2025年初中数学专项复习突破：三角形中的四心问题（重心、外心、内心、垂心）（含答案及解析）

大招三角形中的四心问题

《重心、外心、内心、垂心）

I___________J

FTp

0^2）模型介绍

01.三角形的五心

三角形的五心定义

外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；

内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；

重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；

垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；

旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心

叫做三角形旁心；三角形有三个旁心.

02.三角形的重心

（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点.

（2）重心的性质：

①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.

③重心到三角形3个顶点距离的和最小.（等边三角形）

03.三角形的外接圆与外心

（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.

（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.

（3）概念说明：

①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点.

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三

角形的外心在三角形的外部.

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆

只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个.

04.三角形的内切圆与内心

(1)内切圆的有关概念：

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这

个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.

(2)任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形.

(3)三角形内心的性质：

三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.

回5.垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.

rip

例题精讲

考点一：三角形重心问题

【例如图，△ABC的中线8。、CE相交于点R若四边形AEEZ)的面积为6,则△C2F

的面积为

例题精讲

A变式训练

【变式17].如图，在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,AC^BC,于点O,

中线AE与CO相交于点R则处的值为

A0

【变式1-2].如图，在平面直角坐标系中，点8(-2,3),点C在x轴负半轴，OB=BC,

点/为△OBC的重心，若将AOBC绕着点。旋转90°,则旋转后三角形的重心的坐标

考点二：三角形外心问题

【例2].如图，点。是AABC的外3连接08,若NO8A=17°,则/C的度数为

A变式训练

【变式2-1]已知△ABC的三边a,b,c满足|c-4|+6+/-10。=4后7-30,贝！l/XABC

的外接圆半径的长为

考点三：三角形内心问题

【例3】.如图,RtAABC中，/C=90°,AC=6,BC=8.则/MBC的内切圆半径r=

A变式训练

【变式37].是△4BC的内切圆，且NC=90°,切点为。，E,F,若AR8E的长

是方程7-13x+3O=O的两个根，则SAABC的值为（）

A.30B.15C.60D.13

A

【变式3-2].如图所示，在矩形A8CD中，BD=10,△A3。的内切圆半径为2,切三边于

E、F、G,贝U

矩形两边AB=,AD=

考点四：三角形垂心问题

[例4],如图，H是锐角AABC的垂心（3条高的交点），若AH=BC,则N8AC的度数

是_______

A变式训练

【变式4-1].如图，在△ABC中，己知AB=5,CA=7,BC=6,X为垂心，则A8=

【变式4-2].如图，在△ABC中M为垂心，。为外心，ZBAC=60°,且△ABC外接圆直

径为10,则AM=

实战演练

1.如图，△ABC中，/BAC=70°,ZABC=45°,点。是△ABC的外接圆的圆心，则/

C.130°D.140°

2.如图，△ABC中，AB=BC=AC=3,。是它的内心，以。为中心，将△ABC旋转180°

得到△入'B'C,则△ABC与AA'B'C重叠部分的面积为（）

c.亨D.小

3.小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上,

若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（）

A.2-43cmB.4V3C.6y[3cmD.

4.如图所示，ZVIBC的内切圆与AB、BC、AC分别相切于点D、E、R若/DEF=52°,

则/A的度数是（）

O

BEC

A.52°B.76°C.26°D.128°

5.如图，四边形ABC。中，AB=AD,BC=DC,ZA=90°，ZC=60°.若AB=5娓.则

AB

6.如图，若正△ALBCI内接于正△ABC的内切圆，则的值为（）

7.如图，已知Rt^ABC的直角边AC=24,斜边AB=25,一个以点P为圆心、半径为1

的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中OP一直保持与△ABC的边相切，

当点尸第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（）

8.如图，点G是AABC的重心，且△OGC的面积为4,则△ABC的面积为

9.如图所示，ZXABC是。。的内接三角形,AOJ_BC于。点，且AC=5,£)C=3,AB=4、历,

则。。的直径等于

10.如图，点O是等腰Rt^ABC的重心，其中/ACB=90°,将线段CO绕点C逆时针旋

转90°得到线段CE,连结OE.若△ABC的周长为6a，则△DCE的周长为.

11.如图，。。与△ABC的边BC、AC,AB分别切于E、F、D三点、,若O。的半径是1,

ZC=60°,AB=5,则△ABC的周长为.

12.如图，点尸是△ABC的重心，过P作的平行线。E,分别交AC于点。、交8c于

点E；作。尸〃BC,交于点F,若AABC的面积为36,则四边形BE。尸的面积为

13.如图所示，。是△ABC的内心，ZBOC=100°,则/BAC=

O

14.一个直角三角形的两条边长是方程/-7x+12=0的两个根，则此直角三角形外接圆的

半径等于,

15.如图，△ABC中，已知A8=8,BC=5,AC=1,则它的内切圆的半径为.

16.如图，G为△ABC的重心，点。在C8延长线上，且过。、G的直线交

AC于点E,则胆=

AC

DB

17.在半径为1的。。中内接有锐角△ABC,H是△ABC的垂心，角平分线AC垂直于OH,

贝IBC=.

18.如图，O。的半径为△ABC是OO的内接等边三角形，将△ABC折叠，使点A落

在。。上，折痕EF平行8C,则EP长为.

B

19.如图，在矩形ABCQ中，AB=5,BC=12,。。1和。。2分别是△ABC和△AOC的内

切圆，则。1。2=.

20.如图，在△ABC中，AC=3,BC=4,若AC,BC边上的中线BE,AD垂直相交于。点,

21.若AABC的外接圆半径为2,H是△ABC垂心，则的外接圆半径长是

22.如图，剪一个边长为2的等边三角形，让它沿直线/在桌面上向右滚动，当等边三角形

第9次落在直线/上时，等边三角形的内心运动过的路程长为.

第一次第二次

23.如图，0,H分别为△ABC的外心和垂心，。到BC边的距离为2,H到BC边的距离

为HE=3,则BC边上的高为

24.如图，正△ABC的面积是8,取正△ABC的内心。1,以。18为边长作正△018P1,再

取正△O18P1的内心。2,以O2B为边长作正△O2BP2,…，依次规律作第2009个正△

O2009BP2009.则△020098尸2009的面积是.

25.如图，点尸为△AOB的重心，点2在彳轴的正半轴上，函数yj(4>0)图象经过点

A,P,且交AB于点C,则点A,尸的纵坐标之比是,AC：BC的值为

26.如图，己知锐角△ABC的外接圆半径等于2,ZBAC=60°,。、X分别为△ABC的外

心和垂心，连接OH与BC的延长线交于点P,则OH・OP=

27.如图，AB=2,BC=\,△ABC与△E8O为全等的RtA(ZABC=ZEBD=90°),F

为直线AE和直线CO的交点，求线段8尸的取值范围为

A

E

28.如图，在△ABC中，AB=AC=IO,8C=16,点。是△ABC的重心，将线段A。绕点A

逆时针旋转至O',点。为线段CO'的中点，连接BD,则8。的最大值为.

29.如图，等边△ABC的边长为4、。，点。为△ABC的三条中线的交点，点。，E分别为

边AB,8c上的点，若/DOE=120°,则的最小值为.

30.如图，锐角三角形48c内接于半径为R的O。，"是三角形A8C的垂心，4?的延长

线与BC交于点M,OHLAO,BC=10,04=6,则0M的长=

31.如图，半径为3的O。分别与x轴，y轴交于A,。两点，。。上两个动点2,C,使/

BAC=45°恒成立，设△ABC的重心为G,则DG的最小值是.

32.如图，线段AC=7,半圆。的直径AB=4,点8在射线CB上运动.

（1）当半圆D恰好经过AC边的中点时，CB=；

（2）当△ABC的内心，外心与某一个顶点在同一条直线上时，tanC=

B

33.如图，在半径为6,圆心角为90°的扇形0A2的AB上，有一个动点P,PH±OA,垂

足为H,△OPH的重心为G.

(1)当点尸在窟上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，

请指出这样的线段，并求出相应的长度；

(2)如果△PGH是直角三角形，试求。G：PG：8G的值；

(3)如果△PGH是等腰三角形，试求出线段产〃的长.

34.如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形。瓦G的一边。G在直径AB上，

另一边过△ABC的内切圆圆心。，且点E在半圆弧上.

①若正方形的顶点厂也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是；

②若正方形DEFG的面积为100,且AABC的内切圆半径r=4,则半圆的直径AB

35.在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+6x+c的图象过点C(0,-4)和点0(2,-6),

与x轴交于点A、B(点A在点2的左边)，且点D与点G关于坐标原点对称.

(1)求该二次函数解析式，并判断点G是否在此函数的图象上，并说明理由；

(2)若点P为此抛物线上一点，它关于x轴，y轴的对称点分别为M,N,问是否存在

这样的尸点使得M,N恰好都在直线ZX?上？如存在，求出点尸的坐标，如不存在，请

说明理由；

(3)若第四象限有一动点E,满足过E作EFLc轴于点R设尸坐标为(Z,

0),0<?<4,42所的内心为/,连接C/,直接写出C/的最小值.

图1图2

大招三角形中的四心问题

《重心、外心、内心、垂心）

I___________J

FTp

0^2）模型介绍

01.三角形的五心

三角形的五心定义

外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；

内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；

重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；

垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；

旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心

叫做三角形旁心；三角形有三个旁心.

02.三角形的重心

（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点.

（2）重心的性质：

①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.

③重心到三角形3个顶点距离的和最小.（等边三角形）

03.三角形的外接圆与外心

（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.

（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.

（3）概念说明：

①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点.

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三

角形的外心在三角形的外部.

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆

只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个.

04.三角形的内切圆与内心

(1)内切圆的有关概念：

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这

个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.

(2)任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形.

(3)三角形内心的性质：

三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.

回5.垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.

rip

例题精讲

考点一：三角形重心问题

【例如图，△ABC的中线8。、CE相交于点R若四边形AEEZ)的面积为6,则△C2F

的面积为

S^ABD=SABCE,

S^ABD-SABEF=SABCE-S^BEF,

S四边形24石尸£>=5/\3。尸=6,

故答案为：6.

»变式训练

【变式1-11.如图，在等腰直角三角形A5C中，ZACB=90°,AC=BC,C0LA8于点。,

中线AE与CO相交于点F则好的值为

A0

Qp

例题精讲

解：:△ABC是等腰直角三角形，COA.AB,

，OC是△A8C斜边A8上的中线，

：.OA=OC,

是△ABC的中线，

点尸是△A2C的重心，

OF：OC=1：3,

•.•0F-_-1,

AO3

故答案为：A.

3

【变式1-2].如图，在平面直角坐标系中，点8(-2,3),点C在尤轴负半轴，OB=BC,

点M为△03C的重心，若将△02C绕着点。旋转90°,则旋转后三角形的重心的坐标

解：'：OB=BC,点M为△08C的重心，

J.BMLCO,

：.ZOMH=90°,

；点、B(-2,3),

.,.点Af(-2,1),即MH=1,HO=2,

①△08C绕着点。顺时针旋转90°,如图①,

过点作轴，

ZMOM'=NM'£)0=90°,

/.ZMOC+ZM'OD=ZM'+ZM'OD=90°,

：.AM'=ZMOC,

'：ZOMH=ZM'DO=90°,OM=OM',

:AMOH空AM'OD(44S),

：.OD=MH=1,M'D=OH=2

：.M'(1,2)；

综上所述：旋转后三角形的重心的坐标为（-1,-2）或（1,2）.

故答案为：（-1,-2）或（1,2）.

考点二：三角形外心问题

【例2］如图，点。是AABC的外3连接。8,若/。54=17°,则/C的度数为

解：连接。4,作△4BC的外接圆。0,

:点。是△ABC的外心，

：.OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA=11°,

AZAOB=180°-2X17°=146°,

：.ZC=—ZAOB=ir,

2

故答案为：73.

A变式训练

【变式2-1].己知△ABC的三边a,b,c满足|c-4|+b+J-10a=4v&!-30,则AABC

的外接圆半径的长为.

解：V|c-41+b+d-i0a=4Vb+l-30,

(b+1-4Vb+l+4)+(/_iob+25)+|c-4|=0,

(Vb+1-2)2+(a-5)2+|C-4|=0,

•'•Vb+1_2=0,a-5=0,c-4=0,

解得，a=5,b=3,c—^,

：.AC=3,BC=5,AB=4,

V52=32+42,

:.BC2=AC2+AB2,

.♦.△ABC是直角三角形，BC为斜边，

/.△ABC的外接圆的半径为"1BC=S.

22

故答案为：王■.

2

【变式2-2].如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为

依题意得，

A(4,6),B(2,4),C(2,0)

则有

«(4-x)2+(6-y)2=V(2-x)2+(4-y)=V(2-x)+(-y))

即(4-x)2+(6-y)2=(2-x)2+(4-y)2=(2-x)2+y2,

化简后得x=6,y=2,

因此圆心坐标为(6,2).

考点三：三角形内心问题

【例3】.如图,RtAABC中，NC=90°,AC=6,BC=8.则△ABC的内切圆半径r=

在RtZkABC,ZC=90°,AC=6,BC=8；

根据勾股定理AB=qAC2+BC2=10；

四边形OECF中，OE=OF,ZOEC=ZOFC=ZC=900；

四边形OEC歹是正方形；

由切线长定理，得：AD=AF,BD=BE,CE=CF；

：.CE=CF=^-(AC+BC-AB)；

2

即：(6+8-10)=2.

2

A变式训练

【变式37].O。是△ABC的内切圆，且NC=90°,切点为D,E,F,若AF,BE的长

是方程x2-13x+30=0的两个根，则S^ABC的值为（）

A.30B.15C.60D.13

x=10,%=3,

：.AD=AF=10.BD=BE=3；

设CE=CF=JG则AC=10+x,BC=3+x；

由勾股定理，得：

AB2=AC1+BC1,即132=(10+X)2+(3+x)2,

解得：x=2(负值舍去)，

；.AC=12,BC=5；

因此SAABC=」AC,BC=工X5X12=30.

22

故选：A.

【变式3-2].如图所示，在矩形A8C£）中，80=10,△A3。的内切圆半径为2,切三边于

E、F、G,则矩形两边AB=,AD=.

A^+AD2=AB2=100-@；

设△A8D内切圆的半径为R,则有:

AB+AD_BD

i\---------------z,

2

即AB+A£>=14-@；

联立①②得:

AB2+AD2=100

,AB+AD=14

AD>AB

故AB的长为6,A£）的长为8.

考点四：三角形垂心问题

【例4】.如图，H是锐角△ABC的垂心（3条高的交点），若AH=BC,则NA4c的度数

是.

ZAEH=ZBDH=ZBEC=90°,

/AHE=ABHD,

：.ZEAH=ZCBE,

在△AEH和△BE'C中，

,ZEAH=ZCBE

-ZAEH=ZBEC>

AH=BC

.,.△AEH/ABEC(AAS),

J.AE^BE,

VZAEB=90°,

.•.△ABE为等腰直角三角形,

AZBAC=45°,

故答案为：45°.

A变式训练

【变式4-1].在△ABC中，已知AB=5,CA=7,BC=6,〃为垂心，则A8=

解：设AE=x,BD=y,贝i]EC=7-x,DC=6-y,

在RtAABE和RtABCE中，AB2-AE2=BC2-EC2,即25-7=36-(7-x)2,

解得：尤=也；

7

在RtAABD和RtAADC中，AB1-BE^^AC2-DC2,即25-y2=49-(6-y)2,

解得:y=l；

在RtzMB。中，AB2-BD2=AD2,

：.AD=2y/^)；

又：△AHEsS,

19

.AE=AH即不=AH

"AD氐'诉~T

解得：A//=W1.

12

【变式4-2].如图，在△ABC中/为垂心，。为外心，ZBAC=60°,且AABC外接圆直

径为10,则.

解：延长AM交BC于。，延长CM交AB于E,作直径BR连接AR如图,

；2尸为O的直径，

：.ZBAF=9Q°,

ABAB

/.sinF==

BFIO

.*.AB=10-sinF=10-sinZACB,

又：点M为△ABC的垂心,

：.AD±BC,CELAB,

：.ZADB=ZAEC=9O°,

：.AAEMsAADB,

.・.胆=鲤，即AM=AE・AB,

ADABAD

在RtzXAEC中，ZEAC=60°,AC=2AE,即AE=』AC,

2

在RtZ\AZ)C中，sin/AC£)=妈，SPAD^AC-sinZACD,

AC

■^•AC-10-sinZACB

AM=±----------------------------=5.

AOsin/ACD

故答案为5.

实战演练

1.如图，△ABC中，NBAC=70：ZABC=45°,点。是△ABC的外接圆的圆心，则/

C.130°D.140°

解：VZBAC=70°,ZABC=45°,

?.ZC=180°-70°-45°=65°

AZAOB=2ZC=130°.

故选：C.

2.如图，△ABC中，AB=BC=AC=3fO是它的内心，以。为中心，将△ABC旋转180°

得到AA，B'C,则△ABC与B'C重叠部分的面积为（）

A.B.C.近D.673

242

解：'：AB=BC=AC=3,

S/^ABC=-^A/3'

V△ABC^AA,B'C,

...每个小三角形的边长与大三角形边长之比为：1：3,即相似比为：1：3,

小三角形与大三角形面积之比为：1：9,

每一个小三角形的面积是Y2,

4

阴影部分的面积是工巧.

2

故选：A.

3.小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上,

若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（）

A.B.C.D.相

解：由题意画图如下，则△ABC为等边三角形，且内接于。O,

：.AB=AC=BC=6cm,ZA=60°.

过点0作0O_L8C于点D,则BD=CD=LBC=3cm,

2

连接OB,0C,则OB=OC,

'JODLBC,

:./DOB=L/BOC.

2

•.,/BOC=2/A=120°,

：.ZDOB=6Q°.

在中，

'：smZDOB=^-,

OB

.V33

••---二.

2OB

：.OB=243-

故选：A.

4.如图所示，△ABC的内切圆OO与A3、BC、AC分别相切于点。、及R若ND所=52°,

则/A的度数是（）

A.52°B.76°C.26°D.128°

解：连接。£),OF,则NADO=NA尸。=90°；

由圆周角定理知，尸=2NE=104°；

/.ZA=1800-ZDOF=16°.故选：B.

5.如图，四边形ABC。中，AB=AD,BC=DC,ZA=90°,ZC=60°.若AB=5娓.则

△ABO外心与△BCD内心的距离是（)

解：如图，连接AC交8。于E,过点8作BbLCD于G,交AC于点尸,

'：AB=AD,CB=CD,

AC垂直平分BD,

'：ZBAD=90°,

ZABD=ZADB=45°,

,：ZBCD=60°,BC=DC,

△BCD是等边三角形，△42。是等腰直角三角形，

...点E是的外心，点/是△BCD的内心，

在RtZXABD中，：42=4£)=5企，

：.BD=10yf3>

:.BE=DE=SM，

在RtZkBEP中，VZBEF=90°,ZEBF=30°,BE=$M，

:.BF=2EF,

"：BE1+EF2=BF2,

：.(54)2+EF2=(2EF)2,

:.EF=5.

：.AABD外心与△BCD内心的距离为5.

故选：A.

AB

6.如图，若正△ALBICI内接于正△ABC的内切圆，则」S的值为（

AB

亚D.皇

解：•.•△ALBICI和△ABC都是正三角形，，它们的内心与外心重合;

如图：设圆的半径为风

RtZ\OA。中，ZOAD=30°,OD=R；

=——理——=«凡即AB=2我R；

tan/OAD

同理可求得431=

.A1B1_V3R1

一AB2V3R了

故选：A.

7.如图，已知Rt^ABC的直角边AC=24,斜边AB=25,一个以点P为圆心、半径为1

的圆在AABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中。尸一直保持与AABC的边相切，

当点尸第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（）

B.25D.56

解：设三边分别为7a,24a,25a,

则：(24o+24)4-2+(7a+7)4-2+(25a+25)+2+7aX24a+2=24X7+2,

构成的三角形的三边分别是」四，16,

3

故选：C.

8.如图，点G是△ABC的重心，且△OGC的面积为4,则△ABC的面积为

解：：点G是AABC的重心，

：.AG：DG=2：1,是8c边上的中线,

••S^ACG*S/^DGC2:1»

,.•△DGC的面积为4,

S^ACG=S,

.*.SAAC£>=4+8=12,

又是BC边上的中线，

；•SMBC=2SAACD=2X12=24.

故答案为：24.

9.如图所示，△ABC是。0的内接三角形,AZ)_LBC于。点，且AC=5,DC=3,AB=4、历,

则。。的直径等于.

解：如图,

连接AO并延长到E,连接BE.设AE=2R,则

ZABE=90°,/AEB=NACB；

于。点，AC=5,DC=3,AB=472，

AZADC=90°,A£)=>/AC2_DC2=>y52_32=4；

在RtAABE与RtAADC中，

ZABE=ZADC=90°,ZAEB=ZACB,

/.RtAABE^RtAADC,

.AB=2R

ADAC"

即2R=杷・AC=g眄X5=5近;

AD4

.••。。的直径等于卬^.

10.如图，点。是等腰Rt^ABC的重心，其中/ACB=90°,将线段CO绕点C逆时针旋

转90°得到线段CE,连结DE.若aABC的周长为6我，则△DCE的周长为.

解：延长CZ）交42于如图，

丁点D是等腰RtAABC的重心，

为斜边AB上的中线，CD=2DH,

:.CHLAB,CH=—AB,

2

；.CD^^-CH=^AB,

33

AABC为等腰直角三角形，

：.AB=42AC,

J?

；.CD=.^AC,

3

.线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE,

/.ACDE为等腰直角三角形，

：./\CDE^/\CAB,

.♦.△QCE的周长：△ABC的周长=CD：CA,

△DCE的周长=返

X6&=4.

3

11.如图，。。与AABC的边BC、AC.A8分别切于E、F、。三点，若。0的半径是1,

ZC=60°,AB=5,则△ABC的周长为.

：0。与△A8C的边BC、AC、AB分别切于E、F、D三点,

：.AD=AF,CE=CF,BD=BE,

"：OE=\,ZC=60°,

AZOCE=30°,

:.CE=M，OE=1,

：.CE+CF=2^/3>

：.AD+BD=AF+BE=AB=5,

：.AB+BE+AF=10,

：.^ABC的周长为10+2我.

12.如图，点P是△ABC的重心，过P作48的平行线。E,分别交AC于点。、交8c于

点E；作。歹〃8C,交AB于点凡若△ABC的面积为36,则四边形BEQF的面积为

・・♦点尸是△ABC的重心，

：.CPzPG=2：1,

^DE//AB,

1

・CE2

••"—f2

EB1AD

AC-1

.CE2>--

••--------,3

CB3

9JED//AB,DF//BC,

.'.△CED^ACBA,AAFD^AABC,

・41_

S5

'.ACED节XSAABC=16'AAFD节XS/kABC—4

•'•S四边形3E£>F=S4A8C-SACED-S^AFD

=36-16-4

=16,

故答案为：16.

13.如图所示，。是△A3C的内心，ZBOC=100°,则N8AC=度.

解：YOB、0C是NA3C、NAC3的角平分线,

.,.ZOBC+ZOCB=180°-100°=80°，而/OBC+/OCB=2(/ABC+/ACB)=80。，

2

：.ZABC+ZACB=160°,

：.ZBAC=180°-160°=20°.

14.一个直角三角形的两条边长是方程/-7x+12=0的两个根，则此直角三角形外接圆的

半径等于,

解：解方程%2-7%+12=0,得xi=3,x2=4,

当4为直角边长时，斜边长=后7=5,

则此直角三角形外接圆的半径为

2

当4为斜边长时，此直角三角形外接圆的半径为2,

综上所述：此直角三角形外接圆的半径等于$或2,

2

故答案为：互或2.

2

15.如图，ZXABC中，已知A2=8,BC=5,AC=7,则它的内切圆的半径为.

设AD=x,则以)=8-尤.

由勾股定理得：CD2^AC2-AD2,CD^^BC2-BD1.

A72-^=52-(8-x)2.

解得：x=5.5.

CD=VAC2-AD2=-^--

由△ABC的面积=/X(AB+BC+AC^Xr可知：-1-x(8+5+7)r=yX8X-^--

解得：r=M.

故答案为：Vs-

16.如图，G为△ABC的重心，点。在CB延长线上，且8£>=工8(?,过。、G的直线交

2

解：如图所示，连接CG并延长，交AB于尸，连接AG并延长，交BC于H,连接FH交

DE”,

则FH是△ABC的中位线，

,.FH//AC,

;BD=LBC,

2

\BD=BH=CH,

NH//EC,

器谭(即EC—

NH//AE,

—BPAE=2NH,

EAAG2

胆—2NH―生

CEyNH3

17.在半径为1的O。中内接有锐角△ABC,H是△ABC的垂心，角平分线AL垂直于0H,

贝UBC=_______

解：设AL与OO交于点。，与。〃交于点N,连接。。，交BC于点连接CO并延长交

。0于点G,连接GA、GB、AO,如图所示,

TCG是。。的直径，：.ZCBG=ZCAG=90°,

：.BG±BC,AG±AC.

TH为△A5C的垂心，

：.AE±BC,BF±AC,

：.AE//BG,AG//BF,

・・・四边形AGBH是平行四边形，

：.BG=AH.

〈AL平分NA4C,：.ZBAD=ZCADf

BD=CD,

根据垂径定理的推论可得：oc5c

\9AE±BC,：.OD//AE,

：.ZODA=ZEAD.

,.・。4=0。，：.ZODA=ZOAD,

：.ZOAD=ZEAD.

VAL垂直于OH,

：.ZANO=ZANH=90°.

在△ANO和△ANH中，

<Z0AN=ZHAN

<AN=AN,

ZAN0=ZANH

JZXANO名4ANH(ASA),

：.AO=AHf

：.BG=AH=AO=1.

在Rt7\G3C中，

•・・3G=1,GC=2,

BC=22

・•・VGC-BG=如•

故答案为：Vs-

18.如图，O。的半径为△ABC是O。的内接等边三角形，将△ABC折叠，使点A落

在O。上，折痕所平行BC,则EF长为.

解：连接。4,

设EF=x

1/AABC是OO的内接等边三角形

,JEF//BC

：.ZAEF=ZAFE=60°

...△AEB为等边三角形

：.AO±EF

：.OF=—但芈"=1

tan60v3

：.EF=2OF=2.

19.如图，在矩形ABC。中，AB=5,BC=12,。01和。。2分别是△ABC和△AOC的内

切圆，贝I」0102=

D

解：•矩形ABC。中，AB=5,BC=12；

/.AC=13,AABC^ACDA,则。01和0。2的半径相等.

如图，过01作AB、BC的垂线分别交A3、BC于N、E,过。2作2C、CD、A。的垂线

分别交8C、CD、AQ于尸、G、H；

VZB=90°,

四边形O1NBE是正方形；

设圆的半径为r,根据切线长定理5-r+12-r=13,解得r=2,

：.BE=BN=2,

同理DG=/ro=C尸=2,

：.CG=FO2=3,£F=12-4=8；

过01作0iM.LF02于M,则0iM=斯=8,FM=BN=2,

O1M=1,

在RtA0iC»2M中，0102=五2+]2=765.

20.如图，在△ABC中，AC=3,BC=4,若AC,BC边上的中线BE,垂直相交于。点,

解：VAD.BE为AC,BC边上的中线，

：.BD=^BC=2,AE=^AC=—,点。为△ABC的重心,

222

：.AO=2OD,OB=2OE,

'CBELAD,

：.BO2+OD2=BD2=4,OE2+AO2=AE2=^-,

4

22

.,.BO2+AAO2=4,^BO+AO=^-,

444

：.BO2+AO2^5,

*'-AB=VBO2+AO2=^5-

故答案为

21.若△ABC的外接圆半径为2,H是△ABC垂心，则△/MB的外接圆半径长是

解：如图，

延长C尸交△ABC的外接圆于M,连接AM,

/.△ABC的外接圆的半径等于△ABM的外接圆的半径是2,

•/AABC的外接圆半径为R,

：.△ABM的外接圆半径为R,

:点X是△ABC的垂心，

：.CF±AB,BELLAC,

：.ZBFC=ZBEC=9Q°,

AZCAB+ZACF^90°,ZABE+ZCAB^90°,

ZACF=NABE,

,?ZACF=ZABM,

：.NABE=ZABM,

同理：ZBAH=ZBAM,

,ZABE=ZABM

在和△AMB中，，AB=AB,

ZBAH=ZBAM

；.AAHB丝AAMB(ASA),

.,.△AHB的外接圆的半径等于的外接圆的半径，

VAABM的外接圆半径为2,

：.AABH的外接圆的半径为2,

故答案为2.

22.如图，剪一个边长为2的等边三角形，让它沿直线/在桌面上向右滚动，当等边三角形

第9次落在直线/上时，等边三角形的内心运动过的路程长为.

第一次第二次

解:设初始位置的等边三角形为AABC设第一次等边三角形落在/上的三角形的内心为O',

连接OC,O'C,过点。作于点。，如图，

AZOCD=^ZACB^30°,ZO'CB=1/BCA=3O°,

22

：.ZOCO'=120°.

.♦.点。移动一次的轨迹为以等边三角形的一个顶点为圆心，OC的长为半径，圆心角的

度数为120。的弧，

VODLBC,ZXABC为等边三角形，BC=2,

:.CD=LBC=I.

2

QQ—CD_

cos3003

，点。移动-次的弧长为空空迎

1809

...当等边三角形第9次落在直线/上时，等边三角形的内心运动过的路程长为：9X

然”兀,

故答案为：4盗兀.

23.如图，O,H分别为△ABC的外心和垂心，。到8C边的距离为2,H到BC边的距离

为HE=3,则5C边上的高为.

解：如图，

连接30并延长交。。于尸，连接ARCF,AH,

：.ZBCF=ZBAF^90°,

■:HELBC,

•・,点”是△A3C的垂心，

：.AH±BC,

・••点A,H,E三点共线，连接C”并延长交A3于G,

•・,点”是△A3C的垂心，

：.CGLAB,

・・・NAGC=90°=ZBAF9

：.AF//GC,

'：