高考数学二轮复习专题二三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形含答案及解析

第2讲三角恒等变换与解三角形（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 3【考点一】三角恒等变换 3【考点二】正弦定理、余弦定理及综合应用 5【考点三】解三角形的实际应用 7【专题精练】 9考情分析：1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度．真题自测真题自测一、单选题1．（2024·全国·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·高考真题）在中,内角所对的边分别为，若，，则（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高考真题）已知，则（

）．A． B． C． D．4．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．5．（2023·全国·高考真题）已知为锐角，，则（

）．A．3−58 B． C． D．6．（2023·全国·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（

）A． B． C． D．7．（2023·全国·高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（

）A． B． C． D．二、填空题8．（2023·全国·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则．三、解答题9．（2024·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周长．10．（2023·全国·高考真题）已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．11．（2023·全国·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积．12．（2023·全国·高考真题）在中，已知，，.(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积.考点突破考点突破【考点一】三角恒等变换一、单选题1．（2023·江苏·三模）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北武汉·二模）若，则（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·新疆喀什·三模）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．B．函数的最小正周期为C．是函数图象的一条对称轴D．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到4．（2024·云南昆明·一模）已知函数，则（

）A．y=fxB．y=fx的图象关于点对称C．y=fx在上单调递增D．直线是y=fx图象的一条对称轴三、填空题5．（23-24高三上·浙江宁波·期末）在中，角的对边分别为，已知．则角.6．（2024·吉林白山·一模）化简．核心梳理：1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).2单+2多+2填+2解（有的加）0.85-0.65规律方法：三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．(4)弦、切互化：一般是切化弦．【考点二】正弦定理、余弦定理及综合应用一、单选题1．（2024·广东江门·一模）在中，，，则角A的大小为（

）A． B．或 C． D．或2．（2023·广东茂名·一模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为m，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高二上·浙江·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，下面说法正确的是（

）A．B．C．是锐角三角形D．的最大内角是最小内角的倍4．（23-24高一下·江苏南京·期中）对于有如下命题，其中正确的是（

）A．若，则为钝角三角形B．若，则的面积为C．在锐角中，不等式恒成立D．若且有两解，则的取值范围是三、填空题5．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知椭圆，、分别是其左，右焦点，P为椭圆C上非长轴端点的任意一点，D是x轴上一点，使得平分．过点D作、的垂线，垂足分别为A、B．则的最大值是．6．（23-24高二上·广东汕头·期中）如图，圆锥底面半径为，母线PA＝2，点B为PA的中点，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，其最短路线长度为，其中下坡路段长为．

四、解答题7．（2024·广东湛江·一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圆的直径为，求的取值范围．8．（23-24高三下·山东济南·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，．已知.(1)求；(2)若，且边上的高为，求的周长.9．（2024·北京东城·一模）在中，.(1)求；(2)若为边的中点，且，求的值.核心梳理：1．正弦定理：在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).3．三角形的面积公式：S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.2单+2多+2填+2解（有的加）0.85-0.65规律方法：解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值范围．(2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围．【考点三】解三角形的实际应用一、单选题1．（22-23高一下·辽宁沈阳·期中）在中，若，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形2．（2024·广东梅州·一模）已知是锐角三角形，角，，所对的边分别为，，，为的面积，，则的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2024·河南·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，若，且，则下列结论正确的是（

）A．的三边一定构成等差数列B．的三边一定构成等比数列C．面积的最大值为D．周长的最大值为4．（2024·江西新余·模拟预测）将锐角三角形置于平面直角坐标系中，，为轴上方一点，设中的对边分别为且，则的外心纵坐标可能落在以下（

）区间内.A． B． C． D．三、填空题5．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，某城市有一条公路从正西方向通过路口后转向西北方向，围绕道路打造了一个半径为的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道，则的最小值为．6．（2021·宁夏石嘴山·三模）某校数学建模社团对校外一座山的高度h(单位：)进行测量，方案如下：如图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距a米两处分别观测山顶的仰角和()，多次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型；多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行n次测量，其误差近似满足，为使误差在的概率不小于0.9973，至少要测量次.参考数据：若占，则.核心梳理：解三角形应用题的常考类型(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．2单+2多+2填+2解（有的加）0.85-0.65规律方法：解三角形实际问题的步骤专题精练专题精练一、单选题1．（2023·江苏南通·一模）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2022·北京·高考真题）已知函数，则（

）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增3．（2023·河南·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．若是函数的一个极值点，则的值为（

）A． B． C． D．4．（2023·湖北武汉·二模）已知，则（

）A． B． C． D．5．（22-23高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（

）A．12 B．24 C．27 D．366．（2023·青海·模拟预测）在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（

）A． B． C． D．7．（22-23高三·湖南娄底·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（

）A． B． C． D．8．（21-22高一下·河南安阳·阶段练习）某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得，沿土坡向坡顶前进后到达D处，测得．已知旗杆，土坡对于地平面的坡角为，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·广东广州·一模）已知函数的图像关于直线对称，则（

）A．函数的图像关于点对称B．函数在有且仅有2个极值点C．若，则的最小值为D．若，则10．（2023·湖南·一模）已知函数，则（

）A．的图象关于直线轴对称B．的图象关于点中心对称C．的所有零点为D．是以为周期的函数11．（2021·湖南衡阳·模拟预测）已知函数，则（

）A．在上有两个零点B．在上单调递增C．在的最大值是1D．的图像可由向右移动得到三、填空题12．（22-23高三下·福建南平·阶段练习）已知为锐角，，则．13．（2023·江苏·三模）如图，在△ABC所在平面内，分别以AB，BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCHG．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．已知，且asinA＋csinC＝4asinCsinB，则FH＝．14．（2024·广东·一模）中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且，D为边AB上一点，CD平分，，则．四、解答题15．（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．16．（2024·河北·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．(1)求角C的大小；(2)若，，求的面积．17．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)求角C；(2)求的取值范围.18．（2023·广东广州·二模）记的内角、、的对边分别为、、，已知.(1)求；(2)若点在边上，且，，求.19．（2023·江苏南通·一模）在中，的对边分别为.(1)若，求的值；(2)若的平分线交于点，求长度的取值范围.

第2讲三角恒等变换与解三角形（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 13【考点一】三角恒等变换 13【考点二】正弦定理、余弦定理及综合应用 16【考点三】解三角形的实际应用 25【专题精练】 31考情分析：1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度．真题自测真题自测一、单选题1．（2024·全国·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·高考真题）在中,内角所对的边分别为，若，，则（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高考真题）已知，则（

）．A． B． C． D．4．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．5．（2023·全国·高考真题）已知为锐角，，则（

）．A．3−58 B． C． D．6．（2023·全国·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（

）A． B． C． D．7．（2023·全国·高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（

）A． B． C． D．二、填空题8．（2023·全国·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则．三、解答题9．（2024·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周长．10．（2023·全国·高考真题）已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．11．（2023·全国·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积．12．（2023·全国·高考真题）在中，已知，，.(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积.参考答案：题号1234567答案BCBBDCC1．B【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为，所以，，所以，故选：B.2．C【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可.【详解】因为，则由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根据正弦定理得，所以，因为为三角形内角，则，则.故选：C.3．B【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为，而，因此，则，所以.故选：B【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．4．B【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以；法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，可得，则，因为且，则，即，解得，即为钝角，则，且为锐角，所以；方法三：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，整理得，且设两切线斜率分别为，则，可得，所以，即，可得，则，且，则，解得.故选：B.

5．D【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【详解】因为cosα=1−2sin2解得：3−58故选：D．6．C【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值.【详解】由题意结合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，据此可得，则.故选：C.7．C【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得，，从而得到，再在中利用余弦定理求得，从而求得，由此在中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；法二：先在中利用余弦定理求得，，从而求得，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于的方程组，从而求得，由此在中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.【详解】法一：连结交于，连结，则为的中点，如图，因为底面为正方形，，所以，则，又，，所以，则，又，，所以，则，在中，，则由余弦定理可得，故，则，故在中，，所以，又，所以，所以的面积为.法二：连结交于，连结，则为的中点，如图，因为底面为正方形，，所以，在中，，则由余弦定理可得，故，所以，则，不妨记，因为，所以，即，则，整理得①，又在中，，即，则②，两式相加得，故，故在中，，所以，又，所以，所以的面积为.故选：C.8．【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记，方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：，由可得，，解得：．故答案为：．方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因为，所以，，又，所以，即．故答案为：．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．9．(1)(2)【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用极值点求解设，则，显然时，，注意到，，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，即，即，又，故方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设，由题意，，根据向量的数量积公式，，则，此时，即同向共线，根据向量共线条件，，又，故方法五：利用万能公式求解设，根据万能公式，，整理可得，，解得，根据二倍角公式，，又，故（2）由题设条件和正弦定理，又，则，进而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周长为10．(1)(2)6【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.【详解】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由=sinA由正弦定理，，可得，，.11．(1)(2)【分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【详解】（1）因为，所以，解得：．（2）由正弦定理可得，变形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面积为．12．(1)；(2).【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.【详解】（1）由余弦定理可得：，则，，.（2）由三角形面积公式可得，则.考点突破考点突破【考点一】三角恒等变换一、单选题1．（2023·江苏·三模）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北武汉·二模）若，则（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·新疆喀什·三模）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．B．函数的最小正周期为C．是函数图象的一条对称轴D．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到4．（2024·云南昆明·一模）已知函数，则（

）A．y=fxB．y=fx的图象关于点对称C．y=fx在上单调递增D．直线是y=fx图象的一条对称轴三、填空题5．（23-24高三上·浙江宁波·期末）在中，角的对边分别为，已知．则角.6．（2024·吉林白山·一模）化简．参考答案：题号1234答案AAACDAC1．A【分析】利用和差角公式展开，得到，即可得到，再利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为，所以，所以，所以，所以.故选：A．2．A【分析】由倍角余弦公式及诱导公式求目标式的值.【详解】，.故选：A3．ACD【分析】A由降幂公式，辅助角公式可得答案；B由周期计算公式可得答案；C将代入由A选项所得化简式中可得答案；D由函数图象平移知识可得答案．【详解】Ａ选项，，故A正确；B选项，由A选项结合周期计算公式可知最小正周期为，故B错误；C选项，将代入，在此时得最大值，故是函数图象的一条对称轴，故C正确；D选项，的图象向右平移个单位得，故D正确．故选：ACD4．AC【分析】化简得，分析y=fx的最大值，对称中心，对称轴，单调性判断各个选项.【详解】,对A：y=fx对B：因为，所以不是y=fx的对称中心，故B错误；对C：当时，，而在上为增函数，故y=fx在上单调递增，故C正确；对D：，所以直线不是y=fx图象的一条对称轴，故D错误；故选：AC5．【分析】利用正弦定理及二倍角公式化简计算即可.【详解】由正弦定理及二倍角公式得：，因为在中，，，即，即，因为在中，,所以，所以.故答案为：.6．2【分析】运用降幂公式将化成，整理后再用诱导公式将化成，化简即得.【详解】．故答案为：2.核心梳理：1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).2单+2多+2填+2解（有的加）0.85-0.65规律方法：三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．(4)弦、切互化：一般是切化弦．【考点二】正弦定理、余弦定理及综合应用一、单选题1．（2024·广东江门·一模）在中，，，则角A的大小为（

）A． B．或 C． D．或2．（2023·广东茂名·一模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为m，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高二上·浙江·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，下面说法正确的是（

）A．B．C．是锐角三角形D．的最大内角是最小内角的倍4．（23-24高一下·江苏南京·期中）对于有如下命题，其中正确的是（

）A．若，则为钝角三角形B．若，则的面积为C．在锐角中，不等式恒成立D．若且有两解，则的取值范围是三、填空题5．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知椭圆，、分别是其左，右焦点，P为椭圆C上非长轴端点的任意一点，D是x轴上一点，使得平分．过点D作、的垂线，垂足分别为A、B．则的最大值是．6．（23-24高二上·广东汕头·期中）如图，圆锥底面半径为，母线PA＝2，点B为PA的中点，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，其最短路线长度为，其中下坡路段长为．

四、解答题7．（2024·广东湛江·一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圆的直径为，求的取值范围．8．（23-24高三下·山东济南·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，．已知.(1)求；(2)若，且边上的高为，求的周长.9．（2024·北京东城·一模）在中，.(1)求；(2)若为边的中点，且，求的值.参考答案：题号1234答案DCACACD1．D【分析】利用正弦定理求得角C，根据三角形内角和，即可求得答案.【详解】由题意知中，，，故，即，由于，故，则或，故A的大小为或，故选：D2．C【分析】根据题意求圆锥的高和底面半径，再结合锥体、柱体体积运算求解.【详解】如图所示为该圆锥轴截面，设顶角为，因为其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是腰长为，面积为的等腰三角形，所以，解得，则或（舍去），由得，，则上半部分的体积为，下半部分体积为，故蒙古包的体积为.故选：C.3．AC【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用余弦定理可判断BC选项；利用二倍角的余弦公式可判断D选项.【详解】对于A，由正弦定理可得，A对；对于B，由余弦定理可得，，，所以，，B错；对于C，因为，则为最大角，又因为，则为锐角，故为锐角三角形，C对；对于D，由题意知，为最小角，则，因为，则，则，D错.故选：AC.4．ACD【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断AB，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断D.【详解】选项A：中，若，即，所以由正弦定理得，又由余弦定理得，所以，为钝角三角形，A说法正确；选项B：中，若，则由正弦定理得，解得，所以或，所以或，的面积或，B说法错误；选项C：因为是锐角三角形，所以，所以，又，所以，则，又因为在单调递增，所以，C说法正确；选项D：如图所示，若有两解，则，解得，D说法正确；故选：ACD5．/0.1875【分析】利用三角形面积公式、余弦定理，结合椭圆的定义得，再利用均值不等式求解作答.【详解】设，依题意，，，由，得，即，，椭圆中，，在中，由余弦定理得，即有，则，因此，当且仅当时取等号，所以的最大值是.故答案为：6．【分析】将圆锥侧面沿母线PA剪开并展开成扇形，过P作AB的垂线，垂足为M，最短路线即为扇形中的直线段AB，利用余弦定理求出即可；当蚂蚁从M点爬行到B点的过程中，它与点P的距离越来越大，故MB为下坡路段，求出即可.【详解】如图，将圆锥侧面沿母线PA剪开并展开成扇形，易知该扇形半径为2，弧长为，故圆心角∠APB＝，最短路线即为扇形中的直线段AB，由余弦定理易知AB＝＝，cos∠PBA＝＝；过P作AB的垂线，垂足为M，当蚂蚁从A点爬行到M点的过程中，它与点P的距离越来越小，故AM为上坡路段，当蚂蚁从M点爬行到B点的过程中，它与点P的距离越来越大，故MB为下坡路段，下坡路段长MB＝PB･cos∠PBA＝．故答案为：，.

7．(1)(2)【分析】（1）由两角和与差的余弦公式、正弦定理化简已知式即可得出答案；（2）由正弦定理可得，由两角差的正弦公式和辅助角公式可得，再由三角函数的性质求解即可.【详解】（1）由可得：，所以，所以，，，由正弦定理可得，因为，所以，所以，因为，所以.（2）由正弦定理可得，所以，故，又，所以，所以，又，所以，所以，所以的取值范围为.8．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，最后由正弦定理将角化边；（2）由余弦定理得到，利用面积公式求出，即可得到、，从而得解.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，所以，即，所以，由正弦定理得，即；（2）由题意得，，由余弦定理得，解得（负值舍去），因为边上的高为，所以，则，所以，，故的周长．9．(1)；(2).【分析】（1）由正弦定理可得，结合三角和为及诱导公式可得，即可得答案；（2）在中，由正弦定理可求得，从而可得，在中，利用余弦定理求解即可.【详解】（1）解：因为，由正弦定理可得，即，，又因为，所以，解得，又因为，所以；（2）解：因为为边的中点，，所以,设,在中，由正弦定理可得，即，解得，又因为，所以，

在中，，在中，，由余弦定理可得：，所以，即.核心梳理：1．正弦定理：在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).3．三角形的面积公式：S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.2单+2多+2填+2解（有的加）0.85-0.65规律方法：解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值范围．(2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围．【考点三】解三角形的实际应用一、单选题1．（22-23高一下·辽宁沈阳·期中）在中，若，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形2．（2024·广东梅州·一模）已知是锐角三角形，角，，所对的边分别为，，，为的面积，，则的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2024·河南·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，若，且，则下列结论正确的是（

）A．的三边一定构成等差数列B．的三边一定构成等比数列C．面积的最大值为D．周长的最大值为4．（2024·江西新余·模拟预测）将锐角三角形置于平面直角坐标系中，，为轴上方一点，设中的对边分别为且，则的外心纵坐标可能落在以下（

）区间内.A． B． C． D．三、填空题5．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，某城市有一条公路从正西方向通过路口后转向西北方向，围绕道路打造了一个半径为的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道，则的最小值为．6．（2021·宁夏石嘴山·三模）某校数学建模社团对校外一座山的高度h(单位：)进行测量，方案如下：如图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距a米两处分别观测山顶的仰角和()，多次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型；多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行n次测量，其误差近似满足，为使误差在的概率不小于0.9973，至少要测量次.参考数据：若占，则.参考答案：题号1234答案DABCBD1．D【分析】利用余弦定理将化简为，从而可求解.【详解】由，得，化简得，当时，即，则为直角三角形；当时，得，则为等腰三角形；综上：为等腰或直角三角形，故D正确.故选：D.2．A【分析】先求得，利用正弦定理以及三角恒等变换的知识化简，利用三角函数值域的求法求得正确答案.【详解】依题意，，，由解得.，由于三角形是锐角三角形，所以，所以，所以，所以，所以.故选：A3．BC【分析】根据三角恒等变换可得，即可结合中项的性质判断AB，结合余弦定理以及基本不等式即可求解CD.【详解】在中，由，得．所以，所以，所以．又，所以，所以．由正弦定理得，即成等比数列．取适合题意，但此时三边不构成等差数列，A错误，正确．由及余弦定理得（时取等号）．因为．所以．所以．又，所以，所以的面积，C正确．由及，可得，即，所以．因为，所以，所以，D错误．故选:BC．4．BD【分析】利用余弦定理求得，然后可得，利用二次函数性质求出的范围，结合已知可得，结合平方关系和正弦定理求出半径范围，即可求纵坐标范围.【详解】由题知，，，由余弦定理得，又，解得，同理：，所以，所以，由二次函数性质可得，即，又，所以，因为为锐角，所以，即外接圆半径为，则，即，由外心定义可知，的外心在轴上，记的外心纵坐标为，则，因为与和交集非空，与和交集为空间，所以BD正确，AC错误.故选：BD5．【分析】在中，利用余弦定理结合基本不等式可得，利用正弦定理可得，利用三角函数的有界性建立不等式，即可求解.【详解】如图，设切点为，连接．由题意得，设，在中，,当且仅当时取等号．设，则，所以，故（当且仅当时取等号），所以，解得，所以的最小值为．故答案为：.6．(也可以写成)72【分析】再中由正弦定理可得，在中求解即可；由正态分布的3原则建立不等式求解即可.【详解】（1）在中，，，在中，.(结果还可以是)（2）由于，因此，所以，故至少要测量72次.故答案为：(也可以写成)；72【点睛】关键点点睛：在解决正态分布问题中，需要理解原则，学会利用原则求解相关问题，属于中档题.核心梳理：解三角形应用题的常考类型(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．2单+2多+2填+2解（有的加）0.85-0.65规律方法：解三角形实际问题的步骤专题精练专题精练一、单选题1．（2023·江苏南通·一模）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2022·北京·高考真题）已知函数，则（

）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增3．（2023·河南·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．若是函数的一个极值点，则的值为（

）A． B． C． D．4．（2023·湖北武汉·二模）已知，则（

）A． B． C． D．5．（22-23高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（

）A．12 B．24 C．27 D．366．（2023·青海·模拟预测）在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（

）A． B． C． D．7．（22-23高三·湖南娄底·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（

）A． B． C． D．8．（21-22高一下·河南安阳·阶段练习）某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得，沿土坡向坡顶前进后到达D处，测得．已知旗杆，土坡对于地平面的坡角为，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·广东广州·一模）已知函数的图像关于直线对称，则（

）A．函数的图像关于点对称B．函数在有且仅有2个极值点C．若，则的最小值为D．若，则10．（2023·湖南·一模）已知函数，则（

）A．的图象关于直线轴对称B．的图象关于点中心对称C．的所有零点为D．是以为周期的函数11．（2021·湖南衡阳·模拟预测）已知函数，则（

）A．在上有两个零点B．在上单调递增C．在的最大值是1D．的图像可由向右移动得到三、填空题12．（22-23高三下·福建南平·阶段练习）已知为锐角，，则．13．（2023·江苏·三模）如图，在△ABC所在平面内，分别以AB，BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCHG．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．已知，且asinA＋csinC＝4asinCsinB，则FH＝．14．（2024·广东·一模）中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且，D为边AB上一点，CD平分，，则．四、解答题15．（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．16．（2024·河北·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．(1)求角C的大小；(2)若，，求的面积．17．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)求角C；(2)求的取值范围.18．（2023·广东广州·二模）记的内角、、的对边分别为、、，已知.(1)求；(2)若点在边上，且，，求.19．（2023·江苏南通·一模）在中，的对边分别为.(1)若，求的值；(2)若的平分线交于点，求长度的取值范围.参考答案：题号12345678910答案BCADAABDABDAC题号11答案AB1．B【分析】根据三角恒等变换公式求解.【详解】所以，所以故选:B.2．C【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为.对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.故选：C.3．A【分析】利用二倍角公式和两角差的公式得到，利用平移变换得到，再根据是函数的一个极值点，即当时，函数取得最值求解.【详解】由，化简得，所以．又是函数的一个极值点，所以当时，函数取得最值，所以，解得．因为，所以．故选：A．4．D【分析】根据角的变换，结合三角函数恒等变换，即可求解.【详解】.故选：D5．A【分析】先利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可求得，再利用等面积法结合基本不等式即可得解.【详解】因为，所以，即，所以，又因，所以，由，得，所以，则，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：A.6．A【分析】根据正余弦定理及面积公式化简计算即可.【详解】由余弦定理可得：由条件及正弦定理可得：，所以，则．故选：A7．B【分析】根据二倍角公式将化简得到，利用余弦定理和正弦定理将化简可得，进而求出结果.【详解】因为，所以，所以，即，又，所以，所以，所以.因为，由余弦定理得，即，又，所以