2024年重庆市长寿区春招数学试卷（附答案解析）

2024年重庆市长寿区春招数学试卷

一、选择题（10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号A、B、C、D的四个

答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.

1

1.（4分）在实数-1,V3,3.14中，无理数是（）

2

「1

A.-1B.V3C.-D.3.14

2

2.（4分）如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，其箭头所指方向为主视方向，则这个几何体

的俯视图是（）

E口

A.70°B.80°C.100°D.110°

4.（4分）如图，OE■是△ABC的中位线，点厂在上，DF=2BF.连接所并延长，与的延长线相

交于点若BC=6,则线段CM的长为（）

5.（4分）反比例函数y=S（k为常数，左W0）的图象位于（）

A.第一、三象限B.第二、四象限

C.第一、二象限D.第三、四象限

6.（4分）己知左（V5+V3）«（V5-V3）,则与％最接近的整数为（）

A.2B.3C.4D.5

7.（4分）如图，在。。中，直径A8与弦CD相交于点P,连接AC,AD,BD,若/C=20°,NBPC=

70°,则NAOC=（）

A.70°B.60°C.50°D.40°

8.（4分）如图，四边形O4BC1是正方形，曲线CiC2c3c4c5…叫作”正方形的渐开线”，其中电，强,

而，口虞，…的圆心依次按。，A,B,C1循环，当。4=1时，点C2023的坐标是（）

A.(-1,-2022)B.(-2023,1)

C.(-1,-2023)D.(2022,0)

9.(4分)如图，正方形A8CD中，48=3,点E在8C的延长线上，且CE=2.连接AE,/OCE的平分

线与AE相交于点R连接DR则。下的长为（

10.（4分）新定义：若一个点的横纵坐标之和为6,则称这个点为“和谐点”，若二次函数y=/-2x+c（c

为常数）在-l<x<3的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是（）

252525

A.—<c<7B.4<c<^C.-1<C<1D.0<c<^

二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分），请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线

上.

11.（4分）计算:|-1|+（-2023）°+2-1=.

12.（4分）一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别.布袋中的球

已经搅匀，从布袋中任取1个球，取出红球的概率是.

13.（4分）正九边形的每一个内角是度.

14.（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A,8的坐标分别为（-3,0）,（0,4）.以点A为圆心，以

长为半径画弧，交无轴正半轴于点C,则点C的坐标为.

15.（4分）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具,

乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元.设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式

方程为.

16.（4分）如图，在RtZkABC中，AB=6cm,BC=8cm，D、E分别为AC、BC中点，连接AE、BD相交

于点R点G在CD上，且。G：GC=1：2,则四边形。PEG的面积为

A

r-,C

E

（空＞。2m-m

17.（4分）若关于y的不等式组1有解，且关于尤的方程一=4-X——的解为非负数，则

（笠口A_]久-33-x

所有满足条件的整数m的值之和是.

18.（4分）我们把不超过有理数尤的最大整数称为尤的整数部分，记作印，又把X-印称为x的小数部分，

记作{x},则有x=[x]+{x}.如：口.3]=1,{1.3}=0.3,1.3=口.3]+{1.3}.下列说法中正确的有个.

①[2.8]=2；②[-5.3]=-5；③若1＜团＜2,且{尤}=0.4,贝！|户1.4或x=-1.4；④方程4印+l={x}+3x

的解为尤=0.25或x=2.75.

三、解答题（19题8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题

卡中对应的位置上.

X—32.x—10

19.（8分）⑴先化简’再求值：工.（1—=）,其中x是1、2、3中的一个合适的数.

（2）计算：（12X4+6X2）+3尤-（-2x）2（x+1）.

四、解答题（共7题，每题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必

要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.

20.（10分）如图，已知线段AC和线段a.

（1）用直尺和圆规按下列要求作图.（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）

①作线段AC的垂直平分线/，交线段AC于点。；

②以线段AC为对角线，作矩形4BC。，使得并且点8在线段AC的上方.

（2）当AC=4,。=2时，求（1）中所作矩形A8CD的面积.

AC**

21.（10分）某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调

查，要求被调查的学生从4B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个.根据调查结果，

编制了如下两幅不完整的统计图.

（1）请把图1中缺失的数据，图形补充完整；

（2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；

（3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去。地研学的学生人数.

22.(10分)某移动公司推出A,8两种电话计费方式.

计费方式月使用费/元主叫限定时间/徵加主叫超时费/(元/加比)被叫

A782000.25免费

B1085000.19免费

(1)设一个月内用移动电话主叫时间为，加山，根据表格，分别写出在不同时间范围内，方式A,方式

8的计费金额yi,y2关于r的函数解析式；

(2)若你预计每月主叫时间为350加%你将选择A,8哪种计费方式，并说明理由；

(3)请你根据月主叫时间r的不同范围，直接写出最省钱的计费方式.

23.(10分)某中学数学兴趣小组的同学们，对函数y=小-例+c(a,b,c是常数，20)的性质进行了

初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整.

(1)当a=l,b=c=0时，即y=|x|.当时，函数化简为y=x；当x<0时,函数化简为y=.

(2)当a=2,b—1,c=0时，即y=2|x-l|.

①该函数自变量尤和函数值y的若干组对应值如下表：

X…-2-101234

y…6m20246

其中"i=•

②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数y=2|x-1|的图

yyi

i।—16।—।--1-16-

III।।।

_____I-.L

—"r—i------14-

।i<i

L-1-।____।

—12-T-1—12■

।

IIIIIIA

—2dR小。_」__2_3_4.5一6%

।—।rT-42-

L金・b-

」4-

।

卡

—6-6-

象.图1图2

(3)当a=-2,b—1,c=2时，即y=-2|尤-l|+2.

①当无时，函数化简为y=

②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数y=-2|x-1|+2的图象.

（4）请写出函数尸a|x-例+c（a,b,c是常数，aWO）的一条性质:.(若

所列性质多于一条，则仅以第一条为准）

24.（10分）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知BC=0.6m,ZABC

123°,该车的高度AO=L7〃z.如图2,打开后备厢，车后盖ABC落在A3C处，A3与水平面的夹角

ZB'A£)=27°.

（1）求打开后备厢后，车后盖最高点9到地面/的距离;

（2）若小琳爸爸的身高为1.8优，他从打开的车后盖C处经过，有没有碰头的危险？请说明理由.（结

果精确到0.01/7;,参考数据:sin27°-0.454,cos27°^0.891,tan27°^0.510,V3-1.732)

B

图1图2

25.（10分）如图，直线尸-x+4交x轴于点8,交y轴于点C,对称轴为％=尚的抛物线经过2,C两点,

交x轴负半轴于点A,P为抛物线上一动点，点P的横坐标为能，过点尸作x轴的平行线交抛物线于另

一点M,作x轴的垂线PN,垂足为N,直线交y轴于点Z）.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若OVmV搭，当机为何值时，四边形CDNP是平行四边形？

(3)若?nv|,设直线MN交直线BC于点E,是否存在这样的相值，使MN=2ME?若存在，求出此

备用图

26.(10分)在平行四边形A8CD中(顶点A,B,C,。按逆时针方向排列)，AB=12,AD^10,NB为

锐角，且sinB=

(1)如图1,求A8边上的高CH的长；

(2)P是边AB上的一动点，点C,D同时绕点尸按逆时针方向旋转90°得点C,D,

①如图2,当。落在射线CA上时，求的长；

②当△AC。是直角三角形时，求BP的长.

2024年重庆市长寿区春招数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号A、B、C、D的四个

答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.

_1

1.（4分）在实数-1,V3,3.14中，无理数是（）

「1

A.-1B.V3C.-D.3.14

2

1

【解答】解：实数-1,V3,--3.14中，无理数是旧，

故选：B.

2.（4分）如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，其箭头所指方向为主视方向，则这个几何体

的俯视图是（）

【解答】解：这个几何体的俯视图为:

3.（4分）如图，AB//ED,若/1=70°,则N2的度数是（）

【解答】解：：/1=70°,

C

A

3

FD

・・・N3=70°,

9

：AB//EDf

・・・N2=180°-Z3=180°-70°=110°,

故选：D.

4.（4分）如图，。石是△ABC的中位线，点厂在QB上，DF=2BF.连接EF并延长，与C3的延长线相

交于点若BC=6,则线段CM的长为（）

15

C.——D.8

2

【解答】解：・・・OE是△ABC的中位线,

11

J.DE//BC,。丘=钞。=/6=3,

・••△DEFsABMF,

DEDF2BF

•••-_—_—乙_,r\

BMBFBF

3

：.BM=

15

CM=BC+BM=芋

故选：C.

A

5.（4分）反比例函数y=S（k为常数，左WO）的图象位于（）

A.第一、三象限B.第二、四象限

C.第一、二象限D.第三、四象限

【解答】解：：左为常数，20,

，反比例函数y=号（卜为常数，左/0）的图象位于第一、三象限，

故选：A.

6.（4分）已知仁鱼（V5+V3XV5-V3）,则与上最接近的整数为（）

A.2B.3C.4D.5

【解答］解：（4+H）•（时一百）=/义2=2a,

而1.4<V2<1.5,

2.8<2近<3,

与左最接近的整数是3,

故选：B.

7.（4分）如图，在。。中，直径与弦CD相交于点P,连接AC,AD,BD,若/C=20°/BPC=

70°,则NAZ）C=（）

A.70°B.60°C.50°D.40°

【解答】解：：/C=20°,ZBPC=70°,

：.ZBAC^ZBPC-ZC=50°=NBDC,

VAB是。。的直径，

/.ZADB=90°,

ZADC^ZADB-ZBZ）C=40°,

故选：D.

8.（4分）如图，四边形Q4BQ是正方形，曲线CiC2c3c4c5…叫作”正方形的渐开线”，其中电，领,

而，E，…的圆心依次按。，A,B,&循环，当。4=1时，点C2023的坐标是（）

A.(-1,-2022)B.(-2023,1)

C.(-1,-2023)D.(2022,0)

【解答】解：由图得Ci(0,1),C2(1,0),C3(-1,-2),C4(-4,1),C5(0,5),C6(5,0),

C7(-1,-6),…

点。的位置每4个一循环，

2023=505X4+3,

.•.C2023在第三象限,与Q,C7,C11,•••

符合规律(-1,-n+1),

.••C2023坐标为(-1,-2022).

故选：A.

9.(4分)如图，正方形ABC。中，A8=3,点E在5C的延长线上，且CE=2.连接AE,NDCE的平分

线与AE相交于点R连接。尸，则。尸的长为（

【解答】解：过点/作方于M,NF1CD于N,如图所示:

丁四边形ABC。为正方形，且A8=3,

AB^BC=CD=AD=3,ZB=ZBCD=90°,

:・NDCE=NFNC=NFMC=90°,

・•・四边形CMFN为矩形，

TC/平分N0CE,FMLBE,NFLCD,

:・CM=FM,

・•・矩形CMFN为正方形，

・••设CM=FM=FN=CN=a,

9

：AB=3fCE=2,

；・BE=BC+CE=5,ME=CE-CM=2-a,

VZB=90°,FMLBE,

：.FM//AB,

：.AEFM^/\EAB,

：.FM：AB=EM：BE,

a：3=(2-a)：5,

解得：a=q,

3

:.FN=CN=a=%

4

39

---

DN=CD-CN=44

在RtZYDFN中，由勾股定理得：DF=7DN2+FN2=

故选：C.

10.(4分)新定义：若一个点的横纵坐标之和为6,则称这个点为“和谐点”，若二次函数y=--2x+c(c

为常数)在-1〈尤<3的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是()

252525

A.—<c<7B.4<c<5rC.-l<c<lD.OVcV年

444

【解答】解：由题意可得“和谐点”所在直线为y=-x+6,

将x=-1代入y=-x+6得y=7,

将x=3代入y=-x+6得y=3,

设A(-1,7),B(3,3),如图，

联立y=-x+6与-2x+c,得方程W-2x+c=-x+6,

即x2-x+c-6=0,

;抛物线与直线y=-x+6有两个交点，

:・'=(-1)2-4(c-6)>0,

解得c<系

当直线x=-1和直线x=3与抛物线交点在点A,8上方时，抛物线与线段有两个交点,

2

把x=-1代入y=x-2x+c,得y=3+cf

把x=3代入y=x2-2x+c得y=3+c,

3+c>7

3+c>3

解得04,

故选：B.

二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分），请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线

上.

1

11.（4分）计算:|=）+（-2023）0+2-1=2.

【解答】解：|—/1+（—2023）°+2-1

=1+1+|

=2.

故答案为：2.

12.（4分）一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别.布袋中的球

1

已经搅匀，从布袋中任取1个球，取出红球的概率是一.

-4—

【解答】解：.一个布袋中放着3个红球和9个黑球，

，从布袋中任取1个球，取出红球的概率是二一=

3+94

故答案为：y.

4

13.（4分）正九边形的每一个内角是140度.

【解答】解：180°V9-2）+9=140°.

14.（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A,8的坐标分别为（-3,0）,（0,4）.以点A为圆心，以

A8长为半径画弧，交x轴正半轴于点C,则点C的坐标为（2,0）

【解答】解：•••点A,8的坐标分别为（-3,0）,（0,4）.

:.AO=3,OB=4

•••根据勾股定理，得，

AB=yJOA2+OB2=V32+42=V25=5,

:以点A为圆心，以AB长为半径画弧，

：.AB=AC=5,

；.OC=AC-A0=5-3=2,

:交x轴正半轴于点C,

...点C的坐标为（2,0）.

故答案为：（2,0）.

15.（4分）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，

乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元.设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式

【解答】解：•••乙种劳动工具的单价比甲种劳动工具的单价贵了4元，且甲种劳动工具单价为x元，

...乙种劳动工具单价为G+4）元.

根据题意得：——2400=2x竿1non.

%+4x

故答案为：一240二0=2x1华000.

x+4x

16.（4分）如图，在RtZXABC中，AB=6cm,BC=8cm,D、E分别为AC、8c中点，连接AE、8。相交

于点R点G在。上，且。G：GC=1：2,则四边形DFEG的面积为40层.

【解答】解：如图所示，连接DE,

E分别为AC、8C中点，

11、

•DE〃AB,DE=2AB=3cm,BE=CE==4cm,

,.△DEfsXBAF,

(DFDE1

9BF~AB~2"

,DF1

•——，

BD3

VZABC=90°,

：.ZDEC=90°,

•*SABDE~S^CDE=2BE,DE=x4x3=6cm2,

・12

**S^DEF=3=2cm,

VDG：GC=1：2,

.DG1

••—―,

CD3

・12

,・SADEG=3LCDE~2cm，

・•・四边形DFEG的面积=S2DEG+SMEF=4cm2.

故答案为：4cm2.

>0

17.（4分）若关于y的不等式组上卷i>]有解，且关于X的方程二=4-百的解为非负数,则

所有满足条件的整数m的值之和是-5

2mx-m

【解答】解:-----=4---------

%—33—X

方程两边同乘（x-3）,得2根=4(x-3)+(x-m),

整理得，比=即产，

3771+123771+12

由题意得，--->0,且---丰3,

解得，且aWl,

f中>0

解不等式组《3y+；得，m<y^3,

:不等式组有解,

则-4W小W3且mWL

所有满足条件的整数m的值之和为：-4-3-27+0+2+3=-5,

故答案为：-5.

18.（4分）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作印，又把x-国称为x的小数部分，

记作㈤,则有尤=田+{尤}.如：口.3]=1,{1.3}=0.3,1.3=[1.3]+{1.3}.下列说法中正确的有1个.

@[2.8]=2；②[-5.3]=-5；③若1<|尤|<2,且{无}=0.4,贝!Jx=L4或x=-1.4；④方程4印+1={x}+3x

的解为x=0.25或尤=2.75.

【解答】解：根据题意可知：：[2.8]=2,[-5.3]=-6,

故①正确；②错误；

当x=L4时,[1.4]=1,{1.4}=1.4-[1.4]=0.4,

当x=-1.4时，[-1.4]=-2,{-1.4}=-1.4--L4]=0.6W0.4,

故③错误；

V4[x]+l={x}+3x,

/.[A]+1=4{X},

：0W{X}<1,

.•.0W4{x}V4,

当印=-1时，4{x}=0,{x}=0,此时x=-l；

当印=0时,4{x}=l,{x}=0.25,此时x=0.25；

当印=1时,4{x}=2,{x}=0.5,此时x=1.5；

当印=2时，4{x}=3,{x}=0.75,此时x=2.75；

综上，4b1+l={x}+3x的解为尤=-1或x=0.25或x=1.5或x=2.75,

故④错误；

...正确的只有①,

故答案为：1.

三、解答题（19题8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题

卡中对应的位置上.

X—32.x—10

19.(8分)(1)先化简，再求值：----(1-——),其中x是1、2、3中的一个合适的数.

x-1X2-9

(2)计算：(12X4+6X2)-r3x-(-2x)2(x+1).

%—32%-10

【解答】解:(1)一■(1-X2-9)

x-1

x—3%2—9—2x+10

x—1%2—9

x—3(x—1)2

x—1(x+3)(x—3)

_x—1

=x+3f

由题意得：xW±3,

当x—2时，原式=2-I-3=5,

（2）（12X4+6X2）+3尤-（-2x）2（尤+1）

=4X3+2X-4A2（x+1）

=4X3+2X-4x3-4x2

—lx-4，.

四、解答题（共7题，每题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必

要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.

20.（10分）如图，已知线段AC和线段a.

（1）用直尺和圆规按下列要求作图.（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）

①作线段AC的垂直平分线I,交线段AC于点O；

②以线段AC为对角线，作矩形ABC。，使得并且点2在线段AC的上方.

（2）当AC=4,a=2时，求（1）中所作矩形A8C。的面积.

a

AC**

【解答】解：（1）①如图，直线/即为所求.

②如图，矩形ABCD即为所求.

(2)•.•四边形ABCO为矩形,

ZABC=90°,

：a=2,

：.AB=CD^2,

：.BC=AD=y/AC2-AB2=V42-22=2后

矩形ABCD的面积为A2・BC=2x2遍=4b.

21.(10分)某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调

查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个.根据调查结果，

编制了如下两幅不完整的统计图.

(1)请把图1中缺失的数据，图形补充完整；

(2)请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；

(3)若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去。地研学的学生人数.

【解答】解：(1)本次调查的学生人数为：204-20%=100(人),

最喜欢去A地的人数为：100-20-40-25-5=10(人),

补全条形统计图如下:

图1

(2)研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数为:

9C

(3)1200x^=300(名),

答：估计最喜欢去。地研学的学生人数约300名.

22.(10分)某移动公司推出A,3两种电话计费方式.

计费方式月使用费/元主叫限定时间/加〃主叫超时费/(元/加加)被叫

A782000.25免费

B1085000.19免费

(1)设一个月内用移动电话主叫时间为/加力，根据表格，分别写出在不同时间范围内，方式A,方式

8的计费金额yi,y2关于/的函数解析式；

(2)若你预计每月主叫时间为350加"，你将选择A,2哪种计费方式，并说明理由；

(3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式.

【解答】解：(1)设方式A的计费金额yi(元)，方式B的计费金额y2(元)，

根据表格数据可知，当0WtW200时，”=78；当>200时,>1=78+0.25(r-200)=0.25/+28；

当0W/W500时，”=108；当>500时，"=108+0.19(f-500)=0.19汁13；

78(0<t<200)108(0<t<500)

综上，乃

0.25t+28(t>200)'%一0.19t+13(t>500)：

(2)选择方式8计费，理由如下：

当每月主叫时间为350优沅时，

>1=0.25X350+28=115.5,

>2=108,

V115.5>108,

选择方式8计费；

(3)令yi=108,得0.25什28=108,

解得：f=320,

.•.当0Wf<320时，yiV108V”,

...当0Wf<320时，方式A更省钱；

当f=320,方式A和8的付费金额相同；

当f>320,方式2更省钱.

23.(10分)某中学数学兴趣小组的同学们，对函数y=a|x-6|+c(a,b,c是常数，aWO)的性质进行了

初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整.

(1)当a=l,6=c=0时，即y=|x|.当xNO时，函数化简为y=x；当x<0时，函数化简为y=__二

(2)当“=2,b=l,c=0时，即y=2|x-l|.

①该函数自变量尤和函数值y的若干组对应值如下表:

X・•-2-101234

-6m20246

其中m—4

②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数y=2|x1|的图

yi卜y八

--1—I——I—(6-

rrr-ir一一1-----------1-n—।—।—(—।—

1I111(iiiii11Illi।।।।।

L-J--____1______1_-1--------1--1------------IQ-

11II11111111iiiL।।।।।

1111111111iiii.।।।।।

~i--------1--1------------14-

1----------1------1—1-----------1-

11IIII।।।।।

1___J_____----_____i____i____j_____i_______i____i1______1__1______I__I______12_□_।__।_।__।_

11"iiPiiiiii11IIII，।।।।।

1111iii।ii11llli-।।।।।

»-

f1~~1