25.

故选：D.

变式4.（2024•吉林四平•高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知直线

（3+2㈤尤+（3彳-2万+5-4=0恒过定点尸，则与圆C：（X—2）+（y+3）2=16有公共的圆心

且过点尸的圆的标准方程为（）

A.(x-2)2+(y+3)2=36B.(x-2)2+(y+3)2=25

C.(x-2)2+(y+3)2=18D.(无一2产+(y+3)2=9

【答案】B

【解析】直线(3+2X)x+(34—2)y+5—彳=0,即(2x+3y-l)X+(3x—2y+5)=0,

f2x+3y-l=0\x=-1,,

由。:0解得，，即「(T」)，圆C：(x-2)2+(y+3)2=16的圆心C(2,-3),

[3x-2y+5=0[y=l

IPC1=5,

所以所求圆的标准方程为(尤-2)2+(,+3)2=25.

故选：B

变式5.(2024•全国•高三专题练习)圆C：(x-l)2+(y-2)2=2关于直线x-y=0对称

的圆的方程是()

A.(1)2+(y+2>=2B.(%+l)2+(y+2)2=2

C.(X-2)2+(J-1)2=2D.(x+2)2+(y+l)2=2

【答案】C

【解析】由圆C：(x-l)2+(y-2)2=2,可知圆心坐标：(1,2),半径为0,

因为点(1，2)关于直线'=x的对称点为(2,1),

所以圆C：(x_iy+(y-2)2=2关于直线彳->=。对称的圆的方程是

(x_2)-+(y—1)-=2,

故选：C

变式6.(2024•重庆•高三重庆一中校考阶段练习)德国数学家米勒曾提出过如下的“最

大视角定理”(也称“米勒定理”)：若点A，B是NMON的边上的两个定点，C是ON边

上的一个动点，当且仅当的外接圆与边0V相切于点C时，NACB最大.在平面直

角坐标系中，已知点0(2,0),现4,0),点尸是y轴负半轴的一个动点，当NDFE最大

时，,DEF的外接圆的方程是().

A.(x-3『+(y+20『=9B.(无一3『+(y一2⑹。=9

C.(x+2收『+(1)2=8D.卜-2应『+"-3)2=8

【答案】A

【解析】由米勒定理知当ZDFE最大时，户的外接圆与>轴负半轴相切，此时圆心位

于第四象限，

因为点。(2,0),£(4,0),

所以圆心在直线x=3上，

又圆与y轴负半轴相切，

所以圆的半径为3,

设圆心为尸(3,6),b<0,

则|P£>|=Jl+廿=3,解得万=±2代,

又6<0,

所以6=-2"

所以迎E尸的外接圆的方程是(X-3)2+(y+2正了=9,

故选：A.

变式7.(2024•陕西西安•高三校考阶段练习)过点“4,2)作圆/+丁=4的两条切线,

切点分别为A,B,则W的外接圆方程是()

A.(x-2)2+(y-l)2=5B.(A:-4)2+(y-2)2=20

C.(x+2)2+(y+l)2=5D.(A：+4)2+(J+2)2=20

【答案】A

【解析】由圆f+V=4,得到圆心0(0,0),由题意知。、A、B、尸四点共圆，的

外接圆即四边形0Ape的外接圆，又尸(4,2),从而O尸的中点坐标(2,1)为所求圆的圆心,

；|。尸|=6为所求圆的半径，所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-l)2=5.

故选：A

变式8.(2024•四川成都•高三成都七中校考开学考试)已知A(-G,0),B(&0),C(0,3),

则ASC外接圆的方程为()

A.(x-l)2+y2=2B.(x-l)2+y2=4C.x2+(j-l)2=2D.尤2+口_1)2=4

【答案】D

【解析】设:ABC外接圆的方程为(尤-a)?+(y-b)2=r2

(一白一4+(0-b)2=产a=0

则有(石-4)2+(0一产,解之得.b=l

(0-a)2+(3-Z?)2=r2r=2

则ABC外接圆的方程为犬+()；-1)2=4

故选：D

【解题方法总结】

(1)求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆

心坐标Q,b)和半径厂；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点.因此，待定系数

法是求圆的方程常用的方法.

(2)用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂

直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等.

题型二：直线系方程和圆系方程

例4.(2024•全国•高三专题练习)圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆/+9+6X-4=0

和/+产+6广28=0的交点的圆的方程为()

A.x2+y2-x+7y-32=0B.x2+y2-x+ly-16=0

C.N+y2-4x+4y+9=0D.x2+y2-4x-^-4y-8=0

【答案】A

【解析】根据题意知，所求圆经过圆工2+,2+6/4=0和圆N+y2+6y-28=0的交点，

设其方程为(N+y2+6x-4)+2(N+y2+6y-28)=0,

(_3—3A、

即(1+2)x2+(l+A)y2+6x+6Ay-4-282=0,其圆心坐标为~—~~—­,

1+Z1+2

-32

又由圆心在直线x-y-4=0上，所以-4=0,

1+1

解得丸=-7,

所以所求圆的方程为：(-6)N+(-6)y2+6x-42y+192=0,即N+V-x+7y-32=0,

故选：A.

例5.(2024•高二课时练习)过圆f+y2—2丁—4=0与/+,2—4x+2y=0的交点，且圆

心在直线l：2x+4y-l=。上的圆的方程是.

【答案】X2+y2—3x+y—1=0

【解析】设圆的方程为x2+y2—4x+2y+〃x2+y2-2y—4）=0（；lH-l）,

则（1+川2一4x+（l+X）y2+（2-2/l）y-4/l=0,

目口2242—2/144（22-1]

即X+y-----xd------y------=0,所以圆心坐标为

1+21+21+2

把圆心坐标［占，得卜弋入2x+4-=0,可得深,

所以所求圆的方程为尤2+丁-3彳+>-1=0.

故答案为：x2+y2-3x+y-l=0.

例6.(2024•江苏•高二专题练习)曲线3/-/=3与y=f-2x-8的四个交点所在圆的

方程是.

【答案】(%-4)2+(y-2)2=49

【解析】根据题意得到：3%2-y2-4(%2-2x-8)=3-4y,化简得至I］答案.3--/=3,

y=x2-2x-8,故3x~~y2—4^x2—2x—8^=3-4y,

化简整理得到:x2+y2-8.r-4y-29=0,BP(x-4)2+(y-2)2=49.

故答案为：(x-4)2+(y-2)2=49.

变式9.(2024•安徽铜陵•高二铜陵一中校考期中)经过直线犬-2>=。与圆

尤2+必_©+2y-4=0的交点，且过点(1,0)的圆的方程为.

【答案】x2+y2+3x-12y-4=0

【解析】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：

x~+J—4x+2y—4+X(x—2y)=0

•••所求圆过点(1,0)

—7+2=0

解得丸=7

所以圆的方程为d+y2—4x+2y—4+7(x—2y)=0,化简得%之+y2+3x—12y—4=0.

故答案为：x2+y2+3x—12y—4=0.

变式10.(2024•高二校考课时练习)过两圆/+产―%—2=。与％2+y+4x—4丁―8=0

的交点和点(3,1)的圆的方程是.

13

【答案】x2+/-yX+y+2=0

【解析】设所求圆的方程为：(d+y2-尤-y-2)+/l(x2+y2+4x-4y-8)=。

将(3,1)代入得：A=

1a

二所求圆的方程为：x2+y2--x+y+2=0

13

本题正确结果：x2+y2-—x+y+2=Q

变式11.(2024•浙江杭州•高二校考期末)已知一个圆经过直线/：2x+y+4=0与圆

。:/+产+2了-4'=0的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为.

[答案]无2+y2+,=0

【解析】可设圆的方程为x2+y2+2x-4y+〃2x+y+4=0)=0,

BP?+/+2(l+2)x+(2-4)y+42=0,

(4一几、

此时圆心坐标为卜1-4一--I,

当圆心在直线2x+y+4=。上时，圆的半径最小，从而面积最小，

4一2

/.2(-1-㈤+0一+4=0,

Q

解得力=(

则所求圆的方程为/+y2+gx-gy+F=0,

故答案为/+，2+事》-]>+]=0.

变式12.(2024•江西九江•高一统考期中)经过两圆£+丁+6彳-4=0和

/+丁+6y-28=0的交点，且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程为

【答案】x2+/-x+7y-32=0

【解析】由题可先设出圆系方程；x2+y2+6%-4+2U2+/+6y-28）=0,则圆心坐标

为；（--—-r）>又圆心在直线了_,_4=0上，可得；----+-—^―4=0,解得

1+21+21+21+2

2=-7.

所以圆的方程为：尤2+y2_x+7y_32=0.

故答案为：%2+y2-x+7y-32=0.

变式13.（2024•浙江绍兴•高二统考期中）已知圆C过直线2x+y+4=。和圆

/+；/+2尤-4'+1=0的交点，且原点在圆C上.则圆C的方程为.

【答案】x2+y2+|x-^y=0

24

【解析】根据题意可设圆C的方程为：^2+/+2x-4y+l+2（2x+y+4）=0,因为原点在

1317

圆C上，故九=•所以所求圆的方程为/+=

424

考点：直线与圆的位置关系，圆的标准方程.

【解题方法总结】

求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交

点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）.

（1）直线系方程：若直线4:Ax+用y+G=0与直线12-.A,X+B2y+C2=0相交于点P,

则过点p的直线系方程为：4GV+4y+G）+4（4%+与〉+C2）=o（%+若X0）

简记为：第+%2=o（A2+老片0）

当4#o时，简记为：4+私=0（不含人）

（2）圆系方程：若圆G：无2+y2+Rx+gy+a=0与圆c?:f+y2+Qx+E2>+耳=0

相交于A,8两点，则过A,8两点的圆系方程为：

2222

x+y+Dxx+Exy+耳+2（x+y+D2x+E^y+F2）=0（2N-1）

简记为：G+XG=°Uw-i）,不含C2

当;I=—1时,该圆系退化为公共弦所在直线(根轴)/:-2)x+(&-4)>+M-月=0

注意：与圆c共根轴/的圆系G：C+刀=。

题型三：与圆有关的轨迹问题

例7.(2024•全国•高三专题练习)点尸(1,0),点。是圆/+y=4上的一个动点，则线

段PQ的中点〃的轨迹方程是()

A.(x-g)+y2=1B.尤=4

C.八1-1=1D.1f+y』

【答案】A

【解析】设点/的坐标为M(x,y),因为M点是线段PQ的中点，

可得。(2x—l,2y),点。在圆上，

则(2x-l『+(2y)2=4,即上一g)+/=1.

故选：A.

例8.(2024•湖南郴州•统考模拟预测)已知A,8是C：(*-2)2+行-4)2=25上的两

个动点，P是线段的中点，若|A3|=6,则点P的轨迹方程为()

A.(%-4)2+(y-2)2=16B.(%-2)2+(y-4)2=11

C.(x-2)2+(y-4)2=16D.(^-4)2+(y-2)2=11

【答案】C

【解析】因为AB中点为P,所以CPLAB,又|AB|=6,所以依尸|=j25-1g：=4,

所以点尸在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为2『+(y-4)2=16.

故选：C.

例9.(2024•全国•高三专题练习)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线

论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数以4>0〃*1)的点的

轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆.已知点P到4-2,0)的距离是点尸到8(1,0)的距离

的2倍.求点尸的轨迹方程；

【解析】设点P(x,y),

点P到A(-2,0)的距离是点P到8(1,0)的距离的2倍，可得1PAi=2\PB\,

即J(x+2)—=2卮了77，整理得(X-2)2+/=4,

所以点P的轨迹方程为(x-2)2+V=4；

变式14.(2024•全国•高三专题练习)已知P(4,0)是圆Y+y2=36内的一点,是圆上

两动点，且满足ZAP8=90°,求矩形APBQ顶点。的轨迹方程.

【解析】连接AB,PQ,设AB与P。交于点M,如图所示.

因为四边形APBQ为矩形，所以M为AB,P。的中点，连接OM.

由垂径定理可知OMLAB,

设Af(x“,yM),

由此可得=|OA|2-|OM|2=36-(4+耳).①

又在RtAP3中,

2

^\AM\=\PM\=J(XM-4)+^.②

由①②得与+-4XM-10=0,

故点M的轨迹是圆.

因为点M是尸。的中点，设Q(x,y),

代入点M的轨迹方程中得,

f+(”4x与一10=0,

整理得/+丁=56,即为所求点。的轨迹方程.

变式15.(1977.福建・高考真题)动点p(x,y)到两定点A(TO)和B(3,o)的距离的比等于

2,求动点P的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形.

\PA\

【解析】由题意可知：局=2,

\PB\

又P(x,y),A(-3,0)和3(3,0),

所以特E=2,

必-3)"

化简得好一10了+)；2+9=0即(％-5)2+/=16,

所以动点尸的轨迹是以(5,0)为圆心，半径是4的圆

变式16.(2024•安徽合肥•高三合肥一中校考阶段练习)已知圆C：

x2+y2+2x-4y+3=0.

⑴若不过原点的直线/与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线/的一般式方

程;

⑵从圆C外一点P(x,y)向圆引一条切线，切点为。为坐标原点，且有|「〃|=|尸。］,求

点P的轨迹方程.

【解析】(1)由Y+y2+2x-4y+3=0配方得(x+l)2+(y-2)2=2,所以圆C的圆心

C(-l,2),半径为也,

因为直线/在x轴，y轴上的截距相等，所以设直线/为x+y=b,即x+y-b=0,

则由直线/与圆C相切得)解得b=-l或6=3,

...直线I的方程为x+y+l=0或x+y—3=0.

(2)由圆上切点的性质知1PM

又因为|「叫=|叫,所以|尸0「=|尸C「-

所以/+,2=&+1)2+(,_2)2_2,整理得2x-4y+3=0,

故点尸的轨迹方程为2x-4y+3=0.

变式17.(2024•全国•高三专题练习)由圆/+/=9外一点尸(5』2)引圆的割线交圆于

43两点，求弦的中点M的轨迹方程.

【解析】［方法一］:【通性通法】【最优解】直接法

设弦AB的中点V的坐标为M(x,y)，连接OP、OM厕OMVAB.

在’0Mp中,由勾股定理有x2+y2+(x-5)2+(y_12)2=169,而M(x,y)在圆内，

所以弦A8的中点M的轨迹方程为x2+y2-5x-12y=0(-3<x<3).

［方法2］：定义法

因为M是AB的中点，所以OM_LAB,所以点M的轨迹是以OP为直径的圆,圆心为［■1,6

半径为挈=修，所以该圆的方程为:［高+“一寸唁(化简得

x2+y2-5.x—12_y=0(-3<x<3)

［方法3］：交轨法

易知过P点的割线的斜率必然存在，设过P点的割线的斜率为k,

则过P点的割线方程为:y-12=%(尤-5).

•/。似J-AB且过原点,，OM的方程为y=

k

这两条直线的交点就是M点的轨迹.两方程相乘消去k，化简，得:x2+/-5x-12y=0,

其中—3vxv3.

［方法4］：参数法

设过P点的割线方程为:、-12=以》-5）,它与圆尤2+旷=9的两个交点为人、B,

AB的中点为V,设M（羽））,4（西,%）,6（%2，%）・

由+可得，（1+公卜2+2M12—5%）龙+（12-5/）2-9=0，所以，

国+%」（12-5%）,即有尤=_%（12-了）,y=?^,消去左，

1-1+k21+k21+左

可求得M点的轨迹方程为：尤2+y2-5x-12y=0,-3<x<3.

［方法5］：点差法

设M（x,股A（国,》）,8（孙％）厕9+%=2尤,%+%=2y.

寸+y：=9,七+/=9.两式相减，整理，得乂4+%）-（％-%乂¥+=）=0.

%一y%+x,x

所以2^!=-」^=—―,即为4s的斜率，

x2-xx必+%y

而AB的斜率又可表示为争？,：.与二2=一工化简并整理，得/+y^Sx-Uy=0.

5-x5-尤y

其中—3vxv3.

【整体点评】方法一：直接根据轨迹的求法，建系、设点、列式、化简、检验即可解出,

是该类型题的常规方法，也是最优解；

方法二：根据题设条件，判断并确定轨迹的曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程；

方法三：将问题转化为求两直线的交点轨迹问题；

方法四：将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数；

方法五：根据曲线和方程的对应关系，点在曲线上则点的坐标满足方程，用点差法思想,

设而不求.

变式18.（2024•全国•高三专题练习）已知圆G:*+,2-4X=0,平面上一动点P满

足：2加2+.2=6且加（-1，0），Mi,o）.求动点P的轨迹方程;

【解析】设P（x,y）,由PAr+PN2=6,

所以(x+l)2+/+(%-1)2+/=6,整理得好+丁=2,

即动点尸的轨迹方程尤2+y2=2.

变式19.(2024•全国•高三专题练习)在边长为1的正方形ABC。中，边AB、8C上分

别有一个动点Q、R,且忸。|=|CR|.求直线AR与ZJQ的交点P的轨迹方程.

【解析】分别以AB,AD边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系.

如图所示，则点A。。)、B(I,O)、C(l,l)、£)(0,1)，

设动点p@y),ea,o)(o<r<i),

由忸2|二|。尺|知：|AQ|二|眼，则R(1J).

当才w。时，直线AR：y=比①，直线Z)Q：—+y=1f则1—丁=二②，

tt

①x②得：>(1一丫)=比:化简得一+必一、=0.

当公。时，点尸与原点重合，坐标(0,0)也满足上述方程.

故点尸的轨迹方程为x2+y2-y=010WxW；,0Wyw£|.

变式20.(2024•全国•高三专题练习)已知Rt.ABC的斜边为A3,且4-1,0),3(3,0).

求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边8C的中点V的轨迹方程.

【解析】(1)设C(x,y),因为4B,C三点不共线，所以yHO,

因为AC15C,所以Kc.心c=T，

又因为七c=""7,凝c=一^,所以一^7,—=

x+1x—3x+1x—3

整理得/+丁-2苫-3=0,即(x-l>+y2=4,

所以直角顶点C的轨迹方程为(x-iy+y2=4(y*0).

(2)设M(x,y),C(%,%),

因为8(3,0),"是线段8c的中点,

由中点坐标公式得尤所以%=2xT%=2y,

由(1)知，点。的轨迹方程为。-1)2+丁=4(〉3。)，

将无o=2尤—3,%=2y代入得(2x—4)~+(2y)~=4,即(尤―2)?+y2=1

所以动点H的轨迹方程为@-2)2+>2=1(舛0).

变式21.(2024•高二课时练习)如图，已知点A(-l,0)与点2(1,0),C是圆尤2+》2=I上

异于A,8两点的动点，连接BC并延长至D,使得|C0=|8C|,求线段AC与。。的交点尸

的轨迹方程.

【解析】设动点尸(x,y),由题意可知P是△AB。的重心，由4(-1,0),2(1,0),

令动点C(xo,yo),则O(2xo-1,2yd),

—1+1+2%­1

x=

3

由重心坐标公式得'

2yo

y=

3

3x+l

XQ=-A

贝Ha代入x2+y2=1,

%=/(%看。)

整理得[x+g]+y2=g(ywO)

故所求轨迹方程为1++y2=|(y^0).

变式22.(2024•高二课时练习)已知点A(2,o)是圆尤2+必=4上的定点，点8(1,1)是圆

内一点，P、。为圆上的动点.

⑴求线段AP的中点M的轨迹方程.

(2)若NPBQ=90°,求线段尸。中点N的轨迹方程.

【解析】(D设钎中点为

由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x-2,2y)

:尸点在圆尤2+必=4上，二(2尤-2)2+(2y)2=4.

故线段相中点的轨迹方程为(x-l)2+y2=l.

(2)设尸。的中点为N(x,y),在Rt△尸3Q中，|PN|=|8N|,

设O为坐标原点，则。N1PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|3N|2,

所以尤2+_/+。_])2+口_])2=4.

故线段户。中点的轨迹方程为V+y2-x-y_i=0.

【解题方法总结】

要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标X,y的等量关系，根据题目条

件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在.

题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件

例10.(2024•河南•高三阶段练习)“a<1”是“方程2炉+2/+2办+6、+5a=0表示圆”

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为方程2尤2+2_/+2依+6y+5。=。，即x?+;/+办+3>+当=。表示圆，

等价于/+9-10a>0,解得。>9或a<1.

故“a<1”是“方程2/+2/+2依+6y+5a=0表示圆”的充分不必要条件.

故选：A

例1L(2024•上海奉贤•高三校考阶段练习)已知：圆C的方程为/(x,y)=0,点

产(%，%)不在圆。上，也不在圆C的圆心上，方程C，"(x,y)-/(%,%)=0,则下面判断正

确的是()

A.方程。表示的曲线不存在

B.方程。表示与C同心且半径不同的圆

C.方程。表示与C相交的圆

D.当点尸在圆C外时，方程。表示与C相离的圆

【答案】B

【解析】因为C为圆，设/(x,y)=/+y2_l=0,点尸(U),其圆心为(0,0),半径为1,

而C，的方程为f(%>)-/(%,%)=0,BPx2+y2—1—1=0,x2+y2-2=0

因此上述方程中，圆心亦为(0,0),半径为企,所以C与圆仁是同心且半径不同的圆.

故选：B.

例12.(2024•高三课时练习)关于无、y的方程-2+39+02+瓜+£了+尸=0表示一个

圆的充要条件是().

A.8=0,l.A=C^O

B.B=l,且£)2+E2_4A尸>0

C.8=0,MA=C^O,£)2+E2-4AF>0

D.3=0,MA=c^o,D2+E2-4AF>0

【答案】D

【解析】关于X、y的方程-2+区口+0/+以+4+/=。表示一个圆的充要条件是

B=0

，A=CWO,即B=。，且A=。/0,£)2+E2-4AF>0.

故选：D

变式23.（2024•全国•高三专题练习）若方程Y+y2+办+2y+2=0表示圆，则实数a的

取值范围是（）

A.a<—2B.a>2

C.a<—2或a>2D.a<—2或4之2

【答案】c

【解析】若方程/+9+办+2〉+2=0表示圆，贝+2?-4x2>0,

解得：。>2或av-2.

故选：C

变式24.（2024•全国•高三专题练习）已知方程/+V+'晟+2y+2=0表示圆，则实

数机的取值范围为（）

A.（l,+oo）B.（2,+8）C.（3,+oo）D.（4,+co）

【答案】D

【解析】因为方程V+V+标为+2丫+2=0表示圆，

所以（而了+22-4X2>0,解得机>4.

故选：D

变式25.（2024•四川绵阳•高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）若圆C：

d+y2-2（〃Ll）x+2（〃Ll）y+2"-6〃z+4=0过坐标原点，则实数的值为（）

A.2或1B.-2或-1C.2D.-1

【答案】C

【解析】：7+y2-2（〃?一1）%+2（〃7—1）》+2加2-6〃2+4=0表示圆，

/.[-2（,〃-1）了+[2（〃z-1）丁—4（2m2—6m+4）>0

m>1.

又圆。过原点，

**•2m2-6加+4=0，

・••帆=2或加=1（舍去）；

m=2.

故选:C.

变式26.（2024•全国•高三专题练习）若方程N+y2+2&+2勿+2M—九+1=0表示圆,

则力的取值范围是（）

F1;

A.（1,+oo）B.-,1

C.（1,+oo）uD.R

【答案】A

【解析】因为方程N+y2+22x+2Ay+2A2-4+1=0表小圆，所以£）2+£2—4/>0,

BP4A2+4A2—4（2M—2+1）>0,解不等式得2>1,即丸的取值范围是（1,+（x））.

故选：A.

变式27.（2024•高二课时练习）若ae（O,2»）,使曲线

Ycosa+Vsine+xcosa+ysina+lu。是圆，贝U（）

,5冗c式「冗f\兀C71

A.a=——B.a--C.a=一或c=——D.a=—

44442

【答案】A

【解析】由题意，cosa=sinc,

因为℃（0,2万），所以戊=（或2=努，

当。=工时，方程为变/+正X+正y+l=O,

42222

化简得必+y1+x+y+^2=0,

止匕时£）2+f2-4尸二2-4五<0，不表示圆；

当。=手时，方程为一变X?—正V一正X—必y+l=0,

42222

化筒得x2+y2+x+y—A/2=09

止匕时。2+七2-4/=2+4五>0，表示圆.

所以。=乎.

4

故选：A

【解题方法总结】

方程%2+、2+.+4+尸=。表示圆的充要条件是£）2+£2—4尸〉0,故在解决圆的一

般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件.在圆的一般方程中，圆心为［-微，-］）

半径r二,yjD2+E2-4F

2

题型五：点与圆的位置关系判断

例13.（2024•甘肃定西•统考模拟预测）若点（2,1）在圆Y+V-x+y+a=0的外部，则

a的取值范围是（）

A.&，+4B.［-ool］C.［一43

D.（_00,_4）。1,+ooj

【答案】C

【解析】依题意，方程/+Y2-x+y+a=0可以表示圆，则（-I）?+F-4a>0,得a<g；

由点（2,1）在圆x2+y2_；v+y+a=o的外部可知：22+l2-2+l+a>0>得“>-4.

故-4<a<万.

故选：C

例14.(2024•全国•高三专题练习)已知点尸(1,-2)在圆C：x2+y2+kx+4y+k2+l=0

的外部，则左的取值范围是()

A.-2<k<lB.l<k<2C.k<-2D.-2<k<2

【答案】B

【解析】由炉++日+4y+/+1=0,得++(y+2)2=3—,

贝1]3_:长->0,解得：—2vk<2①,

又：点尸(1,-2)在圆C的外部，

•••1+4+左一8+左2+1〉0，BPk2+k-2>0>解得左V—2或左>1②,

由①②得1(后<2,

故选：B.

例15.(2024•四川自贡•高一统考期中)点尸在单位圆。。上(。为坐标原点)，点

4(-1,-1),8,AP=/J.AO+ZAB,则〃+人的最大值为()

3广

A.-B.布C.2D.3

【答案】C

【解析】如图所示：

设P(x,y),因为AP=AAO+NAB,

fx+l=〃+丸=—1

则1丁+1=月即[y=〃-1

因为点尸在圆丁+丁=1上,

所以（〃+2—1）+（〃—1）=1,

令t=〃+X,得〃2-2〃+/-2r+1=0,

A=（-2）-4（产—2f+l）20,即/_2t（0，

解得0V/W2,

所以〃+力的最大值为2,

故选：C

变式28.（2024•全国•高二专题练习）点尸（5,时与圆一+y=24的位置关系是（）

A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不确定

【答案】C

【解析】因为5?+加2=25+源〉24,所以点在圆外，

故选：C

变式29.（2024•全国•高二专题练习）若点在圆Y+y2-2ay-4=0的内部，

则。的取值范围是（）.

A.。>1B.0<«<1C.-1<u<—D.a<1

5

【答案】D

【解析】由题可知，半径厂=耳+4,所以“eR，把点代入方程，

则（。+1『-2。（。一1）-4<0,解得a<1,所以故。的取值范围是a<1.

故选：D

变式30.（2024•全国•高二专题练习）已