2025高考数学复习必刷题：立体几何解答题（解析版）

2025高考数学必刷题

第56讲立体几何解答题

必考题型全归纳

题型一：非常规空间几何体为载体

例1.（2024・全国•高三专题练习）已知正四棱台4的体积为生也，其中

3

AB=2AlB1=4.

⑴求侧棱44]与底面48co所成的角；

（2）在线段eq上是否存在一点尸，使得若存在请确定点尸的位置；若不存在，请

说明理由.

【解析】（1）依题意，在正四棱台48co-45cA中，*3=244=4,

所以上底面积耳=2x2=4,下底面积$2=4x4=16,

设正四棱台的高为〃，则;（4+"1?+16）〃=与2"=/.

连接NC，4C],贝l]/C=4收，4G=2a,

所以山=产j+/=中,

=2

设侧棱AA.与底面ABCD所成的角为6,贝Usin。=与=（,

AAX2

由于线面角e的取值范围是Jo,』，所以e

L2」4

（2）连接3。,吕A，设正四棱台上下底面的中心分别为。1，。，

以。为原点，OA,OB,OO,分别为无,7,z轴建立如图所示空间直角坐标系，

4（0,0,行）,。（0,-20,0）,5（0,2行,0）,

设线段CG上存在一点P,满足于=4束（04彳41）,

1

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G(-V2,0,V2),C(2V2,0,0),QC=(372,0,-72),

QF=(3722,0,-722),

贝I］丽=西+于=(-V2,-2A/2,V2)+(3V2A,0,-V22)=(3V22-V2,-2A/2,叵-V2A),

1^=(-V2,-2V2,-V2),

若AP_L4。，则丽・丽=0，

即-V2(3V2^,-V2)+8-V2(V2-V22)=0,

解得2=2,舍去，

所以在线段eq上不存在一点p,使得8尸，4。.

例2.(2024•全国"高三专题练习)在三棱台/BC-DE尸中，G为/C中点，AC=2DF,

B

(1)求证：3。1平面。£6；

7T

(2)若4B=BC=2,CF1AB,平面E尸G与平面/CEO所成二面角大小为§,求三棱锥

后-。尸6的体积.

【解析】(1)在三棱台N3C-DE尸中，G为NC中点，则ZC=2GC,

又AC=2DF,:.GC=DF,

■：AC!IDF,四边形GCFD为平行四边形，.•.DG〃C尸，

又BCLCF,BC1DG,

2

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DEHAB,AB1BC,BCYDE,

■.■DEC\DG=D,D£,DGu平面DEG,..BC，平面DEG.

(2)•••CF1AB,DGIICF,DGLAB,

又DGLBC,ABcBC=B,AB,BCc^ABC,r.DG_L平面NBC,

连接BG,;AB=BC=2,ABIBC,G为/C中点，:.GBYAC-,

以｛怎，品,&｝为正交基底，可建立如图所示空间直角坐标系G-平，

则G（0,0,0）,5（亚,0,0）,4（0,-衣0}C（0,衣0）,

设DG=C77=加（加>0）,则£）（0,0,加），尸（0,血,,

.•立=历+瓦=&+；益=（0,0〃卜仓60'，GF=（0,V2,m）,

设平面K/G的一个法向量为〃=（x,y,z）,

--^77：V2A/2

n-(JE=----x-\------y+mz=

则22令z=—0，解得：>=加，、=冽，

n•GF=+mz=0

又平面ZCF。的一个法向量能=（1,0,0）,

I/——\I|加,川m1

cos（九〃）=।一।|_|=~不=不，解得：m=l,即Z）G=1,

।\Z|\m\'\n\J2/+22

•・・。6_1平面力5。，平面4BC7/平面。£尸，，。6_1平面。£尸，

嚷回=%-两=JSAOM•OG=；x；xlxlxl=；.

55Zo

例3.（2024・重庆万州•高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图，在正四棱台

4BCD—44GA中，4B=2A、BT，44=6,M,N为棱4G，G2的中点，棱45上存

3

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在一点E,使得4£〃平面BAWD.

(2)当正四棱台/3CD-44的体积最大时，求3月与平面的必⑦所成角的正弦值.

【解析】(1)作BF〃&E交4B于F,再作尸G/BC交AD于G,连接MG.

因为4E〃平面BAWD,所以耳尸〃平面3MM).

又平面B]FGMc平面8ACVO=MG,所以用尸〃MG.

又因为尸G〃3C〃耳G，所以四边形gFG"是平行四边形，

所以尸G==；4Q=；，即产为棱的四等分点，

AJ71

故£也为棱的四等分点，所以差=：.

AB4

(2)由(1)易知G为助的四等分点，所以点用在点G的正上方，

所以4G,底面48co.

设Z8=24耳=4x,则==所以民G=「3-2x2,

所以该四棱台的体积r=；(16/+V16X2-4X2+4X2)A/3-2X2=yx2V3-2x2,

222

工皿7842，八-2、784(x+x+3-2x^

而片=—x2-X2-(3-2x2j<—1---------------------.

当且仅当f=3一2/,即x=l时取等号，此时42=4,4耳=2.

以G为原点，GF,2。分别为x轴、z轴，

过G平行于AB的直线为J轴建立如图所示的空间直角坐标系，

4

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则G(0,0,0),4(0,0,1),,5(1,1,0),尸(1,0,0),

所以G5=(l,l,0),GM=K^=(-1,0,1),函

设平面3MND的法向量为”=(x,y,z),

CBn=0,

尤+y=o,人,则％=(1,7,1).

由—.得T+Z=0令X"

GM-n=0,

设AB】与平面3M所成角为6,

./-----X\n-BB\11

则sin。=(cos«,BBj=,——-r=耳=—,

'/忖.网|J3xj33

故BBX与平面BMND所成角的正弦值为1.

变式1.(2024•湖北黄冈•滴水县第一中学校考模拟预测)如图，在三棱台43Gd3C中,

44=2,AB=AC=4,N4=CG=右，BB、=3,ZBAC=^.

(1)证明：平面平面48C；

(2)设。是8C的中点，求平面AtACQ与平面AXAD夹角的余弦值.

【解析】(1)证明：

5

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在梯形44381中，取N5的中点E,连接吕E,

因4月=2,AB=AC=4

故AXBX=AE,四边形//E且是平行四边形，

/.B\E=AA、=卮

EB=-AB=2,BB.=3

2

所以BF+EB=BB；,

7T

.\ZBEB.=-,即

2

因与E//Z4，所以氏4_L44],

jr

又因/A4C=-,所以胡，4C,

2

又因441C1/C=/,所以平面//eq,

因A4u平面ABC,

所以平面4/CG，平面/BC；

(2)取/C的中点O,4G的中点尸，连接OD,OF,则Q9//48,

因4B14C,所以OZ)_LNC,

由条件知：四边形//CG是等腰梯形，所以。尸，/C,

平面//eqc平面ABC=AC

。尸u平面N/CG,

平面4/CG，平面4BC

6

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，。尸_L平面N8C,

分别以。4,OD,OF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图,

2

则在等腰梯形//CG中，由平面几何知识可得：OF=A/5-(2-1)=2,

.•.4(2,0,0),Z)(0,2,0),4(1,0,2),AD=(-2,2,0),怒=(-1,0,2)

r

设平面44D的法向量4=(x,y,z),

—2x+2y—0

则由＜

/HAD—x+2z—0

令x=2,得y=2,z=l,

所以*=（2,2,1）,

又平面4/CG的法向量丘=(0,1,0),

设平面44cq与平面4AD的夹角为6,

c2x12

贝Ucos8="；-j—j—r=/二=—.

|A|-|V|722+22+12X13

变式2.(2024•安徽•高三安徽省定远中学校考阶段练习)如图，圆锥尸O的高为3,4B是底

面圆。的直径，四边形48co是底面圆。的内接等腰梯形，且/B=2CD=2,点、E是母线PB

上一动点.

7

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(1)证明：平面NCE_L平面P。。；

(2)若二面角/-EC-8的余弦值为:号，求三棱锥/-EC。的体积.

【解析】(1)连接OC,由题意知四边形NOC。为菱形，故

因为尸O/平面48cD,ZCu平面/BCD,

所以R9_L/C,

因为尸OnO0=O,尸0,0。＜=平面尸0。，所以/C_L平面尸。0,又/Cu平面/CE,

故平面ACE1平面POD；

(2)以。为原点，的中垂线为无轴，05为V轴，。尸为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，则/(0,-1,0),5(0,1,0),60,0,3),C^,-,oj,

设玩二痂,显然4=1不合题意，则力«0,1),则£(0",3-3勾，

—rVs1「百3)—广百1)

122JI22JI22J

设平面CBE的法向量为m=(x,y,z),

_FD6,[八

m•CB=---xH——y=0

22

则

m-CE=-~~~x+—+(3-32,二0

号y=V3，得x=1z=—,则成=i,"J

3I3J

设平面NEC的法向量为方=(a,b,c)

1+A,-

令a=A/3，b—yc=-----贝nljn=

3-32

V31+A

It.I丽•司33-32=警，解得几=；或3,

从而cos6=_L

同“I/+1,+1+X7乜

因为2e[0,l),故2=1

8

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此时二面角/-EC-8的余弦值为®满足题意.

130

从而限ECD=腺TCO=；g/CD4POX-lXlXlX曰［X3g

333223o

变式3.（2024•云南•云南师大附中校考模拟预测）如图，尸为圆锥的顶点，/,B为底面圆O

上两点，ZAOB=—,E为PB中点,点尸在线段上，且N尸=2所.

（1）证明：平面/OP_L平面OE尸；

Q）若OP=AB,求直线NP与平面尸所成角的正弦值.

【解析】（1）设圆。的半径为r,

在—OB中，OA=OB=r,Z.AOB=,Z.OAB=—,

36

故AB=Cr,又AF=2FB,故/b=冬色1,

3

在“OF中，由余弦定理得OF。=OA2+AF2-2OA•AF•cosZOAF=-OA2=-r2,

33

所以。/2+o尸2=z尸2,即。/，。尸；

圆锥中，尸。，底面。。，。尸u底面OO,故尸OLOF,

又OAcOP=O,所以。尸，平面/OP,

又。尸u平面OEF,所以平面/。尸，平面OEF.

9

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(2)以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-xyz,

不妨设04=6，贝(10P=/2=6。/=3,OF=—OA=\,

3

(h3、</T3Q>I

则/(>/§,0,0),尸(0,0,3),B——,—,0,E------,川(0,1,0),

I22JI442J

一rKT；(633、一

AP=0,3),OE=—?—?—,OF=(0,1,0)»

I44

设平面。£厂的一个法向量为力二(%，6z),

'一立，

有｛n-O一E=0，即｛4x+34v+?2~=0，解得为=(2百「,0,1),

n-OF=0n

变式4.(2024•内蒙古赤峰•校联考三模)如图，尸为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，四

边形48cp是圆。的内接四边形，8。为底面圆的直径，W在母线PB上，且

(1)求证：平面ZMC1平面A8CD；

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(2)设点E为线段P。上动点，求直线CE与平面所成角的正弦值的最大值.

【解析】(1)如图，设AC交BD于点、N,连接〃N,OC,CU,

由已知可得OC=OA=2,又AB=BC=2,

所以四边形45。。为菱形，所以

,:BM=2,BD=4,MD=25

•1•BM2+MD2=BD2，,NBMD=-，

jjr

cosZMBD=~,又所以NAffiZ)=—,

23

因为N为。5的中点，5N=1,BM=2.

由余弦定理可得MN=7w2+BM2-2BN-BMcosZMBN=，

BM2=BN2+MN2,所以MNJLBN,即

又/C,AGVu平面4WC,ACcMN=N,3。工平面/MC.

又BOu平面48CD,平面ZMC1平面48CD.

(2)由已知尸平面4BCD,ZCu平面4BCD,所以尸OL/C,

又AC工BD,BDcPO=P,尸Ou平面尸3D,

/C_L平面PAD,

又ACVu平面尸8。，/.MNLAC.

由(1)知MN1BD,ACcBD=N,NC,8Z)u平面43cD,

所以ACV_L平面4BCD,

/.PO//MN,又点N为80的中点，

所以P0=2MN=2也.

以点N为坐标原点，板,所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间

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则/（百,0,0）,£>（0,3,0）,5（0,-1,0）,Af（0,0,73）,C（-V3,0,0）,0（0,1,0）,

设£（0,1,7）（0W2百），贝I」匠=（e,1"）,

/.25=（-73,3,0）,屈=卜百,0月），

设平面4WD的法向量为〃=（x,y,z）,

AD-n=0-A/3X+3y=0

则令y=l,贝Ijx=百,z=百，

AM-n=0—y/3x+s/3z=0

所以〃=（百,1,6）为平面/MD的一个法向量.

设直线CE与平面所成的角为

____,\n-CE\怖+4

V7卜产+16+8底―V7[।4+8"

则sin6=cos（n,CE）\=」।=—L-r==~TV-+4-V\+t2+4

11\n\-\CE\V7X^2+4

构建=二吁（0<t<273），

当时，r（o>o,函数/«）在［0,。）上单调递增,

当君<M2石时,广⑺<0,函数/⑴在小,2百8上单调递减,

.•"=6时，/⑺取到最大值4.

此时，sin。取到最大值1.

另由［（百,1,6），赤=（百,1,7）知，

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当/=百时，n//CE，此时近_L平面/MD,

设直线CE与平面/MD所成的角为。，因为0。4。490。，

当f=G时，sin。取到最大值1.

变式5.(2024•山东潍坊・统考模拟预测)如图，线段44是圆柱0a的母线，是圆柱

下底面。。的内接正三角形，AA^AB=3.

(1)劣弧前上是否存在点。，使得平面448?若存在，求出劣弧防的长度；若不存

在，请说明理由.

(2)求平面CBO,和平面BAAX所成角的正弦值.

【解析】(1)如图过点。作的平行线交劣弧前于点D,

连接OQ,OXD,因为。Q///4，441U平面平面//田，

则OQ//平面AA.B,同理可证OD//平面AAtB,

OO^OD^O,且OQu平面OOQ,ODu平面OOQ,所以平面44d//平面OO/,

又因为OQu平面OOQ,所以QD〃平面448

故存在点D满足题意.

TTTT

因为445c为底面。。的内接正三角形，所以NA4C=—,即=

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3

又因为/8=3,所以。。的半径为0.71

2sin—

3

兀

所以劣弧曲的长度为上x27tx6=也；

2716

(2)如图取8C的中点为连接小，以八四为x轴，为y轴，过M作。。/平行线

又因为441=/3=3,设N5中点为N.

故”(0,0,0),B\—,0,0j,A0,---,0，cf--,0,0o]o,冽,噌孚0

{2)[2)

一「361

易知ON,平面44#,所以平面的法向量ON=-,^-,0

设平面CBOX的法向量为n=(x,y/),

^-y+3z=0,

又因为咐=10,：,3,W=Q,0,0n-MO,=Q,

故＜一即《

n-MB=0,3

-x=0,

[2

令y=2百得为=(0,2后_1)

3

nON2V39

所以平面CBO和平面BAA1夹角的余弦值为|-==-7T—=•

X卜胆M"*屈13

4

故平面CBO|和平面切4夹角的正弦值为晅.

13

题型二：立体几何存在性问题

例4.(2024・全国・高三对口高考)如图，如图1,在直角梯形48co中,

ZABC=ZDAB=90°,ZCAB=30°,BC=2,AD=4.把Z\DAC沿对角线AC折起到APAC的

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位置，如图2所示，使得点尸在平面上的正投影〃恰好落在线段/C上，连接P8,点

图1图2

(1)求证：平面跖H//平面「5C；

(2)求直线HE与平面PHB所成角的正弦值；

⑶在棱尸/上是否存在一点使得M到点尸,4下四点的距离相等？请说明理由.

【解析】(1)在“3C中，ZABC=90°,ZCAB=30°,BC=2,所以NC=4

在△4PC中，NPAC=60°,NC=4P=4,所以△/PC为等边三角形，

因为点尸在平面/3C上的正投影"恰好落在线段/C上，

所以P//1平面N8C,又/Cu平面/8C,

所以尸所以H为线段/C的中点，

又点£,b分别为线段上4,48的中点，

所以EH〃PC,EF〃PB,

由EFHPB,防(2平面尸3。，尸8u平面尸5C,所以£尸〃平面尸5C,

由EHHPC,EH0平面PBC,PCu平面P3C,所以EH7/平面尸8C,

由EH,EFu平面EFH,EHIEF=E,

所以平面EFH//平面PBC；

(2)在平面48c内过77作/C的垂线

如图建立空间直角坐标系，

15

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因为网0,-1,6），HE=（0,-l,^

设平面尸的法向量为与=（x,y,z）

因为丽=（百,1,0）,而=（0,0,2月）,

所以有瓦•为=0,丽•为=0,

令x=5贝”=-3,z=0,

所以元=（亚-3,0）为平面尸;仍的一个法向量，

£配3_>/3

cos(n,HE

同闻2x2百4

所以直线族与平面句仍所成角的正弦值为"；

4

（3）存在，点M为线段P/的中点E,理由如下：

因为在直角三角形尸中，EH=PE=EA=-PA=2,

2

在直角三角形尸？汨中，PB=4,

又EF=LpB=2

2

所以点E到四个点尸4尸的距离相等，

所以点E为所找的点，即线段灯的中点E为所求.

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例5.(2024•上海长宁・上海市延安中学校考三模)已知和V4DE所在的平面互相垂直,

ADYAE,AB=2,AC=4,NB4c=12。°,。是线段8C的中点，AD=6

(1)求证：ADLBE；

(2)设NE=2,在线段/E上是否存在点尸(异于点A),使得二面角b-C的大小为45。.

【解析】(1)BC2=AC2+AB2-2AC-AB-cosl2(f=4+16+8=28,故8c=25，

BD=y/l，则=/笈+,故

又AD，4E,/£,48u平面/BE,AEcAB=A,故4D_L平面/BE,

BEU平面ABE,故NO_LBE,

(2)△/3C和△所在的平面互相垂直，则平面平面4DE=4D,

4D1/E且/Eu平面4DE,故NE_L平面/BC,

如图所示：以分别为尤//轴建立空间直角坐标系，

则/（0,0,0）,5（2,0,0）,C（-2,273,0）,设尸（0,0,a）,ae（0,2],

平面48户的一个法向量为%=（0,1,0）,

LU、-SC=2A/3v-4x=0

设平面尸的一个法向量为“2=2,z,贝I]_____•

n2-BF=—2x+az=0

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,解得a=2G，不满足题意.

综上所述：不存在点尸，使二面角尸-C的大小为45。.

例6.（2024•湖南邵阳•邵阳市第二中学校考模拟预测）如图，在“3C中，05=90°,P为AB

边上一动点，PDHBC交.AC千点、D,现将AP/M沿PD翻折至APZM.

（1）证明：平面C2H_L平面P8H；

⑵若PB=CB=2PD=4,且H尸，4P,线段4c上是否存在一点£（不包括端点），使得

锐二面角£-助-。的余弦值为血，若存在求出任的值，若不存在请说明理由.

14EC

【解析】（1）因为PDHBC,D5=90°,

所以44尸。=90。，所以HP_LED,

所以/'尸，BC,又因为BCLBP,

4PCBP=P,4Pu平面P84,BPu平面

所以平面尸84,又BCu平面C3H,

所以平面CBA'l平面PBA'.

（2）因为PD"BC,BCLAP,C.PDLAP,

又：Z'尸_L4P,A'P^}PD=P,4尸,尸。匚平面©尸。，

，AP1平面A'PD,

:.P4、PA'、尸。两两垂直，以尸点为原点，PZ为X轴，为y轴，为z轴建立空间

直角坐标系,

因为PB=CB=2PD=4,PD//BC,

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所以/尸=P8=4.

则。(0,2,0),C(T,4,0),3(-4,0,0),4(0,0,4),

平面BCD的一个法向量为加=（0,0,1）,

7C=(-4,4,-4),设/=4酢=(-444/1,-4/1),0<2<1

前=(4,0,4),砺=前+”=(一42+4,44一42+4)

丽=(4,2,0),

设平面3DE法向量为〃=（x,y,z）,

n-BE=0卜44+4)x+4Ay+(-42+4)z=0

则—,所以

n-BD=0[4x+2y=0

取E,则尸-2,z二子32―-1

1-X

故”二卜,-2得）

为平面的一个法向量,

3V14

一14

2

解得丸=],符合题意

即碎=2刀?，=2.

3EC

变式6.（2024•福建厦门・统考模拟预测）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边

形.如图，四边形48co为筝形，其对角线交点为。,48=拒,80=^^=2,将沿3。

折到的位置，形成三棱锥/'-BCD.

（1）求B到平面A'OC的距离；

⑵当A'C=1时，在棱A'D上是否存在点P,使得直线BA'与平面POC所成角的正弦值为:？

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2025高考数学必刷题

若存在，求赤的值；若不存在，请说明理由.

AD

【解析】（1）因为AB=C,BD=BC=2,

所以3。不可能为四边形ABCD的对称轴，则/C为四边形ABCD的对称轴，

所以/C垂直平分瓦》所以HOLBRCOLBD.

/0<=平面/'。0。0匚平面4。（7,/'。门。。=O

所以8。1平面HOC.

所以B到平面HOC的距离d=』BZ）=l.

2

（2）存在点尸，使得直线3©与平面尸0c所成角的正弦值为

过。作平面BCD,所以OD,OE,OC两两垂直.

以。为原点，。。,。区。。所在直线分别为工轴，了轴，z轴建立空间直角坐标系

由（1）得平面平面HOC,因为。4'=1,OC=VIHC=1

所以H0,三，,

设〃=2近=,一gz-gx(2e[0,l]),

(2222J

oc=(o,Ao),

r

设平面POC的法向量〃二(%,%z),

y=0

aoc=o/

一，所以11

n-OP=0Ax+旦巴1+口A,z=0

22J1222

令z=2%,则x=%—1,

20

2025高考数学必刷题

所以平面尸0c的一个法向量万=（2-1,0,22）,

设直线3H与平面尸OC所成角为6,BA'=1,^-,-,

（22）

I—।所万|12-1+211

11同V2X7（A-1）2+4A24

171A'P1

所以4或％=（,所以存在点尸，使得直线84与平面P。。所成角的正弦值为：£涓=3

.Dy4力D3

„A'P7

m/-----=——

A'D9'

变式7.（2024・湖北襄阳•襄阳四中校考模拟预测）斜三棱柱/8C-4片G的各棱长都为

4,ZA,AB=60。，点4在下底面ABC的投影为ZB的中点O.

⑴在棱（含端点）上是否存在一点。使4。，N。？若存在，求出8。的长；若不存在,

请说明理由；

⑵求点到平面的距离.

4BCC}BX

【解析】（1）因为点4在下底面Z8C的投影为的中点O,故4。，平面/8C，

连接OC,由题意“3C为正三角形，故

以。为原点，OA,OC,。4分别为xj、z轴建立如图所示空间直角坐标系：

21

2025高考数学必刷题

则/(2,0,0)，4(0,0,2百),C(0,2百,0),8(-2,0,0)心卜4,0,2百),G卜2,2百,26),

设诙=4函，函=卜2,0,2如)，可得。「2；1-2,0,2桢)，

丽=(-22-2,0,2折-2A/3),JQ=(-4,273,273),

假设在棱3耳（含端点）上存在一点。使

则Afi1苑，:.4（22+2）+2百（2732-2^3）=0,.\2=1,

14

则BD=-BBX=y；

（2）由（1）知瓯=（-2,0,2网,前=（2,250）,

设平面3CG耳的法向量为』=（》,％z）,

万丽=0)2x+2任=0

则,令x=5则z=l,y=—l,

n-BC=0，"[2x+2^y=Q

则为=（百,-1,1）,

又布十2,0,一2⑹,

则4到平面8CG用的距离为d=凶"=噌=勺叵，

\n\755

即点4到平面BCCd距离为警.

变式8.（2024・全国•高三专题练习）如图，在四棱锥尸-48。中，CD_L平面刃。，APAD

为等边三角形，ADUBC,AD=CD=2BC=2,平面网。交平面以。直线/,£、尸分别

为棱PD,P3的中点.

（1）求证：BC//I；

⑵求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值;

22

2025高考数学必刷题

(3)在棱尸C上是否存在点G,使得。G〃平面/£尸？若存在，求拓的值，若不存在，说明

理由.

【解析】(1)因为/O//3C,4Du平面Ri。，8CO平面HLD，

所以8C//平面尸ND,

又因为3Cu平面尸8C,平面尸BCc平面尸/。=直线/,

所以8。〃/.

(2)取的中点O,连接。尸,。8,

由题意可得：BCHOD,S.BC=OD,

则OBCD为平行四边形，可得03//CD,

且CD_L平面处D,则O8_L平面为D,

由。尸u平面E4。，则OP_LO8,

又因为△为。为等边三角形，则。为的中点，可得。尸，ND,

OB^AD=O,。8,/Du平面/BCD,则OP,平面48cD,

如图，以。为坐标原点，。4。瓦。「分别为x/,z轴建立空间直角坐标系，

则/(1,0,0),8(0,2,0),。(一1,2,0,4-1,0,0,40,0月，｛—Jo,停｝

—►(3应、―►(1)

可得力E=--,0,^-，斯二仁,1,0,

n-AE=--x+—z=0

设平面4EF的法向量〃=(x,%z),则V22

n-EF=—x+y=0

令x=2,贝IJy=_l,z=2G，即♦=

由题意可知：平面口。的法向量浣=(0,1,0),

n-m-1

可得COS为，玩=

|«|-|w|-V17xl-17

所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值叵

17

23

2025高考数学必刷题

设所=2卮，G（a,b,c）,则尸G=

（-

ci-—Aa-—A

可得6=24,解得6=22,

c—\/3=--\/3Ac=V3（1—A）

即6卜九2/1,百（1一/1））,可得方不=（1-2,2%,由（1一2））,

若DG〃平面/£/，则力，旃，

可得万•丽=2（1-4）-22+6（1-2）=0,解得2=1,

.PG4

所以存在点G,使得DG〃平面/ER此时前=于

变式9.（2024•湖北襄阳・襄阳四中校考模拟预测）在三棱锥P/BC中，若已知尸

P8L/C,点尸在底面A8C的射影为点〃，则

(1)证明：PCLAB

Q）设PH=HA=HB=HC=2,则在线段尸C上是否存在一点M,使得血与平面尸48所成

CM

角的余弦值为（4，若存在，设器=2,求出力的值，若不存在，请说明理由.

【解析】（1）因为点尸在底面ABC的射影为点X,

所以尸271平面48C,又48,BC,C4u平面/8C,

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2025高考数学必刷题

所以PHL4B,PHLBC,PHLCA,

因为尸/_L3C,PHIBC,PA^PH=P,P4,PHu平面P4H,

所以3cl平面尸/〃，又/Xu平面

所以

因为P8_LZC,PHYAC,PBcPH=P,PB,PHu平面PBH,

所以/C_L平面又BHu平面PBH,

所以4C1BH,

因为BC_L/H,ACLBH,

所以点H为“6C的垂心，所以CW，48,

因为CH_L48,PHLAB,C〃,尸Hu平面PC",CHcPH=H,

所以48工平面尸C〃，又尸Cu平面尸C〃，

所以尸C，4B；

(2)延长交48于点。，由(1)可得CO_L/3,

又HA=HB,所以点。为线段的中点，

所以CZ=C8,同理可得R4=8C,

所以“3C为等边三角形，又HA=HB=HC=2,所以43=2有，

如图，以点。为原点，以砺，无，而为x，%z轴的正方向，建立空间直角坐标系,

则/卜6,0,0),0,0),P(0,1,2),C(0,3,0),

故加=(26,0,0),万=(6,1,2),布=卜6,3,0),而=(0,-2,2),

4CM

设存在点使得与平面0所成角的余弦值为不，且育=%，

贝1］萧=瑟+亘？=数+；1屈=(_百,3_2；1,2；1),

设平面尸45的法向量为］,n=［x,y,z),

n-AB=0|2瓜=0

则一一，所以厂，

n-AP=0[y/3x+y+2z=0

令z=l,可得x=0,y=-2,

所以]=（0,-2,1）为平面PAB的一个法向量,

25

2025高考数学必刷题

BMn—6+6A

所以cos(8M〃

V12-122+822X^

4TT

设直线8河与平面尸48所成角为e,则cos0=1,乂ee0,-

3

所以sin嗯故丁卜6+61：

V12-122+8A2x>/55

所以2=g或2=2,又4e[0,l],

所以2=1

所以在线段PC上存在点使得3河与平面我8所成角的余弦值为g,=2=

变式10.(2024•浙江•校联考模拟预测)在四棱锥£-/BCD中，底面N3CD为矩形,

40=2/5=2,AE4。为等腰直角三角形，平面E4D1平面48CD,G为BC中点.

(1)在线段上是否存在点。，使得点。到平面EGD的距离为迫.若存在，求出。。的值;

2

若不存在，说明理由；

(2)求二面角。-EC-5的正弦值.

【解析】(1)法1：取20中点，记为w，连接EF,FG,DG,

因为人瓦4。为等腰直角三角形，所以即1AD,

•.・平面及4Z)_L平面群。＞,平面EADPI平面=

EFu平面&LD,;.£/_1平面488,

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因为N8=l,AD=2,所以EV=；/£>=1,贝！］EG=」EF?+FG。=6，

DG^^JCD2+CG2=V2>ED=^DF2+EF2=41'

假设。存在，由%.EOG=­E-QGD，即］SAEDGGQ—EDG=§^^QGD^E-QGD9

x

又SEDC=-V2xV2xsin60°=^-，所以/=—x^-x^-=—,

△EDG22Q~EDG3224

又^E-QGD=1，

313