2024年云南省高考适应性训练数学试题（冲刺高考）

（冲刺高考）2024年云南省高考适应性训练数学试题

一、单选题

NO.XCR},则(4A)C3-()

1.设集合A={x||4x-l|<9,xeR},B=

(-3,-2]o[0,|)

A.(-oo,-3)J[-,+<»)B.

C.(-00,-3]U[|,+oo)D.(-3,-2]

2.已知复数z满足z（l+2i）=|l+2i|（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（）

A,还B.冥C.2752A

nD.--------1

55一_5"5

3.若tan]”：j-~~,贝1Jcos2a+2sin2a=()

6448c16

A.——B.—C.iD.——

252525

3

4.已知向量a,b，2满足|〃|=|们=百，a-b='--,<a—c,b—c>=30°,则41的最

大值等（）.

A.2"B.3+25C.2A/3D.3+26

Sn2n

5.已知等差数列｛%｝,也｝的前〃项和分别为S,,,"，右7；―3〃+l，则"=（）

7小10D.2

A-HB.—C.

111314

6.某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间f（单位：年）之间的关系为

y=%.a.其中%为初始量，左为降解系数.已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量

的75%.若该品牌塑料袋需要经过n年,使其残留量为初始量的10%,则〃的值约为（）

（参考数据:1g2«0.301,1g3»0.477）

A.20B.16C.12D.7

7.已知在正方体中，AB=4,点、P,Q,T分别在棱和AB

上，且用尸=3,C,2=l,BT=3,记平面尸QT与侧面ADR4,底面ABC。的交线分

别为优，“，则（）

A.机的长度为述B."2的长度为述

33

C.”的长度为2叵D.〃的长度为巫

33

8.已知Af（a,3）是抛物线C：f=2py（p>0）上一点，且位于第一象限，点M到抛物

线C的焦点厂的距离为4,过点P（4,2）向抛物线c作两条切线，切点分别为A,B,则

AP-BF=（）

A.-1B.1C.16D.-12

二、多选题

9.下列不等式正确的是（）

A.e71>7ieB.-ln0.9<—

9

C.5sin—<1D.sin—<—

5371

10.如图所示，正方体ABCD-的棱长为1,瓦尸分别是棱A4',CC的中点，过

直线班的平面分别与棱交于点以下四个命题中正确的是（）

A.四边形项ffW一定为菱形

B.四棱锥A-MEVF体积为（

C.平面平面DBBD

D.四边形㈤"W的周长最小值为4

11.函数/（x）=AsinWx+。）（其中A>0,a>>0,|^|<^）的部分图象如图所示，则

（）

A.f（O）=-l

B.函数的最小正周期是2兀

C.函数“X）的图象关于直线X对称

D.将函数〃尤）的图象向左平移方个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称

三、填空题

12.若向量。=（4,0）,b=（l网,则向量°在向量方上的投影向量坐标为.

13.如图，在第一象限内，矩形ABC。的三个顶点A3,C分别在函数

y=log#x,y=x：y=[g]的图象上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若A点的纵

坐标是2,则。点的坐标是.

22

14.已知尸为椭圆C:宗+方=l（a>b>0）上一点，且分别为C的左、右焦点，且

PFJPK，若△尸片耳外接圆半径与其内切圆半径之比为I"，则C的离心率为.

四、解答题

15.己知函数/（x）=2（x-l）e”.

（1）若函数f（x）在区间3田）上单调递增，求/3）的取值范围；

（2）设函数g（x）="-x+p,若存在与e[l,e],使不等式g（x（））2/（无。尸/成立，求实

数〃的取值范围.

16.人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI开发的人工智能划时代标志的ChatGPT

能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次

工业革命.它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用

ChatGPT对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如下表所示：

服务业就业人数的

ChatGPT应

合计

用的广泛性

减少增加

广泛应用601070

没广泛应用402060

合计10030130

(1)根据小概率值a=0.01的独立性检验，是否有99%的把握认为ChatGPT应用的广泛

性与服务业就业人数的增减有关？

(2)现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5

人中随机抽取3人，记抽取的3人中有X人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求X

的分布列和均值.

2

2_n(ad—be)

附:"(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)，其中〃=a+Z?+c+d.

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

17.如图,在三棱柱ABC-4与G中，，平面ABC,AC±BC,AC=BC=2,CC,=3,

点D,E分别在棱A4和棱CC,±,且AT»=1CE=2,/为棱的中点.

(I)求证：CtMA.BtD;

(II)求二面角B-瓦的正弦值；

(III)求直线与平面。与E所成角的正弦值.

18.动圆尸过定点42,0),且在y轴上截得的弦G8的长为4.

(1)若动圆圆心P的轨迹为曲线C,求曲线C的方程；

(2)在曲线C的对称轴上是否存在点Q,使过点0的直线厂与曲线C的交点S,T满足

总『+总干为定值？若存在，求出点。的坐标及定值；若不存在，请说明理由.

19.关于x的函数/（x）=lnx+2x-6S>2）,我们曾在必修一中学习过“二分法”求其零

点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法一“牛顿切线法”.

⑴证明：/⑺有唯一零点。，且aw。/）；

（2）现在，我们任取西e（1,0开始，实施如下步骤：

在（不〃M））处作曲线〃尤）的切线，交x轴于点伍,0）；

在（孙/仁））处作曲线〃尤）的切线，交了轴于点值,0）；

在（五,八%））处作曲线/⑴的切线，交x轴于点（x„+1,0）；

可以得到一个数列{%},它的各项都是不同程度的零点近似值.

⑴设x“+i=g（x.）,求g（x“）的解析式（用X“表示X"+1）；

（ii）证明：当玉总有/<x“+i<a.

参考答案：

1.A

【分析】求出集合A8后可求@A)B.

【详解】由题意得A=，X|-2<X<：1,2={尤[X<-3或_^0},

所以低A)3={x[x<-2或x&}，

所以。A)B=(—00,—3)U[―,+oo),

故选:A.

2.C

【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简，再根据复数的定义判断即可.

【详解】因为z(l+2i)=|l+2i],所以2=嗯175(1-2i)_^5(l-2i)_V52A/5.

------------=---------=---------］

(l+2i)(l-2i)555

所以复数Z的虚部为-冬叵.

5

故选：C

3.A

【分析】由正切的两角和公式，利用tank-9]=-1可得tana=1,进而根据弦化切即可

I4J74

求解.

［详角星］VtanL-^

7

7171

tana——+tan—--+1

71714463

tana=tana——+—7

44717184

1-tanatan—il

44+7

八.cos2a+2sin2al+4tancr64

cos2a+2sm2a=-------------=--------=——

sina+cosatana+125

故选:A

4.D

【解析】若令。4=a，OB=b，OC=c,则已知可得C在以AB为弦的圆。的优弧上运动,

再结合图形，可求出1cI的最大值.

■31

【详解】OA=aOB=b,OC=c?由题意|=|b|=石，a-b=--,得cosNA。5=

ZAOB=120°fAB=3,•：<a-c,b-c>=30°,AZACB=30°,二.C在以A5为弦的圆。的

优弧上运动，N4PB=60。，r=3,OD=273,当C点在0。的延长线与圆。交点时，最

大为3+26.

故选：D

【点睛】此题考查向量的数量积和模的有关运算，利用了数形结合的思想求解，属于中档题.

5.A

S2n

【分析】根据端一结合等差数列的前〃项和公式，构造出符合题意的一组｛%｝与曲」

的通项公式，再进行计算即可.

【详解】根据题意，数列｛凡｝、｛2｝都是等差数列，显然两个数列都不是常数列，

Sn_2n_2〃2

2

Tn3〃+13n+n

因为等差数列前“项和公式为s,=：/+(4-3”,®片0),

所以不妨令S“=2加<=3加+切口为常数，且人0),

所以“22时，a〃=S"-S,T=M4”-2),>=[-回-2)-

故选：A

6.B

Q1

【分析】由e2%==可得2左=ln3-21n2,再代入屋=；；；,求解即可.

410

【详解】根据题意可得%•e〃=%q,

则e2%=2,2^=ln-=ln3-21n2,

44

则经过“年时，有%二成=%=，

即e^=」-,贝左=ln1-二—lnlO,

1010

nnk-IglO

所以-=—二---------

「八八22kIg3-21g20.477-2x0.301

则n=16.

故选：B.

7.A

【分析】做出截面，确定线段加，〃，由平行线分线段成比例，相似三角形的性质以及勾股

定理即可得解.

【详解】如图所示，

连接。尸并延长交CB的延长线于£,连接ET并延长交AD于点S,

交的延长线于点连接"Q,交DD］于点、R,连接液,

则加即为SR,〃即为ST,

由Pb〃QC,得黑二^?二!，所以班=2,EC=6,

QCLLD+4j

AQAT117

由AS〃£B,得丝二"=上，则AS=七防=4,

EBTB333

所以〃=S7=1心+松=巫,故C,D项错误;

3

/曰SDHS5

由SD//EC,得一=——=一

ECHE9

又易知SR//PQ,得票=黑，所以黑

QEHEQE9

所以SR=(QE=/2C2+£C2=孚,故A项正确，B项错,

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用平面的性质作出截面，从而得到加为SR,〃为

ST,由此得解.

8.B

【分析】先通过抛物线的定义求出抛物线的方程，再设AG，%）,*%,%）,然后求出后,际

并化简，然后求出直线的方程并代入抛物线方程，最后结合根与系数的关系求得答案.

【详解】如示意图，由抛物线的定义可知点M到抛物线准线的距离为4,则

3+汽=4np=2,即抛物线C:/=4y,则/（0,1）.

设人（工,%），3（孙%），则源'.晶=应.诙=（-1>（四,必—1）

一（必+%）+1=中2+（；1）一；（d+X2）+.（k2『1,\23.

=%％+多％1=----~\Xl+X2）+5XM2+L

io4

2i11

xr

由>=—=>y=—xj贝llMIP=5玉，％5P=3*2，所以

j:=］（%—玉）=玉%—2y+2%=0^>x1x-2y-2y1=0,

lBP:=，（%_%）=%2%-2,+2y之一考=0=>x2x-2y-2y2=0,

玉,4—2,2—2%-04x-2y,-4=0

因为点P（4,2）在这两条直线上，所以4〉2；：-4=。,于是点小

Xy,4—2,2—2%—0

2

都在直线4x_2y_4=0上，gp/AS:y=2x-2,代入抛物线方程并化简得：x-8%+8=0,

由根与系数的关系可知玉+*2=占马=8.

->->R213

于是4歹-8尸=----X82+-X8+1=1.

1642

故选：B.

【点睛】本题运算较为复杂，注意要先求出后.赤，再判断题目到底需要什么，另外本题

求解直线AB的方法需要熟练掌握.

9.ABC

【分析】利用函数〃X)==士的单调性可判断A选项；利用函数g(x)=x-ln(x+l)的单调

性可判断B选项；利用函数/?(x)=x-sinx在(0,1)上的单调性可判断C选项；利用函数

p(x)=sinx-x+高在(0』)上的单调性可判断D选项.

【详解】对于A选项，令/(》)=?,贝|]广(司=匕强，

当X>e时，r(x)<0,则函数在(e,+动上单调递减，

因为兀>e,则/㈤<〃e),即叱〈小，即eln兀<7dne,即InTfvIne11,

7ie

所以，7ie<ex,A对；

1r

对于B选项，令g(x)=x—ln(x+l),则g〈x)=l----

人"II4―I-I

当x>0时，g'(x)=Uj>0,即函数g(x)在(0,+8)上为增函数，

所以，g["]=：-ln£>g(0)=0,即g>lng=-ln0.9,B对；

对于C选项，令/z(x)=x—sinx,其中。vxvl,

贝!J"(%)=1—cos%>0对任意的x£(0,1)恒成立，

所以，函数可可在(0,1)上为增函数，因为则彳£|=t-sin：>〃(0)=0,

所以，5sin1<l,C对；

92

对于D选项，令p(x)=sinx-x+R,其中Ovxvl,贝!J"(x)=cos%-l+耳，

令4(x)=COSX-1+万，

由C选项可知，0(x)=x-sin尤=/i(x)>/z(O)=。对任意的工£(0,1)恒成立，

所以，函数夕⑺在(0」)上单调递增,则p'(x)=q(x)>q(O)=O,

则函数p(x)在(0,1)上单调递增，

因为工w(0』)，贝U-|=sin---+^—=sin-->0,即sin->^-,

3VJl3j3316231623162

DE上5315371-16253x3.14-162166.42-162八口口.1531

又因为------=-------->------------=----------->0,即sin—>——>-,D

1627i162K162兀162K3162兀

故选：ABC.

【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个:

（1）判断各个数值所在的区间；

（2）利用函数的单调性直接解答.

数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.

10.ACD

【分析】由正方体截面性质有㈤网为平行四边形，若G,H为DD：BB'中点,易得EHFG为

正方形，进而得到初1=血「即可判断A；由到面AEb的距离之和为底面对角线且

匕一“的=%一.+%一4防求体积判断B；利用线面垂直、面面垂直的判定判断C；根据正方

体的结构特征判断M,N在运动过程中，周长最短时位置判断D.

【详解】由题意，正方体截面的性质易知EM//N£EN//Mb,即MV为平行四边形，

取G,H为。中点，因为瓦F分别是棱A<CC的中点，则E*G为正方形，

所以EH==ZFHM=90。,则=故£MRV为菱形，A对；

由M,N到面AEF的距离之和为底面对角线为72，

又匕-MHVF=%一.+%-但=jx&，S4防=9四、<><9应=:为定值，B错；

33226

由菱形性质知MN_L£F,由正方体性质知DD'l.面EHFG,EFu面EHFG,则DU±EF,

又MNDD'=N,MN,DD'u面DBB'D,故跖1面D3377,

而斯<=面口"W，所以平面EMFNJ"平面DB3D,C对；

M,N在运动过程中，仅当它们为对应线段中点时，菱形各边最短且为1,

此时EA〃W为正方形，周长为4,D对.

D'

故选：ACD

11.AC

【分析】利用图象求出函数/（尤）的解析式，代值计算可判断A选项；利用正弦型函数的周

期性可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判

断D选项.

【详解】由图可知，4=/(x)max/(x)min=2—(-2)=2,

22

函数f(x)的最小正周期T满足号=普-(-却=手，则7=兀，。="=生=2,B错;

412oy417i

所以，/(x)=2sin(2x+^),

、［兀//兀ULr、［5兀7C7CE/兀兀—r/日兀

因为一大工夕工大，所以，一-G则0一；=_大，可得夕=一：

226736326

所以，/(x)=2sinl2x-^l贝|/(O)=2sii

inT,A对;

2。sin。2x-兀--兀--=2sin|=2=/(x)max,

I36

所以，函数/(力的图象关于直线尤=三对称，C对;

将函数f(x)的图象向左平移2个单位长度以后,

6

得到函数y=2sin2x+e巳=2sin2x+,的图象，所得函数为非奇非偶函数，D错.

故选：AC.

12.(L@

【分析】利用向量的数量积运算与投影向量的定义求解即可.

【详解】因为a=(4,0),6=(1,6),

所以。2=4+0=4,恸=^/171=2,

a-bb4brFT\

所以向量a在向量6上的投影向量的坐标为可刑=5、5=67=(1，。3).

故答案为：(1,港).

【分析】根据指对塞函数的图象及解析式求出A点的横坐标、C点纵坐标，即可得。点的

坐标.

【详解】由题意，A3纵坐标都为2,则5点横坐标为8,即。点横坐标为8,

所以A点的横坐标为牛=；,C点纵坐标为(3)8=-1,

由ABC。为矩形及题图知：。点的坐标是（；人）.

381

故答案为：（］［）

3ol

14.-

7

【分析】由椭圆性质及定义有l£gl=2c,|P£|+|PFJ=2a,结合直角三角形内切圆、外接

圆相关性质求对应半径，进而得到椭圆参数的齐次方程，即可得求离心率.

【详解】由题意，在Rt△尸耳耳中I片&l=2c,|Pf；|+|"|=2a，4PK=90。，

所以其外接圆半径R=号』=c,内切圆的半径为IP-I+IP,IT式囚=。一0,

故答案为：y

15.（l）［-2,+oo）；（2）［-e,+?）.

【详解】试题分析：

⑴由函数的解析式可得“X）在（0，­）上单调递增，则的取值范围是［-2,+8）；

⑵原问题等价于存在使不等式。“23）e%成立.构造新函数

可力=（2彳-3修，结合函数力（力的性质可得实数P的取值范围为［-e,+8）.

试题解析：

（1）由广（尤）=2旄*>0得了>0,

/（x）在（0,+«）上单调递增,：.a>0,:.f（a）>f（0）=-2,

••・”“）的取值范围是［-2,+s）.

（2）存在使不等式g（%）N2（%-l）成立,

存在为使不等式°2（25-3）源成立.

令/z（x）=（2x-3）e",从而尤

h^x）=［lx-\）ex,

x>l,..2x—l>l,ex>0,/./zr(x)>0,

.•./z(x)=(2x-l)e*在［l,e］上单调递增,

:邛”.

，实数p的取值范围为［w+co).

16.⑴没有

,,Q

(2)分布列见解析，j

【分析】(1)根据题意求小,并与临界值对比判断；

(2)根据分层抽样求各层人数，结合超几何分布求分布列和期望.

【详解】(1)零假设为"。：ChatGPT对服务业就业人数的增减无关.

*日昨本山粕母俎2130x(60x20-40x10)2

小艮据表中数据得力=--------------------®6.603<6.635=x

70x60x100x3000l

所以根据小概率值c=0.01的独立性检验,

没有充分证据推断不成立，因此可以认为无关.

(2)由题意得，采用分层抽样抽取出的5人中，

有《jx5=3人认为人工智能会在服务业中广泛应用，

有4六0x5=2人认为人工智能不会在服务业中广泛应用,

则X的可能取值为L2,3,

dor3rl

又「(X=l)=罟磊尸-2)=罟=(P(X=3)=]1

10

所以X的分布列为

17.(I)证明见解析；(II)画；(III)且.

63

【分析】以C为原点，分别以C4,CB,CC；的方向为X轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角

坐标系.

（I）计算出向量和BQ的坐标，得出即可证明出

（II）可知平面88也的一个法向量为C4,计算出平面4瓦）的一个法向量为〃，利用空间

向量法计算出二面角B-瓦E-O的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；

（III）利用空间向量法可求得直线AB与平面DB、E所成角的正弦值.

【详解】依题意，以c为原点，分别以CA、CB、eq的方向为x轴、y轴、z轴的正方向

建立空间直角坐标系（如图），

可得C（0,0,0）、4（2,0,0）、*0,2,0）、G（0,0,3）、

A（2,0,3）、4（0,2,3）、0（2,0]）、E（0,0,2）、

（I）依题意,QA?=（1,1,0）,4。=（2,-2,-2）,

从而£"4。=2-2+0=0,所以GM，耳。；

（II）依题意，6=（2,0,0）是平面瓦法的一个法向量，

£旦=（0,2,1）,ED=（2,0,T）.

设〃=（x,y,z）为平面DBtE的法向量，

n.EB.=0f2y+z=0

则,即cc，

n-ED=0[2尤一z=0

不妨设x=l,可得〃=(1,-L,2).

„.CAn2y/6

cos<CA,n〉="j—i~~i~~r----尸=-----

CA-n2xV66'

/.sin<CA,n>=^/1-cos<CA,n>=---.

6

所以，二面角B-瓦石-。的正弦值为强;

6

(III)依题意，AB=(-2,2,0),

由（II）知〃=（1,-1,2）为平面。与E的一个法向量，于是

AB-n-4V3

cos<AB,n>=

阿小2夜x#—T,

所以‘直线AB与平面所成角的正弦值为当.

【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能

力与计算能力，属于中档题.

18.(l)y2=4.r；

⑵存在点。(2,0),定值:.

【分析】（1）根据给定条件，利用圆的性质建立等量关系，列出方程化简即得.

（2）假定存在符合要求的点。并设出直线/'的方程，与曲线C的方程联立，利用韦达定理

结合已知化简计算即得.

【详解】（1）设尸（元,y）,依题意，|R4|=|PG|,而1PAl2=（x-2）2+y2,当P点不在y轴上时，

即xw0,

由动圆P在y轴上截得的弦GH的长为4,得|PG『=f+（g|If=炉+4,

因止匕（x-2）2+y2=f+4,整理得V=4x,

当尸点在y轴上时，显然P点与原点。点重合，而尸（0,0）也满足y2=4尤，

所以曲线C的方程为y2=4x.

（2）假设存在。（。,0）满足题意,

设5（占,%）,7（无2，%），显然直线/'不垂直于y轴，设直线/'的方程为尤="+。,

尤="+。,,,。

由\消去x得尸-4"-4a=。，A=16r+16<7>0,+V=4r,yy=-4a,

y'2=4x2t2

贝!J%+/=/(%+y)+2a=4r+2a,x\x=-=a2

2216'

_

IQS|+1QT|~=(玉—a)~+y；+(N—+¥=石+无；+(4—2^)(xl+x2)+2cr

222

=(X[+x2)+(4-2a)(x1+x2')-2xtx2+2a=(x1+x2){xl+x2+4-Id)-2xxx2+2a

=8(2/+。)(产+1),而|QS『.|8|2=(/+])川产+])W=16叫产+I『,

]]=IQSF+IQTf=8(2产+。)(产+1)=2»+。

IQS|2\QT\2~\QS\2-\QT\l~16a"+iy一2a2(?+l)'

当a=2时，满足A>0,且总产+焉嗔=；与，无关，为定值，

所以存在点。（2,0）,使过点。的直线/'与曲线C的交点S,T满足总产+Z）为定值;.

【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值

的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；

②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.

19.（1）证明见解析;

一%lnx“+(6+l)x“

(2)⑴g(x〃)=；（ii）证明见解析.

1+2%

【分析】（1）根据函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可；

（2）（i）由导数的几何意义得曲线/'（X）在（七,7（五））处的切线方程为

y=i-^-x+lnx-b-l,-x“lnx“+e+l)x“

n进而得g（%）=

x“1+2%

]+2x1

(ii)令/?(》)=-----^+lnx„-b-\,进而构造函数P(x)=/(x)_/i(尤)=Inx----x-lnx„+1,

/（%）

结