2025高考数学复习必刷题：多元最值问题

第27讲多元最值问题

知识梳理

解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元

法、三角代换法、齐次式等解题技能.

必考题型全归纳

题型一：消元法

例1.(2024・全国•高三专题练习)已知正实数无，y满足lnx=ye*+lny,则的最大

值为.

【答案】

e

【解析】由lnx=ye'+lny得ln2=ye"所以土出土=沈"，贝[用牛”=In2•匕叼,

xx

因为x>0,e，>0,0骨、n，所以In—>0,

c；uy

令〃x)=xe，(x>0),则/(x)=eYx+l)>0,所以f(x)在(0,+向上单调递增,

所以由北=ln；e叱，即“x)=(ln£|,得x=lnj,所以、=]

所以尸尸=鼻_二=二，

eee

y—1O—y

令g(x)=^^(%>0)，贝Ijg'(幻=—^，

ee

令g<x)>0,得0<x<2；令g'(x)<0,得％〉2,

所以g(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，

所以g(%)max=8(2)=4"，即y-e-x的最大值为

ee

故答案为：—.

e

例2.(2024•广东梅州•高三五华县水寨中学校考阶段练习)已知实数W满足：

Int

m-em=(n-l)ln(n-1)=t(t>0),则—---的最大值为___________.

m(n-V)

【答案】-

e

【解析】由已知得，m>0,n-l>0,ln(n-l)>0,

令〃%)=%](%>0),则f(x)=(x+l)ex>0,

\/⑴在(。,+8)上单调递增，

又因为“e”=(n-1)In(n-l),

所以/(a)=/(ln(〃-1)),

\ntIm

m{n-\)t'

令g⑺>0),

所以g«)=7必，

则当re(o,e)时，g(t)>0,g(f)单调递增;当re(e,+8)时，g'(t)<0,g⑺单调递减;

所以g(r)max=g(e)=L

e

故答案为：-.

e

例3.(2024•天津和平•高三天津一中校考阶段练习)对任给实数x>y>0,不等式

X2-2/<cx(y-x)恒成立，则实数c的最大值为.

【答案】272-4

【解析】因为对任给实数无>丁>0，不等式%2-2/4cx(y-x)恒成立,

2

-2

所以c4

孙一炉x2

X

y

令一=，>1,则=/(%)，

yt-t2

t2-4t+20一2+&)«—2—0)

f'3=22

t-t2t-t2

当f>2+立时,函数")单调递增；当1<Y2+M时,r(0<0,函数/⑺单调

递减,

所以当r=2+&时，/⑺取得最小值，”2+0）=2点-4,

所以实数c的最大值为20-4

故答案为：20-4

题型二：判别式法

例4.（2024•重庆渝中•高一重庆巴蜀中学校考期中）若x,yeR,4x2+y2+xy=l,则当

X=时，工+）取得最大值，该最大值为

J15/X

【答案】

3030

[解析]令x+y=r,则y=/一%,

贝U4x2+y2+xy=4x2+(7—x)~+x(f—x)=4x?—tx+t2=1,

即4元2Tx+产一1=0,

4A<(<4岳

由△=»—16(产一1)20,解得:

1515

故x+y<-------，

15

_4厉

,解得:岳7V15

故＜x+y=zrx=-----y--------

3030

4x2+y2+xy=l

所以当且仅当尤=巫，、=巫时，等号成立,

3030

故答案为：巫，地1

3015

例5.（2024•全国•高三竞赛）在ABC中，2cosA+3cos5=6cosC,贝1JcosC的最大值为

【答案】幽口

6

2

【解析】令cosA二%cos3=y,cosC=z,则2x+3y=6z,gpy=2z--x.

因为cos?A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=l,

所以X2+12Z-：X]+z?=l-2x12z-gx]z,

整理得(蓝-gz卜+14z2_|z卜+5z?-1=0,

-卜一豹-4(5z2-l)^-y^>0,

化简得(z+1)(2-1)卜2+y-^>0,

于是4z?+¥-号WO,得

396

所以cosC的最大值为反二1.

6

故答案为：巫匚.

6

例6.(2024・高一课时练习)设非零实数a,b满足标+廿二*若函数y=半!存在最大

值M和最小值m,则M-m=.

【答案】2

【解析】化简得至(Jy%2—6+y—6=0,根据A20和片+/=4得至!掾，解得

答案.0=?：；,贝！]/2—"+,一6=0,贝！JA=〃2一4y(y—Z?)〉O,

BP4y2-Ayb-a1<0,a2+b2=4,故4y?-4^Z?+Z?2-4<0,

[2y-(O+2)][2y-9-2)]<0,即一工”等，即加=/，加=等，

M—m=2.

故答案为：2.

变式1.(2024・江苏•高三专题练习)若正实数满足(2孙-iy=(5y+2)(y-2),则了+[

的最大值为.

【答案】--1

2

【解析】令x+七=，，。>°),则(2孙-l)2=(2*-2)£=(5y+2)(y-2),即

(4/2-5)y2+(8-8r)y+8=0,因此

A=(8—&7-32(4/-5)>0-2产+4—7M0,解得：0<?<-1+^,当r=-l+挛时,

22

4?—46\/2—835—24A/2m.］附目./土3y/2,

y=2=^>°，%=7=>0,因止匕%~的取大值为-----1

4』-517-12近12亚-162y2

故答案为：竽」

变式2.（2024•全国•高三专题练习）选a,beR,2>0,若/+劝？=4,且a+匕的最大

值是石,贝（I彳=

【答案】4

a+b=dcc

【解析】令a+b=d,由Y+加=4消去。得：（/+加=4,即

(A+Y)b~—2db+d~—4=0,

而6eR,A>0,贝ijA=(24)2-4(4+Did?-4)20,42V4(2+1)

A.

-2产）々Z+l

~T~

依题意q答=&,解得a=4.

故答案为：4

题型三：基本不等式法

例7.设x、y、z是不全是0的实数.则三元函数/（x,y,z）=/U的最大值是.

x+y+z

【答案噌

【解析】引入正参数限「1.

222

因为%入2+>2.2丸孙，juy+z..2juyz,所以,

2212N2、'2

孙"万苫+方、,薛，v+市

29^+2217

两式相加得孙+yz,,—x+V+——Z

2〃

人41〃1/口L1

令万=五+，=而，侍彳=忘，〃=&

故孙+W,x2+y2+z2).

因此，〃x,y,z）=x2；y2；z2的最大值为岑

例8.（2024・天津和平・高三耀华中学校考阶段练习）若实数阳〉满足2/+盯-9=1,则

x—2y

的最大值为

5x2-2xy+2y2

【答案】正

4

【解析】由2/+孙一/=1,得(2x-y)(x+y)=l,

设2x—y=/,兀+y=—,其中，wO.

11211

则x=-t-\——,y=-------1从而x—2y="5%2—2xy+2y2=/H——,

33t3t3

、1_x-2yu

记"二'一7’则5V+2/=/^，

不妨设〃>0,则224,

M+—2Jwx—

\u

当且仅当"=2,即"=五时取等号，即最大值为巫.

u4

故答案为：叵.

4

nn+nc

例9.（2024・全国•高三专题练习）已知正数a,b,c,则一；,的最大值为_________

GeZI及2IY

【答案】逅

4

ab+bc

【解析】2a2+b2+c2（当且仅

当缶=旦，%=

33

ab+bc的最大值为手

'2/+/+。2

故答案为：手

题型四：辅助角公式法

例10.（2024.江苏苏州.高三统考开学考试）设角a、夕均为锐角，则

sina+sin月+cos(a+万)的范围是

【答案】

【解析】因为角。、夕均为锐角，所以5皿。,以）5%5皿尸,35月的范围均为（0,1）,

所以sin(°+/?)=sinacosp+cosasin/<sina+sin4,

所以sina+sin/?+cos(a+〃)>sin(a+/)+cos(a+尸)=V^sin1a+,+巳

因为Ova〈工,0＜尸＜乌，乙＜1+,+二＜生,

22444

收1

所以夜sin|a+尸+：）＞0x----=1,

2

sina+sin/?+cos(a+/?)=sina+sin£+cosacos4一sinasin0

=(l-sin/?)sina+cosacos尸+sin°<J(l-sin砰+cos2〃+sin/?

=^2(l-sin+sin/?,

当且仅当。一sin0cosa=sinacos〃时取等，

令Ql-sin0=t,/£(0,1),sin尸=1一〃，

/r-*\2

所以=j2(l-sin月)+sin/="+l—产=」

I2J22

则sina+sin力+cos(a+0的范围是：[ig.

故答案为：[1]

例11.y=cos(a+/?)+cosa-cos#一1的取值范围是

【答案】[T-]

2

[解析】y=cosacos分一sinasin0+cosa-cosf3-\

=(cos/?+l)cosa—(sinp)sina—(cos/?+l)

=J(cos尸+1)?+sin2/3sin(6Z+夕)一(cos6+1)

=42+2cosPsin(cr+°)-(cosJ3+1)

因为sin(a+o)£[-1,1]，

所以-,2+2cos[3-(cos0+1)效*,2+2cos°-(cos/+1),

令,=也+cos0,贝1J/£[0,5/2],

贝！J—/效/，

-4,（当且仅当％=0即cos/=1时取等）;

（当且仅当r=¥即cos£=-g时取等）.

故y的取值范围为［-4,，.

题型五：柯西不等式法

例12.（2024.广西钦州.高二统考期末）己知实数对,b^R,（i=l,2…，心,且满足

a；+a；++%=1,厅+b；++b：=1,贝!|%伉+的4++。也最大值为（）

A.1B.2C.n也D.2\[n

【答案】A

【解析】根据柯西不等式，(a；+城+L+a；)(6；+6；+L+b^>(a^+a2b2+L+anbn),故

axbx+a2b2++anbn<l,又当q=々=%=%=…=凡=2=；时等号成立，故

7rl

砧+a2b2++anbn最大值为1

故选：A

例13.(2024•陕西渭南•高二校考阶段练习)已知x,y,z是正实数，且无+y+z=5,则

x2+2y2+z2的最小值为.

【答案】10

【解析】由柯西不等式可得(-+2y2+z2)/+(9)+FN(x+y+z)2,

2

所以g(d+2y2+z?”25,即/+2y2+z>10,

x6yz

当且仅当7—1-7即x=2y=z也即尤=2,y=l,z=2时取得等号，

正

故答案为：10

例14.(2024.江苏淮安•高二校联考期中)已知Y+y2+z2=l,。+36+人=16，则

(x-a)2+(y-£>)2+(z-c)2的最小值为.

【答案】9

[解析]Va+3b+屈c=16</+32+(6)2yja1+b2+c~=47«2+b2+c2

______abc

・・・>4,当且仅当,=§=能时等号成立,即。=11=3,。=述，

V(%—«)2+(y—Z?)2+(z—<?)2=1-2(w+勿+cz)+〃+Z72+c2

>1-2dx2+/+z「+〃+。'+q2+=]_2y]a2+b2+c2+tz2+Z72+c2

abc

=Z"+/+。2-1)>9当且仅当一=—=一时等号成立，Wx=-,y=-,z=^

xyz4'44

故答案为：9

变式3.(2024•全国•高三竞赛)已知次、,、z-,且s=而i+万两+石T3,

/=Jx+l+"y+l+Jz+1,则一一』的最小值为.

A.3A/5B.4AA0

C.36D.45

【答案】C

【解析】由s+3=(Jx+2+Jx+1)+(Jy+5+Jy+1)+(Jz+10+Jz+1),

149

s—t-—--_|—._|—_

A/无+1+Jx+2Jy+1+Jy+5Jz+1+Jz+10

知52-2=(S+"(ST)N(1+2+3)2=36.

当Jx+1+Jx+2=;“y+l+Jy+5)=§(jz+l+Jz+10)时,取得最小值36.

故答案为C

变式4.(2024•全国•高三竞赛)设a、b、c、d为实数，且片+62+°2一屋+4=0.则

3a+26+C—4同的最大值等于.

A.&B.0C.-72D.一2忘

【答案】D

【解析】由题意得/+/+。2+22=1,所以

42d2^(a2+b2+c2+22)32+22+12+(72)22(3a+2b+c+2忘了(利用柯西不等式).

从而，41d以3a+2b+c+2&|>3a+2b+c+2y/2.

故3O+26+C-4|MV-20.

当且仅当a=3>/2，b=2-\/2，c=>/2,d=±4-\/2时，等号成立.

题型六：权方和不等式法

例15.(2024・甘肃.高三校联考)已知%>0,y>0,且;;----+7=1,则x+2y的最小值为

2x+yy+1

【答案】A/3+-

【解析】设x+2y=4(2x+y)+%(y+l)+f,

133

可解得4=5,4=T，=—5，

,133

从而x+2y=—(2x+y)+—(^+1)--

；11

=(2x+y)+|(y+l)----+----..A/3+-,

2x+yy+122

当且仅当T+f“事时取等号.

故答案为：A/3+—.

7i

例16.已知实数满足尤>y>0且尤+y=1,则一二——I--------的最小值是

尤+3yx-y

3+2也

【答案】

-2-

21(&+1)3+20

【解析】----1----N------=-----

x+3yx-y2x+2y2

当"1r工时，.夜=：应取等号-

2h2

例17.已知〃>1)>1,则+―的最小值是

b-1a-1

【答案】8

a2b2(“+6)2_(f+2『4

【解析】a-\-b—2=t>0j=t+-+4>8.

h—1ci—1a+b—2tt

a+b—2=2

当〃_匕时，即Q=2力=2,两个等号同时成立.

、Z7-1a-1

变式5.己知x,y>0/+还=1,则乒了的最小值是

【答案】30

333

【解析】1」+迪=P22(1+2尸36

---r+—>—

%y

优F92(尤z+yz2

12

x2y2

即当二时,即x=3,y=3&，有收+J?的最小值为3乖>.

12V2।

—+------=1

%y

题型七：拉格朗日乘数法

例18.元>0,y>0，孙+x+y=17,求兀+2丁+3的最小值.

【解析】令F(x,y,A)=x+2y+3-2(xy+尤+y-17)

rf

Fx=1-Ay-A=0,Fy=2-Ax-A=0,F/=-(xy+x+y)+17=0,

联立解得尤=5,y=29X=故x+2y+3最小为12.

例19.设为实数，若4炉+/+孙=i,则2x+y的最大值是

【答案】—

5

【解析1令£=2%+>+4(4尤2+丁+盯_]),

4=2+82%—32y=0x=±--

10

由v&=,解得<

1+2Xy—34%=0工员

22

LA=4x+y+xy-l=0y=±-r-

附曰4古曰c而M2而

所以2x+y的取大值是---1——=---.

题型八：三角换元法

例20.(2024•山西晋中•高三祁县中学校考阶段练习)已知函数/(%)=-3工3一3工+3-'-3'+3,

若/(3。2)+/(/_1)=6,则6/1+廿的最大值是

【答案】昱

3

【解析】设g(x)=f(x)・3,所以g(x)=一3/_3%+3一、一3尤,

所以g(-%)=—3(—x)3+3x+3"-3",g(―x)+g(x)=0,

所以g(-x)=-g(x),所以函数g(x)是奇函数，

由题得，(%)=-9/一3-3-"In3-3、In3<0,

所以函数g(x)是减函数，

因为/(3/)+/e2_1)=6,

所以/(3叫一3+/仅2_1)_3=0,

所以g(3Y)+g,2-1)=0,

所以g(3/)=g(l,2),所以3a2=I_62,..3/+〃=1,设a=#cosa6=sin。，

不妨设cos。>0,

所以ajl+b，=y-cosOjl+sin?。=f/(l+sii?⑶芯6=/Jq+sir？0)(1-sir?ff)

=。一釜,所以的最大值为

故答案为走

3

例21.(2024•浙江温州•高一校联考竞赛)2x2+xy+y2^l,贝U+孙+2丁的最小值为

【答案】一

2cos0cos0

【解析】根据条件等式可设x=q^，y=sin。-,，代入所求式子，利用二倍角公式

和辅助角公式化简，根据三角函数的性质可求出最值.2x2+xy+y2=1,则

7/r2

—+—+xy+/=l,即

44

、「JlxXE2cos8•八cos6

设^—=cos6,]+y=sin6,则冗=币,y=sin8---j=-

生智。-cos®

X2+xy+2y2=-sin+2sin^-

w

4cos202sin。cos。

+2sin26>

7

4「1+cos2。sin20

+1-cos20

7<2)47

_159

sin20——cos28+—

一一正77

=4fsin（26+0）+[,其中夕是辅助角，且tane=\^

当sin（28+9）=-l时，原式取得最小值为-41+9.

故答案为：T-+9

7

题型九：构造齐次式

2xy孙

例22.（2024・江苏•高一专题练习）已知%>0,?>0,则x2+8/+x2+2y亍的最大值是

【答案】I

3(2

2xy3x)+12孙3

【解析】由题意,yx

x2,+8y2/+2y?x4+10x2y2+I6J74-^-^216(

+10

yX

2

+)4人)+

土十”

y%yx

y%

^t=-+~,则］=土+曳22/=生=4,当且仅当土=生，即x=2y取等号,

yxyx\yxyx

2

又由〉=/+*在［4,+8）上单调递增，

t

2929

所以y=/+±的最小值为《，BP/+->J,

t2t2

----------------<-----=—

所以（2+竺）+：,+23，

yx£4yt

yx

所以意力二手的最大值是g.

故答案为：g.

例23.（2024•河南•高三信阳高中校联考阶段练习）已知实数〃,6>。，若。+»=1,则

3a1,,,、

丁+二的A最E3小值为（）

bab

A.12B.2石C.6用D.8

【答案】A

【解析】由、+乙，a+2b=l,a,b>0,

bab

所以即+_1=卫+("+2”

babbab

3aa2+4ab+4Z?2

=——+-------------

bab

3aa.4b

=——+—+4+——

bba

4。4b八c4a4b..

——+——+4>2'---------+4=8o+4=1i2n

baba

当且仅当4芋/7=4竺h=。=6=I:时，取等号,

ba3

所以1"^—^的最小值为：12,

bab

故选：A.

例24.(2024•天津南开♦高三统考期中)已知正实数〃，b,。满足2向+9/-°=0,则

—的最大值为.

c

【答案】J/0.25

4

【解析】a2-2ab+9b2-c=0,^c=a2-2ab+9b2,

)•正实数。，b,c

ab_ab_1

22

贝U~-a-2ab+9b-£+%_2

ba

则4+也2

ba

a9b

当且仅当7=—，且〃，b>0,即〃=3b时，等号成立

ba

a9b-/八

—+-----2>4>0

ba

-------------<—

则〃9b4

—i......-z

ba

所以，艺的最大值为，

c4

故答案为：—■

4

题型十：数形结合法

例25.(2024・全国•高三专题练习)函数〃制=卜2(a,beR)在区间［0,c］

(c>0)上的最大值为则当M取最小值2时，a+b+c=

【答案】2

【解析】解法一：因为函数y=Y+ax+6是二次函数,

所以/⑺二9+双+4(a,beR)在区间［0,c］(c>0)上的最大值是在［0,c］的端点取

到或者在x=-|处取得.

若在x=0取得，则6=±2；若在取得，则匕-(=2；

若在尤=c取得，贝U|c~+。。+闿=2；

进一步，若6=2,则顶点处的函数值不为2,应为0,符合题意；

若匕=-2,则顶点处的函数值的绝对值大于2,不合题意；

2

由止匕推断b=幺，即有6=2,a+c=0,

4

于是有a+b+c-2.

解法二：设g(x)=%2,h(x)=-ax-b,则〃x)=|g(x)-〃(x)|.

首先作出g(无)=d在xe［0,c］时的图象，显然经过(0,0)和卜,的直线为4(力=5

该曲线在［0,c］上单调递增；

其次在g(x)=f图象上找出一条和九(x)=cx平行的切线，

不妨设切点为(玉,%)，于是求导得到数量关系2%=c.

结合点斜式知该切线方程为饱(x)=ex-。.

因止匕=即得c=4.此时〃(x)=cx—号，

gp/z(x)=4x-2,那么a=-4,b=2.从而有a+Z?+c=2.

xlnx,x>0

例26.(2024•江苏扬州•高三阶段练习)已知函数〃%)=2x+4e,x40'右再且

f(Xl)=f(X2)则后-％|的最大值为()

A.2e—B.2e+lC.\/5eD.—e

e2

【答案】D

【解析】当尤>0时，/(x)=xlnx,

求导/'(x)=lnx+l,令八尤)=0,得尤=’

e

当时,r(x)<0,“X)单调递减；当xe%+8)时,/^x)>0,〃尤)单调递

增；

作分段函数图象如下所示:

设点A的横坐标为不，过点A作y轴的垂线交函数y=/（尤）于另一点3,设点3的横坐标

为巧，并过点8作直线y=2x+4e的平行线/,设点A到直线/的距离为d,

由图形可知，当直线/与曲线y=相切时，d取最大值，

令广⑺=lnx+l=2,得工=6,切点坐标为（e,e）,

此时，辰,

故选：D

xInxx〉0

例27.（2024•全国•高三专题练习）已知函数〃尤）=/,若x产甚且

IX\1,X_U

则上-引的最大值为（）

A.20B.2C.72D.1

【答案】B

【解析】设点A的横坐标为4，过点A作＞轴的垂线交函数y=/（x）于另一点B,设点B

的横坐标为了2,并过点3作直线y=*+i的平行线/,设点A到直线/的距离为d,计算出直

线/的倾斜角为?，可得出人-%|=国，于是当直线/与曲线y=xlnx相切时，d取最大

值，从而上一百取到最大值.当x>0时，/(x)=xlnx,

求导/'(x)=lnx+l,令/'(x)=0,得尤=:

当xe(0,1时，尸(力<0,单调递减;当xe时，制x)>0,单调递

增；

如下图所示：

设点A的横坐标为玉，过点A作丫轴的垂线交函数>=/(尤)于另一点B,设点3的横坐标

为巧，并过点3作直线>=*+1的平行线/，设点A到直线/的距离为d,归-司=国，

由图形可知，当直线，与曲线V=xlnx相切时，d取最大值，

令/'(x)=lnx+l=l,得x=l,切点坐标为(1,0),

止匕时，d—『——,「.卜]—91x=xJ2=2,

1n1max

故选：B.

JQ0<X<]

变式6.(2024・江苏•高三专题练习)已知函数〃x)=’若存在实数小巧

满足04E〈入242,且/(%)=/(工2)，则尤2-玉的最大值为()

ee

A.—B.—1C.1—In2D.2—In4

22

【答案】B

x,O<x<l,

【解析】〃x）=的图象如下

ln（2x）,l<x<2

存在实数4，巧满足。<玉<X2<2,且〃％）=〃工2），即石=ln（2w）

x2e^1,^-,则/Tn。%）

令g（x）=%—ln（2x）,,贝必，（力=^>

g（x）在“微上单调递增,故gGL”=g[j=]T

故选：B

题型十一：向量法

例28.（2024•江苏南通・高一海安高级中学校考阶段练习）17世纪法国数学家费马在给朋友

的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三

角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在，ABC中，若三个内角均小于120。，则当点

P满足？APB2Ape?BPC120?时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点尸被

人们称为费马点.根据以上知识，已知。为平面内任意一个向量，b和c是平面内两个互

相垂直的向量，且|=2,|c|=3,则I。-b|++6|+-c|的最小值是

【答案】3+26

【解析】以）为x轴，c为y轴，建立直角坐标系如下图，设a=（尤,y）

则b=(2,0),c=(0,3),

22

|a-c|=J尤2+(y—3)2,卜-q=J(x_2『+y2,卜+6卜^(x+2)+y,

.•.卜一4+,一N+|a+H即为平面内一点(x,y)至1］(0,3),(2,0),(-2,0)三点的距离之和，

由费马点知：当点P(尤,y)与三顶点A(0,3),3(-2,0),C(2,0)构成的三角形ABC为费马点

时,一d+,一q+卜最小，

将三角形ABC放在坐标系中如下图：

现在先证明ABC的三个内角均小于120。：

\AB\=\BC\=A/22+32=V13,|BC|=4,cosNBAC」"同=£>0，

|AB|2+|BC2-ACl21

cosZABC=cosZACB=J_L_J----------L=>0,

2\AB\.BC岳

：.ABC为锐角三角形，满足产生费马点的条件，又因为一ABC是等腰三角形，

点P必定在底边8C的对称轴上，即y轴上，ZBPC=nO°,:.APCB=3Qi,

|PO|=|OC|.tanZPCB=2x,即尸［誓］,

现在验证/BPA=120°：

cosZBPA=lgPl~AB\=-1,...ZBPA=nQ）,同理可证得/CPA=120°,

2\BP\.AP2

即此时点竽）是费马点，到三个顶点4B,C的距离之和为

|BP|+|CP|+|AP|=2x-^=+3—=3+2-\/3,即卜一4+卜一+,的最小值为

3+2〃；

故答案为：3+2^3.

例29.（2024•浙江嘉兴・高一统考期末）已知平面向量”，b，c满足忖=1，恸=2,

\a^=a-b,c.（c-j）=0,则Ic-af+ic->『的最小值为.

【答案】—~^3

【解析】令OA=a，OB=b，OC=C，。8中点为。，OO中点为尸，E为AB的中点,

由|〃|二1,\b\=2,\af=a-b,得l=lx2xcos<a,Z?>,

则cos<>=—，<a,b>=600即ZAOB=：60。，所以

2

卜+『一2x2xlx；=G所以

AB=7OA2+OB2-2,OAOBcosZAOB=1

AO-+AB-=OB-,即NQ4B=90°,ZA130=30。，所以

回《回二鼻旦也="因寸

EF=VSF2+BE2-2BF-BEcosZABO=

yUJ（2J2222

c-(c-1)=0,所以"]℃—0"=0即OC（OC_Q0）=O,所以OCDC=0,

所以点c的轨迹为以0。为直径的圆，

2(|c-a|2+|C-M2)=2(|G4|2+ICBI2)

=4|CE|2+\AB\2=4\CE\2+(可

=4|CE|2+3..4(1EFl--)2+3=7-,

当且仅当C、E、E共线且C在线段跖之间时取等号.

Ic-a|2+|c-i>|2的最小值为彳—6.

2

例30.(2024・湖北武汉.高一湖北省武昌实验中学校联考期末)已知向量a,b满足

(a+b”=0,卜+4可=4,则k+可+忖的