四川省成都市锦江区2024-2025学年高三数学上学期期中学业监测文科

四川省成都市锦江区2024-2025学年高三数学上学期期中学业监测文科本试卷分选择题和非选择题两部分。第Ⅰ卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟留意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，必需运用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选择涂其它答案标号。3.答非选择题时，必需运用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4.全部题目必需在答题卡上作答，在试题卷上的答题无效。5.考试结束后，只将答题卡交回。第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．若集合，集合，则等于A． B． C． D．2．设复数，是的共轭复数，则的虚部为A． B． C． D．23．命题：，命题：，则是成立的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．某市教化局为得到高三年级学生身高的数据，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了名学生，他们的身高都在，，，，五个层次内，分男、女生统计得到以下样本分布统计图，则下列说法正确的是A．样本中层次的女生比相应层次的男生人数多B．估计样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大C．层次的女生和层次的男生在整个样本中频率相等D．样本中层次的学生数和层次的学生数一样多5．已知向量，夹角为，且，，则A．2 B．-2 C．3 D．-36．已知，若，，则A． B． C． D．7．函数的图象大致是A．B．C．D．8．已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，若，则A． B． C． D．69．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，记， 则A． B． C． D．10．函数（，，）的部分图象如图所示，若把的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的值可能为A． B． C． D．11．已知偶函数满意且，当时，，关于的不等式在上有且只有200个整数解，则实数的取值范围为A． B． C． D．12．在中，，，点与点分别在直线的两侧，且，，则的长度的最大值是A． B． C．3 D．第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.）13．设、满意约束条件，则的最小值为____________．14．已知函数是定义域为的偶函数，，都有，当时，，则．15.在中，点满意，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，（，），则的最小值为．16．已知函数，若函数有两个极值点，，且，则实数的取值范围为____________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知向量,设.（1）求函数的解析式及单调递增区间;

（2）在中,分别为内角的对边,且,求的面积.18．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图．（1）求出直方图中的值；并估计该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数（中位数精确到0.01）；（2）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．从该企业质检人员所抽取的100个口罩中，按质量指标利用分层抽样的方法先抽出5个口罩，再从这5个口罩中随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为长方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，BC＝3，E为PB的中点，F为线段BC上靠近B点的三等分点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求点B到平面AEF的距离．20．已知点，是椭圆的左、右焦点，椭圆上一点满意轴，，．（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线交椭圆于，两点，当的内切圆面积最大时，求直线的方程．21．已知函数．(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)若函数在上恰有两个极值点，且设极大值和微小值分别为,，求的取值范围．选考题（共10分。请考生在第22题、23题中任选一题作答。假如多做，则按所做的第一题计分.）22．直线的参数方程为（其中为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中）（1）点的直角坐标为，且点在曲线内，求实数的取值范围；（2）若，当改变时，求直线被曲线截得的弦长的取值范围．23．已知在中，角，，所对的边分别为，，．（1）证明：；（2）若，且恒成立，求实数的最大值．文科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．题号123456789101112答案CCBBCDAADCDB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．1；14．5；15．；16．；三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）向量,令:,解得:,故函数的单调递增区间为:…………………6分

（2）在中,分别为内角的对边,,则:,解得:利用余弦定理:,且.解得:……………12分18解：（1）因为，所以；……2分设中位数为n，则，解得；……5分（2）由频率分布直方图知：100个口罩中一等品，二等品各有60个，40个，…6分由分层抽样知，所抽取的5个口罩中一等品，二等品各有3个，2个，…………7分记这3个一等品为a，b，c，2个二等品为d，e，则从5个口罩中抽取2个的可能结果为，共10种，………………9分其中恰有一个一等品的结果为，共6种，…11分所以这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率……………….……12分19解：（1）证明：∵PA＝AB，E为线段PB中点，∴AE⊥PB，∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PA，又∵底面ABCD为长方形，∴BC⊥AB，又PA∩AB＝A，PA、AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAB，∴AE⊥BC，又PB∩BC＝B，PB、BC⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC；…6分（2）解：由（1）知，AE⊥平面PBC，∵EF⊂平面PBC，∴AE⊥EF，则EF＝，由题意，PA⊥平面ABCD，E为PB的中点，∴点E到平面ABCD的距离等于，设点B到平面AEF的距离为h，则VB﹣AEF＝VE﹣ABF，即，解得h＝．故点B到平面AEF的距离为．…6分20解：（1）因为PF1⊥x轴，|PF2|＝5|PF1|，|F1F2|＝2，即2c＝2，所以c＝，在Rt△PF1F2中，25|PF1|2＝|PF1|2+|F1F2|2，可得|PF1|＝，|PF2|＝，所以2a＝|PF1|+|PF2|＝2，即a＝，可得b2＝a2﹣c2＝3﹣2＝1，所以椭圆的方程为：+y2＝1；………4分（2）由题意可得F2（，0），明显直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my+，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得：（3+m2）y2+2my﹣1＝0，可得Δ＞0明显成立，y1+y2＝，y1y2＝，所以|y1﹣y2|＝＝＝，S＝|F1F2|•|y1﹣y2|＝×2×＝，△ABF1的周长为4a＝4，设内切圆的半径为r，当r最大时内切圆的面积最大，则S＝×4a×r＝2r，所以2r＝，可得r＝•＝•≤•＝，即当且仅当＝，即m2＝1，m＝±1时取等号，即r的最大值为，这时内切圆的面积最大，这时直线l的方程为：x＝±y+，即y＝﹣x+或y＝x﹣．…………………12分21解：（1）当时，，，所以，又因为，切点，∴在处的切线方程为，即，所以函数在处的切线方程：；……………5分（2）因为，在上单调递减；上单调递增，∴若，则，∴在上单调递增，不行能有两个极值点，舍去；若，则，∴在上单调递减，也不行能有两个极值点，舍去；若，由，，，所以在和上各有一个零点，且在上单调递增；在上单调递减；上单调递增.因为，所以，即，∴，∴令，∴，令，得∵在上单调递减；上单调递增，∴，，∴.∴的取值范围为．…………………12分22解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2mρcosθ﹣4＝0（其中m＞0），∴曲线C的极坐标方程对应的直角坐标方程为x2+y2﹣2mx﹣4＝0，即（x﹣m）2+y2＝m2+4，由点M在曲线C的内部可得（2﹣m）2+22＜m2+4，解得m＞1，即实数m的取值范围是（1，+∞）……………5分（2）直线l的极坐标方程为θ＝α，代入曲线C的极坐标方程并整理可得ρ2﹣4ρcosα﹣4＝0，设直线l与曲线C的两个交点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2＝4cosα，ρ1ρ2＝﹣4．则直线l与曲线C截得的弦长为|ρ1﹣ρ2|＝＝∈[