2025届高中数学一轮复习专练：等式与不等式

等式与不等式

一、选择题

1・不等式一6/—5x+6>0的解集为（）

232

A.<XX<—或X>>B.<X——<x<—>

I23,1123j

23、

C..Xx<—^4x>3D.<X——<%<—>

32j32j

2.若凡仇cwR,则下列命题正确的是（）

A•若〃</?’则B.若〃>人>0,则二+1<'

aba+1a

C.若〃>6，贝!1〃<:2>反2D.若历2,则

3.设实数也〃满足加+〃>0,则关于元的不等式（x-M（x+功>0的解集为（）

A.{x|x<-n^x>m}B.{x|x<-m^Lx>n\

C.{%|-n<x<m}D.[x\-m<x<n}

4.若a,"ceR,则下列命题正确的是（)

A.若a<b，则—>—B.若a>A〉0,则如•一

ab4+1a

C.若a>b，则ac1>be2D.若ac2>be2，则a>b

5.对于任意实数。、瓦（〃—均成立，则实数上的取值范围是（）

A.{T,0}B.[-4,0]C.（-OO,0]D.（-OO,-1]U[0,+OO）

6.已知a,Z?,℃£R，则下列说法正确的是（）

A.若〃>6,则arr^>bm1B.若@,则a>b

cc

122

C.若ac>be，则a>bD.若a>从,而>0,则,<：

ab

7.若Q,b£R,且必>0,则下列不等式中，恒成立的是（）

][2h

a1+b2>2aba+b>2y[abC.—+->-^=D—+y>2

ab7abab

8.当x,ye(O,S)时，4x：+17.y+4y(生恒成立,则机的取值范围是()

')x4+2x2y+y24

A.(25,^o)B.(26,+OO)C.件+OO]D.(27,^o)

二、多项选择题

9.若关于X的不等式九2—(a+3)x+3a<0恰有4个整数解，则()

A.a的值可以是"B.a的值不可能是-2

2

C.a的最大值是8D.a的最小值是7

10.已知实数和满足1<%<6,2<”3,则()

]X

A.3<x+y<9B.—l<x—y<3C.2<xy<18D.—<—<3

3y

n.已知〃>o,z?>o,且〃+/?=1,则()

^.a2+b->-B.2fl-fc>-

22

D

C.log2«+log2Z?>-2-4a+4b<>/2

三、填空题

12.已知函数/(x)=13：x<°，若/(x)+/(D>T,则x的取值范围为..

13.若关于X的不等式上国>,-2|恰好有4个整数解,则实数k的范围为.

14.若一元二次方程g2_(加+1)》+3=0的两个实根都大于一1,则机的取值范围

四、解答题

15.不等式:生工41解集为A.

x+2

⑴求集合A;

(2)若不等式a?+(^-l)x-l<0的解集为民且二B,求a的取值范围.

16.已知〃>。*>0,且Q+Z?=1,证明：

(1)2a2+2b2>l;

19

⑵-+->16.

ab

17.某单位要建造一间地面面积为12m2,且背靠墙的长方体小房，房屋正面留有一扇

宽为1m的小门，房屋的墙和门的高度都是3m，房屋正面的单位面积造价为1200元

/m^房屋侧面的单位面积造价为800元/皿?，屋顶的造价为5800元.若不计房屋背面

的费用和门的费用，问：怎样设计房屋能使总造价W（单位：元）最低？最低总造价

是多少？

18.已知函数/（x）=|2x+4|+|x—[.

（1）求不等式|/（同归5的解集；

⑵若小）最小值记为他,放",且满足”+一〃,求证：W+ArW"

19.已知函数y=^2—4x+左+2.

（1）已知关于x的不等式/a；2-4x+k+2<0的解集为伏，左+2]若存在xe[匕左+2],使

关于x的不等式m+机+2>0有解,求实数机的取值范围；

（2）解关于x的不等式质2_公+左+2<5+%—（左+l）x.

参考答案

1.答案：B

解析：由题知（3x—2）（2x+3）<0,解得-^<工<^，原不等式的解集为卜-|<x<g

故选：B.

2.答案：D

解析：选项A,若a<03>0,则结论错误，故选项A错误；

选项B,根据糖水不等式可知，a>b>0,^->-，故选项B错误；

a+1a

选项C,当c=0时，赤=加2=0,故选项c错误；

选项D,>历2,可知>0,Q>》,故选项D正确.

故选：D

3.答案：A

解析：因为桃〉-〃，

所以不等式的解集为｛x|x<-〃或%>加｝.

故选：A.

4.答案：D

解析：选项A,若<02>0,则结论错误,故选项A错误；

选项B,根据糖水不等式可知,a>b>Q,^LL>L，故选项B错误；

a+1a

选项C,当c=0时,ac2=bc2=0，故选项C错误；

选项D,ac2可知c?>0，/.a〉/?,故选项D正确.

故选：D.

5.答案：B

解析：若"=0,左eR；

若">0,左上”）2，+2—2,

abba

因为q+2—222他R—2=0,所以kWO；

ba\ba

所以-4K后W0,即左且一4,0].

故选：B.

6.答案：C

解析：对于A,若加=0,则不成立，故A错误；

对于B,若°<0,则不成立，故B错误；

对于C,将>历2两边同时除02,可得a〉b，故c正确;

对于D,取a=—2,b=-1,可得-<-不成立，故D错误；

ab

故选：C

7.答案：D

解析：a2+/N2ab，所以A错;R,>0,只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以

当。<02<0时,B错;同时C错;q或2都是正数,根据基本不等式求最

ba

值,@+2之2、口3=2,故D正确.

ba\ba

8.答案：A

解析：当x,y«0,+oo）时,

4/+17凸+4y2

x4+lx1y+y2

2

+

_25

-T

当且仅当4必+丁=必+4y，即>=必时，等号成立,

所以J?；；；：：，的最大值为y，

所以‘〉生，解得加>25，

44

即机的取值范围是(25,+8).

故选：A

9.答案：AC

解析：令X?-(。+3卜+3。=0,解得1=3或X=。.当。>3时,不等式X?-(a+3)x+3a<0

的解集为(3,a),则7<aW8;当a=3时,不等式(a+3)x+3a<0无解，所以a=3不符合

题意;当a<3时,不等式x2-(a+3)x+3a<0的解集为(a,3)，则-2Wa<-1.综上,a的取值

范围是[―2,—1)U(7,8].

10.答案：ACD

解析：实数满足1<%<6,2<y<3,

由不等式的同向可加性和同向同正可乘性，有3<x+y<9,2〈孙<18,AC选项正确；

由-3<-y<-2，得-2<x-y<4,B选项错误；

由!<!<上得工<±<3,D选项正确.

3y23y

故选:ACD

11.答案：ABD

解析：对于人,/+/="+(]_0)2=2a2_2a+]=2(a_g)

当且仅当a=人=!时，等号成立，故A正确；

2

对于B,。=2a—1>—1,所以>2-=L故B正确；

2

对于C，iOg2a+log2b=log2ab<log2=log2；=-2,

当且仅当a=人=工时，等号成立，故C不正确；

2

对于D,因为扬)=\+2y[ab<1+Q+Z?=2,

所以&+振<百，当且仅当a=人=g时，等号成立，故D正确;

故选：ABD.

12.答案：f1,+oo

3x,x<0,

解析：对于函数=.

2X2,X>0,

(i)当xWO,则“x)+/(x—l)=3x+3(x—l)=6x—3>-1,解得x>；,故此时x不存在;

(ii)当0<%Wl,则/(x)+/(x—1)=2/+3。—l)=2f+3x—3〉一1,

解得x〉工或为<-2,故此时％的取值范围为化」］；

2(2J

(iii)当尤>1,则/(x)+/(x-l)=2x2+2(尤一=4/-4冗+2>-1,即4x2-4%+3>0,

其中A<0,不等式恒成立，故此时x的取值范围为(L”).

综上,X的取值范围为

故答案为：(g+s)

13.答案：

153」

解析：因为左凶>卜-2|20,

所以由题意当且仅当不等式(公—1卜2+4无一4>0恰好有4个整数解，且女〉0,

上2—1<。

所以首先，解得0〈人<1,

△=16+16俨-1)=16k2>0

Y±4左2干2左22

又方程(公—1卜2+4%—4=0的根为％=，即x=或％=

2(左2Tl-k-1+k

22

所以不等式(％2一1)尤2+4%一4>0的解集为<x<

1+kT^k

因为0<左<1，所以1〈二一<2,

1+Z

所以不等式(k2-l)x2+4x-4>0的4个整数解只能是2,3,4,5,

所以5<346,

1-k

又因为0＜女＜1，

所以解得3＜左42,即实数上的范围为（3,2

53153.

故答案为：［3,2.

153」

14.答案：m<-2^m>5+2V6-

加w0,

m+1।

——>-1,

解析：由题意得应满足2m

A>0,

mf(-D>0

解得：m<-2^m>5+276-

故答案为：机<-2或加25+2^/6•

15.答案：(1)A=(—2,3]

⑵“4

々刀]匚zi\2x—I2x—I—x—2八pti-tx—3„

解析：(l)・・・-------<1,/.----------------〈。,即一-<0,

x+2x+2x+2

,.(x—3)(x+2)<0岂力,日

故1，解得:―2<x«3".A=(—2,3].

%+2w0

(2)由a?+(“—1)工一140,得(kl)(%+l)V0,・・・A「3=5,.・.3qA,

①当a=0时,5=[-1,”)，不合题意，舍去

②当a>0时,不等式化为:(x+1)1%—工]W0,注意到一1W0W工，

③当a＜0时,不等式可化为：（x+1/x-注意到无论与/大小关系，均包含趋

a）a

于部分，一定不符合，舍去；

综上可知：a＞~.

3

16.答案：（1）见解析

(2)见解析

解析：(1)证明:因为a+Z?=l,所以ug+by-Zabni-Zab.

因为。>0力>0,所以仍K［巴史［=L当且仅当a=b=!时，等号成立.

(2J42

所以1—2aZ?21—2义工=工，即cr+b2>->2«2+2Z?2>1.

422

(2)因为a+〃=l,所以工+2=(。+为(工+2］=2+%+10.

ab\abJab

A9/7

因为a>0,/?>0,所以一〉(),■—>0,

ab

所以2+%N6,当且仅当2=电■，即5=3。=3时，等号成立，

abab4

AQ/71Q

贝Ij2+吆+10216,即±+2之16.

abab

17.答案：当房屋正面的长为4m，房屋侧面的长为3m时，总造价卬最低，最低总造

价是31000元

解析：设房屋正面的长为xm,则房屋侧面的长为是*m，

X

因为小房的墙的高度是3m，

所以房屋正面的建造面积为3(x-Dn?,房屋侧面的面积为变n?.

X

因为房屋正面的单位面积造价为1200元/m2,房屋侧面的单位面积造价为800元

/m2，

所以W=3600(x—1)+2义二义800+5800

X

=3600x+2x—x800+2200>28800+2200=31000，

X

当且仅当3600x卫则，即尤=4时，等号成立.

X

所以当房屋正面的长为4m，房屋侧面的长为3m时，总造价W最低，最低总造价是

31000元.

18.答案：(1)|x|-|<x<oj

(2)证明见解析

解析：(1)因为/(x)=12x+4|+|x-1,

当x<-2时,/(x)=|2x+4|+—(2x+4)_(x_l)=_3x_3；

当-2WxWl时，/(1)=|2%+4|+卜-1|=(2x+4)-(x-l)=x+5；

当x>l时,/(x)=|2x+4|+|x—l|=(2x+4)+(x—l)=3x+3；

因为归5,所以-5W/(x)W5,

当x<—2时，得一5W-3x—3W5,解得故_§4x<-2；

333

当一2WxWl时，得一5W九+5W5,解得一lOWxWO,故一2W九WO；

当x>l时，得一5W3x+3W5,解得一9Vx<2,故尤e0；

33

综上：-：WxW0,即，(无)归5的解集为x<oj.

(2)由(1)得，

当x<—2时,/(尤)=—3x—3,则/(X)>—3x(—2)—3=3；

当一时,/(x)=x+5,则一2+5W/(x)Wl+5,即3W/(x)W6；

当x>l时,/(x)=3x+3,则/(x)=3x+3>3xl+3=6；

综上：/(九)23，故/(尤)最小值为3,即机=3，

所以a+Z?+c=m=3，

又仇c20,令r=a+l，s=Z?+2"=c+3,则且r+s+f=9,

后「]1111,J111y_1Lr