2024学年上海市某中学高二数学第一学期期中试卷（附答案解析）

2024学年第一学期上海市曹杨中学高二数学期中试卷

总分：150分考试时间：120分钟

一、填空题（本大题共12小题，1〜6每题4分，7〜12每题5分，共54分）

1.已知z=2+i（其中i为虚数单位）,贝!|z=.

2.已知则/"）=.

3.函数V=tan2x的最小正周期为.

4已知向量”（'）,（，），且。”b,则—.

5.已知复数4=1+1?2=1（其中i为虚数单位），则上上卜.

6.若圆柱的轴截面面积为8,则它的侧面积为.

7.函数/（"）="在x=l处的切线方程为.

8.已知圆锥的母线长为4,底面直径28=4,则沿着侧面从点A到点8的距离最小值是.

p）4

cos---a=——

9.已知12）5,贝］jcos2a=.

10.已知尸是边长为2的正六边形/BCD所上或其内部的一点，则Q•在的取值范围为

11.如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形N8C,将剩余部分绕着直径N8所在直线旋

转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为.

a+2）---F2a<0

12.已知关于x的不等式e2*e*恰有两个正整数解，则实数。的取值范围是

二、选择题（本题满分18分，13、14每小题满分4分，15、16每小题满分5分）

_71

13.已知复数z=Qsma—D+i(i为虚数单位)，贝『，z为纯虚数，，是“0%，，的().

A,充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

14.设，"、〃是两条不同的直线，冬夕是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为()

A.若加〃则加〃〃

B.若加_La,〃_La,则加〃〃

C.若加〃a.m//0,则0〃P

D.若加_La,a_L，，则加||夕

15.如图，在直三棱柱Z5C-的棱所在的直线中，与直线为异面直线的条数为()

A.1B.2C.3D.4

16.已知函数y=/(x)的导函数/'(')的图像如图所示，则下列结论中正确的是()

A.函数歹=/(x)在区间(-3,3)内有三个零点

B.函数久二一1是函数y=/(%)的一个极值点

C.曲线丁=/(x)在点(-2,八-2)逸的切线斜率小于零

D.函数丁=/(%)在区间(-1,1)上是严格减函数

三、解答题(本大题共5题，满分78分)

2

17.已知向量5=(21)，b=(-l,/n).

(1)若1与3的夹角为135°，求实数加的值；

(2)若)工卜-B),求向量及在向量行上的投影向量坐标.

18.如图，在正四棱柱48co—4B1G3中，AB=2,AA[=3.

By.-------__C,

/I

(1)求与底面48CD所成角;

(2)求点/到平面4台。的距离.

19.已知V48c的内角48,C的对边分别为“c,已知a=3,6=2c.

(1)若/=7，求V/8C的面积；

(2)若2sinB-sinC=1,求sin”.

20.如图，尸/,平面48C,48为圆。的直径，E,E分别为棱PC,P2的中点.

(1)证明：EE//平面45C；

(2)证明：平面EE4L平面R4C；

(3)若PA=4B=4,AC=2,求二面角E—28—C的大小.

21.解答下列问题：

x

(1)求函数/(》)=。e(》＞0)的极小值；

(2)若/eR,函数〃(x)=xe“—比为R上严格增函数，求实数/的取值范围;

(3)已知g(x)=a]—Iwcj--

xe(0,+8),且〉=g(x)只有一个极大值点，求实数。的取值范围.

3

上海市曹杨中学2024学年第一学期

高二数学期中试卷

总分：150分考试时间：120分钟

一、填空题(本大题共12小题，1〜6每题4分，7~12每题5分，共54分)

1.已知z=2+i(其中i为虚数单位)，贝!|z=.

【答案】2-i##-i+2

【解析】

【分析】根据已知条件，利用共轨复数的概念，即可求解.

【详解】因z=2+i，所以［=2—i-

故答案为：2-i

2.已知/(x)=/,则/'⑴=.

【答案】4

【解析】

【分析】求导代值即可.

【详解】/,(x)=4x3,.-./,(1)=4.

故答案为：4.

3.函数y=tan2x的最小正周期为.

JT

【答案】-

2

【解析】

71

【分析】利用l求出最小正周期.

7T

【详解】y=tan2x的最小正周期为万.

JT

故答案为：一

2

4.已知向量方=(3,4),b=(m,2),且万/区，则冽=.

3

【答案】-##1.5

2

【解析】

4

【分析】根据向量平行的充要条件列方程即可求解.

【详解】若向量方=(3,4),B=且彳/区，则当且仅当4切=2x3=7"=—.

3

故答案为：一.

2

5.已知复数4=l+i,z2=i(其中i为虚数单位)，则上刊二.

【答案】V2

【解析】

【分析】由复数乘法以及模的计算公式即可求解.

【详解】匕论|=|(l+i)i卜|-l+i|=J(一I?+1=6.

故答案为：V2-

6.若圆柱的轴截面面积为8,则它的侧面积为____.

【答案】8兀

【解析】

【分析】设圆柱的底面半径为「，母线为/,由于圆柱的轴截面面积计算即可.

【详解】设圆柱的底面半径为厂，母线为/,

由于圆柱的轴截面面积为8,所以2〃=8,

所以它的侧面积为2m"=8TI.

故答案为：8兀

7.函数/(x)=优在x=l处的切线方程为.

【答案】V=ex

【解析】

【分析】先求得导函数及切点坐标，由点斜式方程的求法即可得切线方程.

【详解】f(x)=ex,当x=l时切点为(l,e),

且fr(x)=ex,则由导数几何意义可知k=fr(l)=e

由点斜式可得＞=e(x—l)+e,即^==，

故答案为：V=ex.

【点睛】本题考查了导数的几何意义，曲线上一点的切线方程求法，属于基础题.

5

8.已知圆锥的母线长为4,底面直径48=4,则沿着侧面从点A到点3的距离最小值是.

【答案】472-

【解析】

【分析】将其侧面展开，通过计算得到侧面展开图为半圆，根据图形可得最短距离.

【详解】考虑圆锥的侧面展开图，

由题意可知圆锥的母线长为4,底面直径为4,则半径厂=2,

所以底面圆的周长为4兀，

4兀

所以圆锥的侧面展开图是半径为4,圆心角为——二兀的扇形，即半径为4的半圆，

4

如图所示：

在直角三角形PZ8中，AP=BP=4,所以/5=4后，

所以沿着侧面从点A到点B的距离最小值为4血.

故答案为：472.

9.已知cos[事-a]=-g,则cos2a=.

7

【答案】——##-0.28

25

【解析】

【分析】利用诱导公式求出sina的值，再利用二倍角的余弦公式可求得结果.

（乃）.47

【详角军】cosa\=sma=——,因此，cos2a=l-2sin9a=----.

12J525

_,7

故答案为：----.

25

10.已知尸是边长为2的正六边形/5CDE/上或其内部的一点，则万.万的取值范围为

【答案】[—2,6]

【解析】

6

【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，设出点P的坐标，利用数量积的坐标运算求解.

【详解】在正六边形48CDE9中，以点A为原点，AB,/£所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐

标系，如图，

因为/3=2,则2（0,0）,8（2,0）,。（3,6）,£»（2,26）,£（0,26）,尸（-1,,

设尸（x,y）,由题意可知，一l4x<3,0<y<26，

所以不=（x,y）,方=（2,0）,则9=2xe[-2,6]，

故答案为：[-2,6]

11.如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形4BC,将剩余部分绕着直径48所在直线旋

转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为.

【分析】在三角形中作于点，求得圆锥的底面半径和高，计算出球体和圆锥体积即可求得结果.

【详解】由题，V48c为等腰直角三角形，作于点。，如图，

则VABC绕着直径AB所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥AO和BO,

7

由半径为2可得圆锥底面圆半径为。。=2,圆锥的高为2,

则圆锥49的体积为匕=-7rx22x2=-7i,

432

半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为J/=-7lx23=y7l,

因此剩余部分所形成的几何体的体积为厂=%-2匕=与兀.

故答案为：--71.

3

42

12.已知关于x的不等式（a+2）L+2a<0恰有两个正整数解，则实数。的取值范围是.

e2x\）e

「19、

【答案】"

Lee；

【解析】

2

【分析】令/=/（x）=1,利用导数求出函数/（X）的单调区间，则不等式变为关于力的不等式

e

2

t2~（a+2）t+2a<Q,再分a=2,a>2和a<2三种情况讨论，结合函数=j的单调性即可得出

e

答案.

【详解】令/=/（%）=",则小）「（：了）,

当x<0或x>2时，/，（%）<0,当0<x<2时，/，（%）>0,

所以函数/（x）在（-叱。）和（2,+8）上递减，在（0,2）上递增，

4

/（0）=0,/（2）=-）

当Xf-oo时，/（X）—+8,当Xf+oo时，/（X）—0,

不等式变为关于t的不等式『—（Q+2"+2。<0,

若Q=2,则不等式无解，

Y2

若2时，则2<，<Q,即2<—<a，

止匕时x<0,与题意矛盾，

8

x

若a<2时，则Q<，<2,即Q<—<2,

e》

r24

因为X为正整数，且当x>0时，—

exe2

Y2

所以二<2恒成立，

e%

Y2

则关于X的不等式^z<—恰有两个正整数解，

e》

2

由函数/（切=・在（2,+8）上递减，在（0,2）上递增，

ex

且/⑴=：，/⑶=三〉/（1），/（4）（</（1）,

eee

可得/（l）〈a</（3），

nn「19、

即a£一，二~•

Lee；

一，「19、

故答案为：~9~3•

【点睛】本题考查了利用导数解决不等式问题，考查了分类讨论思想和转化思想，有一定的难度.

二、选择题（本题满分18分，13、14每小题满分4分，15、16每小题满分5分）

13.已知复数z=（2sina—l）+i（i为虚数单位），贝广z为纯虚数”是“a=四”的（）.

6

A,充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】由复数z=（2sina—l）+i为纯虚数，求出a,判断即可.

【详解】复数z=（2sina—l）+i为纯虚数，贝ij2sina—1=0,

兀571

解得a=—+2后I,左£Z,或a=---F2kji,keZf

66

7TTT

所以若2为纯虚数不一定得到a=—,但是由a二一一定能得到2为纯虚数，

66

9

jr

故"z为纯虚数”是“a=―”的必要非充分条件，

6

故选：B

14.设加、〃是两条不同的直线，久仅是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（）

A.若加〃a,n//a,则加〃〃

B.若加a,则

C,若加〃a,加〃/3,则a//(3

D,若加_La,a_L，，则加||万

【答案】B

【解析】

【分析】在正方体中取直线和平面可排除ACD,由线面垂直的性质可得B正确.

【详解】在正方体48CD-EEG/f中，记底面ABCZ）为a,EF为m,EH为n,显然A不正确；记底面

ABCD为a,EF为m,平面为乃，故排除C；记底面/BCD为a,BF为m,平面■为万，可

排除D；由线面垂直的性质可知B正确.

15.如图，在直三棱柱A8C-44cl的棱所在的直线中，与直线8G为异面直线的条数为（）

A.1B.2C.3D.4

10

【答案】c

【解析】

【分析】根据异面直线的概念分析即可求出所有符合条件的棱，进而得到结果.

【详解】与直线3。成异面直线的有4片,ZC,共3条，

故选：C.

16.已知函数＞=/(x)的导函数/'(x)的图像如图所示，则下列结论中正确的是()

A.函数歹=/(幻在区间(-3,3)内有三个零点

B.函数％=-1是函数y=/(x)的一个极值点

C.曲线＞=/(x)在点(-2,{-2))处的切线斜率小于零

D.函数＞=/(x)在区间(-1,1)上是严格减函数

【答案】D

【解析】

【分析】根据导函数的图象，可判断原函数的单调性，进而可逐一求解.

【详解】在(-3,-2)单调递增，在(-2,3)单调递减，故在区间(-3,3)内至多有两个零点，A错

误；

在x=-1的左右两侧/'(x)＜0,故x=-l不是极值点，故B错误；

根据/'(X)图像可知/'(-2)=0,故y=/(x)在点(-2,〃-2))处的切线斜率等于零，c错误；

/'(x)＜0在(一1,1)恒成立，故/(x)在区间(T,D上是严格减函数，故D正确.

故选：D

三、解答题(本大题共5题，满分78分)

17.已知向量5=(21)，b

(1)若2与3的夹角为135°，求实数加的值;

11

（2）^aL（a-b\,求向量）在向量3上的投影向量坐标.

【答案】（1）—3或1；

3

【解析】

【分析】（1）根据数量积的定义和坐标运算即可求得加；

（2）根据£，（£-拉求得掰=7,再根据投影向量的定义即可求得.

【小问1详解】

因为2=（2,1）/=（—1,加），则万.'=加一2，卜|=，W=Jl+m~，

若［与否的夹角为135°，则由晨5=|a||6|cosl350,

_____61

可得：m—2—V5xvl+w2x（-----）（m<2），解的：加=—3或加=Q,

2J

则实数机的取值为-3或』.

3

【小问2详解】

a-b=（3,1-m）,因为Q_L（Q—%）,则5・（N-B）=2X3+1—加=0,

则加=7,可得：3=（-1,7），a-b=7-2=5,|^|=Vl+72=5A/2,

a-b-1-17

则［在3方向上的投影向量为：w'=（一历，石）.

18.如图，在正四棱柱48co—中，48=2,441=3.

（1）求//与底面48CD所成角;

（2）求点/到平面48。的距离.

3

【答案】(1)arctan-

2

12

⑵叵

11

【解析】

【分析】(1)由线面角的定义可知N4加即为所求，在/中利用三角函数进行求解.

(2)在三棱锥4-48。中，利用等体积法求点/到平面48。的距离.

【小问1详解】

由题意得，48与底面N8CD所成角为N4B/,在氏〃4氏4中，

AA33

tanN4B4—---——,N4B4—arctan—,

1AB212

,3

故AXB与底面ABCD所成角为arctan-.

【小问2详解】

V四棱柱ABCD-481GA为正四棱柱，

AB—AD-2,

A&=AQ=砂+3?=5，BD=V22+22=272-

设点A到平面A.BD的距离为d,则：SAABD-AAX=S”-d，

即1223=、2亚-J13—2",解得：d=3后,

2211

所以点/到平面A.BD的距离为mz.

11

19.已知VZ8C的内角4民。的对边分别为见“c,已知a=3,b=2c.

2兀

(1)若力=7，求V4BC的面积；

(2)若2sin5-sinC=1,求sin/.

【答案】(1)见I(2)4也+下或4亚-下

1499

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理解得°?的值，代入三角形面积公式即可的结果.

(2)由正弦定理得到sinB,sinC的关系，解出sin5,sinC的值，分类讨论角8是否为锐角，利用和差角

13

公式计算出sinA的值.

【小问1详解】

b2+c2-a21

cosA=

2bc2

9

7

“BC27214

【小问2详解】

Vb=2c,由正弦定理可得sinB=2sinC

1.2

,/2sin5-sinC=1,sinC=—,sin5=—,

33

Vb=2c,8可能为锐角可能为钝角，C为锐角,

cosC=71-sin2C=272

丁

当B为锐角，cosB=Vl-sin2B=

3

1V52V224V2+V5

sin4=sin[兀一(C+8)]=sin(C+8)=sinCcosB+cosCsin5=—x1x—=-------

33339

当3为钝角,cosB=-Vl-sin2B=------

2V221V54V2-V5

sinA=sin[兀一(C+5)]=sin(C+8)=sinCcosS+cosCsinS=----X-----X---=----------

33339

・•.sinZ=4亚+2/或4亚-出

99

20.如图，平面48C,48为圆。的直径，E,E分别为棱PC,的中点.

(1)证明：防//平面48C；

(2)证明：平面平面上4C；

14

（3）若E4=45=4，AC=2,求二面角E—28—C的大小.

【答案】（1）证明见解析

后

（2）证明见解析（3）arccos-----

19

【解析】

【分析】（1）利用中位线定理得到所//8C,利用线面平行的判定定理即可得证；

（2）由4B为圆。的直径，得到BC±AC,再利用线面垂直得到BC±PA,从而BC±平面PAC,结合（1）

中EFIIBC,所以EE，平面PAC,得到面面垂直.

（3）构建空间直角坐标系，根据空间向量求解二面角大小.

【小问1详解】

因为分别为棱尸。，尸8的中点，所以EF//BC,

因为斯（Z平面4BC,5Cu平面48C,

所以EE//平面ABC;

【小问2详解】

因为48为圆。的直径，所以8CLZC,

因为尸平面ABC,5Cu平面4BC,所以BC,尸4

又R4口ZC=Z,P4,ACu平面PAC,所以3CJ_平面PAC,

由（1）知ER//8C,所以EE,平面PNC,又EEu平面£石4

所以平面EFA±平面PAC.

【小问3详解】

以A为坐标原点，如图所示构建空间直角坐标系,

因为==AC=2,

15

所以4(0,0,0),8(0,4,0),尸(0,0,4),C(-73,1,0)

(JiI}

尸C中点E即为E--—,—,2,

22

\7

设面£48的法向量为〃1=(x,y,z),

,-►—►

n,•AE-0-43x+y+4z=0

则《」一，可得《

•AB-0j=0

令X=4,则y=0/=也,%=卜,0,

又面ABC的法向量可表示为0=(0,0,1),

cos/,%=々・%

V19xl19

厨

二面角E—AB—C的大小为arccos---.

19

21.解答下列问题:

求函数/(x)=0(X>0)的极小值;

(1)

X

(2)若/eR,函数〃(x)=xe一比为R上严格增函数，求实数/的取值范围;

已知S(%)=Q]—I-luxj——

(3)xe(O,+oo),且〉=g(x)只有一个极大值点,求实数。的取值范围.

X

2

【答案】(1)—e

4；

(2)(-00,-

2

e

(3)(-00,—]u

【解析】

【分析】(1)利用导数求解即可;

(2)由题意可知〃'(x)=(x+l)e*T20在R上恒成立，即/V(x+l)e、R上恒成立，设

16

x

(p(x)=(x+l)e?xeR,利用导数求出函数0(x)的最小值即可；

(3)求导得g，(x)=(x3)(a：2e，),xe(0)+ra))分<0恒成立，及办2一^=0有两实数根,

X

分别求解即可.

【小问1详解】

因为/。)=与。〉0),所以广3=生咨，

JCX

所以当XC(0,2)时，“久)<0,/(X)单调递减；

当xw(2,+8)时，/⑺>0,/(X)单调递增，

2

所以当x=2时，函数取得极小值为/(2)=\e,

2

所以函数的极小值为Je；

4

【小问2详解】

因为函数〃(x)=xe'-/x为R上严格增函数，

所以"'(x)=(x+l)e'Ti0在R上恒成立,

即/V(x+l)ex在R上恒成立，

设9(x)=(x+l)e",x£R,

贝i」9'(x)=(x+2)e”,

当工£(-8,-2)时，0'(%)<0,?(%