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PAGE28-山东省聊城市2024-2025学年高二数学上学期第一次月考试题考试时间:120分钟;考试分数:150分;一、单选题(每小题5分,共40分)1.经过两点,的直线的倾斜角为,则()A. B. C.0 D.22.已知向量,,,若,则的值为()A. B.2 C. D.63.在空间直角坐标系中,点关于x轴的对称点的坐标为N,已知点,则()A. B. C. D.4.如图,在四面体中,,,,为的重心,为的中点,则()A. B.C D.5.直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关于点M对称的直线方程为()A.2x+3y-12=0 B.2x+3y+12=0 C.3x-2y-6=0 D.2x+3y+6=06.已知直线l过点,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍,则直线l的方程为()A. B.C或 D.或7.如图,在直三棱柱中,,点在棱上,点在棱上.若,则()A. B. C.1 D.8.正方体棱长为2,是棱的中点,是四边形内一点(包含边界),且,当三棱锥的体积最大时,与平面所成角的正弦值为()A. B. C. D.二、多选题(每题5分,每题多选得0分,少选得2分,共20分)9.已知空间中三点,,,则正确有()A.与是共线向量 B.的单位向量是C.与夹角的余弦值是 D.平面的一个法向量是10.以下命题正确的是()A.若是平面的一个法向量,直线上有不同的两点A,,则的充要条件是B.已知A,,三点不共线,对于空间随意一点,若,则,A,,四点共面C.已知,,若与垂直,则D.已知的顶点坐标分别为,,,则边上的高的长为11.已知直线的倾斜角等于,且经过点,则下列结论中正确的有()A.的一个方向向量为B.直线与两坐标轴围成三角形的面积为C.与直线垂直D.与直线平行12.在正方体中,,点P满意,其中,则下列结论正确的是()A.当平面时,可能垂直B.若与平面所成角为,则点P的轨迹长度为C.当时,的最小值为D.当时,正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为[,]三、填空题(每小题5分,共20分)13.已知,,,若共面,则实数______.14.经过点作直线,若直线与连接,的线段总有公共点,则直线的斜率的取值范围是______.15.已知实数a,b满意,则的最小值为___________.16.在如图所示的试验装置中,四边形框架为正方形,为矩形,且,且它们所在的平面相互垂直,为对角线上的一个定点,且,活动弹子在正方形对角线上移动,当取最小值时,活动弹子到直线的距离为___________.四、解答题(17题10分,18-22题每题12分,共70分)17.(1)已知,,且,求,的值;(2)已知,,若与(为坐标原点)的夹角为,求的值.18.如图,在平行六面体中,底面是边长为1的正方形,侧棱的长度为2,且.(1)求的长;(2)直线与所成角的余弦值.19.已知△ABC顶点A(-1,5),B(-1,-1),C(3,7).(1)求边BC上高AD所在直线的方程;(2)求边BC上的中线AM所在直线的方程;(3)求△ABC的面积.20.如图,在正四棱锥中,O为底面中心,,M为PO的中点,.(1)求证:平面EAC;(2)求直线DM到平面EAC的距离.21.已知直线l:,(1)直线过定点P,求点P坐标;(2)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设三角形的面积为4,求出直线l方程.22.如图所示,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=AB=BC=2,CD=4,E为CD中点,AE与BD交于点O,将△ADE沿AE折起,使点D到达点P的位置(P∉平面ABCE).(1)证明:平面POB⊥平面ABCE;(2)若PB,试推断线段PB上是否存在一点Q(不含端点),使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.高二上学期第一次考试数学试题考试时间:120分钟;考试分数:150分;一、单选题(每小题5分,共40分)1.经过两点,的直线的倾斜角为,则()A. B. C.0 D.2【答案】B【解析】【分析】先由直线的倾斜角求得直线的斜率,再运用两点的斜率进行求解.【详解】由于直线的倾斜角为,则该直线的斜率为,又因为,,所以,解得.故选:B.2.已知向量,,,若,则的值为()A. B.2 C. D.6【答案】C【解析】【分析】依据题中条件,求出的坐标,再由向量垂直的坐标表示列出方程求解,即可得出结果.【详解】因为,,,所以,又,所以,解得.故选:C.【点睛】本题主要考查由空间向量垂直求参数,考查空间向量垂直的坐标表示,属于基础题.3.在空间直角坐标系中,点关于x轴的对称点的坐标为N,已知点,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出点坐标,再利用两点间距离公式得解.【详解】因为点关于x轴的对称点的坐标为N,全部点故选:A【点睛】本题考查空间中点的对称关系及两点间的距离,属于基础题.4.如图,在四面体中,,,,为的重心,为的中点,则()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先用,,,表示向量,再利用为的中点,得代入整理得答案.【详解】因为为的重心,所以.为的中点,所以.故选:C.5.直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关于点M对称的直线方程为()A.2x+3y-12=0 B.2x+3y+12=0 C.3x-2y-6=0 D.2x+3y+6=0【答案】B【解析】【分析】先求出定点M的坐标,再设出与直线2x+3y-6=0关于点M对称的直线方程,利用点到直线距离公式求出答案.【详解】由ax+y+3a-1=0得,由,得,∴M(-3,1).设直线2x+3y-6=0关于点M对称的直线方程为,∴,解得:C=12或C=-6(舍去),∴直线2x+3y-6=0关于点M对称的直线方程为2x+3y+12=0.故选:B.6.已知直线l过点,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍,则直线l的方程为()A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】对直线是否经过原点分类,结合条件,求出的方程.【详解】解:若直线经过原点,满意条件,可得直线的方程为,即;若直线不经过原点,可设直线的方程为,把点代入可得,解得,直线的方程为,即,综上可得直线的方程为或;故选:D.7.如图,在直三棱柱中,,点在棱上,点在棱上.若,则()A B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系,利用向量法可得.【详解】以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,则.设,.因为,所以,解得,即.故选:B8.正方体棱长为2,是棱的中点,是四边形内一点(包含边界),且,当三棱锥的体积最大时,与平面所成角的正弦值为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系,设出,利用向量的数量积及体积最大值求得,从而得到与平面所成角的正弦值.【详解】如图,以A坐标原点,AB,AD,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,则,,,设,,则,由于为定值,要想三棱锥的体积最大,则F究竟面ADE的距离最大,其中,所以当时,取得最大值,因为,所以的最大值为,所以,,平面的法向量,所以与平面所成角的正弦值为故选:A二、多选题(每题5分,每题多选得0分,少选得2分,共20分)9.已知空间中三点,,,则正确的有()A.与是共线向量 B.的单位向量是C.与夹角的余弦值是 D.平面的一个法向量是【答案】CD【解析】【分析】A选项干脆写出与,依据共线向量即可推断;B选项由单位向量的求法进行推断;C选项通过夹角公式计算即可;D选项干脆计算法向量即可.【详解】,,,明显与不共线,A错误;的单位向量,即,B错误;,,C正确;设平面的法向量,则,令,得,D正确.故选:CD.10.以下命题正确的是()A.若是平面的一个法向量,直线上有不同的两点A,,则的充要条件是B.已知A,,三点不共线,对于空间随意一点,若,则,A,,四点共面C.已知,,若与垂直,则D.已知的顶点坐标分别为,,,则边上的高的长为【答案】BD【解析】【分析】依据线面位置关系的向量求法,可推断A的正误;依据四点共面的原则,可推断B的正误;依据向量垂直的坐标运算,可推断C的正误;依据向量数量积公式,计算求值,可推断D的正误,即可得答案.【详解】对于A:若,则,可得直线或,故A错误;对于B:因为A,,三点不共线,,且,所以,A,,四点共面,故B正确;对于C:由题意,,因为与垂直,所以,解得,故C错误;对于D:由题意,过B作,所以,即,所以,所以,即边上的高的长为,故D正确.故选:BD11.已知直线的倾斜角等于,且经过点,则下列结论中正确的有()A.的一个方向向量为B.直线与两坐标轴围成三角形的面积为C.与直线垂直D.与直线平行【答案】AC【解析】【分析】依据点斜式求得直线的方程,结合直线的方向向量、截距、垂直、平行(重合)等学问对选项进行分析,从而确定正确答案.【详解】由题意直线的斜率为,直线方程为,即,它与直线重合,D错误;,因此是直线的一个方向向量,A正确;在直线方程中令得,令得,直线与两坐标轴围成三角形的面积为,B错误;由于,C正确故选:AC12.在正方体中,,点P满意,其中,则下列结论正确的是()A.当平面时,可能垂直B.若与平面所成角为,则点P的轨迹长度为C.当时,的最小值为D.当时,正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为[,]【答案】ABD【解析】【分析】依题意画出图形,建立空间直角坐标系,利用空间向量法计算A、D,连接,则即为与平面所成角,依据锐角三角函数得到的轨迹,即可推断B,将平面与平面沿展成平面图形,化曲为直,利用余弦定理计算即可推断C;【详解】解:对于A选项:建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,,所以,,则,,设平面的一个法向量为,所以,令,则,即平面的一个法向量为,若平面,则,即,则当时,,即P为中点时,有平面,且,故A正确;B选项:因为平面,连接,则即为与平面所成角,若与平面所成角为,则,所以,即点P的轨迹是以为圆心,以1为半径的个圆,于是点P的轨迹长度为,故B正确;C选项:如图,将平面与平面沿展成平面图形,线段即为的最小值,利用余弦定理可知所以,故C错误;D选项:正方体经过点、P、C的截面为平行四边形,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,所以,,,,,所以点P到直线的距离为,于是当时,的面积取最小值,此时截面面积为;当或1时,的面积取最大值,此时截面面积为,故D正确.故选:ABD三、填空题(每小题5分,共20分)13.已知,,,若共面,则实数______.【答案】【解析】【分析】由空间向量的共面定理,列出方程组求出实数λ的值.【详解】因为共面,所以,则,解得,故答案为:14.经过点作直线,若直线与连接,的线段总有公共点,则直线的斜率的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】作出图形,数形结合求解即可.【详解】解:因为,,,所以,因为直线与线段总有公共点,所以,如图,依据图形可知,或,即或,所以,直线的斜率的取值范围是.故答案为:15.已知实数a,b满意,则的最小值为___________.【答案】5【解析】【分析】由题可知,表示的是直线上一点到定点,的距离之和,然后求出点N关于直线对称的点为,再依据三点共线时,最小,即最小,即可求出结果.【详解】由题可知,表示的是直线上一点到定点,的距离之和.如图,设点N关于直线对称的点为,则,解得,当三点共线时,最小,即最小所以的最小值为.故答案为:5.16.在如图所示的试验装置中,四边形框架为正方形,为矩形,且,且它们所在的平面相互垂直,为对角线上的一个定点,且,活动弹子在正方形对角线上移动,当取最小值时,活动弹子到直线的距离为___________.【答案】【解析】【分析】依据给定条件建立以直线BA,BE,BC分别为x轴,y轴,z轴的空间直角坐标系,利用空间向量即可计算作答.【详解】因为正方形,则,而平面平面,平面平面,于是得平面,又为矩形,即,以射线BA,BE,BC分别为x,y,z轴的非负半轴建立空间直角坐标系,如图,则,因点在上,且,则,又在线段上移动,则有,于是得点,,,因此,当时,取最小值,此时,点,则,,而,则有,,因此,点M到直线BF的距离,所以活动弹子到直线的距离为.故答案为:四、解答题(17题10分,18-22题每题12分,共70分)17.(1)已知,,且,求,的值;(2)已知,,若与(为坐标原点)的夹角为,求的值.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)利用空间向量的坐标运算,结合空间向量共线的坐标表示计算作答;(2)先算出,,然后利用数量积的坐标运算得到,再利用夹角公式即可得到答案【详解】(1)因为,,所以,,因为,所以,解得,所以;(2)因为,,所以,,所以,因为与的夹角为,所以,因为解得18.如图,在平行六面体中,底面是边长为1的正方形,侧棱的长度为2,且.(1)求的长;(2)直线与所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)用表示出,然后平方转化为数量积的运算;(2)用空间向量法求异面直线所成的角.【小问1详解】由题意,,,,.【小问2详解】,,,所以,所以直线与所成角的余弦值为.19.已知△ABC的顶点A(-1,5),B(-1,-1),C(3,7).(1)求边BC上的高AD所在直线的方程;(2)求边BC上的中线AM所在直线的方程;(3)求△ABC面积.【答案】(1)x+2y-9=0(2)(3)【解析】【分析】(1)求得,依据垂直关系可得,再依据点斜式求解高AD所在直线的方程即可;(2)依据中点坐标公式,结合两点式方程求解即可;(3)依据两点式方程可得边所在直线的方程,再依据点到线的距离公式可得点到直线的距离,进而依据三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】因为,所以,从而边BC上的高AD所在直线的方程为,即x+2y-9=0小问2详解】因为M是BC的中点,所以M(1,3),从而边BC上的中线所在直线的方程为,即【小问3详解】由题意知,边所在直线方程为,即,所以点到直线的距离,从而的面积.20.如图,在正四棱锥中,O为底面中心,,M为PO的中点,.(1)求证:平面EAC;(2)求直线DM到平面EAC的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)说明PO,AC,BD两两垂直,由此可建立空间直角坐标系,求得相关点的坐标,求出平面EAC的一个法向量,计算的值,结合线面平行的判定即可证明结论;(2)由于平面EAC,所以直线DM到平面EAC的距离即为点D到平面EAC的距离,由此利用空间距离的向量形式的公式计算,可得答案.【小问1详解】证明:在正四棱锥中,连接BD,则O为BD的中点,且,由于平面ABCD,AC,平面ABCD,所以,,所以PO,AC,BD两两垂直.以点O为坐标原点,OA,OB,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,因为,故E为PB的靠近B的三等分点,则,,,,,所以,,,设平面EAC的法向量为,则,取,则,,则为平面EAC的一个法向量,因为,所以,又因为平面EAC,所以平面EAC.【小问2详解】由(1)知平面EAC,所以直线DM到平面EAC的距离即为点D到平面EAC的距离.由(1)知,平面EAC的一个法向量为,所以点D到平面EAC的距离,故直线DM到平面EAC的距离为.21.已知直线l:,(1)直线过定点P,求点P坐标;(2)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设三角形的面积为4,求出直线l方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)将变形为,列方程可得直线所过的定点;(2)求出点,点的坐标,代入三角形的面积,解方程可得.【详解】解:(1)由,可得,∴直线:必过直线,的交点,∴;(2)∵直线交轴负半轴于点,交轴正半轴于点,∴,令,得;令,得,三角形的面积为,解得

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