2025高考数学复习必刷题：常用逻辑用语

第2讲常用逻辑用语

知识梳理

一、充分条件、必要条件、充要条件

1、定义

如果命题“若p,则/'为真(记作pnq),则P是4的充分条件；同时4是P的必要条

件.

2、从逻辑推理关系上看

(1)若png且44p,则p是4的充分不必要条件；

(2)若04q且q=〃，则p是q的必要不充分条件；

(3)若夕nq且qnp,则p是q的的充要条件(也说p和夕等价)；

(4)若Q4q且44p，则。不是q的充分条件，也不是“的必要条件.

对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：pnq,则p是q的充分条

件，同时q是p的必要条件.所谓“充分”是指只要p成立，4就成立；所谓“必要”是指要使

得p成立，必须要q成立(即如果q不成立，则p肯定不成立).

二.全称量词与存在量词

(1)全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量

词，并用符号“V”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中的

任意一个x,有/X元)成立"可用符号简记为“VxeM,p(x)”,读作“对任意x属于A1,有尤)

成立”.

(2)存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个“在逻辑中通常叫做存

在量词，并用符号表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在

”中的一个毛,使p(%)成立''可用符号简记为“玉oe/,P(%)”，读作“存在M中元素加，

使0(不)成立“(存在量词命题也叫存在性命题).

三.含有一个量词的命题的否定

(1)全称量词命题p:VxeA/,p(x)的否定—p为现eM,->p(x0).

(2)存在量词命题p:6M,p(x0)的否定—f>为VxeM,—p(x).

注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.

【解题方法总结】

1、从集合与集合之间的关系上看

设A={尤|p(尤)},B={x|q(x)}.

(1)若A7JB,则p是4的充分条件(p=>q),q是p的必要条件；若则p是

q的充分不必要条件，4是p的必要不充分条件，即pnq且p；

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小n大”.

(2)若则p是q的必要条件，4是p的充分条件；

(3)若A=3,则p与q互为充要条件.

2、常见的一些词语和它的否定词如下表

原词语等于(=)大于O)小于(<)是都是任意(所有)至多有一个至多有一个

否定词语不等于小于等于大于等于不是不都是某个至少有两个一个都没有

⑺(<)(>)

(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合加中的每一个元素尤证明其

成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合川中的一个X。，使得其不成立即可，

这就是通常所说的举一个反例.

(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合对中能找到一个/使之成立

即可，否则这个存在量词命题就是假命题.

必考题型全归纳

题型一：充分条件与必要条件的判断

【解题总结】

1、要明确推出的含义，是P成立4一定成立才能叫推出而不是有可能成立.

2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集

合.

3、充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养.

例L(2024•江苏扬州・扬州中学校考模拟预测)已知向量。=(川,-9),/7=(1,-1),贝。

=-3”是的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若根=一3,贝必=（9,-9）=96,所以9/匕；

若allb，则加2x（-l）-（-9）xl=0,解得加=±3,得不出〃z=-3.

所以“相=-3”是“W/6”的充分不必要条件.

故选：A.

例2.（2024・全国•高三专题练习）已知直线平面a,则“直线a〃平面夕”是“平面a，平

面在’的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若"直线a〃平面夕”成立，设/u。，且〃/a,又平面a,所以/工平面a,又

lu/3,所以“平面C平面尸”成立；

若“平面a_1_平面夕”成立，且直线aJ_平面a,可推出a〃平面夕或。u平面夕，

所以“直线all平面P”不一定成立.

综上，“直线a〃平面夕”是“平面a，平面夕”的充分不必要条件.

故选：A.

例3.（2024•天津和平•高三天津一中校考阶段练习）“cos2a=-L^"cosa=?^（）

22

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】COS2（7=2cOS26Z-l=-—,C0S6f=±—,

22

所以“cos2c=是“cosa=1”的必要不充分条件.

22

故选：B

例4.（2024•天津南开•南开中学校考模拟预测）已知a,beR,则“。＞力”是＞叫”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】若a=0＞6,则/＞匕2不成立，若同＞Z?且a＜O=b,止匕时/推不出“＞b,

所以“。＞b”是“/＞川”的既不充分也不必要条件.

故选：D

题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围

【解题总结】

1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系.

2、在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错.

例5.（2024.山东潍坊.统考二模）若"x=a”是“sinx+cosjc＞l”的一个充分条件，则a的一

个可能值是.

【答案】:（只需满足配,2配+［（左eZ）即可）

【解析】由sinx+cosx＞l可得0sin则sin（x+3＞¥,

所以，2E+：＜x+：＜2E+,（々eZ）,解得2E〈尤＜2E+］（Z:eZ）,

因为“x=a”是“sinx+cow＞l”的一个充分条件，故a的一个可能取值为四.

4

故答案为：:（只需满足ae］2M,2E+［（左eZ）即可）.

例6.（2024.上海长宁・统考二模）若"x=l”是“x＞。”的充分条件，则实数。的取值范围为

【答案】（f,l）

【解析】"％=1"是"%＞。”的充分条件，，％=1=＞彳＞。，；.4＜1,

即实数。的取值范围为（—,1）.

故答案为：（一叫1）.

例7.（2024・全国•高三专题练习）若“x＜2”是“x＜a”的必要不充分条件，贝小的值可以是

.（写出满足条件。的一个值即可）

【答案】0（答案不唯一，满足。＜2即可）

【解析】由于“x＜2”是的必要不充分条件，所以。＜2,

所以。的值只需小于2即可.

故答案为：0（答案不唯一，满足a＜2即可）

题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假

【解题总结】

1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论.

2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可.

例8.(2024・河北•高三学业考试)设非空集合尸，。满足尸门0=尸，则下列选项正确的是

()

A.Vxe。，有无cPB.Vx比Q,有无任「

C.3xiQ,使得xePD.3xeP,使得xeQ

【答案】B

【解析】PQ=P,：.P=Q,

当P某。时，3xoeQ,使得须任P,故A错误；

P^Q,：.\/x&P,必有尤eQ,即VXEQ,必有xeP,故B正确；

由B正确，得也史。，必、有xeP,.•.改eQ,使得xeP错误，即C错误；

当八。时，不存在使得x°eQ,故D错误，

综上只有B是正确的.

故选：B.

例9.(2024・全国•高三专题练习)己知下列四个命题：①Vxe(0,+s),

xxabx

a>b,②Vxe(0,l),log.xAlog”，③王e(0,l),x>x,④*e(0,b),a>logax.

其中是真命题的有()

A.①③B.②④C.①②D.③④

【答案】C

【解析】对于①，由0<方<。<1得：£>1,Vxe(0,+oo),《=⑶'>［父°=1,则

bbxyb)\b)

ax>bx,①正确；

对于②，VXG(0,1),loga-logb=logy<log1=0,即0<log〃<log/,则

xxxbx

\ogax>\ogbx,②正确；

对于③，函数y=社(0<根<1)在(0,D上为减函数，而05vavi,贝lJ"vW,即

VxG(0,1),xa<xb9③错误;

对于④，当xw(O,b)时，^<1,logax>loga/?>logaa=l,即优<log”尤，④错误,

所以所给命题中，真命题的是①②.

故选：C

例10.(2024•贵州毕节・统考模拟预测)直线4：x+(l+a)y=l“(aeR),直线

l2:y=-^x,给出下列命题：

①ReR,使得4/4；②maeR,使得/J/?；

③VaeR,4与4都相交；④丸eR,使得原点到4的距离为2.

其中正确的是()

A.①②B.②③C.②④D.①④

【答案】C

__]___£

【解析】对于①，若〃4,贝U――1二一5,该方程组无解，①错；

l-QW0

对于②，若4,/2,则1-±}[-3=-1，解得②对；

对于③，当。=1时，直线4的方程为无+2y=o,即y=_gx,此时，人重合，③错；

对于④，直线4的方程为x+(a+l)y+。一1=0,

Id!—11

若九eR,使得原点至此的距离为2,则//-=2,整理可得3/-10a+7=0,

<1+(«+1)

A=100-4X3X7>0,方程3〃一10a+7=0有解，④对.

故选：C.

题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定

【解题总结】

1、全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论

变否定.

2、全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否.

例11.(2024•四川成都・三模)命题"VxeR,d+x-lVO”的否定是()

A.3x0GR,XQ+x0-1<0B.玉°£R,-1>0

2

C.V%eR,x+%-1>0D.3x0eR,Xg+x0-1>0

【答案】B

【解析】由题意可得，"VxeR,x?+x-14。”的否定是玉。eR,无;+%-1>。，

故选：B

例12.（2024・贵州贵阳・统考模拟预测）已知命题p：V〃eN,2"-2不是素数，贝为

（）

A.gN,2"-2是素数B.VMeN,2"-2是素数

C.V”拓N,2"-2是素数D.BneN,2"-2是素数

【答案】D

【解析】命题〃为全称量词命题，该命题的否定为可HwwN,2"-2是素数.

故选：D.

例13.（2024・四川成都•成都七中统考模拟预测）命题“有一个偶数是素数”的否定是（）

A.任意一个奇数是素数B.任意一个偶数都不是素数

C.存在一个奇数不是素数D.存在一个偶数不是素数

【答案】B

【解析】由于存在量词命题P：*€”,0（无），否定为可：VxeM「P（x）.所以命题“有一个

偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.

故选：B

题型五：根据命题的真假求参数的取值范围

【解题总结】

1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命

题，去求真命题的补级即可.

2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取

到.

例14.（2024•全国•高三专题练习）若命题Fae[―1,3],依2—（2a—l）x+3—a<0”为假命

题，则实数x的取值范围为（）

A.[-1,4]B.0,|C.[TO]|,4D.[-1,0）f1,4

【答案】C

【解析】命题F〃£[-l,3]02-(2〃-1卜+3-〃<0”为假命题，其否定为真命题，

即“VaG[-1,3],ax2_(2Q_l)x+3—a》0»为真命题.

令8(〃)=4-2ax+x+3-a=(x2-2x-l)^+x+3>0,

g"。，即-x2+3x+4>0

则

g(3)>03x2-5x>0'

-l<x<4「-

解得5Tc，所以实数尤的取值范围为[T，。]|，4.

x>-gKx<03

I3

故选：C

例15.(2024・全国•高三专题练习)已知命题〃：HxeR,x2+2x+2—a<0>若p为假命

题，则实数。的取值范围为()

A.B.[l,+oo)C.(-℃,1)D.

【答案】D

【解析】因为命题3eR,x2+2x+2—a<0，

所以F：V.xsR,x1+2x+2-a>Q,

又因为〃为假命题，所以F为真命题，

即VxeR,%2+2尤+2—。20恒成立，

所以AW0,即2z-4(2-a)40,

解得。VI,

故选：D.

例16.(2024・全国•高三专题练习)若命题尸:“3xeR,(左~-1)尤2+4(1—左)尤+3<0”是假命

题，则上的取值范围是()

A.(1,7)B.[1,7)

C.(-7,1)D.(-7,1]

【答案】B

【解析】因为命题“AeR,卜2-1)尤2+4(1-左口+340”是假命题，

所以命题“VxGR，(%?—1)炉+4。—左)％+3>0”是真命题,

若万一1=0,即左=1或。=—1,

当左=1时，不等式为3>0,恒成立，满足题意；

当上=-1时，不等式为8x+3>0,不恒成立，不满足题意;

^2-1>0

当％2-1W0时，则需要满足，，\2,/,x、7

A=16（l-^）-4x（左2~-l）x3<0

即限1/一7）3解得1<左<7,

综上所述，左的范围是[1,7）,

故选：B.

例17.（2024.全国.高三专题练习）己知命题"Vxe[l,2],2*+尤-a>0”为假命题，则实数

。的取值范围是（）

A.（-co,5]B.[6,+co）

C.（-8,3]D.[3,+co）

【答案】D

【解析】因为命题"Vxe[l,2],2，+x-a>0”为假命题，则命题的否定“九目1,2],

2&+%-0式0”为真命题,所以“2（2，+无）血」XG[1,2].

易知函数y=2,+x在[L2]上单调递增，所以当x=l时，y=2，+x取最小值，所以

o>21+1=3.所以实数。的取值范围为[3,+oo）.

故选：D.

1.（2022・天津.统考高考真题）“工为整数”是“2%+1为整数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当》为整数时，2x+l必为整数;

当2x+l为整数时，x比一定为整数，

例如当2x+l=2时，x--.

2

所以“x为整数”是“2x+1为整数”的充分不必要条件.

故选：A.

2.（2022・浙江•统考高考真题）设xeR