2025高考数学复习：平面向量的概念及线性运算

第六章平面向量、复数

第一节平面向量的概念及线性运算

课标解读考向预测

1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.预计2025年高考对本节内容的考

2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向查会以线性运算、共线向量定理为

量共线的含义.主，主要以选择题、填空题的形式

3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.出现，难度属中、低档.

必备知识——强基础

知识梳理

1.向量的有关概念

名称定义表示

向量在平面中，既有大小又有方向的量用Q,b,C,…或协，病，…表示

向量。的大小，也就是表示向量〃的

向量的模⑷或电1

有向线段M的长度（或称模）

零向量长度为0的向量用0表示

单位向量长度等于1个单位的向量用e表示，\e\=l

方向相同或相反的非零向量（或称共

平行向量a//b

线向量）

相等向量长度相等且方向相同的向量a=b

相反向量长度相等，方向相反的向量向量a的相反向量是一〃

说明：零向量的方向是不确定的、任意的.

规定：零向量与任一向量平行.

2.向量的线性运算

向量运算法则（或几何意义）运算律

/

交换律：a+b=[oi\b+a；

a

三角形法则

加法结合律：3+5)+c=|02|〃

a+—+c)

平行四边形法则

减法。一二=|"5§1。+（一力）

a

几何意义

M=W\a\,当2>0时，加的方向与a的方向画

如a)=1。71(九)〃；

相同;

数乘(1+〃)〃=108|痴+〃。；

当kO时，〃的方向与a的方向国相反;

A(a+b)=I。91痴+我

当2=0时，觞=|06|0

3.向量共线定理

向量a（中0）与B共线的充要条件是：存在唯一一个实数人使得/>=痴.

提醒：当。邦时，定理中的实数2才唯一.

常用

1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点

的向量，即昼2+而孤+笳3+...+A〃—14=福小特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的

向量和为零向量.

2.若F为线段AB的中点，。为平面内任意一点，则舁=/次+彷）.

3.若A,B,C是平面内不共线的三点，则成+可+此=0=P为AABC的重心，乖=/寿

+At）.

4.若次K彷+〃虎（九〃为常数），贝UA,B,C三点共线的充要条件是4+〃=1.

5.对于任意两个向量a,b,都有||a|一|训〃士加W|a|十|回.

诊断自测

i.概念辨析(正确的打r"，错误的打“X”)

(1)同与|臼是否相等，与a,b的方向无关.()

(2)若向量。与分同向，且间＞|臼,则”＞小()

(3)若向量屈与向量劭是共线向量，则A,B,C,。四点在一条直线上.()

(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.()

答案(1W(2)x(3)X(4)4

2.小题热身

(1)如图，D,E,尸分别是AABC各边的中点，则下列结论错误的是()

A.Ep^cb

B.防与防共线

C.初与仍是相反向量

D.施斗配

答案D

解析Ak='^AC＞故D错误.故选D.

(2)(人教B必修第二册6.2.1例3改编)设向量a,6不共线，向量；la+Z»与a+25共线，则实

数2=.

答案2

，P=2，

解析：疆+分与a+2Z＞共线，，存在实数〃使得%+Z»=〃(a+2A),：.＜1

【〃2,

(3)(人教A必修第二册6.2例6改编)已知口A8CD的对角线AC和BD交于点O,且次=a,彷

=b,则虎=,就=.(用a,8表示)

答案b——a——a——b

解析如图，加=魂=成一m=b-a,病=质一加=一温一及=-a—b.

⑷（人教A必修第二册习题6.2T10改编）若a,b满足⑷=3,但|=5,则|。+"的最大值为

，最小值为•

答案82

解析|a+b|W|a|+|Z>|=3+5=8,当且仅当a,b同向时取等号，所以|a+》|max=8.又|a+b|，||a|

-|*||=|3-5|=2,当且仅当“，♦反向时取等号,所以|a+61min=2.

考点探究——提素养

考点一平面向量的有关概念

例1（多选）下列命题中的真命题是（）

A.若⑷=|臼，则。=力

B.若A,B,C,。是不共线的四点，贝上屈=让’是"四边形ABC。为平行四边形”的充要条

件

C.若a=l）,b=c,贝!Ja=c

D.a=5的充要条件是⑷=|例且a〃〜

答案BC

解析A是假命题，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；B是真命题，,港=

故,.,.|盛|=|比|且协〃虎，又A,B,C,D是不共线的四点，四边形ABC。为平行四

边形；反之，若四边形A3。为平行四边形，贝"恭|=|虎|,屈〃反且屈，比方向相同，

因此屈=成；C是真命题，'.'a=b,.'.a,》的长度相等且方向相同，又b=c,：.b,c的长

度相等且方向相同，c的长度相等且方向相同，故“=<;；D是假命题，当a〃5且方向

相反时，即使|。|=|臼，也不能得到。=瓦故同=|臼且a〃B不是a=Z>的充要条件，而是必要

不充分条件.故选BC.

【通性通法】

平面向量有关概念的四个关注点

关注点一非零向量的平行具有传递性

关注点二共线向量即为平行向量，它们均与起点无关

关注点三向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量

关注点四言是与。同方向的单位向量

【巩固迁移】

1.（多选）下列命题正确的是（）

A.零向量是唯一没有方向的向量

B.零向量的长度等于0

C.若e〜都为非零向量，则使卷=0成立的条件是a与方反向共线

D.若a〃"b//c,则a〃c

答案BC

解析零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；由零向量的定义知，零向量的长度

为0,故B正确；因为言与令都是单位向量，所以只有当言与奈是相反向量，即“与A反向

Mll"lMl1"1

共线时才成立，故C正确；若6=0,则不共线的a,c也有a〃0,c//0,故。错误.

考点二平面向量的线性运算（多考向探究）

考向1平面向量加、减运算的几何意义

例2设尸为对角线的交点，。为平面A2C。内的任意一点，则温+彷+历+历=

（）

A.OPB.2办

C.3O>D.40>

答案D

解析由题意知，P为AC,BZ）的中点，所以在AOAC中，源=；（次+乃，即次+求=

2OP,在AOBD中，0p=j（0i+0t）,即彷+而=2海，所以云+仍+虎+防=4海.

故选D.

【通性通法】

1.平面向量的线性运算技巧

(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.

(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三

角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来.

2.三种运算法则的要点

(1)加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”.

(2)减法的三角形法则要求“共起点，连终点，指被减”.

(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算.

【巩固迁移】

2.(2024•山东青岛二中月考)若|屈|=|就|=|命一祀|=2,则|屈+病|=.

答案24

解析因为|屈|=|R|=|沿一At|=2,所以AABC是边长为2的正三角形，所以电十祀|为

△ABC的边上的高的2倍，所以|油+6|=2小.

考向2平面向量的线性运算

例3(2022•新高考I卷)在AABC中，点。在边上，BD=2DA,记国=m，cb=n,则

m=()

A.3m—2nB.-2帆+3〃

C.3加+2〃D.2m-\~3n

答案B

解析ct)=|cA+|cS,即就=-2目+3无)=-2机+3”.故选B.

【通性通法】

平面向量的线性运算的求解策略

尽可能转化到平行四边形或三角形中,

＜簧略）■选用从同一顶点出发的向量或首尾相

接的向量

充分利用三角形中位线、相似三角形

点略）对应边成比例等平面几何性质，把未

知向量转化为已知向量

【巩固迁移】

3.（2023•江苏南通二模）在平行四边形A8CQ中，就=；就，善=凝.若屈=加定+〃曲,

则m+n={）

A1B3

A.2D.4

C-6D-3

答案D

解析由题意可得显=烈+防=9+；加=凝+；（彷+成）=磋

+/（方/才方）=3方方+总方，所以机=；，"=焉，所以故选D.

考点三向量共线定理的应用（多考向探究）

考向1判定向量共线、三点共线

例4设两个非零向量a与〜不共线.若油=a+b,肉=2a+8"cb=3（a-b）,求证：A,

B,。三点共线.

证明'：A^=a+b,Bt=2a+Sb,cb=3（a~b）,：.Bb=Bt+cb=2a+Sb+3（a-b）=2a+

8%+3a—36=5（a+Z＞）=5屈，；.屈，前共线，又它们有公共点8,/.A,B,。三点共线.

【通性通法】

共线向量定理的三个应用

【巩固迁移】

4.己知产是AABC所在平面内的一点，若■=%"+彷，其中九WR,则点尸一定在（）

A.A48C的内部B.AC边所在直线上

C.A8边所在直线上D.BC边所在直线上

答案B

解析由越=九成+协，得费一彷=/i可，c>=M,则办，可为共线向量，又净,或有

一个公共点尸，所以C,P,A三点共线，即点尸在AC边所在直线上.故选B.

考向2利用向量共线定理求参数

例5若“，8是两个不共线的向量，已知词/=“一2'P^=2a+kb,0=3a—b,若M,N,

。三点共线，贝隈=（）

A.-1B.1

3

C.2D.2

答案B

解析由题意知，旗=殖—闻=a—（k+l）b,因为必N,。三点共线，所以存在实数九

使得脑丸=刀而，即a—25=4“一（左+1）切，解得；.=1,k=l.

【通性通法】

一般通过构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程

（组）即可求得相关参数的值.

【巩固迁移】

5.如图，在"BC中，比,£是8。上一点，若屈屈+何，则实数4的值为（）

A.3B.4

C.5D.6

答案B

解析由劝=%成，得4t=今」初，因为盛=蒋通十%t,所以屈=蒋话+；左」才力，因

A104Io4X

为E,B,。三点共线，所以共十安=1，解得力=4.故选B.

104Z

课时作业

基础巩固练

一、单项选择题

1.若a,》为非零向量，则端=各是％,5共线”的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析济微分别表示与。，％同方向的单位向量，启=备则有“，8共线，而a,A共线，

则裾，卷是相等向量或相反向量，所以端=粉是,，》共线”的充分不必要条件.故选B.

2.设a=（恭+历）+（就+速），5是一个非零向量，则下列结论不正确的是（）

A.a//bB.a+b—a

C.a+b=bD.\a+b\=\a\+\b\

答案B

解析由题意得，a=（⑰+&＞）+（灰*+5A）=加+或=0,且B是一个非零向量，所以a〃8

成立，所以A正确；因为〃+8=方，所以B不正确，C正确；因为|〃+臼=|例，\a\+\b\=\b\,

所以|a+"=|a|+忸所以D正确.故选B.

3.已知屈=a+5Z>,Bt=~3a+6b,cb=4a~b,贝i」（）

A.A,B,。三点共线

B.A,B,C三点共线

C.B,C,。三点共线

D.A,C,。三点共线

答案A

解析由题意得动=/+历=。+55=屈，又炭)，油有公共点B,所以A,B,D三点共

线.故选A.

4.(2024•安徽铜陵三模)在平行四边形ABCD中，〃是。边上的中点，贝U2磁=()

A.碇—2加B.就+2港

C.2就一鼐D.2祀+屈

答案C

解析因为M是平行四边形ABCD的CD边上的中点，所以CU=—弥瓦所以属=祀+CU

=祀一短，所以2M=2就一A1故选C.

5.己知向量a和〃不共线，向量融=a+〃力，Bt^5a+3b,cb^~3a+3b,若A,8,。

三点共线，则m=()

A.3B.2

C.1D.-2

答案A

解析因为A,B,。三点共线，所以存在实数九使得动=正，应)=此+历=2a+6方，

[2=2，

所以2°+65=相+冽乃，所以＜解得m=3.故选A.

[6=mA,

6.矩形ABC。的对角线相交于点。，E为AO的中点，若仍=观+融仅，〃为实数)，则

下+〃2=()

A£B1

A.&从4

C.1D.77

lo

答案A

解析Dk=Ak-At)=^At—At)=^Ah+Ab)—At)=^Ah—^Ab,.*.A=^,/z=—.*.A2+//2

195

=m+讳=6故选A-

7.正方形ABC。中，石在。。上且有&=2或，AE与对角线5。交于R则#=（）

A.B.⑰

C.^Ah+^At）D.^Ab+Ah

答案C

解析如图，・・,在正方形A3CD中，石在CD上且有段=2前，AE与对角线3。交于方，J

।EF1333

DE=^AB,且DE〃AB,.,.△DEFS^BAF,可得赤=?可得4尸=41£,屈=彳(无方

+防）=孤中+|■屈）=%&+|A力.故选c.

8.（2023•滁州模拟）已知P为AABC所在平面内一点，屈+防+反=0,|屈|=|协|=|反］=2,

则AA8C的面积为（）

A.4B.2小

C.3小D.4小

答案B

解析设BC的中点为。，AC的中点为M,连接尸。，MD,BM,如图所示，则有防+此=

2前.由显+防+反:=0,得屈=—2丽，又。为3c的中点，M为AC的中点，所以篇=一

2向,则团=司乙则P,D,M三点共线且。为PM的中点，又。为8C的中点，所以四

边形CPBM为平行四边形.又|协|=|协|=|瓦?|=2,所以|流1=|即|=2,则|就|=4,且|扁|

=|反1=2,所以AAMB为等边三角形，ZBAC=60°,贝ISAABC=；><2X4义半=2小.故选B.

二、多项选择题

9.下列式子中，结果为零向量的是（）

A.Ah+Bt+cK

B.Ah+Mi+Bb+O^[

c.ok+oh+Bb+cb

D.A^-At+Bb-Cb

答案AD

解析利用向量运算，易知A,D中的式子结果为零向量.故选AD.

10.点尸是A4BC所在平面内一点，且满足|防一无M4+前一2成=0,则AABC不可能

是（）

A.钝角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

答案AD

解析因为点尸是AABC所在平面内一点，且屈一前I—屈+无一2或1=0,所以I的一1（屋

—成）+（前一成）|=0,即|在|=|屈+送|,所以|初一证|=|祀+屈等式两边平方并化简

得企•显=0,所以就_L显，ZBAC=90°,则AABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直

角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形.故选AD.

11.（2023•安徽合肥期末）在AABC中，D,E,尸分别是边BC,CA,的中点，点G为AABC

的重心，则下列结论中正确的是（）

A.通一或=0

B.砧=（懑+痔

C.A^+Bt)+ck=0

D.G^+Gh+Gt=O

答案BCD

解析如图，对于A,防一反'=油+宿=2防运前故A错误；对于B,点G为"BC的

重心，则4左=1•才方=京；（电+加）=|■（油+加），故B正确；对于C,#+炭）+费=：（显+

B?+CA）=O,故C正确；对于D,GA=-2Gb=-2x1（G^+Gt）,故GA+访+就=0,故

D正确.故选BCD.

三、填空题

12.设向量〃，）不平行，向量觞+方与〃+2方平行，则实数2=.

答案2

解析•向量。，8不平行，.•・〃+2厚0,又向量Xzz+力与〃+2方平行，则存在唯一的实数〃，

f%=〃51

使筋+8=〃（〃+2万）成立，即,+万=〃0+2独，贝N解得％=〃=5.

[1=2〃，2

13.已知O,E,尸分别为△A5C的边3C,CA,A5的中点，且炭1=〃，0=b,给出下列命

题：①A2）=呼一b；②鼠=〃+*；③泛1=—呼+于；④屏斗^^=0.其中正确的命题是

答案②③④

解析前=〃,cX=b,At）=^Ah+^At=^（At+ch）+^Ab=^ch+At=—^a—b,故①错误;

乙乙乙乙乙乙

B^=Bt+^cX=a+^b,故②正确；Cp=^ch+ck）=^—a+b）=—^a+^b,故③正确；Ab

+B^+Cp=—b—^a+a+^b+^b—^a=09故④正确.

14.（2024・丽江模拟）在A45C中，点。在线段AC上，且满足以力|=g|祀点Q为线段

上任意一点，若实数x,y满足独=xA^+yR,则!+:的最小值为.

答案4+2记

解析由题意知，点。满足劝=!■祀，故独=施+僦=杨+3以力，由Q,B,。三点

共线，可得x+3y=l,x>0,y>0,贝N+：=C+J)(尤+3y)=4+?+.24+2小，当且仅当三

Jiy\AyjJiyx

=：,即x=^21'y=3J时等号成立.所以的最小值为4+25.

B级素养提升练

15.如图，在平行四边形A3CQ中，融=2巍,#=前，点G为CE与好的交点，则花=

()

A.B.

C.1■然•祀D.得话+,6

答案A

解析由魂=2谶，讣=前,知E,b分别为AB,A0的中点.如图，设AC与3产的交点

ApAf7AJ71、1、

为P,易得“PFsacPB,所以正=7^=前=5，所以#=]AC.因为E是AB的中点，所

CrCnALfZJ

以脑磅.由尸，G,2三点共线知，存在相€R,满足才有=〃舒+(1—m)融=|■〃就+(1—

㈤a1由C,G,E三点共线知，存在w€R,满足4&=每1+(1—琼正=%油+(1—w)公，

所以g:加正+(1—加)屈=；〃屈+(1—“)就.又因为才屈为不共线的非零向量，所以

1m=l

1—m

所以才古=|•然+之祀.

解得，

1

3m1—n，n=5

16.(多选X2024•武汉模拟)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这

样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心

和重心间的距离之半.这个定理就是著名的欧拉线定理.设AABC中，点