北京市大兴区2024-2025学年高三数学下学期摸底检测试卷含解析

大兴区2024～2024学年度其次学期高三年级摸底检测（大兴区2024～2024学年度高三数学下学期摸底检测第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，集合，则（

）（A） （B）（C） （D）（2）若复数z满意，则（

）（A）1（B）5（C）7 （D）（3）若为随意角，则满意的一个值为（

）（A）2 （B）4（C）6 （D）8（4）在人类中，双眼皮由显性基因限制，单眼皮由隐性基因限制．当一个人的基因型为或时，这个人就是双眼皮，当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮．随机从父母的基因中各选出一个或者基因遗传给孩子组合成新的基因．依据以上信息，则“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的（

）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（5）已知三个函数，，，则（

）（A）定义域都为R （B）值域都为R（C）在其定义域上都是增函数 （D）都是奇函数（6）双曲线的渐近线与直线交于A，B两点，且|AB|=4，那么双曲线C的离心率为（

）（A） （B）（C） （D）（7）设是各项均为正数的等比数列，为其前项和.已知，，若存在使得的乘积最大，则的一个可能值是（

）（A） （B）（C） （D）（8）一次数学考试共有8道推断题，每道题5分，满分40分．规定正确的画√，错误的画×．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分状况如表所示，则m的值为（）

题号学生12345678得分甲×√×√××√×30乙××√√√××√25丙√×××√√√×25丁×√×√√×√√m（A） （B）（C） （D）（9）点P在函数y＝ex的图象上．若满意到直线y＝x+a的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（）（A） （B）（C） （D）（10）如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（

）（A） （B）（C） （D）其次部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）在的二项绽开式中，常数项为____15____．（用数字作答）（12）能说明“若，则方程表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组的值是_____.（13）在中，，，，则的面积为．（14）矩形中，，，为的中点.

当点在边上时，的值为_____；当点沿着，与边运动时，的最小值为______.

（15）曲线，点P在曲线C上．给出下列三个结论：曲线C关于y轴对称；曲线C上的点的横坐标的取值范围是[﹣2，2]；若，，则存在点P，使的面积大于．

其中，全部正确结论的序号是_____．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）已知函数同时满意下列四个条件中的三个：；②；③最大值为2；④最小正周期为（Ⅰ）给出函数的解析式，并说明理由；

（Ⅱ）求函数的单调递减区间（17）（本小题14分）如图，四边形为正方形，，，，，.（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.（18）（本小题14分）为了增加学生的冬奥会学问，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项竞赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与状况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；

（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参与旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成果为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了改变？请说明理由.（19）（本小题15分）已知椭圆的焦距和长半轴长都为2.过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点是椭圆的左顶点，直线分别与直线相交于点.求证：以为直径的圆恒过点.（20）（本小题14分）已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（Ⅲ）当时，试写出方程根的个数.(只需写出结论)（21）（本小题14分）设集合，其中是正整数，记．对于，若存在整数k，满意，则称整除，设是满意整除的数对的个数．（Ⅰ）若，，写出，的值;（Ⅱ）求的最大值;（Ⅲ）设A中最小的元素为a，求使得取到最大值时的全部集合A．大兴区2024～2024学年度其次学期高三年级摸底检测高三数学参考答案与评分标准一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）12345678910DBDACDABCC二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）15（12）（答案不唯一，满意或即可）（13）6（14）；（15）①②（只写对一个3分）三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题14分）解：（Ⅰ）若函数满意条件③，则，这与冲突，所以不能满意条件③…………2分所以应满意条件①②④由条件①得，且，所以…………4分由条件②得…………6分再由条件④得，且所以…………8分所以…………9分（Ⅱ）由…………2分得…………4分所以的单调递减区间为…………5分（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）证明：因为，，所以，…………2分又因为，且，…………4分所以平面.…………5分（Ⅱ）（方法一）因为四边形为正方形，平面，，所以俩俩垂直，如图建立空间直角坐标系，…………2分则，，，，…………4分，，.设平面的法向量为，…………5分则，即，令，则，.所以平面的法向量为.…………7分设直线与平面所成的角为，所以.…………9分所以直线与平面所成角的正弦值为.（方法二）因为平面，所以，.因为四边形为正方形，所以.如图建立空间直角坐标系，…………2分则，，，，…………4分，，.设平面的法向量为，…………5分则，即，令，则，.所以平面的法向量为.…………7分设直线与平面所成的角为，所以.…………9分所以直线与平面所成角的正弦值为.（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）设“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”的事务为A，…………1分则…………4分（Ⅱ）X的全部可能取值为0，1，2，参与旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.…………1分，，.X的分布列为：X012P…………5分.…………7分（Ⅲ）答案不唯一.答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了改变.理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：.指导前，甲同学总考核为“优”的概率特别小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了改变.答案示例2：无法确定.理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：.虽然概率特别小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了改变.…3分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由已知得，，…………2分所以…………4分所以椭圆的方程为…………5分（Ⅱ），，设直线的方程为…………1分由消元得：…………2分设，则…………3分又直线的方程为，令得同理可得…………5分所以直线的斜率为直线的斜率为…………6分所以…………9分所以，即以为直径的圆恒过点.…………10分注：第（Ⅱ）问，用以下方法证明相应给分用①；②为线段的中点，证；③以为直径的圆的方程；（20）（本小题14分）解：（Ⅰ），所以所以…………2分所以切线斜率，又…………4分所以切线方程为…………5分（Ⅱ）…………1分因为在区间上单调递增所以对，都有恒成立即，恒成立，等价于…………2分设，，则…………3分令，得…………4分当改变时，改变状况如下表：减函数微小值增函数所以，函数的最小值为所以，实数的取值范围是…………6分（Ⅲ）个…………3分（21）（本小题14分）解：（Ⅰ）依据条件所给定义，，所以……