2025高考数学复习必刷题：排列与组合

第86讲排列与组合

知识梳理

知识点1、排列与排列数

(1)定义：从〃个不同元素中取出用(加工九)个元素排成一列，叫做从〃个不同元素中

取出m个元素的一个排列.从〃个不同元素中取出加(加工〃)个元素的所有排列的个数，叫

做从几个不同元素中取出冽个元素的排列数，用符号表示.

nI

(2)排列数的公式：然=几(几一1)(几一2)(n-m+l)=-——1―.

\ji-my.

特例：当机="时，-1)(/7-2)3-2.1；规定：0!=1.

(3)排列数的性质：

①然=研二；②M=」一/T=」-媪；③然=成印+黑「

n—mn—m

(4)解排列应用题的基本思路：

通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件(特殊位置,

特殊元素).

注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，

A；=〃(九-1)…(77+1)常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用

A”，_加.

"(ji—m)!

知识点2、组合与组合数

(1)定义：从“个不同元素中取出加(〃74〃)个元素并成一组，叫做从"个不同元素中

取出机个元素的一个组合.从"个不同元素中取出机4")个元素的所有组合的个数，叫

做从"个不同元素中取出加个元素的组合数，用符号C：表示.

(2)组合数公式及其推导

求从"个不同元素中取出m个元素的排列数A"，可以按以下两步来考虑：

第一步，先求出从这〃个不同元素中取出m个元素的组合数C：；

第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数6：；

根据分步计数原理，得到A7=c；6；

因止匕C"=.=""1)(-2)(i+l)

"然ml

这里〃，meN+,且相W”，这个公式叫做组合数公式.因为A：1〃！、，所以组合

\n-my.

HI

数公式还可表示为：c：=，,特例：C；=C：=1.

注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题

时，一般都是按先取后排(先组合后排列)的顺序解决问题.公式

C：=-1)(〃-2)…-M+1)常用于具体数字计算,c：=---常用于含字母算式的

mlm\(n-m)\

化简或证明.

(3)组合数的主要性质：①C：=C：T②C：+C：T=C1.

(4)组合应用题的常见题型：

①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型

②“至少”或“最多”含有几个元素的题型

知识点3、排列和组合的区别

组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工.

排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同.

注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们

之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需

要考虑顺序的是排列问题.排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解

决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”.

知识点4、解决排列组合综合问题的一般过程

1、认真审题，确定要做什么事；

2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清

楚分多少类及多少步；

3、确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少

及取出多少个元素;

4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略.

【解题方法总结】

1、如图，在圆中，将圆分〃等份得到w个区域陷，M2,M3,,现取

依左..2）种颜色对这〃个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方

案有（一1）”/一1）+/-1）"种.

2、错位排列公式Dn=（才5+1）•«!

tr«!

3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项

（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题

的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列

问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安

排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论.

4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常

称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑：

（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，

再安排其他元素；

（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，

再考虑其他位置；

（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列

数.

5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将〃个不同元素排成一排，其中某左

个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这左个元素“捆绑在一起“，看

成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有A-管种排法；然后再将“捆绑”

在一起的元素“内部”进行排列，共有种排法.根据分步乘法计数原理可知，符合条件

的排法共有耳二窗种.

6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将〃个不同元素排成一排，其中某

上个元素互不相邻（kWn-k+l）,求不同排法种数的方法是：先将（n—k）个元素排成一

排，共有黑二；种排法；然后把七个元素插入〃-左+1个空隙中，共有《一日种排法.根据分步

乘法计数原理可知，符合条件的排法共有娼$,1种.

必考题型全归纳

题型一：排列数与组合数的推导、化简和计算

例1.（2024•全国•高三专题练习）若Cf+'C铲，则实数式的值为（）

A.1B.3C.I或3D.0

【答案】C

【解析】因为Cf”=C1T2,所以2x+l=x+2或2x+l+x+2=12,解得x=l或x=3,

故选：C

例2.（2024,全国•IWJ二专题练习）C；+C；+C：-----=（）

A.C；8B.C*C.C1-lD./-I

【答案】B

【解析】C；+C；+C：+C；H-----FC：

=C；+C；+Cj+C"-+C；8

=c：+C；+C；+…+C：8

=c；+c；+…+c；

=C>

故选：B.

例3.（2024•甘肃兰州•统考一模）A：=90,则〃等于

【答案】10

【解析】因为A：="（"—l）=9。，解得〃=10或〃=—9,

且“22,所以a=10.

故答案为：10.

Ag-A；。

变式1.（2024•全国•高三专题练习）

A；+A；

【答案】解

Aj-A；20-1010

【解析】0

A；+A；-6+1-亍

故答案为：

变式2.（2024•全国•高三专题练习）A；”89A；-8A”

【答案】0

【解析】A；；-89A；-8A；=10!-89x8!-8!=8!-8!=0.

故答案为：0.

变式3.（2024•高三课时练习）已知Af-C；+0!=4,贝1］加=.

【答案】2或3

【解析】A”C；+0!=4,

A；"=6,又3x2=3*2*l=6,

所以=2或机=3.

故答案为：2或3.

变式4.（2024•河北衡水•高三衡水市第二中学期末）若Cr6=c：＞2,则C£=

【答案】36

3n+6<18

【解析】由组合数的性质可得47418‘解得〃"

又因为C；『6=c：:2,所以3〃+6=4〃-2或3力+6+4〃一2=18,

解得〃=8（舍去）或〃=2,

所以cj=——=36,

2x1

故答案为：36

变式5.（2024•全国•高三对口高考）计算+C：%的值为.

【答案】466

1921

【解析】依题意，38—n<3n<n+21,解得而〃eN",于是得九=1。，

22

所以，原式=C；：+C；；=C；0+C；［=^1^+31=466.

2x1

故答案为：466

题型二：直接法

例4.（2024•江苏•高三校联考开学考试）甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封

神榜》，恰好买到了六张连号的电影票.若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法

种数为（）

A.360B.480C.600D.720

【答案】B

【解析】由题意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有A：=720种不同的排法，

其中甲、乙、丙三人的全排列有A；=6种不同的排法，

其中甲、乙在丙的同侧有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共4种排法，

4

所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为720、二=480种.

6

故选：B.

例5.（2024•重庆•高三统考阶段练习）雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在

刚刚结束的2022到2024赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢

打敢拼，最终获得了冠军.在颁奖仪式上，女篮队员12人（其中1人为队长），教练组3

人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组三人要求相邻并站在边上，总共有多少

种站法（）

A.A；A；；B.2A；A：：C.A；A：A；D.2A；A：A；

【答案】B

【解析】选择左右两边其中一边将教练组3人捆绑看作一个整体安排共有2A；种排法，

将剩余的11名队员全排列共有A；；,

由分步乘法计数原理可得总的站法有2A；A：；,

故选:B.

例6.（2024•全国•高三专题练习）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天

两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）

A.120B.60C.40D.30

【答案】B

【解析】不妨记五名志愿者为"假设。连续参加了两天社区服务，再从剩余的4

人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A；=12种方法，

同理："c,d,e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，

所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5x12=60种.

故选：B.

变式6.（2024•全国•高三对口高考）要排出某班一天中语文，数学，政治，英语，体

育，艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同

的排法种数为（）

A.24B.72C.144D.288

【答案】D

【解析】数学课排在前3节，英语课不排在第6节，

先排数学课有C；种排法，再排最后一节有C：种排法，剩余的有A：种排法，

...根据分步计数原理知，共有C；C：A：=3x4x24=288种排法.

故选：D.

变式7.（2024•全国•高三对口高考）运输公司从5名男司机，4名女司机中选派出3名

男司机，2名女司机，到A,B,C,D,E这五个不同地区执行任务，要求A地只能派

男司机，E地只能派女司机，则不同的方案种数是（）

A.360B.720C.1080D.2160

【答案】D

【解析】第一步，先从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2名女司机，共有

种方法，

第二步，从抽取到的司机中，派1名男司机去A地，派一名女司机去E地，共有种

方法，

第三步，剩下3名司机随机去8,C,。三地，共有A；种方法，

故不同方案种数为C；・A；=2160,

故选：D

变式8.（2024•全国•高三对口高考）从编号为1,2,3,4,5的5个球中任取4个，放

在编号为A,B,C,。的4个盒子里，每盒一球，且2号球不能放在B盒中的不同的方法

数是（）

A.24B.48C.54D.96

【答案】D

【解析】先在编号为1，3,4,5的4个球中任取1个放在8盒中，

再将余下的3个球与2号球放在一起，从中选3个球放在编号为

A,C,。的3个盒子中，每盒一球，即可完成题目要求.

则符合题给要求的不同的方法数为A：A：=96

故选：D

变式9.（2024•陕西•高三校联考阶段练习）甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中

甲家庭有2个大人和2个小孩，乙家庭有2个大人和3个小孩，他们9人在景区门口站成

一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站

法的种数为（）

A.144B.864C.1728D.2880

【答案】C

【解析】甲家庭的站法有A；A；=12种，乙家庭的站法有A；A；=72种，

最后将两个家庭的整体全排列，有A；=2种站法，

则所有不同站法的种数为12x72x2=1728.

故选：C

题型三：间接法

例7.（2024•全国•高三专题练习）8个点将半圆分成9段弧，以10个点（包括2个端

点）为顶点的三角形中钝角三角形有（）个

A.55B.112C.156D.120

【答案】B

【解析】根据题意，如图：在10个点中，任意三点不共线，

在其中任取3个点，可以组成C；。=120个三角形，

其中没有锐角三角形，直角三角形是包含A5点和余下的8点任意取一个构成的三角形,

有8个，则钝角三角形有120-8=112个.

例8.（2024•湖北武汉•高二校联考期末）甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉

口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为

（）

A.65B.73C.70D.60.

【答案】A

【解析】根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，且每人

只能去一个地方，

则每人有3种选择，则4人一共有3x3x3x3=81种情况，

若汉口江滩没人去，即四位同学选择了黄鹤楼、东湖，

每人有2种选择方法，则4人一共有2x2x2x2=16种情况，

故汉口江滩一定要有人去有81-16=65种情况，

故选：A.

例9.（2024•湖南长沙•雅礼中学校联考二模）从正360边形的顶点中取若干个，依次连

接，构成的正多边形的个数为（）

A.360B.630C.1170D.840

【答案】B

【解析】从360的约数中去掉1和2,其余的约数均可作为正多边形的边数，

设从360个顶点中选出上个构成正多边形，这样的正多边形有「个，

k

因此所求的正多边形的个数就是360的所有约数之和减去360和180,

考虑到360=23>3?x5，

因此所求正多边形的个数为（1+2+4+8）x（1+3+9）x（1+5）—360—180=630.

故选：B.

变式10.（2024•全国•高三专题练习）将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人

中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（）.

A.1860种B.3696种C.3600种D.3648种

【答案】D

【解析】7个人从左到右排成一排，共有用=5040种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都

相邻有禺g=720种不同的站法，甲站在最右端有4=720种不同的站法，甲、乙、丙3

个相邻且甲站最右端有馈4=48种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且

甲不站在最右端，不同的站法有5（M0-720-720+48=3648种不同的站法.

故选：D

题型四：捆绑法

例10.（2024•四川内江•高三期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇

演，若甲和乙相邻，丙不站在两端，则不同的排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

【解析】将甲和乙看作一个整体，有A；=2种方法，

将丁、戊和甲乙的整体首先安排到两端，则有A；=6种方法，

再安排丙和剩余的人，有有A；=2种方法，

根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：2x6x2=24种.

故选：B.

例11.（2024•江西宜春•高三统考开学考试）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠

峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学

术大师.浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地.已知

某班级有A,B,C,D,E共5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标,每所学校至少有一位同

学选择，则A同学选择浙江大学的不同方法共有（）

A.24种B.60种C.96种D.240种

【答案】B

【解析】5位同学选择4所学校，每所学校至少有一位同学选择，则有两位同学选择了同

一所学校，已知A同学选择浙江大学，

当有两位同学选择了浙江大学时，则氏C,O,E这4位同学在4所大学中分别选了一所，共

A：=24种选法；

当只有A同学选择了浙江大学时，则尻C,L>,E这4位同学在其余3所大学中选择，每所

学校至少有一位同学选择，则有两位同学选择了同一所学校，共C：A；=36种选法；

所以A同学选择浙江大学的不同方法共有24+36=60种.

故选：B

例12.（2024•全国•高三专题练习）某个单位安排7位员工在“五・一”假期中1日至7日

值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙

不排在5月1日，丁不排在5月7日，则不同的安排方案共有（）

A.504种B.960种C.1008种D.1200种

【答案】C

【解析】依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共有A；A：=1440（种），

其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在5月1日值班的方法共有A；A；=24。

（种）；

满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在5月7日值班的方法共有A；A；=240（种）；

满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在5月1日值班，丁在5月7日值班的方法共有

A；A：=48（种）.

因此满足题意的方法共有1440-2x240+48=1008（种）.

故选：C.

变式11.（2024•全国•高三专题练习）2024年春节在北京工作的五个家庭，开车搭伴一

起回老家过年，若五辆车分别为A5C2E,五辆车随机排成一排，则A车与8车相邻，

A车与C车不相邻的排法有（）

A.36种B.42种C.48种D.60种

【答案】A

【解析】将A车与8车捆在一起当一个元素使用，有A；=2种捆法，

将除C车外的3个元素全排，有A；=6种排法，

将C车插入，不与A车相邻，又3种插法，

故共有2x6x3=36种排法.

故选:A

变式12.（2024•全国•高三专题练习）为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲、

乙、丙、丁、戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影

留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（）种.

A.40B.24C.20D.12

【答案】B

【解析】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必

须相邻，

先令丙、丁两人相邻用捆绑法A；,再把丙、丁与戊排列在一起A；,最后插空令甲、乙两

人不相邻A；,则不同的排法共有A；xA；xA；=2x2x6=2^^

故选：B.

题型五：插空法

例13.（2024•湖北•高三孝感高中校联考开学考试）已知来自甲、乙、丙三个学校的5

名学生参加演讲比赛，其中三个学校的学生人数分别为1、2、2.现要求相同学校的学生的

演讲顺序不相邻，则不同的演讲顺序的种数为（）

A.40B.36C.56D.48

【答案】D

【解析】设这5个人分别为：ABCDE,则要求8与C和。与£的演讲顺序都不能相邻.

第一类：A在BC中间，此时再把。与E插空到这3人中间，

此时的不同的演讲顺序有=24

第二类：A不在8c中间，此时先考虑8与C和。与E,分别将他们看成两个人的整体，

再将他们的顺序应相间排列，最后考虑4此时的不同的演讲顺序有A；A；A；A；=24

综上可得：总共有48种不同的演讲顺序，

故选：D.

例14.（2024•黑龙江佳木斯•高三校考开学考试）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，

甲和乙不相邻，排法种数为（）

A.12B.36C.48D.72

【答案】D

【解析】先排丙、丁、戊三人，共有A；=6种排法，

甲和乙不相邻，再将甲、乙插空，

共有A：=12种排法，故排法种数为6x12=72.

故选：D

例15.（2024•辽宁沈阳•高三沈阳二十中校考开学考试）五声音阶是中国古乐基本音

阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，若把这

五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同

侧，则可排成不同的音序种数为（）

A.72B.28C.24D.32

【答案】D

【解析】若角音阶排在两端，则宫、羽两音阶一定在角音阶的同侧，此时有2A；A；=24

种；

若角音阶排在正中间，则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧的情况；

若角音阶排在第二或第四个位置上，则有2A；A；=8种排法.

根据分类加法计数原理可得共有24+8=32种排法.

故选：D

变式13.（2024•全国•高三对口高考）2位男生和3位女生共5位同学站成一排.若男生

甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为（）

A.36B.42C.48D.60

【答案】C

【解析】女生任选两人捆绑看作A,并与余下女生B排成一排有A；A；种方法，所成排中有

3个空，

若两男生不相邻，则男生甲排在A,8之间的位置上，另一男生在A3两端任选一个位置有

C；种；

若两男生相邻，则有A；种排法，再插入之间的位置上只有一种方法；

综上，不同排法共有A；A；（C；+A；）=48种.

故选：C

变式14.（2024•陕西西安•西北工业大学附属中学校考模拟预测）某校举行文艺汇演，

甲、乙、丙等6名同学站成一排演唱歌曲，若甲、乙不相邻，丙不在两端，则不同的排列

方式共有（）

A.72种B.144种C.288种D.432种

【答案】C

【解析】除甲乙丙外的三个人排一排有A；=6种排法，此时将甲乙插空有A：=12种排法，

这时甲乙包括剩下三个人形成了6个空，去掉首尾的，则丙有4种排法，

共有6创24=288,

故选：C

变式15.（2024•四川•校联考模拟预测）北京地处中国北部、华北平原北部，东与天津毗

连，其余方向均与河北相邻，是世界著名古都，也是国务院批复确定的中国政治中心、文化

中心、国际交往中心、科技创新中心.为了感受这座古今中外闻名的城市，某学生决定在高考

后游览北京，计划6天游览故宫、八达岭长城、颐和园、“水立方”、“鸟巢”、798艺术区、首都博

物馆7个景点，如果每天至少游览一个景点，且“水立方”和“鸟巢”在同一天游览，故宫和

八达岭长城不在相邻两天游览，那么不同的游览顺序共有（）

A.120种B.240种C.480种D.960种

【答案】D

【解析】顺序排列分2步进行，（1）将“水立方”和“鸟巢”看成一个整体，与颐和园、798艺

术区、首都博物馆全排列，有A；A：=48种情况，

（2）排好后，有5个空位可用，在其中任选2个，安排故宫和八达岭长城，有A；=20种

情况，则有48x20=960种不同的游览顺序.

故选：D.

变式16.（2024•湖北襄阳•襄阳四中校考模拟预测）一排有8个座位，有3人各不相邻

而坐，则不同的坐法共有（）

A.120种B.60种C.40种D.20种

【答案】A

【解析】依题意，把3人连同他的座位一起插入另5个座位形成的6个空隙中，有

A：=120种.

故选：A

题型六：定序问题（先选后排）

例16.（2024•全国•高三专题练习）满足%eN*（i=1,2,3,4）,且不＜%＜退＜匕＜1°的有

序数组（%,%，9,尤4）共有（）个.

A.C；B.尺C.dD.蜀）

【答案】A

【解析】•••数组中数字的大小确定，从1到9共9个数任取4个数得一个有序数组，所有

个数为C：.

故选：A.

例17.（2024•高二课时练习）已知=则满足㈤+同+|&|++闻=2

的有序数组卬士，&，--，马）共有（）个

n2—w

A.2n2-InB.2n2+2nC.--------D.n2—n

2

【答案】A

【解析】斗e{T'0,l},（i=12所有有序数组（如々，马，，怎）中,满足㈤+闾+闯++闯=2

的

有序数组（不九2，七,,五）中包含〃-2个0,另外两个数在1或-1中选择，每个位置有2种选

择，由乘法计数原理得不同的种数为C；x2x2=幽二»x4=2/_2〃

〃2

故选：A.

例18.（2024•山西朔州•高二怀仁市第一中学校校考期中）五人并排站在一排，如果

A,B必须相邻且2在A的右边，那么不同的排法种数有（）

A.60种B.48种C.36种D.24种

【答案】D

【解析】根据题意，分2步进行分析：

①A,B必须相邻且8在A的左边，将A3看成一个整体，有1种顺序，

②将A3整体与C、D、E全排列，有A；=24种情况，

则有1x24=24种排法；

故选：D.

变式17.（2024•全国•高三专题练习）DVA是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋

线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上

的碱基之间由氢键相结合.在LWA中只有4种类型的碱基，分别用A、C、G和T表示，

DNA中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是A-T,或者是C-

G,不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们

也就知道了另一条链上碱基的顺序.如图所示为一条。单链模型示意图，现在某同学想

在碱基T和碱基C之间插入3个碱基A,2个碱基C和1个碱基T,则不同的插入方式的

种数为（）

...AGGATCGG...

A.20B.40C.60D.120

【答案】c

A679f）

【解析】依题意可知，不同的插入方式的种数为二含7r=二8=60.

6x2x1

故选：C

变式18.（2024•江苏扬州•高三校考期末）花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时

代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，

每次取1盏，则不同取法总数为

【答案】90

【解析】由题意，对6盏不同的花灯进行取下,

先对6盏不同的花灯进行全排列，共有A。种方法，

因为取花灯每次只取一盏，而且只能从下往上取，

所以必须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序,

故共有取法总数为：7111r9。.

故答案为：90

变式19.（2024•全国•高三专题练习）某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人

事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每

列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜

依次被选中的所有不同顺序方法数为.（用数字作答）

【答案】25200

【解析】一共有10条灯谜，共有跳种方法，由题意可知而其中按2,3,3,2组成的4列

相对位置不变，所以结合倍缩法可知共有=25200种，也即是这10条灯谜依次

M国4团

被选中的所有不同顺序方法有25200种

故答案为：25200.

变式20.（2024•高二课时练习）7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有—不同的

排法.

【答案】840

【解析】根据题意，假设有7个位置，对应7个人，

先在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，有A；=840种情况，

由于甲、乙、丙3人顺序一定，在剩余3个位置安排3人即可，有1种情况，

则共有840x1=840种不同的排法；

故答案为：840.

题型七：列举法

例19.（2024•全国•高三专题练习）数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉

格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然

数的平方和，例如正整数12=32+俨+12+12=22+22+22+02.设25=6+/+c?+解，其

中a,b,c,1均为自然数，则满足条件的有序数组（a,6,Gd）的个数是（）

A.28B.24C.20D.16

【答案】A

【解析】显然a,b,c,d均为不超过5的自然数，下面进行讨论.

最大数为5的情况：

①25=52+（）2+02+02,此时共有A；=4种情况；

最大数为4的情况：

②25=4z+3?+。2+（）2,此时共有=12种情况；

③25=4z+2?+2?+/，此时共有=12种情况.

当最大数为3时,32+32+22+22>25>32+32+22+12,故没有满足题意的情况.

综上，满足条件的有序数组（a,bed）的个数是4+12+12=28.

故选：A

例20.（2024•浙江宁波•高二校联考期末）已知字母x,z各有两个，现将这6个字

母排成一排，若有且仅有一组字母相邻（如ayz）,则不同的排法共有（）种

A.36B.30C.24D.16

【答案】A

【解析】有且仅有一组字母相邻，这组字母有三种情况：口,孙，zz.

当相邻的这组字母为xx时，将6个位置编成1-6号，

若xx在1号和2号，则3号和5号字母相同，4号和6号字母相同，有2种排法；

若xx在2号和3号，则1号和5号字母相同，4号和6号字母相同，有2种排法；

若xx在3号和4号，贝。1号和2号字母不相同，5号和6号字母不相同，有2x2=4种排

法；

若我在4号和5号，则2号和6号字母相同，1号和3号字母相同，有2种排法；

若xx在5号和6号，则1号和3号字母相同，2号和4号字母相同，有2种排法，

即相邻的字母为xx时，共有2+2+4+2+2=12种排法.

同理，相邻的字母为郎zz时，也都有12种排法，故共有12x3=36种排法.

故选：A.

例21.（2024•全国•高三专题练习）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放

在如图所示正方形ABC。（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿

正方形的边按逆时针方向行走了几个单位，如果掷出的点数为…,6）,则棋子就按

逆时针方向行走i个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点A处

的所有不同走法共有（）

A.21种B.22种C.25种D.27种

【答案】D

【解析】由题意，正方形ABCD的周长为8,抛掷三次骰子的点数之和为8或16,

①点数之和为8的情况有：1,1,6；1,2,5；1,3,4；2,2.4；2,3,3,排列方法共有

c；+&+/+c；+c；=21种；

②点数之和为16的情况有：4,6,6；5,5,6,排列方法共有C；+C；=6种.

所以，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点A处的所有不同走法共有21+6=27种.

故选：D.

变式21.（2024•海南海口•统考一模）形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位上的

数字，千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1,2,3,4,5可组成数字不重

复的五位“波浪数”的个数为

A.20B.18C.16D.11

【答案】C

【解析】止匕“波浪数”中，十位数字，千位数字必有5、另一数是3或4；

是4时“波浪数”有段禺=12；

另一数3时4、5必须相邻即45132；45231；13254；23154四种.

则由1,2,3,4,5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为16,

故选C.

变式22.（2024•全国•高三专题练习）工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图

所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不熊连续固定相邻的2个螺栓.

则不同的固定螺栓方式的种数是.

【答案】60

【解析】根据题意，第一个可以从6个钉里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会

相等的，若第一个选1号钉的时候，第二个可以选3,4,5号钉，依次选下去，可以得到共有

10种方法，所以总共有10x6=60种方法，故答案是60.

题型八：多面手问题

例22.（2024•全国•高三专题练习）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本

交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞.现要从中

选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（）种不同的选法.

A.675B.575C.512D.545

【答案】A

【解析】根据题意可按照只会跳舞的2人中入选的人数分类处理.

第一类2个只会跳舞的都不选，则从既能唱歌又能跳舞的5人中选择3人来跳舞，接着从

剩余的5人中选择3人唱歌，故有C「C；=100种；

第二类2个只会跳舞的有1人入选，有C；种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择2人

来跳舞，有c；种，再从剩余的6人中选择3人唱歌，有C：种，故有C；C；.C：=400种；

第三类2个只会跳舞的全入选，有C；种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择1人来跳

舞，有C；种，再从剩余的7人中选择3人唱歌，有C；种,有C；C[C；=175种，

所以共有100+400+175=675种不同的选法，

故选：A.

例23.（2024•全国•高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人

只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4

人当法语翻译，则共有（）种不同的选法

A.225B.185C.145D.110

【答案】B

【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类.

①“2人既会英语又会法语“不参加，这时有C/C：种；

②“2人既会英语又会法语”中有一人入选，

这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，

因此有种；

③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，

这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，

因此有C；c；c：++c；c；c：c；种.

综上分析，共可开出仁C：+C；C：C：+C；C；C；+C；C；C：+C；C：C；C：=185种.

故选：B.

例24.（2024•全国•高三专题练习）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要

的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节

龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会

划右桨.现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共

有（）

A.26种B.30种C.37种D.42种

【答案】C

【解析】根据题意，设4=｛只会划左桨的3人｝,8=｛只会划右桨的3人｝,C=｛既会划

左桨又会划右桨的2人｝,据此分3种情况讨论：

①从A中选3人划左桨，划右桨的在（BuC）中剩下的人中选取，有C；=10种选法，

②从A中选2人划左桨，C中选1人划左桨，划右桨的在（BuC）中选取，有

C；C；C：=24种选法，

③从A中选1人划左桨，C中2人划左桨，8中3人划右桨，有C；=3种选法，

则有10+24+3=37种不同的选法.

故选：C.

变式23.（2024•全国•高三专题练习）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人

只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷.现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去

参加比赛，则不同的选派方法共有（）

A.56种B.68种

C.74种D.92种

【答案】D

【解析】根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方

法有C；C；种，有一个“多面手”的选派方法有种，有两个“多面手”的选派方法有

种，即共有C泣+C；C；C；+=92（种）不同的选派方法.

故选：D

题型九：错位排列

例25.（2024•重庆沙坪坝•高二重庆八中校考期末）“数独九宫格”原创者是18世纪

的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫

格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相间，若中间空格已填数字

5,且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大

到小排列的，则不同的填法种数为（）

5

A.72B.108C.144D.196

【答案】C

【解析】按题意5的上方和左边只能从1,2,3,4中选取，5的下方和右边只能从

6,7,8,9中选取.因此填法总数为4x3x4x3=144.

故选：C.

例26.（2024•全国•高三专题练习）编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号

为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（）

A.10种B.20种C.30种D.60种

【答案】B

【解析】先选择两个编号与座位号一致的人，方法数有C；=10,

另外三个人编号与座位号不一致，方法数有2,

所以不同的坐法有10x2=20种.

故选：B

例27.（2024•全国•高三专题练习）将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号

为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入

的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）

A.90B.135C.270D.360

【答案】B

【解析】根据题意，分以下两步进行：

（1）在6个小球中任选2个放入相同编号的盒子里，有点=15种选法，假设选出的2