2025高考数学复习必刷题：抛物线及其性质（学生版）

第66讲抛物线及其性质

知识梳理

知识点一、抛物线的定义

平面内与一个定点尸和一条定直线/(尸任。的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点

产叫抛物线的焦点，定直线/叫做抛物线的准线.

注：若在定义中有be/,则动点的轨迹为/的垂线，垂足为点尸.

知识点二、抛物线的方程、图形及性质

抛物线的标准方程有4种形式：y1=2px,y2=-2px,x2=2py,

x2=-2py(p>0),其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向

/yky卜/

.、

图形F)r

01FA70A

标准

y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

方程

顶点0(0,0)

x>0,x<09j>0,

范围y<0,XGR

yeRysRxeR

对称轴X轴y轴

焦点%,。)F(4,0)F(0，§方(。修

离心率e=l

准线方程Lx--P---X-Ly=y=E

22-22

焦半径

AF=xx+^-AF=-^+—AF=y+AF=-y+—

11'21

4现，%)222

【解题方法总结】

1、点P(x0,%)与抛物线y2=2px(p>0)的关系

(1)尸在抛物线内(含焦点)u>y：<2pxo.

(2)P在抛物线上oy；=2p%.

(3)P在抛物线外oy；>2px0.

2、焦半径

抛物线上的点P(x。,%)与焦点厂的距离称为焦半径，若y2=2px(°>0),则焦半径

\PF\=xo+^,

3、p(p>0)的几何意义

p为焦点下到准线/的距离，即焦准距，p越大，抛物线开口越大.

4、焦点弦

若AB为抛物线=2px(p〉0)的焦点弦，B(x2,y2),则有以下结论：

(1)%尤2=~~•

2

(2)y1y2=-p.

(3)焦点弦长公式1：\AB\=xi+x2+p9玉+々22立当石=%时，焦点弦

取最小值2〃，即所有焦点弦中通径最短，其长度为2P.

焦点弦长公式2：\AB\=^-(a为直线4?与对称轴的夹角).

sina

2

(4)AAO3的面积公式：S^OB=」一(a为直线至与对称轴的夹角).

ZArlL/D2csi•na

5、抛物线的弦

若A3为抛物线y2=2px(p>0)的任意一条弦，A&,%),&%,%)，弦的中点为

"(%，%)(%w°)，贝I

(1)弦长公式：=Jl+Z2k]—q=J1+记I，—%](后45=%W。)

⑵kAB=—

%

(3)直线A5的方程为y-%='(%-/)

%

(4)线段AS的垂直平分线方程为、—%=—比(%—%。)

P

A

6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法(公法)

4

、AA

(1)丁=4(4^0)焦点为(C,0),准线为x=-色

-44

(2)%2=4;(470)焦点为((),©),准线为白

44

如y=4/,即焦点为(0,工)，准线方程为y=-2

41616

7、参数方程

y2=2PHp>0)的参数方程为卜=2M(参数/cR)

[y=2"

8、切线方程和切点弦方程

抛物线丁=2px(p>0)的切线方程为%y=p(x+x0),(%,%)为切点

切点弦方程为%y=p(尤+毛)，点(尤0,%)在抛物线外

与中点弦平行的直线为%y=p(尤+/),此直线与抛物线相离，点(%,%)(含焦点)

是弦的中点，中点弦A8的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结

果.

9、抛物线的通径

过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径.

对于抛物线>2=2px(p>0),由Ag,p),B(g一p),可得|AB|=2.故抛物线的通

径长为2P.

10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：%=2

k

11、焦点弦的常考性质

已知4占，%)、8(%,%)是过抛物线：/=2/5>0)焦点尸的弦，Af是AB的中点，/

是抛物线的准线，MN±l,N为垂足.

（1）以AB为直径的圆必与准线/相切，以AP（或3Q为直径的圆与y轴相切；

（2）FNLAB,FCLFD

2

P2

（3）^2=—；yxy2=-p

（4）设9）_U,。为垂足，则A、。、。三点在一条直线上

必考题型全归纳

题型一：抛物线的定义与方程

例1.（2024.福建福州.高三统考开学考试）已知点P（如2）在抛物线C：y?=4x上，则尸

到C的准线的距离为（）

A.4B.3C.2D.1

例2.（2024・四川绵阳•统考二模）涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是

继东方红大桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车.大桥

的拱顶可近似地看作抛物线d=-16y的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛

物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为（）

A.6B.2A/33C.8734D.底

例3.（2024•内蒙古包头.高三统考开学考试）抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在无轴

上，直线x=2交C于。。两点，C的准线交x轴于点R,若小QR,则C的方程为

（）

A.y2=4.xB.y2=6xC.y2=8xD.y2=12x

4

变式L（2024.陕西渭南.高三统考阶段练习）抛物线＞的焦点坐标为（）

变式2.（2024・全国•高三校联考开学考试）过抛物线。：必=2刀（夕＞0）的焦点厂的直线/

交C于A8两点，若直线/过点P（l,0）,且|AB|=8,则抛物线C的准线方程是（）

A.y=-3B.y=-2D.y=T

变式3.（2024・广西防城港•高三统考阶段练习）已知点A,5在抛物线上，。为坐

标原点，若|。4|=|。可，且AAOB的垂心恰好是此抛物线的焦点孔则直线的方程是

A.无一2=0B.九一3二0C.%—4=0D.x-5=0

变式4.（2024.四川绵阳.高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知抛物线

E：V=2px（p>0）的焦点为/，准线为/,过E上的一点A作/的垂线，垂足为B,点

C（p,0）,AF与BC相交于点D.若|/W|=3忸C|,且AACD的面积为3亚，则E的方程为

（）

A.y=4xB.丁=4瓜

C.y~=8xD.丁=8氐

【解题方法总结】

求抛物线的标准方程的步骤为：

（1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：

（2）根据题目条件列出P的方程

（3）解方程求出P,即得标准方程

题型二：抛物线的轨迹方程

例4.（2024・高三课时练习）已知点/（1,0）,直线/:x=-l,若动点P到点/和到直线/

的距离相等，则点P的轨迹方程是.

例5.（2024・全国•高三专题练习）在平面坐标系中，动点P和点〃（-3,0）、N（3,0）满足

\MN\-\MP\+MN-而5=0,则动点P（x,y）的轨迹方程为.

例6.（2024・全国•高三专题练习）与点尸（0,-3）和直线>-3=0的距离相等的点的轨迹方程

是.

变式5.（2024・全国•高三专题练习）已知动点M（x,y）的坐标满足J（龙-2『+肥=2|,

则动点M的轨迹方程为.

变式6.（2024•全国•高三专题练习）已知动点"（x,y）到定点尸（1,0）与定直线x=0的距离的

差为1.则动点M的轨迹方程为.

变式7.（2024•辽宁沈阳•高三沈阳二中校考阶段练习）点4L0）,点B是无轴上的动点，线

段PB的中点E在丁轴上，且AE垂直尸3,则P点的轨迹方程为.

变式8.（2024.全国•高三专题练习）已知动圆P与定圆C：（x+2）2+产=1相外切，又与直

线x=l相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是

变式9.（2024.河南•校联考模拟预测）一个动圆与定圆厂:（x-3y+y2=4相外切，且与直

线/:x=-l相切，则动圆圆心的轨迹方程为.

变式10.（2024・上海•高三专题练习）已知点4（1,0）,直线/：x=-l,两个动圆均过点A且

与/相切，其圆心分别为G、G，若动点/满足2或=*+不，则M的轨迹方程

为.

变式11.（2024・全国•高三专题练习）己知点A（-4,4）、3（4,4）,直线AM与8”相交于点

M,且直线AM的斜率与直线的斜率之差为-2,点M的轨迹为曲线C,则曲线C的

轨迹方程为

【解题方法总结】

常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动

点尸和满足焦点标志的定点连起来做判断.焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的

点；（2）标记为尸的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等.当看到满足以上的标志的时

候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断.注意：在求解

轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围.

题型三：与抛物线有关的距离和最值问题

例7.（2024・江苏无锡•校联考三模）已如P（3,3）,M是抛物线/=4x上的动点（异于顶

点），过M作圆C:（x-2>+y2=4的切线，切点为A,贝1］|阿+。0的最小值为.

例8.（2024.江苏南通・统考模拟预测）已知点尸（4,几）是抛物线V=4x上的动点，则

V2x0+K-%+1］的最小值为.

例9.（2024・浙江绍兴・统考模拟预测）函数〃/）=〃--3/-4；（：+5-"--15尤2+2彳+17

的最大值为.

变式12.（2024・广西南宁•南宁三中校考模拟预测）已知斜率为后的直线/过抛物线

）/=20武0>0）的焦点/，且与该抛物线交于A3两点，若|AB|=8,尸为该抛物线上一点，

。为圆c：［++⑶-1）。=1上一点，则|即+1图的最小值为.

变式13.（2024•山东潍坊・统考模拟预测）已知抛物线C:y2=16x,其焦点为RPQ是过

点尸的一条弦，定点A的坐标是（2,4）,当|丛|+|尸尸I取最小值时，则弦P。的长是.

变式14.（2024.全国•高三专题练习）已知点M为抛物线V=2x上的动点，点N为圆

尤2+（y-4）2=5上的动点，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为..

变式15.（2024・四川南充.高三四川省南充高级中学校考阶段练习）过点（1,0）的直线/交抛

物线丁=4尤于A2两点，点C的坐标为（3,-1）.设线段的中点为“，则21Mq+|AB|的最

小值为.

变式16.（2024•辽宁大连•育明高中校考一模）已知？（五,人）是抛物线y2=4x上一点，则

y/5x0+|2%-%+13］的最小值为.

变式17.（2024.江西南昌•高三统考阶段练习）已知抛物线V=4x的焦点为尸，过歹的直

线交抛物线于A,8两点，贝ij|/S|+4|班j的最小值是.

变式18.（2024・上海嘉定・上海市嘉定区第一中学校考三模）已知点P是抛物线J=8x上的

,,PO

动点，。是圆（x-2）~+J=1上的动点，则不■的最大值是.

变式19.（2024.江西•校联考模拟预测）己知尸（小乂）,。（电，%）是抛物线Y=4y上两点,

且％+为+2=竿|尸。|，F为焦点,则N?为2最大值为.

变式20.（2024•吉林通化・梅河口市第五中学校考模拟预测）己知P是抛物线/=4x上的

动点，尸到y轴的距离为4,到圆C:（x+3y+（y-3）2=4上动点。的距离为4,则4+4

的最小值为.

变式21.（2024•河南•校联考模拟预测）］++［帆-：］的最小值为.

变式22.（2024・全国•高三专题练习）已知点M（-3,2）是坐标平面内一定点，若抛物线

V=2x的焦点为尸，点。是抛物线上的一动点，则|MQHQ目的最小值是.

变式23.（2024・福建福州.高三福建省福州第八中学校考阶段练习）己知尸为抛物线丁=4尤

上的一个动点，。为圆=1上的一个动点，那么点尸到点。的距离与点尸到抛物

线准线的距离之和的最小值是.

【解题方法总结】

抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的

线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距

离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准

线）距离的最值问题用参数法或切线法求解.

题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题

例10.（2024.四川乐山.统考三模）已知抛物线C：V=8x的焦点为R准线为/,过点P的

直线交C于P,。两点，PHLI于H,若=|即，。为坐标原点，则与AOP。

的面积之比为（）

A.6B.8C.12D.16

例11.（2024•山东青岛・统考二模）已知O为坐标原点，直线/过抛物线。：y2=2px（p>0）

的焦点尸，与。及其准线依次交于A3,C三点（其中点8在AC之间），若|/皿|=4,

忸C|=2怛司，则的面积是（）

A.6B.逋C.273D.逑

33

例12.（2024.北京J01中学校考模拟预测）已知直线=定点尸（0」），P是直线

x-y+垃=0上的动点，若经过点尸，尸的圆与/相切，则这个圆的面积的最小值为（）

变式24.（2024.黑龙江大庆•高三肇州县第二中学校考阶段练习）已知抛物线C：V=4x,

点尸为抛物线上任意一点，过点尸向圆。&+丁2-6工+8=0作切线，切点分别为A3,则

四边形n位汨的面积的最小值为（）

A.3B.2A/2C.A/7D.亚

变式25.（2024・贵州•高三统考开学考试）己知抛物线C：V=2x的焦点为QA（m,"）是抛物

线C上的一点，若M尸|=g,则△。0（0为坐标原点）的面积是（）

A.1B.1C.2D.4

变式26.（2024・全国•高三专题练习）已知抛物线C：V=8x,点尸为抛物线上任意一点，

过点尸向圆。：/+/_4尤+3=0作切线，切点分别为A,B,则四边形R4DB的面积的

最小值为（）

A.1B.2C.73D.75

变式27.（2024•江西宜春•校联考模拟预测）已知斜率为左（左>0）的直线过抛物线C：

丁=人的焦点尸且与抛物线C相交于A,8两点，过A8分别作该抛物线准线的垂线，垂足

分别为4，耳，若“8瓦与的面积之比为2,则上的值为（）

A.72B.1C.旦D.2后

变式28.（2024•安徽淮南•统考二模）抛物线y2=2px（p>0）的焦点为凡准线为/,过点尸

作倾斜角为?的直线与抛物线在X轴上方的部分相交于点A,AKrl,垂足为K,若

△AFK的面积是4石，则p的值为（）

A.1B.2C.6D.3

【解题方法总结】

解决此类问题经常利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离,

并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比.

题型五：焦半径问题

例13.（2024.江西•高三统考开学考试）已知产为抛物线E：V=4x的焦点，A,B,C

为E上的三点，若通=；（丽+/），则网+网+同=.

例14.（2024•福建福州•校考模拟预测）已知抛物线C：V=8x的焦点为产，点

M（x,y）（y>0）为曲线C上一点，若|MF|=4,则点M的坐标为.

例15.（2024•湖北武汉・统考模拟预测）己知抛物线y?=8x的焦点为准线与x轴的交点

为C,过点C的直线/与抛物线交于A,B两点，若ZAFB=NCFB,贝!J|A/q=.

变式29.（2024•全国•模拟预测）若过点P（4,2）向抛物线C:Y=4y作两条切线，切点分别

\AF\+\BF\

为4B,B为抛物线的焦点，则

AFBF+2

变式30.（2024•全国•高三专题练习）设抛物线V=2py（p>0）的焦点为产，准线为/,过

抛物线上一点A作/的垂线，垂足为8,设若AF与BC相交于点

E,\CF\=2\AF\,^ACE的面积为6,则抛物线的方程为.

变式31.（2。24全国•高三专题练习）如图,过抛物线y=的焦点的直线交抛物线与

圆/+(y-l)2=l于A,3,C,O四点，则.

变式32.（2024・全国•高三专题练习）抛物线y?=4x,直线1经过抛物线的焦点F,与抛物

线交于A、B两点，若丽=4乔，贝必。45（。为坐标原点）的面积为.

变式33.（2024.河南南阳・南阳中学校考模拟预测）抛物线C:V=4x的焦点为尸,设过点

F的直线I交抛物线与A8两点，且|A刊=:则忸刊=.

变式34.（2024・广东茂名•茂名市第一中学校考三模）已知。为坐标原点，直线/过抛物线

D:y2=2px（p>0）的焦点尸，与抛物线。及其准线依次交于A,B,C三点（其中点B在

AC之间），割河|=4,怛。=2怛月.则“AB的面积是.

变式35.（多选题）（2024•全国•模拟预测）已知抛物线E：V=4x的焦点为尸，准线/交尤

轴于点C,直线机过C且交E于不同的A,B两点，8在线段AC上，点尸为A在/上的

射影.下列命题正确的是（）

A.若ABLM,则|AP|=|PC|B.若P,B,尸三点共线，则|AF|=4

C.^\AB\=\BC\,则|AF|=2忸同D.对于任意直线祖，都有|明+忸同>2|CF|

变式36.（多选题）（2024•广东惠州•高三统考阶段练习）已知抛物线C:;/=4x的焦点为

F,直线/：>=上（戈-1）（左工0）与抛物线C交于A、8两点，下面说法正确的是（）

JT

A.抛物线C的准线方程为x=-2B.ZAOB>|

l11

C.笈=1时，阿|=40D.网+网=1

变式37.（多选题）（2024•云南昭通・校联考模拟预测）已知A,8是抛物线C：/=2x±

两动点，/为抛物线C的焦点，则（）

A.直线A8过焦点P时，最小值为4

Q

B.直线过焦点尸且倾斜角为60。时，=]

C.若A8中点"的横坐标为2,则|筋|最大值为5

D-团+西=2

变式38.（多选题）（2024•湖南常德・常德市一中校考二模）己知点A&,%）.5（%,%）是抛

物线V=8x上过焦点的两个不同的点，。为坐标原点，焦点为尸，则（）

A.焦点厂的坐标为（4,0）B.|AB|=%+w+4

I11

CD.YFIC\FB\~2

变式39.（多选题）（2024•安徽亳州•安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）己知产为抛物

线V=4x的焦点，K为其准线与x轴的交点，。为坐标原点.直线氐-y-君=0与该抛

物线交于A、8两点.则以下描述正确的是（）

A.线段AF的长为4B.“103的面积为逑

3

C.OA.OB=-3D.抛物线在A、3两点处的切线交于K点

变式40.（多选题）（2024•山东德州.三模）已知抛物线C：y=8x的焦点为r，准线为/,

直线/与x轴交于点尸，过点尸的直线与抛物线C交于A（4％）,*%,%）两点，。为坐标原

点，贝U（）

A.若占+%=8,则|AB|=12B.OAOB=-YI

111

C.jTFl4TpFT=?D.AR钻面积的最小值为16

\ArnrZ

变式41.（2024.河南•校联考模拟预测）已知尸为抛物线f=2py（p>0）的焦点，A,B,C

为该抛物线上的三点，。为坐标原点，^OFA,△OFB,△OFC面积分别为、，邑,邑，若

/为dBC的重心，且S：+S；+S；=3,则该抛物线的方程为（）

A.x2=12yB.x2=8y

C.x2=6yD.x2=4y

变式42.（2024・全国•高三专题练习）已知抛物线V=4x的焦点为凡过原点。的动直线/

交抛物线于另一点P,交抛物线的准线于点Q,下列说法正确的是（）

A.若。为线段尸。中点，贝B.若PF=4,贝|OP=2百

C.存在直线/,使得/D.△PFQ面积的最小值为2

变式43.（2024•云南昆明•高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）已知直线/：y=x+l

与抛物线口/=2「苫5>0）相切于点£,歹是C的焦点，贝1］怛同=（）

A.6B.4C.3D.2

变式44.（2024.海南.高三海南中学校考阶段练习）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为

F,若直线x=4与C交于A,B两点，且|AB|=8,则|AF卜（）

A.4B.5C.6D.7

变式45.（2024・广东珠海・珠海市斗门区第一中学校考三模）已知抛物线Y=4y的焦点为

F,准线/与坐标轴交于点是抛物线上一点，若|/W|=|句图，则AHWN的面积为

（）

A.4B.2A/3C.20D.2

变式46.（2024•上海徐汇・上海市南洋模范中学校考三模）已知抛物线C:x2=_2py（p>0）

22

的焦点尸与匕+上=1的一个焦点重合，过焦点厂的直线与C交于A,8两不同点，抛物

84

线C在A,8两点处的切线相交于点M,且“的横坐标为4,则弦长|AB|=（）

A.16B.26C.14D.24

【解题方法总结】

（1）\AF\^—2—；|防|=—2—.

1-coscr1+cosa

（2）|AB\=x+x+p=.

l2sina

2

（3）SZA-ACO/DB=c~~•—•

2sincr

题型六：抛物线的性质

例16.（多选题）（2024•全国•高三专题练习）关于抛物线V=_2x,下列说法正确的是

（）

A.开口向左B.焦点坐标为（-1,0）C.准线为x=lD.对称轴为x轴

例17.（多选题）（2024.山东日照•高三校联考期末）（多选）对于抛物线上=下列

8

描述正确的是（）

A.开口向上，焦点为（0,2）B.开口向上，焦点为

C.焦点到准线的距离为4D.准线方程为y=T

例18.（多选题）（2024•浙江金华•模拟预测）已知A（x0,%）,3,C为抛物线/=4x上的三个

点，焦点尸是AABC的重心.记直线42,AC,BC的斜率分别为的B，心c，心c，贝U（）

A.线段8C的中点坐标为（空/，-粤