2025届高中数学一轮复习专练：立体几何初步

立体几何初步

一、选择题

1.如图，在二面角的棱上有两个点，线段30与AC分别在这个二面角的两

个面内，并且都垂直于棱/,当AB=4，47=6，BD=8，C£）=2jF7时，则四面体

ABCD外接球的半径为（）

D.述

C-2A/3

3

2.水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图是直角梯形A'B'C'D'，如图所示.其中

6'C'=AB'=1,则原平面图形的面积为（）

A.旦B.±C.3应D.6A/2

84

3.已知圆台的上下底面半径分别为1和2,侧面积为3宿，则该圆台的体积为（）

A.—B.—C.5KD.则

333

4.若正三棱锥的所有棱长均为3,则该正三棱锥的体积为（）

A.3百B.旦C.述D.娓

124

5.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，高为3,且该圆台的体积为

13兀，则该圆台的母线长为（）

A.272B.2不C.713D.715

6.已知某圆锥的侧面积是其底面积的两倍，则圆锥的高与底面半径的比值为（）

A3B，73C,715D.有

7.已知三棱锥尸—ABC的四个顶点都在球。的球面

上,丛=依=2。=4,帅=6。=2,4。=26,，则球。的表面积为（）

A64兀口40兀厂27Ti「21兀

3342

8.如图,正三柱A3C-A用G的底面是边长为3的正三角形，侧棱9=4,一小虫从点A

途经三个侧面爬到点A”则小虫爬行的最短距离为（）

4__________1G

A.4B.5C.屈D.7153

二、多项选择题

9.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽

略不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

10.已知点A,5为不同的两点，直线4,4,4为不同的三条直线，平面a，,为不同的两

个平面，则下列说法正确的是（）

B.若4utz,〃a，则4〃4

C.若4ue,4u〃,tz尸=4，4口6=A，贝।Ae4

D.若lxlll2lla,aL/3,lx^13^A,l2^\/3^B，则直线AB//a

11.如图，G,H,M,N均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示G8，MN是

异面直线的图形是（）

三、填空题

12.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：

多面体的顶点的曲率等于2兀与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做

多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于

该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体（四个面都是等边三角形围成的几何体）

在每个顶点有3个面角，每个面角是四,所以正四面体在每个顶点的曲率为2兀-3义巴=兀

33

故其总曲率为4兀.我们把平面四边形ABCD外的点尸连接顶点4B、C。构成的几

何体称为四棱锥，根据曲率的定义，四棱锥的总曲率为.

13.在空间直角坐标系O-xyz中，点A,B,C,M的坐标分别是

（2,0,2）,（2,1,0）,（O,4,-l）,（0,m,-5），若A,B,C,M四点共面，则m=.

14.如图，在几何体ABCEEZ）中，AB=4，BC=5,AC=3>侧棱AE，CF，BD

均垂直于底面ABC，BD=3,FC=4,AE=5，则该几何体的体积为.

四,解答题

15.日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱

ABCD-\B}C}DX的底面A3CD是正方形，且AB=3，A41=1.

DGCDc

4EiBi*14Bi

（A）（B）

店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中H—E—耳―£—G-G［-H的方向捆

扎包装盒会比按照图3中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的

宽度）.则图A比图3最多节省的彩绳长度为.

16.如图所示，在边长为［孚+1］的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围

17.如图①，在菱形ABCD中,NA=60。且AB=2，E为AD的中点.将△ABE沿5E折起使

AD=行，得到如图②所示的四棱锥A-BCDE，求证：BC，平面ABE

A

图①图②

18.设尸为多面体”的一个顶点，定义多面体M在点尸处的离散曲率为

1-々（/。P。,+/。2w3+-,+/。1地*+/以世），其中9。=1，2,-此,左23）为多面

171

体M的所有与点P相邻的顶点，且平面0P02，平面Q2PQ3，…，平面0Tp以和平面

&PQ为多面体〃的所有以尸为公共点的面•已知在直四棱柱A3。-A与G。中，底面

ABCD为菱形，且"=AB=1.

(1)求直四棱柱A5CD-4与GA在各个顶点的离散曲率之和；

(2)若直四棱柱A3CD-4用CA在点A处的离散曲率为x,直四棱柱A3CD-AgGA

体积为/(%),求函数y=/(x)的解析式及单调区间.

19.如图，在四棱锥p—ABCD中，底面ABCD为平行四边形,E,歹分别为的中点.

(1)证明:PB〃平面AEC；

(2)在线段PC上是否存在一点G，使得FG〃平面AEC?若存在，指出点G位置，并证

明你的结论;若不存在，说明理由.

参考答案

1.答案：A

解析：由题意，设平面£与平面夕的夹角为6,

VAC±AB-BD±AB>

•••C4-AB=0JBDAB=Q^

CD=CA+AB+BD>

|CD|2=|CA+AB+BD|2=|G4|2+|AB|2+|BD|2+2C4-AB+2G4-BD+2AB-BD

=I可+|AB|2+1叫2+2CA-肠=36+16+64+2X6X8Xcos（180。-61）=仅市了，

二cos(180°-61)=—g，即cos8=；，

.♦.0=60。，即平面e与平面夕的夹角为60。.

过。作AB的平行线OT=4，过A作5。的平行线AT=8，AC与AT所成的角为

60°＞过3作AC的平行线BP=6，连接P£)，CP，CT

四面体ABCD的外接球与三棱柱ACT-PBD的外接球相同，

在△ACT中，CT?=6^+82—2x6x8x^=36+64—48=52，CT=2而，

_2^/13_4^/13_2^/13

△ACT外接圆半径为2"不=不="葭AB=4,

四面体ABCD外接球的半径为R=+22=

故选：A.

2.答案：C

解析：由直角梯形AB'C'D中B'C=AB'=1，且ZAD'C'=45。,作AP±D'C'于P,

则四边形A'B'C'P为正方形,^A'PD'为等腰直角三角形，故A'D'=V2,D'C=2.

B'

故原图为直角梯形,且上底AB=AB=1,高A。=2A'D'=2行，下底DC=D'C'=2.

其面积为g0+2）x2四=3万

解析：圆台的侧面展开图是个扇环，S扇环=兀6+弓）4=兀（1+2”=36兀0/=6，

所以圆台的高〃=’（6『—（2—叶=2,

则/台=,（5上+5下+,5上5下），=,（兀+4兀+—兀，4兀）><2=5兀'

故选：B.

4.答案：C

解析：如图，正三棱锥尸—

取BC中点。，连接AD,取等边三角形ABC的中心。，连接P0,

由正四面体的性质可知，顶点与底面中心连线垂直底面，

.•.PO,平面A3C

即三棱锥P—ABC的高为P0,

-.-AB=AC=BC=3,

AD=速,二AO=6,

2

OP=432—（6）=y/65

v10/W11-I/79A/2

-'-VP-ABC=-S^ABC0P=-X-X3X3X—X>I6=-^--

故选:c

5.答案：C

解析：如图所示，

设圆台较大的底面半径为IO]A[=3r,较小的底面半径为IQB|=r,

贝（JV=；（兀/+9兀产+3兀r2）义3=13兀，解得r=1,

过点B作BBX垂直A于点耳，

1222

则母线长ABy\+\BBi|=72+3=713,

故选:C.

6.答案：B

解析：设圆锥的高与底面半径以及母线长依次为/?、八I,

所以由圆锥结构特征得2=正三=叵三1=叵=6-

故选：B.

7.答案：A

解析：如图:

由余弦定理…二色"4+4-12

82

所以ZABC=120°，所以ZiABC外接圆半径为—————==2,即QB=2.

一2sinZABC6

在直角三角形PQB中,3Q=2，BP=4,所以QP=2档.

设棱锥P—ABC外接球半径为民在直角三角形OQB中,(2百-+22=R2,

解得:R=生叵.

3

所以球0的表面积为:S=4兀氏2=4兀x3=%.

33

故选:A

8.答案：C

解析：三柱的侧面展开图为一个矩形AA'AA，如图所示,因为正△ABC的边长为3,侧棱

惧=4,

所以A4'=9,AA=4,所以司=^^4"+叫2=,81+16=质,

即小虫爬行的最短距离为历.

故选：C

9.答案：ABD

解析：对于A选项，正方体内切球的直径为1m,故A符合题意;

对于B选项，如图①，正方体内部最大的正四面体棱长为3=0m,

A/2m>1.4m,故B符合题意；

对于C选项，圆柱底面直径为0.01m,可忽略不计，高为1.8m,圆柱可看作长度为

1.8m的线段.如图②，正方体的体对角线为AC】=^m<1.8m,故C不符合题意；

对于D选项，圆柱高为0.01m,可忽略不计，底面直径为1.2m,圆柱可看作直径为

1.2m的圆.如图③，E,F,G,H,I,J为各棱的中点，六边形ERGHU为正六边形,

其边长为立m,其内切圆直径FH=8FG=，^m,f—=->1.22=1.44,故D

2212J4

符合题意.故选ABD.

图③

10.答案：AC

解析：若4J_e,则4垂直于任一条平行于a的直线，又4〃蟆,则4，4,故A正确；

若6ua《//a不能推出IJk，故B错误；

若/1口，2=人，则4€。，46，,又。口，=/3，故46/3，故©正确；

若「尸=A，4口夕=8,则A3为万内的一条直线,AB//a不一定对，故D错误.

11.答案：BD

解析：异面直线的判定定理：“经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点

的直线是异面直线

根据异面直线的判定定理可知：在图②④中，直线G4、是异面直线；

在图①中，由G、M均为棱的中点可知：GH//MN；

在图③中，G、M均为棱的中点，二四边形GACVH为梯形，则GH与相交.

故选：BD.

12.答案：4兀

解析：由定义可得多面体的总曲率=27ix顶点数一各面内角和，

因为四棱锥有5个顶点,5个面,分别为4个三角形和1个四边形，

所以任意四棱锥的总曲率为2兀义5—(兀义4+2兀*1)=4兀.

故答案为：4兀.

13.答案：6

解析:由题意，得AB=(0,1,-2),AC=(-2,4,-3),W=(-2,/n,-7),

又A,民。,〃四点共面,则存在x,yeR,使得加=xAB+yAC,

-2=-2yx=2

即(一2,m,-7)=x(O,l,-2)+y(-2,4,-3),即<m=x+^y，解得<y=1,

-7=-2x-3ym=6

所以机=6・

故答案为:6.

14.答案：24

解析：在AE上取点M,在上取点N,it^AM=CN=BD^连接DM，DN，

MN，

又由已知侧棱AE，CF，均垂直于底面ABC，

得AEUCFUBD即AM//CN//BD，

故四边形与四边形M4CN都为平行四边形，

所以£>Af〃AB，MN"AC，

又。Afa平面ABC，且ABu平面ACE，

则〃平面ABC，

同理，ACV〃平面ABC，DMCMN=M，

DMu平面DAW，肱Vu平面DVW，

故平面DMNH平面ABC，且BD，平面ABC>

则几何体ABC-MDN为直三棱柱.

因为AB=4，BC=5,AC=3-

所以AB?+AC2=水;2,

所以△ABC是以/B4c为直角的直角三角形，ABLAC，

由侧棱AE垂直于底面ABC，得AELAB，

AEAAC=A-AEU平面ACE，且ACU平面ACE，

故AB，平面ACE，则。以，平面ACE，

又ME=2,NF=\，DM=AB=4，MN=AC=3>

则多面体D—ACVFE是四棱锥，且高为QM=4，

又AE_LAC，则AELMN，四边形为直角梯形，

所以几何体ABCFED是由三棱柱ABC-MDN和四棱锥D-MNFE组合而成的，

VABC-MDN=1x4x3x3=18，

1(l+2)x3

X4

VD-MNFE=~X-------=6，

所以该几何体的体积为18+6=24.

故答案为：24.

15-答案：16-80

解析：对于图（A），沿彩绳展开正四棱柱，则彩绳长度的最小值为8夜;

对于图（B），彩绳长度的最小值为4*（3+1）=16,

因为16>8后，所以图A比图B最多节省的彩绳长度16-80•

故答案为：16-8五-

16.答案：715

解析：如图1,过0F圆心R作于E,FGLCD于G,

则四边形EFGD为正方形,设小圆半径为厂,扇形半径为民则FD=6r，

小圆周长为2仃,扇形弧长为巴R,

2

剪下一个扇形和圆恰好围成一个圆锥,.二7?=2兀?•，解得R=4厂，

2

即BH=4r，：BD=BH+HF+FD=4r+r+E=g^)r,

•.•正方形铁皮边长为至+1，，3。=0><(迫+1]=5+四,

2I2J

(5+r=5+厂=1；

在图2中,石尸=1，3£=4，

由勾股定理得，圆锥的高呼=y/BE2-EF2=742-I2=A/15，

17.答案：证明见解析

解析：翻折前：

连接3£).

四边形ABCD为菱形,/A=60。，.♦.△ABZ)是等边三角形.

•••E为AD的中点，.

翻折后：

BE工AE，BELDE.

AB=25AE=DE=1->AD=-\/2，

:.AE2+ED~=AD~^:.AE±ED，

BC//DE,：.BC±BE,BC±AE-

又BEQAE=E,AEu平面钻石,BEu平面A5E，

.•.BC，平面

BC

18.答案：(1)2

⑵/(%)增区间为0,；，减区间为,keZ

解析：(1)在直四棱柱ABCD-A4CQ1中==底面ABCD为菱形,

由离散曲率的定义知：A，A，C，G的离散曲率相等耳与刀,。的离散曲率相等，

所以A处的曲率为1-hx-^+^+ZBAD=-----------,

2兀122)22TL

而。处的曲率为1—丁x(—+—+ZADC|=------------,XZBAD+ZADC=TI,

2兀122J22兀

匚4ng乩ABAD1ZADCIZBAD+ZADC1

所以AQ两处的曲率和为力—--—+-----=1-------------

22TT22TI2兀2

故直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和4x1=2

(2)由题设,A处